2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2

Transcripción

1 Unidad. Derivadas Resuelve Página 0 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de flas cada décima de segundo (0, s) durante cuatro segundos. Esta es la fotografía a tamaño real:. Aproima la velocidad de la partícula en el instante t s allando su velocidad media en los intervalos [;,5] y [;,]. Para ello, toma medidas sobre la fotografía.. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dica partícula: s (t 8t + 8t ). Halla aora las velocidades medias en los intervalos [;,00] y [;,00000] tomando de nuevo valores sobre la ecuación del movimiento de la partícula. Podemos considerar que esta última velocidad media es muy parecida a la velocidad instantánea en t s?. La distancia que separa los puntos en los instantes t y t,5 es de,5 mm, luego la velocidad es:, 5 5 mm/s 0,05 m/s 05, La distancia que separa los puntos en los instantes t y t, es de,5 mm, luego la velocidad es: 5, mm/s 0,05 m/s 0,. s _ ( ) b, 8 8 v, s ` 56 ( 5, 8, 5 8, 5 ) 8, 05, + b a s, 8, s 7 v (, 77 8, 8, ) 7, 0 +,. s s, v, (, , 00 8, 00 + ), , 00 s s 5, v (, , , ), , Sí podemos considerar que esta última velocidad es muy parecida a la velocidad instantánea en t s porque el intervalo de tiempo transcurrido es tan solo una millonésima de segundo.

2 Unidad. Derivadas Medida del crecimiento de una función Página 0 Hazlo tú. Halla la T.V.M. de y en [, ], [, 5] y [, 0]. T.V.M. [, ] T.V.M. [, 5] T.V.M. [, 0] f( ) f( ) 0 f( 5) f( ) 0 5 f( 0) f( ) Verdadero o falso? a) La T.V.M. mide el crecimiento medio de una función en un intervalo. b) Si f es creciente en [a, b], su T.V.M. en ese intervalo es positiva, y si es decreciente, su T.V.M. es negativa. c) Si la T.V.M. de f en [a, b] es 0, significa que f es constante en [a, b]. a) Verdadero. b) Verdadero. El signo de la T.V.M. depende solo del signo del numerador. Si f es creciente f (b ) > f (a), luego el numerador es positivo. Si f es decreciente, f (b ) < f (a), luego el numerador es negativo. c) Falso. Solo podemos afirmar que f (a) f (b ). Esto no quiere decir que sea constante. Halla la T.V.M. de la función y 8 + en los siguientes intervalos: [, ], [, ], [, ], [, 5], [, 6], [, 7], [, 8] T.V.M. [, ] T.V.M. [, ] T.V.M. [, ] T.V.M. [, 5] T.V.M. [, 6] T.V.M. [, 7] T.V.M. [, 8] f( ) f( ) f( ) f( ) 5 f( ) f( ) 5 f( 5) f( ) 5 5 f( 6) f( ) f( 7) f( ) f( 8) f( ) 5 8 7

3 Unidad. Derivadas Halla la T.V.M. de y 8 + en el intervalo variable [, + ]. Comprueba que, dando a los valores adecuados, se obtienen los resultados del ejercicio anterior. T.V.M. [, + ] f( + ) f( ) ( + ) 8( + ) ( 6) 6 Dando a los valores,,,, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior. Página 0 En la gráfica, en verde, de la función y f () adjunta, se an señalado cinco puntos: A, B, C, D y E. En cada uno de ellos está trazada la recta tangente, cuya pendiente se puede calcular. y f () B C A D E Epresa los resultados utilizando epresiones del tipo: f '(a) Por ejemplo, para el punto B : f '( ) punto pendiente A f ' ( 8) B f ' ( ) C f ' () D f ' (5) E f ' (0)

4 Unidad. Derivadas Obtención de la derivada a partir de la epresión analítica Página 05 Hazlo tú. Halla la derivada de y en los puntos de abscisas, y 5. f( + ) f( ) f '() " 0 f( + ) + f( ) f( + ) f( ) ( ) f( + ) f( ) f '() 0 " f( + ) f( ) f '( ) " 0 f( + ) + f( ) f( + ) f( ) ( ) f( + ) f( ) f '( ) 0 " f( 5+ ) f( 5) f '(5) " 0 f( 5+ ) f (5) 5 f (5 + ) f (5) + + f( 5+ ) f( 5) + + f '(5) c m " 0 +

5 Unidad. Derivadas Hazlo tú. Halla la derivada de y + 7 en los puntos de abscisas 0,,,, y 5. f ( + ) ( + ) + 7( + ) f ( + ) f () e + 7o f ( + ) f () f ( + ) f () f '() " 0 c+ + " 0 7 m + 7 f '(0) f '() f '() 9 f '() 0 f '() f '(5) Verdadero o falso? a) La derivada de una función, y f (), en a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. b) f ' () 0 significa que la tangente a la gráfica de y f () en es paralela al eje. c) Si f ' () > 0, entonces f es creciente en el punto de abscisa. a) Verdadero. b) Verdadero. La pendiente de la recta tangente en es cero, luego la recta es orizontal. c) Verdadero, debido a la inclinación de la recta tangente a f en ese punto. Halla la derivada de y en el punto de abscisa. f ( + ) f ( ) f '( ) " 0 f ( + ) f ( ) ( + ) f ( + ) f ( ) f '( ) " 0 " 0 " 0 Halla la derivada de y + en los puntos de abscisas, 0, y 7. Eplica por qué obtienes en todos los casos el mismo resultado. f( + ) f( ) f ' ( ) " 0 f ( + ) f ( ) ( + ) f '( ) 0 " f( ) f( 0) f ' (0) " 0 f () f (0) + f '(0) " 0 5

