MATEMÁTICA 1 JRC Hermana de la salud es la alegría PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES.

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Miguel Cordero Miranda
hace 7 años
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1 MATEMÁTICA JRC n r r n Donde: n es el índice, el símolo, el radicando o cantidad suradical y r la raíz. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES. PROPIEDADES REPRESENTACIÓN EJEMPLO Potenciación enésima de a n 8 n a 8 una raíz Raíz de un cociente Raíz de una potencia Raíz de otra raíz. Raíz de un producto Potencia de exponente racional Si el radicando es positivo y el índice par Si el radicando es negativo y el índice es par n a n m m n n n a m n Si el radicando es positivo negativo y el índice impar 7 6 m. n a a n n n a. a. m n a n a a por que: a c, d a ( ) a m a c d ,5 0,5 por que:, 6 porque ( 0,5) 0, 5 porque: 7 6

2 MATEMÁTICA JRC EJERCICIOS Colocar verdadero (V) p falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes enunciados m. Si tiene x y, entonces x es el índice y el radicando y m la raíz. La raíz cuadrada de menos 6 pertenece a los números R. Si n, 0 0, porque ( 0) 0. La raíz quinta de menos es 5. La raíz cúica de 7 es 6 6. En 6, se lee La raíz sexta de 6 es 7. Si se tiene 00 0, es una afirmación verdadera 8. Poniéndose 0 0 el radicando es igual a la raíz n m a m. n 9. a n m n 0. a + a a.. ( m +) RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:. Simplificar: E 5 8 a) 5 ) 5 c) 5 d) e) 5. Aplica propiedades para resolver los siguientes propiedades: 5 6 (aplicar propiedades) 0, 07 7 x

3 MATEMÁTICA JRC N N 69 5 Rpta Rpta x Rpta Rpta ( 8x 8)( x)

4 MATEMÁTICA JRC 8. x Si: Q 8. Si: Hallar Q N N Hallar: P 56

5 MATEMÁTICA 5 JRC Hallar: P RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.- Cuando una fracción de denominador irracional se transforma en otra fracción equivalente con el denominador racional, se conoce con el nomre de racionalización de denominadores. A) CUANDO EL DENOMINADOR ES UN MONOMIO.- Se usca un radical apropiado que multiplicado por el radical dado, dé una fracción con denominador racional. Este último radical se multiplica tamién en el numerador. EJEMPLO: ) Racionalizar ) Racionalizar ) Racionalizar SOLUCIÓN: Racionalizar: Se tiene: 5 Entonces: x x 5 5x Rpta. 5 EJERCICIOS ) Racionalizar: 8

6 MATEMÁTICA 6 JRC 5) Racionalizar: 5 5 B) CUANDO EL DENOMINADOR ES UN BINOMIO.- El inomio denominador se multiplica por su conjugada. Este último inomio tamién se multiplica en el numerador para que la fracción no se altere. Así: (de + 5 su conjugada es: 5 ) Ejemplo: Racionalizar SOLUCIÓN: Entonces: ) Racionalizar: 5 ) Racionalizar: ( + ( )( ) ) ( ( ) ) 6 6 ( 6 ) ( 6 ) Rpta. EJERCICIOS: ( ) 5 ) Racionalizar: +

7 MATEMÁTICA 7 JRC + ) Racionalizar: 5) Racionalizar: x

8 MATEMÁTICA 8 JRC VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REALES.- Para cualquier número real x, su valor asoluto se simoliza por x y se define así: x { X si x > 0 (x positivo) 0 si x 0 x si x < 0 ( x negativo) EJEMPLOS: ) ( ) + ) + 6, ,5 6,5 Se oserva de los ejemplos expuestos que para todo número real x, su valor asoluto x siempre es positivo: x EJERCICIOS x ) Hallar el valor asoluto de: a) ) 9 c) ) EFECTUAR a) + 5 ) 5,5 c) x d) e), 5 f) 5 d) +, 6

