UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE CHILE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES

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1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES MARIA ELISA VODNIZZA LIRA mvodnizz@cec.unap.cl url : SEPTIEMBRE - 00

2 INTEGRALES Uno de los problemas importantes en Cálculo es la determinación de la antiderivada de una función dada, es decir encontrar la función primitiva de la cual se conoce su derivada Una antiderivada o primitiva de la función f es una función F tal que F () f() siempre y cuando f() esté definida. Ejemplo Dada la función f(), entonces F() es una antiderivada o primitiva de f(), ya que d ( ), también son antiderivadas de f() las d funciones G() 7, H() - 0, T() - etc. Si F () f () en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva P de f en I tiene la forma P() F() C donde C es una constante. Integral Indefinida La epresión f ( ) d representa la integral indefinida de f() con respecto de la variable. Así si F es cualquier primitiva de f en el intervalo I, entonces la primitiva más general de f en I tiene la forma F() C Entonces f ( ) d F ) C d d ( ( F( ) C) f ( ) El símbolo de la integral es una letra S alargada que corresponde a una sumatoria como se verá cuando se trate el tema de la integral definida. Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

3 Ejemplos Calcular las siguientes integrales d ' ) d ln C ( ln C) ' ) Cos d Sen C ( Sen C) Cos Esta claro que para encontrar una antiderivada de una función dada, es necesario recordar las derivadas de las distintas funciones estudiadas anteriormente. Propiedades. De las propiedades estudiadas para las derivadas se deduce que: a) [ ( ) g( ) t( ) ] d f ( ) d g( ) d f t( ) d k f ( ) d b) f ( ) d k De cada una de las fórmulas fundamentales de derivación, podemos deducir una fórmula elemental de integración, las que se pueden probar derivando el segundo miembro de la igualdad. INTEGRALES INMEDIATAS n n u ) u du c n u u ) e du e c ) du ln u c u ) u u a du a c lna 5) Sen u du Cosu c 6) Cos u du Senu c Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

4 7) Sec u du tgu c 8) Co sec u du cot gu c 9) Sec u tgu du Secu c 0) Co sec u cot gu du cos ecu c du u ) arcsen c a u a du u ) arctg c a u a a du u ) arcsec c u u a a a Ejercicios Resueltos ) Calcular [ 5 6 ] d d 5 d 6 d Propiedades a) y b) 5 6 C Fórmula 8 ) Calcular d 5 Cuando en el integrando se presenta el cuociente de dos polinomios, es conveniente calcular la derivada del denominador y tratar de formarla en el numerador. Haciendo u 5, du ( 8 ) d entonces 8 du C Fórmula 5 u d ln u C ln 5 ) Calcular d No parece corresponder a ninguna de la fórmulas de integrales inmediatas, pero dividiendo los polinomios tenemos: ( ) ( ) resto Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

5 La fracción Así d d d ln C d d ) Calcular e 5 d Haciendo u 5, du 5d du d entonces 5 5 d u du u u 5 e e du e C e C e Fórmula 5) Calcular d 9 d 9 se puede escribir como d ( ) que corresponde a la du d du arc sen C u fórmula, donde a, u, du d entonces d 9 ( ) 6) Calcular d Podemos escribir la integral dada como ( ) ( )d Haciendo u ( ), du ( 6 ) d du ( )d du ( )d entonces Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 5

6 ( ) d ( ) ( )d u du u u C 7) Calcular 8 d. Cuando en el integrando se presenta el cuociente de dos polinomios, es conveniente calcular la derivada del denominador y tratar de formarla en el numerador Haciendo u 8, du ( )d entonces entonces d 8 La primera integral es inmediata 6 6d d 8 d 8 8 du C Fórmula 8 u d ln u C ln 8 La segunda integral, debemos arreglarla para visualizarla como inmediata 6d d 6 8 ( ) haciendo u, du d a tenemos 6d du 6 u C Fórmula 8 u 6 arc tg arc tg Por lo tanto la respuesta al ejercicio es: d ln 8-8 tg arc C Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 6