6 Unidad. Derivadas f( + ) f( ) f ' () " 0 f ( + ) f () ( + ) + ( ) f '() " 0 f( 7+ ) f( 7) f ' (7) " 0 f (7 + ) f (7) (7 + ) + ( 0) + f '(7) 0 " Como la función es una línea recta, crece o decrece siempre de la misma forma y al ser la derivada una forma de medir el crecimiento de una función, esta debe valer lo mismo en todos los puntos. Halla la derivada de y 5 + en los puntos de abscisas,, 0,,,,, 5 y 6. Calculamos la derivada de forma general y la evaluamos en cada uno de los puntos pedidos. f ( + ) f () f '() " 0 f ( + ) f () ( + ) 5( + ) + ( 5 + ) f '() " ( + 6 5) 6 5 " 0 f '( ) 7 f '( ) f '(0) 5 f '() f '() 7 f '() f '() 9 f '(5) 5 f '(6) 6

7 Unidad. Derivadas Función derivada de otra Página 06 Verdadero o falso? Las rectas tangentes en un punto cualquiera, 0, a las gráficas de y f () e y f () + 5 son paralelas. Eso significa que las dos funciones tienen la misma función derivada. y f () + 5 y f () 0 Verdadero, porque al ser paralelas las rectas tangentes en cualquier punto, deben tener la misma pendiente en todos los puntos. Halla la derivada de f () ( ) () + f+ f ( )( ) + + f ( + ) f () f '() " 0 f '() f '( ) f ' () f '(5) y, a partir de ella, calcula f ' (), f ' ( ), f ' () y f ' (5). " 0 ( + )( ) ( ) ( + )( ) Halla la función derivada de f () y calcula las pendientes de las rectas tangentes a la curva en los puntos de abscisas y 7. f ( + ) f () + ( + )( + + ) ( + + ) + ( ) ( + + ) + + f ( + ) f () f '() " 0 f ' () " f '(7) Halla la función derivada de f () +. f ( + ) f () ( + ) + ( + ) ( + ) f ( + ) f () f '() " 0 lm( ) + í " 0 7

8 Unidad. Derivadas Página 07 5 En la fórmula que sirve para allar la ecuación de la tangente a la curva y f () en un punto y f (a) + f ' (a)( a) di el papel que desempeña cada una de las letras que intervienen. La es la variable independiente, de qué función? a es la abscisa del punto en el que se alla la recta tangente. f (a) es la ordenada de dico punto. f ' (a) es la pendiente de la recta tangente o, también, la derivada de la función en el punto de abscisa a. es la variable independiente de la recta tangente. y es la variable dependiente de dica recta. 8

9 Unidad. Derivadas Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones Página 08 Calcula: a) D ( 5 ) b) D c m c) D ` j d) D ` j e) D f a) D ( 5 ) 5 p b) D D ( ) c m c) D` j D ( / ) ( /) / d) D` j D ( / ) ( /) / e) D D / / f p e o D ` 56 / j 5 ( 56 /) Página 0 Hazlo tú. Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f () b) g () 5 c) () a) f '() / / b) g () 5 5 g '() 5 / 5 / c) () / / ' () c m 7 / 7 / Hazlo tú. Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f () 5 b) g () a) f () ( 5 ) c) () + 5 f ' () b) g ' () 65 ln 65 ln ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 9+ 9 ( 5 + ) 8+ 8 ( + ) ( + ) ( + ) c) () 5 + ' () 5 + 9

10 Unidad. Derivadas Halla la función derivada de las siguientes funciones: f () f ' () f () e f () e / e f '() c / e+ / em c e+ em e c + m f () e cos + f () e cos f ' () 5 f () tg ( e cos e sen ) e cos ln e cos e sen e cos ln ( ) e ( cos sen ln cos ) f '() tg + ln tg + cos 6 f () log f ' () lon log ln ln ln log ln 7 f () + 5 f () f '() ( ) f () f ' () + ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) 9 f () (arc sen )( + ) f '() ( + ) ( arc sen) f () f ' () arc sen cos + arc sen cos ( arc sen)( sen) cos cos + ( arc sen) sen cos cos cos 0 + ( arc sen sen ) cos

11 Unidad. Derivadas f () 5 f () 5 f ' () ln 5 5 ln 5 Página Halla la función derivada de las siguientes funciones: f () sen ( 5 + 7) f ' () ( 5) cos ( 5 + 7) f () ( 5 + ) (5 + ) / f '() ( 5 + ) / f () sen b + π l Z ( ] )' D sen π ] e b + lo ( sen )' cos [ b + π ] l' \ f '() senb+ πlcosb+ πl 6sen b+ πlcos b+ πl También, usando la fórmula del seno del ángulo doble, podríamos dar el resultado de esta otra manera: f '() sen b + πl cos b + π l sen ( 6 + π) sen 6 5 f () log f () log 8 f ' () ( ln0 log ) ln0 6 f () cos ( π) f ' () sen ( π) 7 f () + f ' () + 8 f () e f '() e + e e ( + ) + sen( ) 9 f () cos ( + ) + [ sen( + )]/ f '() ( ) cos ( + ) + sen( + ) ( )

12 Unidad. Derivadas 5 Utilidad de la función derivada Página Hazlo tú. Halla las rectas tangentes a y paralelas a y. Buscamos las rectas de pendiente : f () 8 f ' () La ecuación f ' () nos proporciona las abscisas de los puntos en los que las rectas tangentes son paralelas a la recta dada. f ' () , 8 f c m c m c m 5 8 Recta tangente y c m 5 8 y f () 8 Recta tangente y ( ) 8 y 7 Página Hazlo tú. Halla los puntos singulares de y + y determina los intervalos donde crece o decrece. Resolvemos la ecuación f ' () 0: f ' () 6 6 f ' () , f () ( ) ( ) ( ) (, 0) es un punto singular. f () (, 7) es otro punto singular. Teniendo en cuenta las ramas infinitas: f () "+ f () " ( + ) + "+ ( + ) " Tenemos que los intervalos (, ) y (, + ) son intervalos de crecimiento. En el intervalo (, ) la función decrece. Página Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y en los puntos de abscisa, 0 y. f () f ' () f ( ) 6 f ' ( ) 6 La recta tangente en es y 6( + ) + 6, es decir, y 6. f (0) f ' (0) La recta tangente en 0 es y ( 0), es decir, y. f () 9 f ' () 0 La recta tangente en es y 0( ) + 9, es decir, y 0 5.