9 MATEMÁTICA 9 JRC INTERVALOS Son todos aquellos suconjuntos especiales de números reales, los cuales pueden graficarse en la recta numérica real. CLASES.- Los intervalos se clasifican en intervalos limitados e ilimitados A) INTERVALOS LIMITADOS.- Se tiene los siguientes: ) INTERVALO ABIERTO POR LA IZQUIERDA Y DERECHA.- Si a y son números reales entonces intervalo aierto en a y son todos los números comprendidos entre a y. Notación simólica: ]a, [, se lee: Intervalo aierto en a y. a Tamién: x ] a, [ { x R/ a < x < } notación conjuntista ) INTERVALO CERRADO POR LA IZQUIERDA Y DERECHA.- Si a y son números reales, entonces intervalo cerrado en a y son todos los números reales x e incluso a y Notación simólica [a, ], se lee: Intervalo cerrado en a y Tamién x [ a, ] { x R/ a x } a ) INTERVALO ABIERTO POR LA IZQUIERDA Y CERRADO POR LA DERECHA.- Si a y son números reales, entonces intervalo aierto por la izquierda en a y cerrado en, son todos los números reales x, tal que a<x. Notación simólica ]a, ], se lee: Intervalo aierto en a y cerrado en. a Tamién: x ] a, ] { x R/ a < x } ) INTERVALO CERRADO POR LA IZQUIERDA Y ABIERTO POR LA DERECHA.- Si a y son números reales, entonces intervalo cerrado por la izquierda en a y aierto en, son todos los números reales x, tal que a a x <. Notación simólica: [ a ; [ { x R/ a x < }

10 MATEMÁTICA 0 JRC a B) INTERVALOS ILIMITADOS.- Se tiene los siguientes: ) INTERVALO ABIERTO POR LA IZQUIERDA E INFINITO A LA DERECHA.- Son todos los números mayores que a, tal que a < x y R. Notación simólica: x ] a; [ { x R/ a < x} Intervalo aierto en a por la izquierda e infinito por la derecha. a EJEMPLO: Graficar: x ] ; [ { x R/ < x} SOLUCIÓN: Se tiene: ) INTERVALO INFINITO A LA IZQUIERDA Y ABIERTO POR LA DERECHA.- Son todos los números menores que, tal que x < y R Notación simólica: x ] ; [ { x R/ x < } Intervalo infinito a la izquierda y aierto por la derecha en. EJEMPLO: x ] ;[ { x R/ x < } solución ) INTERVALO CERRADO POR LA IZQUIERDA E INFINITO A LA DERECHA.- Son todos los números reales mayores o igual que a, tal que a x y a R. Notación simólica: x [ a; [ { x R/ a x} Intervalo cerrado en a por la izquierda e infinito a la derecha. a ) INTERVALO INFINITO A LA IZQUIERDA Y CERRADO POR LA DERECHA.- Son todos los números reales menores o igual que, tal que x y R. Notación simólica: x [ ; [ { x R/ x } Intervalo infinito a la izquierda y cerrado en por la derecha EJEMPLO: Graficar: x [ ; [ { x R/ x } SOLUCIÓN: Se tiene:

11 MATEMÁTICA JRC EJERCICIOS COLOCAR VERDADERO (V) O FALSO (F) DESPUÉS DE ANALIZAR CUIDADOSAMENTE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: ) ] 5;6] { x R/ 5 < x < 6} ) [ ; [ { n R/ < n} ) ] ; [ { y R/ y } ) [ 6; [ { x R/ 6 x} COLOCAR UN EJEMPLO, CON NOTACIÓN DE INTERVALO: 5) Infinito por la izquierda y cerrado por la derecha. ] ; 6] 6) Aierto por la izquierda e infinito por la derecha... 7) Cerrado por la izquierda y derecha... 8) Aierto por la izquierda y cerrado por la derecha... 9) Aierto por la izquierda y derecha... 0) Cerrado por la izquierda e infinito por la derecha... ) Infinito por la izquierda y aierto por la derecha... ) Aierto por la izquierda y derecha... LOS SIGUIENTES CONJUNTOS EXPRESAR EN FORMA DE INTERVALO. ) { x R/ x 8} ] ; 8] ) { m R/ m 5}... 5) { n R/ < n }... 6) { x R/ 0,5 < x}... 7) { x R/ < x < }... 8) { y R/ < y}... 9) { m R/ 8 m < 8} ) { t R/ t }... COMPLETAR EN LOS ESPACIOS VACÍOS: REPRESENTACIÓN GRAFICA NOTACIÓN SIMBÓLICA NOTACIÓN CONJUNTISTA [ ;[ { x R/ x < }

