MATEMÁTICAS 1º BAC Aplicaciones de las derivadas

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1 . Queremos construir una caja abierta, de base cuadrada y volumen 56 litros. Halla las dimenones para que la superficie, y por tanto el coste, sea mínimo.. Entre todos los rectángulos de área 6 halla el de perímetro mínimo. 3. La suma de las aristas de un prisma recto de base cuadrada es 36. Halla las dimenones para que el volumen sea máimo. 4. Un ganadero quiere encerrar a sus ovejas en un redil rectangular de área máima, para lo cual aprovecha la pared de la finca y con 00 metros de valla construye ese redil. Halla las dimenones del rectángulo. 5. Entre los pares de números cuyo producto es 64 encuentra aquellos potivos cuya suma de cuadrados sea mínima. 6. En un campo se quiere limitar una parcela de 4 m por medio de una valla rectangular y además dividirla en dos partes iguales por medio de otra valla paralela a uno de los lados. Qué dimenones deben elegirse para que la cantidad de valla sea mínima? 7. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 40 cm. Halla sus dimenones para que la superficie de ese rectángulo sea máima. 8. Se quieren fabricar latas de refresco (cilíndricas) cuyo contenido sea de /3 de litro, de manera que el coste de la chapa sea mínimo; halla su altura y radio de la base. Mide las dimenones de cualquier lata que tengas en casa y comprueba se fabrican guiendo ese criterio. 9. Halla a, b y c en f() = 3 +a +b+c de modo que la gráfica de f tenga tangente horizontal en =- y en = y que pase por (0,3). 0. Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas y= -+3 e y= 3 - son paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes.. Determina la parábola: a +b+c que es tangente a la recta y=4+ en el punto A(,) y que pasa por el punto B(0,).. Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (,-) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (0,-3) vale Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y=4-. + que son paralelas a la recta 4. Sabiendo que la derivada de la función f()= / es f '()=-/ halla el punto de f en el que su derivada vale -/4. Cuál es la ecuación de la tangente en ese punto? Ejercicios de optimización º y º de Bachillerato Página

2 5. Con un alambre de m queremos construir el borde de un rectángulo de área máima. Qué dimenones hay que dar al rectángulo? 6. Calcular dos números reales cuya suma sea 5 y su producto sea el mayor poble. Razonar la respuesta. 7. Indica cuál es el triángulo de área máima de entre todos los isósceles de perímetro 30 cm. 8. Hallar las dimenones de un depóto abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 500 m 3 de capacidad que tenga un revestimiento de coste mínimo. 9. Se condera una ventana rectangular rematada en la parte superior un triángulo. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6,6 m. hallar sus dimenones para que su superficie sea máima. 0. Una ventana normanda conste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encontrar las dimenones de la ventana de área máima su perímetro es de 0 m.. En una oficina de correos, solo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea igual a la altura y además, la suma de ancho, alto y largo debe ser de 7 cm. Hallar las dimenones del paralelepípedo para que el volumen sea máimo.. Una hoja de papel debe contener 8 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener cm cada uno y los laterales cm. Calcular las dimenones de la hoja para que el gasto de papel sea el mínimo. 3. Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular. Si dispone de 0 m de alambre para rodearlo, qué radio debe tener el sector para que el parterre tenga la mayor superficie poble? 4. Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de área total 50 cm y volumen máimo. Determinar su generatriz y su radio. 5. Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de 60 l. Hallar las dimenones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea mínima. 6. Una piedra preciosa pesa g. Sabiendo que el valor de una piedra preciosa es proporcional al cuadrado de su peso y que su valor es de 44000, calcular, cuando dicha piedra se divide en dos trozos, el valor de cada uno de ellos cuando la depreciación sea máima. 7. En una carrera a través del deerto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oas P tuado a 500 km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las Ejercicios de optimización º y º de Bachillerato Página