13 Unidad. Derivadas Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y + cuya pendiente sea. Para que la pendiente de la recta tangente sea, debe ser f ' (). f ' () + f ' () ( ) 0 8 0,, son las abscisas de los puntos en los que la pendiente es. 0 8 f (0) 0 8 La recta tangente es y. 8 f () 8 La recta tangente es y ( ) +, es decir, y. 8 f ( ) 0 8 La recta tangente es y ( + ) 0, es decir, y. Halla el valor máimo de la función y + + en el intervalo [0, ] y en el intervalo [ 5, ]. Halla el mínimo en cada uno de esos intervalos. Calculamos primero los puntos singulares de la función: f ' () + f ' () , En el intervalo [0, ] evaluamos: f (0) f () 9 f () El máimo se encuentra en y vale 9. El mínimo se encuentra en 0 y vale. En el intervalo [ 5, ] evaluamos: f ( 5) 68 f ( ) f () 9 f () El máimo se encuentra en 5 y vale 68. El mínimo se encuentra en y vale. Halla los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital: a) 5+ 6 " + 0 b) 5 " 0 tg c) " + log a) 5+ 6 " + 0 c0 m 5 0 " + 7 b) 5 " 0 tg c0 m 5 0 " 0 ( tg ) + 5 c) "+ log + + "+ ln 0 "+ 0 ln 0

14 Unidad. Derivadas 6 Representación de funciones Página 6 Representa estas funciones: a) y + 8 b) y c) y + a) f '() , Máimo en (, 5). Mínimo en (, ) b) f '() ( 6) 0 0 ± + ± 5 Máimo en (, 6) y en (, 99). Mínimo en (0, 90). c) f '() + 0 ( + ) 0 Mínimo en (, 7). Punto de infleión en (0, 0). f () ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) Página 8 Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la página anterior: a) y d) y + a) f ' () b) y + + e) y + f ) y ( + )( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) , ( ) + Máimo en (, 5). Mínimo en (, 7). Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y + c) y

15 Unidad. Derivadas b) f ' () ( + )( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y + c) f ' () ( + ) + 8 ( + ) ( + ) ( + ) 0 Mínimo en (0, 0). Asíntota orizontal: y d) f '() 8 0 ( + ) Máimo en (0, ). Asíntota orizontal: y 0 ( ) ( + )( ) e) f '() + + ( ) ( ) ± + 07, 0 8 ( ), 7 Máimo en (0,7;,7). Mínimo en (,7; 0,7). Asíntotas verticales: 0, Asíntota orizontal: y f) Dominio Á {0} Asíntota vertical: _ b 8 0 b ` 8 0+ b a Asíntota orizontal: y 0 es asíntota vertical ; y es asíntota orizontal Cuando 8, y < ; y cuando 8 +, y <. Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares: f ' () ( ) + f ' () 0 8 f () no tiene puntos singulares Observamos que f ' () < 0 si < 0; y que f ' () > 0 si > 0. Luego la función es decreciente en (, 0) y es creciente en (0, + ). Corta al eje en (, 0) y (, 0) y 5

16 Unidad. Derivadas Ejercicios y problemas resueltos Página 9. Función derivada a partir de la definición Hazlo tú. Dada f (), alla f '() aplicando la definición. + f ( + ) f () + ( )( ) ( ) ( + + )( + ) ( + + )( + ) ( + + )( + ) f ( + ) f () f '() " 0 ( + + )( + ) " 0 " 0 ( + + )( + ) ( + ). Reglas de derivación Hazlo tú. Halla f '() siendo: f () ln + c m f () ln + [ ln( + ) ln )] f '() c m + ( + ). Ecuación de la recta tangente en un punto Hazlo tú. Halla la ecuación de la recta tangente a f () tg en f c π m tg π f ' () + tg 8 f ' c π m (pendiente de la recta tangente). π. La ecuación de la recta tangente en π es y c π m, es decir, y π Página 0. Recta tangente paralela a una recta Hazlo tú. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f () que sea paralela a la recta y Despejando y en la ecuación de la recta dada, podemos obtener su pendiente. y La pendiente de la recta es. Las abscisas de los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta anterior son las soluciones de la ecuación f ' (). f ' () es el punto en el que la tangente y la recta dada son paralelas. Finalmente, como f (), la recta buscada es y ( ), es decir, y. 6

17 Unidad. Derivadas 5. Puntos de tangente orizontal Hazlo tú. Halla los puntos singulares de la función f () 6 y di si son máimos o mínimos. Hallamos las abscisas de los puntos singulares resolviendo la ecuación f '() : f '() , Calculamos las ordenadas de estos puntos: f (0) 0 f () Los puntos singulares son (0, 0) y (, ). Ramas infinitas: ( 6 ) + 8 (, ) es un mínimo. "+ ( 6 ) 8 (0, 0) es un máimo. " 6. Coeficientes de una función que tiene puntos singulares Hazlo tú. Halla b y c de modo que la función f () + b + c pase por (, 0) y f '() 5. Si f pasa por (, 0), entonces f () 0. + b + c 0 8 c 0 f '() + b f '() b 5 8 b Página 7. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento Hazlo tú. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f (). Dom Á {} f ' () ( ) ( ) ( ) ( ) f '() 0 8 ( ) , Estudiamos los signos de f dentro del dominio de definición en los intervalos cuyos etremos son los puntos singulares. f ' < 0 f ' >0 f ' > 0 f ' < 0 0 Por tanto, f crece en (0, ) (, ) y decrece en (, 0) (, + ). 8. Problema de optimización Hazlo tú. De todos los rectángulos de 6 m de perímetro, alla las dimensiones del que tiene la mayor superficie. Llamamos b y a la base y a la altura del rectángulo, respectivamente. Como el perímetro es 6, se tiene que b b 7