12 MATEMÁTICA JRC ] ;8] { y R/ < y 8} ] ;6] [ ; [ { m R/ m } ] ; [ 5 { x R/ 5 x 5} [ 5;,5] { x R/ x 9} ] ; [ { x R/ < x } OPERACIONES CON INTERVALOS: REUNIÓN, INTERSECCIÓN Y DIFERENCIA.- Para resolver operaciones con intervalos es recomendale graficarlos con la finalidad de hacer más sencillo las operaciones. EJEMPLOS: ) Dados M [; 6[ ; N ]5; [, hallar: a) M N ) M N c) M N d) N M SOLUCIÓN a) M N ) M N Completar y señalar la respuesta c) M N d) N M

13 MATEMÁTICA JRC EJERCICIOS ) Colocar verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios: a) ] ;[ ];5] ] ;5] ) [ 5;] [;] [ ;] c) [ 5; ] [ ;5] φ d) [ ;8] [;8] φ e) [ 6; ] [0,] [ ;0] f) [ 0,5;] [5;5,5] φ ) Resolver las siguientes operaciones y representar gráficamente. a) ] ;[ ] ; [ ) [ 5;6] [;] c) [ 0;0] ] 6;0[ d) ] 5;8[ ]6;9[ e) [ 6;] [ 6; ] f) ] ;] ]0;]

14 MATEMÁTICA JRC g) ] ;] [0;6] ) Representa en la recta real y escrie con notación de intervalos { x x R; / < } A x ) Calcula y representa en la recta real. a) ] ;] ] 0;6[ ) ] ;] [ ;5]

15 MATEMÁTICA 5 JRC ) Expresa la inecuación correspondiente. a) [ ;+ [ ) [ ; + [ ) Determine el intervalo al que pertenece x. ( x + ) ] 5;] 5) Dados los conjuntos A { x/ x 5} B { x/ 7 x < } Halla y representa en la recta numérica. A B 6) Dados los conjuntos A { x/ x 5} B { x/ 7 x < } Halla y representa en la recta numérica. A B 7) Continúa la solución aplicando las propiedades de valor asoluto.

16 MATEMÁTICA 6 JRC x 5 8) Resuelve la siguiente ecuación aplicando las propiedades de valor asoluto. x 0 9) Continúa la solución aplicando las propiedades de valor asoluto X + 6 X 0) Resuelve la siguiente ecuación aplicando las propiedades de valor asoluto. X + 6 0

17 MATEMÁTICA 7 JRC ) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 6 x < x + 6 ) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 6 x x + 6 ) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 6 x > x + 6 ) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 6 x x + 6

18 MATEMÁTICA 8 JRC 5) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 6 x < x + 8 6) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación x x + 6 7) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 6 x > x + 9 8) Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 6 x x + 0

19 MATEMÁTICA 9 JRC RESOLVER LAS ECUACIONES:. X 6. X +. X X +. X 8 X + 5. X + 7 X RESOLVER LAS INECUACIONE RESUELVE EN TU CUADERNO 6. X 8 7. X + X. X 8 < X X > X X + 7 X +. X 9 < X < X 5. X < X < X X X 9. X X X 6. X + 8 X 5 < 0 + X 7. X + 8 X > X 5 8. X < X < X 9 9. X 5 X + X 5 0. X 5 > X + > X 5

20 MATEMÁTICA 0 JRC RESOLVER LAS INECUACIONES. X < 6. X +. X > 8. X + < X. X > X +. X 8 X + 5. X + 7 X 6. X X 7 8. X + X 9. X + < X 0. 0 X X. 5 X < 5. X + > X

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