3 ciudades A Y B y que le permite ir a una velocidad de 00 km/h, mientras que por el deerto la velocidad es de 60 km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 km, determinar la ruta que deberá usar para ir desde A a P en el menor tiempo poble. 8. Una fábrica tuada a km de la orilla de un río rectilíneo, ha de transportar sus productos a una ciudad tuada en la orilla del río y a 80 km del punto de éste más próimo de la fábrica. El transporte de mercancías en camión cuesta 30 por tonelada y km y el transporte en gabarra por el río cuesta 50 por tonelada y km. En qué punto de la orilla se debería cargar la mercancía en gabarras para que el coste total de transporte sea mínimo? 9. Un granjero compra una ternera de 70 kg por Alimentar al animal cuesta 5 al día y la ternera aumenta de peso 0.45 kg cada día. Por otro lado, cada día que pasa, el valor del animal en el mercado disminuye, de modo que el valor al cabo de t días, dependiendo del peso del animal, es (00-(t/8)) por kilo. Calcular: a) Peso de la ternera al cabo de t días. b) Valor total de la ternera en el mercado al cabo de t días. c) Coste total invertido en esos t días, incluyendo la compra y la alimentación. d) Ganancia obtenida por el granjero vende la ternera a los t días (la ganancia será el valor de la ternera en ese instante menos los costes invertidos). e) Cuándo deben vender la ternera para obtener la máima ganancia? 30. Se pretende fabricar una lata de conservas cilíndrica (con tapa) de l de capacidad. Cuáles deben ser sus dimenones para que se utilice el mínimo de metal poble? 3. Una fábrica elabora un producto de dos calidades distintas: toneladas de baja calidad e y toneladas de alta calidad, endo (8-5)/(0-). Hallar la cantidad de toneladas del producto de baja calidad que ha de producir para obtener ingresos máimos el precio por tonelada de éste es la mitad que el de alta calidad. 3. Un triángulo isósceles tiene su lado degual de longitud cm y la altura sobre dicho lado es 5 cm. Determina los puntos sobre esa altura tales que la suma de sus distancias a los tres vértices sea máima y mínima respectivamente. 33. Encuentra k, para que la función f() = k, tenga en =, una recta tangente que forme un ángulo de 45º con el eje de abscisas. Ejercicios de optimización º y º de Bachillerato Página 3

4 34. Halla a para que la función y=a ++3 tenga en = una recta tangente que forme un ángulo de 45º con el eje de abscisas. 35. Halla los puntos de la función 3-3 +, en los cuales la tangente es paralela a la recta y= La curva a +b+c pasa por el punto P(,5), y es tangente en el punto (0,) a la bisectriz del primer cuadrante. Halla la ecuación de la curva. 37. En qué puntos del intervalo (0,5) la tangente a la curva arctg() es paralela a la recta -37y= En qué puntos de la curva la recta tangente forma un ángulo de 35º con la parte potiva del eje de abscisas? 39. Halla el valor de a para que la función y= -a+ tenga un mínimo en =. 40. Halla a, b, c y d para que la función f()=a 3 +b +c+d tenga un máimo en el punto (0,) y un mínimo en (,). 4. Halla el valor de a para que la función y= ++a tenga un mínimo en =. 4. Halla b, c y d para que la función 3 +b +c+d tenga un etremo en (,0) y un punto de infleión en =. 43. Encuentra k, para que la función f() = 3 - k + 3, tenga en = por recta tangente y= Halla los puntos de la función 3-3 +, en los cuales la tangente es paralela a la recta y= La curva a +b+c pasa por el punto P(,8), y tiene un mínimo en =(0,5). Halla la ecuación de la curva. 46. Halla la ecuación de las rectas tangentes a las curvas: a) y=.e en = b) y=sen en = π/4 47. En qué puntos del intervalo (0,5) la tangente a la curva arctg() es paralela a la recta -7y+34= En qué puntos de la curva -3 la recta tangente forma un ángulo de 45º con la parte potiva del eje de abscisas? 49. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y= en su punto de infleión. 50. Hallar el valor de a para que la función y= -a+ tenga un mínimo en =. 5. Hallar el valor de a para que la función y= ++a tenga un mínimo en =-. Ejercicios de optimización º y º de Bachillerato Página 4

5 5. Hallar a, b, c y d para que la función f()=a 3 +b +c+d tenga un máimo en el punto (0,) y un mínimo en (,). 53. Hallar b, c y d para que la función 3 +b +c+d tenga un etremo en (,0) y un punto de infleión en =. 54. Representa las guientes funciones: ln( ) ln e Ejercicios de optimización º y º de Bachillerato Página 5