18 Unidad. Derivadas Buscamos el rectángulo de área máima: A b b (8 b) Hallamos los puntos singulares: A' 0 8 A' 8 b 0 8 b 9 Estudiamos si el valor obtenido es un máimo: A' > 0 A' < Por tanto, para b 9 el área es máima. Calculamos : y obtenemos el área máima A 8 m. Página 9. Estudio y representación de una función polinómica Hazlo tú. Estudia y representa esta función: f () + ( ) Por ser una función polinómica, su dominio es, es continua y no tiene asíntotas. Ramas infinitas: [ + ( ) ] + "+ " [ + ( ) ] Puntos singulares: f ' () ( ) f ' () 0 8 ( ) 0 8 Como f (), el punto (, ) es el único punto singular. Crecimiento y decrecimiento: Como f ' () ( ) > 0 para todo, la función crece a ambos lados de y no es ni máimo ni mínimo. Cortes con los ejes: 0 8 y 6 y ( ) 0 8 ( ) 8 Gráfica:

19 Unidad. Derivadas 0. Estudio y representación de una función racional Hazlo tú. Estudia y representa esta función: f () + 8 La función no está definida en 0 8 Dom {0} Asíntota vertical: 0 Posición: Si 8 0, f () 8 Si 8 0 +, f () 8 + Asíntotas orizontales y oblicuas: Como el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, tiene una asíntota oblicua. Dividimos: f () La asíntota es y Posición: Si 8, f () y 8 < 0. Curva bajo la asíntota. Si 8 +, f () y 8 > 0. Curva sobre la asíntota. Puntos singulares: f '() 8 f '() , f ( ) 8, f () 8. Por tanto, (, 8) y (, 8) son los puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: Cortes con los ejes: No corta al eje O. y 0 8 Gráfica: y 8 f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > No tiene solución (no cota al eje O)

20 Unidad. Derivadas Página. Función derivada de funciones definidas a trozos Hazlo tú. Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f () si < 5 si * si < b) g () ) + si a) Llamamos f () y f () 5 Ambas funciones son continuas. f ( ) Como ambas coinciden, la función es continua en. f ( ) 5 f () ' 8 f' ( ) Como coinciden, la función es derivable en y f '(). f ' () 8 f' ( ) La función derivada es f ' () si < si b) Llamamos g () y g () + Ambas funciones son continuas. * g( ) ( ) g ( ) ( ) Como ambas coinciden, la función es continua en. + g' () 8 g' ( ) Como son distintas, la función no es derivable en. g' () 8 g' ( ) si < La función derivada es g '() * si > Página. Parámetros para que una función sea continua y derivable Hazlo tú. Calcula a y b para que las siguientes funciones sean derivables en los puntos que se indican: + a) f () a si * en. b si > b) g () a si < ) en. + b si a) Llamamos f () a + y f () b. Ambas funciones son continuas. Para que f () sea continua en, se debe cumplir que f () f (). f( ) a+ Por tanto: a + 8 b f ( ) 8 b 0

21 Unidad. Derivadas Para que f () sea derivable en, se debe cumplir que f ' () f ' (). f' () a 8 f' ( ) a Luego a f' () 8 f' ( ) Resolvemos el sistema resultante: a+ 8 b 8 a, b a b) Llamamos g () a y g () + b Ambas funciones son continuas. Para que g() sea continua en, se debe cumplir que g ( ) g ( ). g( ) a + Por tanto: a + 9 b g ( ) 9 b Para que g() sea derivable en, se debe cumplir que g' ( ) g' ( ). g' () 8 g' ( ) Luego 6 + b g' () + b 8 g' ( ) 6 + b Resolvemos el sistema resultante: a+ 9 b 6+ b 8 a 9, b 5

22 Unidad. Derivadas Ejercicios y problemas guiados Página 5. Derivadas sobre la gráfica Observando la gráfica de esta función y f (): 6 8 a) Hallar el valor de f '( ), f '(), f '(6). b) Para qué valores de es f '() < 0? a) f '( ) 0 porque es constante en las proimidades de. f '() 0 porque en ay un mínimo. f '(6) 5 porque la gráfica es la recta y con pendiente 5. b) f '() < 0 en (, ) (5, + ) porque la función es decreciente en estos intervalos.. Función polinómica Representar una función polinómica sabiendo que lím " ± f (), que sus puntos de tangente orizontal son (0, ) y (, ), y que corta al eje solo en y en 5.. Triángulo rectángulo de área máima De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman m, allar las dimensiones del que tiene el área máima. Supongamos que a y b son los catetos del triángulo rectángulo: a + b 8 b a. El área del triángulo es el semiproducto de la base por la altura, luego: ( ) A ab a a Para allar el área máima, calculamos los puntos singulares: A' 0 8 A' 6 a 0. Veamos si a 6 es un máimo: A' > 0 A' < En efecto, lo es. Por tanto, si a 6 y b 6 6, se obtiene el triángulo rectángulo de área máima. La ipotenusa es

23 Unidad. Derivadas. Gráfica de la función derivada Esta es la gráfica de f ', función derivada de f. a) Obtener f '(0), f '() y f '(). b) Tiene f algún punto singular? c) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de f. a) f ' (0) f ' () 0 f ' () b) En se anula la derivada primera. Además, esta es negativa a la izquierda de y positiva a la dereca. Por tanto, la función pasa de decreciente a creciente en y este punto es un mínimo. c) La función decrece en (, ) y crece en (, + ). f ' 5. Regla de la cadena Si f (), f '(), g(), g'(), cuál es la ecuación de la tangente a y g[f()] en? g [ f ()] g () D [g [ f ()]] g' [ f ()] f '() g' () f '() ( ) La ecuación de la recta tangente es y ( ) +, es decir, y +.