7 8) Calcular Sen d No parece corresponder a ninguna de la fórmulas dadas de integrales inmediatas, pero si usamos la identidad trigonométrica sen [ cos ] tenemos: sen d ( cos) d [ d cos d] sen C Ejercicios Propuestos Calcular las siguientes integrales indefinidas: dy ) a by ) t t dt ) 8 d ) t a dt t 5) ln d 6) sena ad cos d 7) tg sec d 8) y 9) y dy y 0) sen d cos ( ) ) d ( ) d ) dt ) t t ) e e d 5 5 5) 5 d 6 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 7

8 d 6) e e d 7) e d 8) cos 9) sen d cos 0) d 6 9 ) 5d ad ) b dt 9 ) ( t ) ) e e d 5) d 6) d ( ) d 9 7) 8) s 9 s ds 9) ( ) d 0) ln d d ) 6 ) (cos a sena) d ) sec (a b) d 5) ) sen ( ) d ln d Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 8

9 Respuestas b ) a by c a t ) c 7) tg c ln cos 0) ) c t ln cos 9) ( ) c a ) arctg c b b 6) arcsen c ln 0) c a ) tg( a b) c ln 5) ( ) c 6 ) ( t ) c ( ln ) 5) ln c 8) c ln ) c 6) c e arcsen t arctg 0) c ) c 7) arctg ln 9 c 9) arcsen c cos a ) a c 8 8 ) c sen a a 6) c ln y y 9) c 5 ln ) c 8) tg c 5 arcsen ) c 5) arctg ln c 8) 9 s arcsen s arctg ) c cos ) ( ) c Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 9

10 METODOS DE INTEGRACION Todos los ejemplos anteriores se han caracterizado porque las integrales se han podido calcular en forma inmediata. Pero es necesario conocer algunas estrategias o métodos de integración, para facilitar el cálculo de integrales indefinidas, que no sean inmediatas. I Integración por partes Sean u y v funciones diferenciables de la variable, entonces la derivada de su producto es: d d ( u v) u dv d du v d en notación de diferenciales, tenemos: despejando integrando por lo tanto ( u v) u dv v du d udv u v u v d ( u v ) v du d u v ( u v ) v du v du Este método de integración por partes es útil para resolver integrales en las que el integrando es un producto de funciones: eponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. Este método permite sustituir la función y la diferencial, dando origen a otra integral v du que en grado de dificultad debe ser menor o a lo sumo igual que la integral original. Ejemplos ) Calcular cos d Haciendo Entonces u du d dv cos d v sen Cos d sen sen d sen cos 9 C Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 0

11 ) Calcular sen cos d Haciendo u du d sen dv sen cos d v Entonces SenCos d sen usando sen d sen ( cos) d sen sen c 8 El mismo ejercicio puede resolverse también como sen [ cos ] Haciendo u du d dv sen cos d v cos ) Calcular SenCos d cos cos d cos ( cos ) d cos sen C 8 ln d Haciendo u ln du d dv d v cos ( cos) ln d d c C ln ln - ln - Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

12 El método de integración por partes, puede aplicarse varias veces en un ejercicio. En algunas ocasiones al repetir la integración por partes se vuelve a la integral original, como se muestra en el siguiente ejercicio. ) Calcular e sen d Haciendo u sen du e cos d e Finalmente dv e d v e Sen d e sen * cos e Sen d e sen e e Sen d e sen e e cos cos cos d Entonces, la int egral original queda epresada como e Sen d e Ejercicios Propuestos e ( sen cos ) C Cos d * e sen d aplicando por partes nuevamente u cos dv e d v e e sen d du -sen d Determine la integral dada usando integración por partes ) cos d ) sen cos d ) arctg d ln ) d Algunas Respuestas sen cos ) c 9 ) arctg c 5) send 6) cos sen ) c 8 ln ) c ( 8) d Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