6 55. Estudia la continuidad de las guientes funciones: i()= 3 e cos - - < < 0 0 j()= - - = k()= - - > l()= 56. Hallar m y n para que sea continua la función: 0 + sen m()= 3 = 0 = 0 f()= sen m + n < 0 0 > 57. Probar que la ecuación 3-3-=0 tiene por lo menos una raíz real en el intervalo (,). 58. Comprueba que la función f()= +- corta al eje de abscisas en algún punto de [0,], se puede decir lo mismo de la función f() = ( 3-3)/(-)? 59. La función sec() toma valores de distinto gno en los etremos del intervalo [0,π] y, n embargo, no se anula en él, contradice esto el teorema de Bolzano? 60. Estudia la derivabilidad de las funciones: a) f()= + 0 sen > 0 b) g() = - 6. Calcula "a" y "b" para que la función f sea derivable en todo R. f()= a + +b - 4 > 6. Estudia la continuidad y derivabilidad de las guientes funciones: a) < 0 f() = > 3 b) f()= = 63. Comprueba que la ecuación = 0 tiene una solución en el intervalo [0,] 64. Satisface la función f()=- - las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-,]? Y la función 3? Ejercicios de optimización º y º de Bachillerato Página 6

7 65. Indicar las funciones f y g verifican las hipótes del teorema del valor medio (de Lagrange) y, en caso afirmativo, encontrar los puntos intermedios cuya eistencia asegura el teorema: a) f() = -+ en [0,]. b) g() = ln en [,e] 66. La función f() = 3-9+ cumple el teorema de Rolle en el intervalo [0,b]. Cuál es el valor de b? Hallar el punto intermedio cuya eistencia asegura el teorema. 67. Estudia las guientes funciones cumplen las hipótes del teorema del valor medio. En caso afirmativo calcula el punto que dice el teorema que tiene que eistir: a) f() = + en [0,3] b) g()= sen π en 0, 68. Cumple la función f() = -4 el teorema de Rolle en el intervalo [,3]? 69. La función cumple el teorema del valor medio en el intervalo [4,6]? Y en el intervalo [-,]? 70. Cumple el teorema del valor medio la función: f()= - < en [,6]? 7. Comprobar f()=-+ cumple el teorema de Rolle en el intervalo [0,]. 7. Comprobar f()= - + cumple el teorema de Rolle en el intervalo [-,]. 73. Comprobar la función intervalo [-,]. f()= < Probar que la ecuación 3-3-=0 corta al eje X en el intervalo (,3). 75. Cumple la función cumple el teorema de Bolzano en el - f()= el teorema de Bolzano en el intervalo [0,4] Hallar a y b para que sea continua la función: f()= a 3a - b < > 77. Estudia la derivabilidad de las funciones: a) f()= + + > b) g() = - 4 c) h() = + - Ejercicios de optimización º y º de Bachillerato Página 7

8 78. Calcula "a" y "b" para que la función f sea derivable en todo R. f()= a +b b + - > 79. Estudia la continuidad y derivabilidad de las guientes funciones: - a) f() = + + < - - > b) f()= Comprueba que la ecuación 3 -- = 0 tiene una solución en el intervalo [0,] < 8. Satisface la función f()= - las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-,]? Y la función f()= < en [-,3]? 8. Indicar las funciones f y g verifican las hipótes del teorema del valor medio (de Lagrange) y, < > en caso afirmativo, encontrar los puntos intermedios cuya eistencia asegura el teorema: a) f() = +3 en [0,]. b) g() = arctg() en [0,π/4] 83. La función f() = 3-3+ cumple el teorema de Rolle en el intervalo [,b]. Cuál es el valor de b? Hallar el punto intermedio cuya eistencia asegura el teorema. 84. Estudia las guientes funciones cumplen el teorema de Rolle en el intervalo que se indica. En caso afirmativo halla el punto en que se anula la derivada: - < a) f()= en [-,3] ; b) g()= 3 en [-,] - + Ejercicios de optimización º y º de Bachillerato Página 8

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