Tema 1: Números reales.

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1 Tem : Números reles. REALES se utiliz pr Medir mgitudes se obtiee Ctiddes todos so Números Errores viee fectds de errores Aproximcioes clses se represet Rect rel Aproximcioes decimles Redodeos Trucmieto subcojutos importtes Itervlos Etoros Repso Potecis y ríces Notció cietífic Logritmos El cojuto de los úmeros reles Cojutos e l rect rel Aproximcioes Errores

2 Repso Potecis y ríces Propieddes de ls potecis: b c = b+c b c =b c ( b ) c = b c c b c =(b) c c b ( = c b) c b = b ( c b ) =( b c ) Propieddes de los rdicles: b = b / ( b ) c = b c =b b = p = p b = b b = / c b/c b= b b = b Rciolizció: = = + b = + b b b = b b + b = + b b b = b 2 b b = b b = b b b = b + b + b = + b b b = b + b + b = + b 2 b 2

3 Notció cietífic 0, co R, <0 y N Opercioes: 0 +b 0 c 0 =(+b c) 0 ; ( 0 ) (b 0 p ) c 0 q = ( b c ) 0+ p q ; ( 0 ) p = p 0 p Logritmos log b =c b c = log =c 0 c = l =c e c = log b c=log b +log b c log b c =log b log b c log b = log b El cojuto de los úmeros reles. Los úmeros turles sirve pr cotr los elemetos de u cojuto y orderlos. Represetmos el cojuto de todos los úmeros turles por N : N={0,,2,3,4,5,...} El cojuto de los úmeros eteros ( Z opuestos: Z={0,±,±2,±3,±4,... } ) está formdo por los úmeros turles y por sus Los úmeros que se puede expresr e form de frcció so los úmeros rcioles ( ). Cudo os los ecotrmos e su form deciml puede ser decimles exctos o decimles periódicos (puros o mixtos): Q= { b ;,b Z,b 0 } Decimos que el cojuto de los úmeros rcioles es deso porque etre dos úmeros rcioles hy ifiitos úmeros ricoles. Aquellos úmeros que o puede expresrse e form de frcció so los irrcioles ( I ). Éstos so úmeros co ifiits cifrs decimles o periódics. Q 3

4 El cojuto de los úmeros reles se represet por R, y está formdo por los úmeros rcioles ( Q ) y los irrcioles ( I ): R=Q I. Los úmeros reles permite resolver lguos problems que o teí solució etre los úmeros rcioles, como el cálculo de l superficie y el volume de u esfer. Los úmeros reles puede represetrse sobre u rect: L Rect Rel. Ddos u Orige y u Uidd, cd puto de l rect le correspode u úmero y cd úmero le correspode u puto e l rect. A cd puto de est rect le correspode u úmero rciol o irrciol. Decimos que los úmeros reles complet l rect. Podemos represetr todos los cojutos uméricos e el siguiete esquem: Q R N Z N Z Q R Al operr co úmeros reles podemos hcerlo de dos forms: de form exct, pr lo cul tedremos que trbjr co rdicles simplificádolos lo más posible; de form proximd, e ese cso es ecesrio coocer el error cometido. Cojutos e l rect rel. Detro de l rect rel podemos defiir u serie de subcojutos etre los que está los itervlos. Su defiició está bsd e l relció de orde de los úmeros reles: U úmero rel es meor o igul que otro úmero rel b si e l represetció sobre l rect rel el úmero está l izquierd o superpuesto l úmero b: b o 4

5 Itervlo bierto de extremos y b: cojuto de úmeros reles compredidos etre y b. (, b)= {x R /< x< b } Itervlo cerrdo de extremos y b: cojuto de úmeros reles compredidos etre y b e icluídos estos. [, b]= {x R / x b } Podemos ecotrros itervlos semibiertos o semicerrdos, e ese cso sólo uo de los extremos estrá icluído detro del cojuto: [, b]= {x R /< x b } [, b]= {x R / x< b } Otro tipo de subcojutos que podemos ecotrr e l rect rel so los etoros. Pr defiirlos debemos especificr u cetro y u rdio. El rdio del etoro es l distci desde el cetro cd uo de los extremos del mismo (recordmos que l distci etre dos úmeros reles es el vlor bsoluto de su difereci: d(,b)= b ). U etoro de cetro y rdio r es el cojuto de úmeros reles cuy distci l cetro es meor que el rdio r: E (, r)={x R:d (, x)< r }={x R : x < r }=( r,+ r) U etoro reducido de cetro y rdio r es u etoro l que se le h quitdo el cetro: E (,r)=e(,r) { }=( r,+ r) { }=( r,) (,+ r) 5

6 Aproximcioes Los úmeros irrcioles y los úmeros decimles periódicos tiee ifiits cifrs decimles por ello deberemos trbjr co proximcioes de los mismos. El orde de u proximció es el úmero de cifrs que tommos del úmero origil. Podemos ecotrros co dos tipos de proximcioes: Aproximció deciml de orde por defecto: úmero deciml co cifrs de form que coicide co ls primers cifrs del úmero origil. Aproximció deciml de orde por exceso: úmero deciml co cifrs de form que ls - primers cifrs coicide co ls del úmero origil y l últim cifr es u uidd myor. Por ejemplo: Aproximció deciml de orde 5 por defecto del úmero π : 3.45 Aproximció deciml de orde 5 por exceso del úmero π : 3.46 Ls proximcioes de u úmero se puede relizr de diferetes forms: L proximció por redodeo de orde de u úmero es l mejor proximció deciml de orde que se puede hcer de ese úmero. Pr redoder os teemos que fijr e l cifr siguiete l que d el orde de proximció, si est cifr es meor que 5, l proximció será por defecto, y si ést es myor o igul 5, l proximció deciml será por exceso. El trucmieto de orde de u úmero es su proximció deciml por defecto de orde. Errores Al hcer proximcioes (y se por exceso o por defecto) estmos cometiedo errores. Es ecesrio ser coscietes de este hecho y coocer cuál es el error cometido. 6

7 Decimos que el error bsoluto ( E A )de u proximció es l difereci e vlor bsoluto etre el vlor rel ( V R )y el vlor proximdo ( V A ). E A = V R V A L cot de error bsoluto es u úmero que verific: V R V A < cot de error L cot de error de u proximció deciml de orde es u uidd de ese orde. L cot de error de u redodeo de orde es medi uidd de ese orde. Por ejemplo: ϕ= Trucmieto:.6 Error bsoluto: Cot de error: 0.0 Redodeo décims:.6 Error bsoluto: Cot de error: =0.005 El error bsoluto e ocsioes o os d suficiete iformció sobre si u proximció es bue (o es lo mismo cometer u error de cm e l medid de u pred o e l de u hoj de ppel). U ide de l bodd de u proximció viee dd por el error reltivo ( E R ) que es l relció eetre el error bsoluto y el vlor rel del úmero. E R = E A V R 7