24 Unidad. Derivadas Ejercicios y problemas propuestos Página 6 Para practicar Tasa de variación media Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [, ] e indica si dicas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f () / b) f () ( ) c) f () + d) f () T.V.M. [, ] a) T.V.M. [, ] b) T.V.M. [, ] c) T.V.M. [, ] d) T.V.M. [, ] f( ) f( ) f( ) f( ) / 8 Decrece 8 Decrece 7 8 Crece 8 8 Crece a) Halla la T.V.M. de las funciones f () + 5 y g () en el intervalo [, + ]. + b) Calcula la T.V.M. de esas funciones en el intervalo [;,5] utilizando las epresiones obtenidas en el apartado anterior. a) Para la función f (): f( + ) f( ) ( + ) + 5( + ) T.V.M. [, + ] Para la función g (): g( + ) g( ) ( ) T.V.M. [, + ] b) Para la función f (): T.V.M. [;,5] 0,5,5 Para la función g (): T.V.M. [;,5] 0, 5+ 5 Compara la T.V.M. de las funciones f () y g () en los intervalos [, ] y [, ], y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f (): T.V.M. [, ] 9 T.V.M. [, ] 7 Para g (): T.V.M. [, ] 8 T.V.M. [, ] 5 En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g ().

25 Unidad. Derivadas Esta gráfica muestra la longitud de un feto durante el embarazo. Estudia el crecimiento medio en los intervalos [5, 5] y [0, 0] y di en qué periodo es mayor el crecimiento: T.V.M: [5, 5] T.V.M. [0, 0] f( 5) f( 5) 7,5 cm/semana 0 0 f( 0) f( 0) 5,7 cm/semana 0 0 El crecimiento medio es mayor entre las semanas 0 y LONGITUD (cm) 5 0 TIEMPO (semanas) Definición de derivada 5 Halla la derivada de las siguientes funciones en, utilizando la definición de derivada: a) f () b) f () ( + ) c) f () / d) f () /( + ) f( + ) f( ) a) f '() " 0 " 0 (+ ) " 0 (+ + ) " 0 f( + ) f( ) b) f '() " 0 ( + 6) " 0 6 ( ( + ) + ) 9 " 0 ( + ) 9 " " 0 f( + ) f( ) c) f '() " 0 ( + ) " 0 /( + ) " 0 " 0 ( + ) f( + ) f( ) d) f '() " 0 ( + + ) " ( + ) " 0 6 " 0 9 ( + ) 6 " 0 9( + ) 7 6 Aplica la definición de derivada para allar la pendiente de la tangente en de las curvas f () y g (). 7 f( + ) f( ) ( + ) ( + ) 8 + f( + ) f( ) f '() " 0 ( ) 0 " 0 ( ) g( + ) g( ) + ( + ) 7 g( + ) g( ) g' () " 0 " 0 5

26 Unidad. Derivadas 7 Observa la gráfica de f en la que se an trazado las tangentes en, f 0 y y responde. 6 a) Cuál es el valor de f '( ), f '(0) y f '()? b) En qué puntos es f '() 0? c) En, la derivada es positiva o negativa? en? a) f ' ( ) f ' (0) b) En y. f ' () c) En la derivada es positiva porque la pendiente de la tangente lo es. Análogamente, la derivada en es negativa. 8 Halla la función derivada de las siguientes funciones, aplicando la definición: a) f () ( 5 ) b) f () + 7 c) f () 5 d) f () a) f ( + ) f () f ( + ) f () f '() " 0 5( + ) " b) f ( + ) f () ( + ) + 7( + ) ( + 7 ) f ( + ) f () f '() " ( + + 7) + 7 " c) f ( + ) f () ( + ) 5( + ) ( 5) f ( + ) f () f '() " ( + + 5) 5 " 0 d) + f ( ) f () + + ( + ) ( + )( ) ( + ) f ( + ) f () f '() " 0 + ( + ) ( + ) ( + ) " 0 ( + ) 6

27 Unidad. Derivadas Reglas de derivación 9 Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f () + 7 b) f () cos ( + π) c) f () e) f () g) f () + d) f () f ) f () sen i) f () tg a) f ' () b) f () cos f ' () ( sen ) 6sen c) f '() + + d) f ' () ( + ) + ( + ) ( + ) ) f () ln + e j) f () arc sen e) Teniendo en cuenta que : f ' () 0 ( 7 + ) ( 7 + ) ( 7 + ) 6 f) f '() sen + cos sen + cos g) f () ( ) / f '() ( ) / ( ) ) f () ln + ln + e f '() + e ( ) e i) f ' () + tg o también f ' () cos j) f ' () ( ) 7

28 Unidad. Derivadas 0 Aplica las reglas de derivación y simplifica si es posible. a) f () (5 ) b) f () + c m c) f () ( 6 ) d) f () e + e e e) f () f ) f () b l + e g) f () cos ) f () tg i) f () 7 ln j) f () arc tg a) f ' () (5 ) 5 5(5 ) b) f () f ' () c + m 8 ( )( ) c m c 8 m e o e o c) f () (6 ) / f '() ( 6 ) / ( ) 6 6 d) f () + e ( e ) + e e f ' () e ( ) e e) f '() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + f) f '() e + + e + e ( + ) g) f '() cos + cos ( sen) [ cos cos sen] [ cos sen 6] ) f '() tg ( + tg ) 6tg ( + tg ) i) f () 7 ln f '() 7 7 ln ln j) f '() b l 8

29 Unidad. Derivadas Deriva las siguientes funciones: a) f () arc cos e b) f () log (sen ) c) f () sen + e cos d) f () e) f () e sen ln tg f ) f () cos (ln ) g) f () + ) f () arc tg i) f () 7 + cos j) f () e e e + e a) f '() arccos e ( e) e e arccos e( e ) + / b) f () ln ln ln + c m + + f ' () + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) c) f ' () sen cos + e cos ( sen ) sen sen e cos d) f () / f ' () ln ln / / ln ( ) + e) f '() esen cos ln tg + esen esenccos ln tg + m tg cos sencos f) f '() ( ln ) [ sen( ln )] sen g) f '() + + e + o ) f ' () + c m + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) + + i) f '() 7 ln 7 sen + cos ln 7 7 sen + cos ( ) j) f () f ' () e ( e ) e e( + e ) + e e ( )( + e ) ( e ) e ( ) e ( + e ) + e ( e ) e ( + e ) ( + e ) ( + e ) 9