13 II Integración por Sustitución a) Sustituciones Algebraicas: Haciendo un cambio de variable adecuado es posible eliminar las raíces del integrando Ejemplos d ) Calcular sustitución algebraica u u u d u d u ( u )( u du) ( u ) d u u u C volviendo a la var iable original ( ) C du ) Calcular d Sustitución a lgebraica u d u du ( u )( u du) u u u d u u du u u : u u u u d u u du u u u u ln u C volviendo a la var iable original ln u C Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

14 b) Sustituciones trigonométricas: Este método se usa cuando en el integrando aparecen epresiones del tipo a, a y a Es posible eliminar las raíces del integrando mediante una adecuada sustitución trigonométrica. Analizaremos los casos más frecuentes: ) Para la epresión a se recomienda sustituir asen t o bien acos t, obteniendo ( Sen t) acos t ( Cos t) asent a a a Sen t a a a a Cos t a ) Para la epresión a se recomienda sustituir a tg t obteniendo ( tg t) asec t a a a tg t a ) Para la epresión a se recomienda sustituir a Sec (t) obteniendo ( Sec t) a tg t a Sec t a Ejemplos ) Calcular d Sustitución trigonométrica tg t d sec t dt sec t dt tg t sec t sec dt t sec t dt sec t sect tgt dt sect tgt ln sect tg t sec t sect sec t du u tg t dt tg t Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

15 Sabiendo que tg t, usaremos el tríangulo rectángulo para volver a la variable original sec t t Finalmente d ln C ) Calcular d Sustitución trigonométrica tg t d sec t dt d sec t dt tg t tg t sect dt tg t cosec t C sec t dt tg t sect cosec t ctgt dt Para volver a la variable original usaremos el triángulo por lo tanto co Finalmente sect d t C ) Calcular d Sustitución trigonométrica sec z d sec z tg z dz Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 5

16 * sec z sec sec zdz I dv sec ( sec ztgz) z u sec z du sec z tg z I I secztgz sec z tg z - sec z tg sec z tg z - dz int egrando por partes z dz v tg z sec ztgz ln secztg z dz sec z (sec z ( sec z sec z) sec z dz sec z z - secz tgz sec z tg z dz tg z ) dz dz dz I [ sec ztgz ln sec z tgz ] * [ ] { I sec ztgz ln sec z tgz [ sec ztgz ln z tgz ] I sec z Para volver a la variable original usaremos el triángulo, donde sec z y tg z I ln C I ln C Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 6

17 Ejercicios Propuestos Determine la integral dada usando integración por sustitución d ) ) d ) t 5 t ( t ) dt d 5 d 6 d 7 d 8 d ( ) d * (sugerencia, usar sustitución trigonométrica). RESPUESTAS ) ( ) c ) ln c ) t t arctg c ) arcsen c 5) c 6) ( ) c 7) c arctg c 8) ( ) III Integración por Fracciones Parciales Este método de integración, se usa cuando el integrando es una función Racional de la forma P( ) Q( ) la cual puede epresarse como suma de fracciones simples, de tal forma que la integración se simplifique. Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 7

18 Ejemplos 7 d ) Calcular 7 ( ) ( ) I d - A - A d B - A( - ) B( - ) B ln ln ln ( - )( - ) - 7 C A( - ) B( - ) ( )( ) C 7 d ) Calcular Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador primeramente hay que dividir 7 : 5 resto d - 5 d d I } Ejercicio 7 d 5 ln ( )( ) C Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 8

19 ) Calcular d 5 Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador primeramente hay que dividir 85 6 : d 7 5 ( )( 5) A - A B 5 B 6 C - B - 8 I d d - d - d ( - ) 8 ( 5) ( ) d 6 I ln ln 8 5 ln 6 C I ln 8 ( )( ) ( 5) 9 C d ) Calcular Fracciones Parciales ( )( ) Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 9

20 Profesora: María Elisa Vodnizza Lira 0 ( ) ( ) ( ) C A C B A B A C B C B A A c B A C B A A ) )( ( ) ( A B 0 C B A -A B C ln 6 ln - * 6 ln - 6 ln - I d d d d d d I c I c d d I - tg arc 8 ) ( ln 6 * - tg arc 8 8 ) ( 8