30 Unidad. Derivadas Aplica las propiedades de los logaritmos antes de aplicar las reglas de derivación, para obtener la derivada de estas funciones: a) f () ln + b) f () ln d) f () log ( 5 ) a) f () ln ( + ) ln ( ) + c) f () ln ( e ) e) f () log (tg ) f ) f () log f '() + b) f () [ ln ln ( )] + f ' () < F + G c) f () ln + ln e ln f '() d) f () log ( 5) log f '() < 9 F 5 ln0 ln0 ln ln0 ( + 5 ) ln0 ( 5 ) e) f () log (tg ) tg ( tg ) f '() + + tg ln0 tg ln0 f) f () ln f '() ln + ln + e Página 7 Recta tangente y recta normal Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la función f en el punto de abscisa indicado en cada caso. a) f () en b) f () + en c) f () e) f () sen + π b l en π a) f ' () 5 f () 0 f ' () en d) f () ln en e La recta tangente es y ( ) + 0, es decir, y + La recta normal es y ( ) + 0, es decir, y 0

31 Unidad. Derivadas b) f ' () f () f ' () + La recta tangente es y ( ) +, es decir, y La recta normal es y ( ) c) f '() 6 ( ) f ( ) f ' ( ) ( ) +, es decir, y + / La recta tangente es y 8( + ), es decir, y 8 La recta normal es y d) f ' () f (e ) f ' (e ) e ( + ), es decir, y La recta tangente es y e ( e ) +, es decir, y + e La recta normal es y e) f '() cosb+ π l ( e ) +, es decir, y e + e / e f bπ l f ' π b l La recta tangente es y b π l+ La recta normal es y π b l +, es decir, y b π l+ / Halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente a cada una de las siguientes funciones es igual a : a) y b) y + c) y + d) y ln ( ) a) f ' () f ' () 8 8 ( + ) b) f '() ( + ) ( + ) f '() 8 8 ( + ) 8 ( + ),

32 Unidad. Derivadas c) f ' () + f ' () 8 d) f ' () f ' () Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta tangente a f, que sea paralela a la recta dada. a) f () + + paralela a + y + 0 b) f () paralela a y c) f () + paralela a 5 y 0 a) + y y Por tanto, la recta tangente debe tener pendiente para que sea paralela. f ' () + f ' () f ( ) y la recta tangente es y ( + ). b) La recta tangente debe tener pendiente 6 para que sea paralela. f ' () f ' () , Si 8 f ( ) 0 La recta tangente en es y 6( + ) Si 8 f ( ) 0 La recta tangente en es y 6( ) c) 5 y 0 8 y 5 Por tanto, la recta tangente debe tener pendiente 5 para que sea paralela. f ' () ( + ) ( ) 5 ( + ) ( + ) f '() ( + ) Si 8 f ( ) 5 8 ( + ) 8, La recta tangente en es y 5( + ) Si 8 f ( ) 6 La recta tangente en es y 5( + ) Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a la función y en los puntos de corte con el eje de abscisas. Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen aciendo y 0. y , f ' () Si 8 f ' ( ). La recta tangente en es y ( + ) Si 8 f ' (). La recta tangente en es y ( )

33 Unidad. Derivadas 7 Obtén los puntos donde la recta tangente es orizontal y escribe su ecuación. a) y + 5 b) y + c) y d) y e) y + f ) y + Los puntos donde la recta tangente es orizontal son aquellos en los que f ' () 0. a) f ' () 6 f ' () f c m c m + 5 La ecuación de la recta tangente es y b) f ' () 6 6 f ' () , f (0) 0 8 La ecuación de la recta tangente en 0 es y 0. f () 0 8 La ecuación de la recta tangente en es y 0. c) f ' () f ' () , f (0) 0 8 La ecuación de la recta tangente en 0 es y 0. f () 7 8 La ecuación de la recta tangente en es y 7. d) f ' () f ' () , f ( ) 6 8 La ecuación de la recta tangente en es y 6. f () 6 8 La ecuación de la recta tangente en es y 6. e) f '() f '() , f ( ) 8 La ecuación de la recta tangente en es y. f () 8 La ecuación de la recta tangente en es y. f) f '() ( + ) f '() 0 8 ( + ) f (0) 0 8 La ecuación de la recta tangente en 0 es y 0.

34 Unidad. Derivadas Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento 8 Halla, en cada caso, los puntos singulares de la función y determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. a) f () 8 + b) f () c) f () d) f () e) f () a) f ' () 8 f ' () Como f () 5, el punto (, 5) es un punto singular. f ) f () + f ' < 0 f ' > 0 Intervalo de crecimiento (, + ). Intervalo de decrecimiento (, ). b) f ' () 6 f ' () Como f (), el punto (, ) es un punto singular. f ' > 0 f ' < 0 Intervalo de crecimiento (, ). Intervalo de decrecimiento (, + ). c) f ' () 6 f ' () , 6 Como f (0) 0 y f (6) 6, los puntos (0, 0) y (6, 6) son puntos singulares. f ' > 0 f ' < 0 f ' > Intervalos de crecimiento (, 0) (6, + ). Intervalo de decrecimiento (0, 6). d) f ' () + + f ' () Como f ( ) 8, el punto (, 8) es un punto singular. f ' > 0 f ' > 0 Intervalo de crecimiento. e) Dom {} f '() ( ) f '() , ( ) Como f (0) 0 y f (), los puntos (0, 0) y (, ) son puntos singulares. f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 0 Intervalos de crecimiento (, 0) (, + ). Intervalos de decrecimiento (0, ) (, ) f) Dom { } f '() ( + ) No tiene puntos singulares. Como f '() > 0 siempre que y la función no está definida en, los intervalos de crecimiento son (, ) (, + ).

35 Unidad. Derivadas 9 Comprueba que las siguientes funciones no tienen puntos singulares y determina los intervalos donde crecen o decrecen: a) y + b) y c) y d) y ln a) f ' () + f ' () no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. Como f ' () > 0, la función es creciente en todo. b) Dom {0} f '() f '() no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. Como f ' () < 0 siempre que 0 y no está definida en 0, los intervalos de decrecimiento son (, 0) (0, + ). c) Dom [0, + ) f ' () f ' () no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. Como f ' () > 0 siempre que 0, el intervalo de crecimiento es [0, + ). d) Dom (0, + ) f ' () f ' () no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. Como f ' () > 0 en su dominio de definición, el intervalo de crecimiento es (0, + ). 0 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones y, con ayuda de las ramas infinitas, determina si son máimos o mínimos: a) y + + b) y c) y d) y e) y + a) f ' () + f ' () , f ) y + Como f c m 58 y f (), los puntos c, 58 m y (, ) son puntos singulares. 7 7 " "+ f () Por tanto c, 58 m es un máimo y (, ) es un mínimo. f () + 7 b) f ' () 6 f ' () , Como f (0) 0 y f (), los puntos (0, 0) y (, ) son puntos singulares. " "+ f () + Por tanto, (0, 0) es un mínimo y (, ) es un máimo. f () 5

36 Unidad. Derivadas c) f ' () 6 f ' () , 0, Como f ( ) 6, f (0) 0 y f () 6, los puntos (, 6), (0, 0) y (, 6) son puntos singulares. " "+ f () + Por tanto, (, 6) y (, 6) son mínimos. f () + El punto (0, 0) debe ser un máimo porque está entre dos mínimos. d) f '() f '() Como f ( ) 9 el punto (, 9) es un punto singular. " "+ e) f '() 6 ( + ) f () Por tanto, (, 9) es un máimo. f () f '() ( + ) Como f (0), el punto (0, ) es un punto singular. " "+ f () 0 Por tanto, (0, ) es un máimo. f () 0 f) Dom {0} f '() f '() Como f ` j, el punto `, j es un punto singular. f () + " Por tanto, `, j es un mínimo. f () + "+ Indica en cada una de estas funciones los valores de en los que f ' es positiva y en los que f ' es negativa: a) b) c) a) f ' > 0 si < f ' < 0 si > b) f ' > 0 si < 0 f ' < 0 si > 0 c) f ' > 0 si é (, ) (, + ) f ' < 0 si é (, ) 6

37 Unidad. Derivadas Gráficas de funciones polinómicas y racionales Representa una función y f () de la que sabemos que: Es continua. " f () + ; " + f () Sus puntos de tangente orizontal son (, ) y (, 5). Indica si los puntos de tangente orizontal son máimos o mínimos. (, ) es un mínimo. (, 5) es un máimo. De una función polinómica sabemos que: " f () + ; " + f () + Su derivada es igual a 0 solo en (, ) y en (, ). Corta a los ejes solo en (0, 0) y en (, 0). Represéntala gráficamente. Representa una función continua y f () de la que sabemos que: Sus puntos de tangente orizontal son (, ) y (, ). Sus ramas infinitas son así: 7

38 Unidad. Derivadas 5 Comprueba que la función y ( ) pasa por los puntos (0, ), (, 0) y (, ). Su derivada se anula en el punto (, 0). Puede ser un máimo o un mínimo ese punto? f ' () ( ) : f (0) 8 pasa por (0, ) f ' () 0 f () 0 8 pasa por (, 0) f () 8 pasa por (, ) El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo. 6 Comprueba que la función y + tiene dos puntos de tangente orizontal, (, ) y (, ); sus asíntotas son 0 e y y la posición de la curva respecto de las asíntotas es la que se indica en la ilustración. Represéntala. f () + f '() 0 8, Puntos (, ) y (, ). f () + ; + " 0 " 0 Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua en y. f () Página 8 7 Observa estas gráficas y describe: I II a) Sus ramas infinitas, asíntotas y posición de la curva con respecto a ellas. b) Sus puntos singulares, crecimiento y decrecimiento. a) Función I Tiene una rama parabólica cuando 8. La recta y 0 es una asíntota orizontal cuando 8 + y la función queda por encima de la asíntota. Función II La recta y es una asíntota oblicua cuando 8 y cuando 8 +. En ambos casos, la función queda por debajo de la asíntota. La recta 0 es una asíntota vertical y la función tiende a por los dos lados. b) Función I El punto (, ) es un mínimo. El punto (, ) es un máimo. Hay otro punto singular, (0,5; ), pero no es ni máimo ni mínimo. Función II Solo tiene un punto singular, el máimo (, ). 8

39 Unidad. Derivadas 8 Dada la función y comprueba que: + Tiene derivada nula en (0, 0). La recta y es una asíntota orizontal. La posición de la curva respecto a la asíntota es: Si, y < Si +, y < Represéntala. f ' () ( + ) f ( 0) 0 8 La derivada en (0, 0) es nula. f ' ( 0) 0 " + f () " La recta y es una asíntota orizontal. Como la diferencia siempre es negativa, la función queda por debajo de la asíntota y. 9 Completa la gráfica de una función de la que sabemos que tiene tres puntos singulares:, 5 c m, (0, 0),, 5 c m y que sus ramas infinitas son las representadas a la dereca. 9

40 Unidad. Derivadas 0 Representa una función y f () de la que conocemos: Dominio de definición: Á {0} Corta al eje en. Asíntota orizontal: y 0 Si +, f () < 0 Si, f () < 0 Asíntota vertical: 0 Si 0 +, f () + Si 0, f () Mínimo en (, ). Representa y f () de la que conocemos: Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y / Si +, f () Si +, f () < / Si, f () + Si, f () > / Cortes con los ejes: (0, ), (, 0), (, 0) Para resolver a) Halla el vértice de la parábola y teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es orizontal. b) Halla las coordenadas del vértice de una parábola cualquiera y a + b + c. a) f ' () Punto (, ). b) f ' () a + b f ' () 0 8 a + b 0 8 b es la abscisa del vértice. a f c b m a c b m + bc b m + c b + ac es la ordenada de vértice. a a a a 0

41 Unidad. Derivadas Determina la parábola y a + b + c que es tangente a la recta y en el punto A(, ) y que pasa por el punto B(5, ). f () a + b + c f '() a + b _ f ( ) 8 a+ b+ c b a f' ( ) 8 a+ b ` b 6 f ( 5) 8 5 a+ 5b+ c b c 7 a La función es f () Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas y + 5 e y + 6 sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes. f () f' () g () g' () + 6 Para f () + 5 la tangente en es: y 0( ) + 8 y 0 7 Para g () + 6 la tangente en es: y 0( ) y 0 5 Halla a, b y c en f () + a + b + c de modo que la gráfica de f tenga tangente orizontal en y en 0 y que pase por (, ). f () + a + b + c f '() + a + b _ f' ( ) a+ b 0 b a 6 f' ( 0) 8 b 0 ` b 6 f ( ) 8 + a+ b+ c b c 6 a La función es f () La ecuación de la recta tangente a una función f () en el punto de abscisa es y + 0. Cuál es el valor de f ' ()? el de f ()? Despejamos y de la ecuación de la recta tangente: y +. f ' () es la pendiente de la recta tangente en, es decir, f ' () Como la recta tangente y la curva pasan por el punto de tangencia, f () +. 7 Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (0, ) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (, ) vale 0. f () a + b + c f ' () a + b _ f ( 0) 8 c b a / f ( ) 8 a+ b+ c` b f' ( ) a+ b b c a La función es f () +..

42 Unidad. Derivadas 8 Representa las siguientes funciones allando los puntos singulares y las ramas infinitas: a) f () + b) f () + c) f () d) f () + a) f ' () 6 f ' () , f (0), f () 8 Los puntos singulares son (0, ) y (, ). ( + ) + "+ " ( + ) b) f '() + f '() , 0 f ( ) 7, f (0) 0 8 Los puntos singulares son (, 7) y (0, 0). ( + ) + "+ ( + ) + " c) f '() f '() , f ( ) 6, f () 6 8 Los puntos singulares son (, 6) y (, 6). ( ) "+ ( ) + " d) f ' () + 8 f ' () , 0, f ` j, f (0) 0, f ` j 8 Los puntos singulares son `, j, (0, 0) y `, j. ( + ) "+ ( + ) "

43 Unidad. Derivadas 9 Estudia y representa. a) y + b) y c) y d) y 8 + a) f '() f '() 0 8 ± f ( ) 0 8 ( 0, ) * f ( ) 8 (, ) 6 y + ( + ) " ( + ) + "+ 6 6 b) f '() 8 + 6± 6 f '() 0 8 6± f ( ) 8 (, ) * f ( ) 0 8 ( 0, ) ( 9 + 0) " ( 9 + 0) + "+ y c) f '() f ( ) 8 (, ) f '() 0 8 * 8 f ( ) 8 (, ) ( ) " ( ) "+ y d) f '() 6 Z 0 8 f ( 0) 8 ( 0, ) ] f '() 0 8 [ 8 f ( ) 8 (, ) ] 8 f ( ) 8 (, ) \ ( 8 + ) + "+ ( 8 + ) " y

44 Unidad. Derivadas 0 Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente orizontal. Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con los ejes: a) y + a) f '() 5 0 ( + ) b) y Los puntos de corte son: c0, m, (, 0). c) y + d) y ( ) y b) f '() 0 Los puntos de corte son: (, 0), (, 0) y c) f '() + 0 El punto de corte es (0, 0). y d) f '() 0 ( ) El punto de corte es c0, m. y ( ) 6

45 Unidad. Derivadas Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y 6 c) y d) y ( ) + e) y + f ) y a) f '() 6 ( 6 ) Asíntotas verticales:, y 6 6 Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal b) f '() ( ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y 0 y No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. c) f '() + 7 ( ) Asíntotas verticales: 5, Asíntotas orizontales: y 0,5 + y ,5 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: ( 6,58; 0,05), (,58;,97) 6 0,5,5 6 5

46 Unidad. Derivadas d) f '() + 5 ( + ) Asíntotas verticales: 5 ( ) y + Asíntotas oblicuas: y 0 No ay asíntotas orizontales. 5 Sus puntos de tangente orizontal son: (, 0), ( 5, ) 6 y e) f '() + + ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y No ay asíntotas orizontales. y + 6 Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: ( 0,6; 0,5), (,7; 7,6) y f) f '() ( ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) 6 6 y 6 6

47 Unidad. Derivadas Página 9 Halla las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los máimos y los mínimos y representa las siguientes funciones: a) y b) y c) y + d) y 5 + ( ) + + a) f '() + 6 ( + ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y y + 6 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0), c, m b) f '() ( ) Asíntotas verticales: Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. y ( ) 6 Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) 6 6 c) f '() ( + + ) Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas verticales ni oblicuas. y Sus puntos de tangente orizontal son: c, m, (, ) d) f ' () ( ) Asíntotas verticales: 6 y 5 Asíntotas oblicuas: y + No ay asíntotas orizontales ni puntos de tangente orizontal. 6 7

48 Unidad. Derivadas Calcula el valor de a para que f () ln e o verifique que f '() 0. + a f () ln ln ( + a) f '() + a 8 f ' () + a f '() a + a Dada f () + + a + b, alla el valor de a y b para que la recta tangente a f en sea y. Como la recta tangente en es y, se tiene que: f ( ) ( ) 7 f '( ) f ' () a f ' ( ) 8 6( ) + ( ) + a 8 a 6 f ( ) 7 8 ( ) + ( ) + 6( ) + b 7 8 b 5 Halla el valor de k para que la tangente a la gráfica de la función y 5 + k en pase por el origen de coordenadas. Pendiente de la recta tangente: f ' () 5 8 f ' () Punto de tangencia: ; y 5 + k 8 (, + k) Ecuación de la recta tangente: y + k ( ) Para que pase por (0, 0), debe verificarse: 0 + k + 8 k 6 Halla los puntos de la gráfica de f () + en los que la recta tangente forma un ángulo de 5 con el eje de abscisas. Si la recta tangente forma un ángulo de 5 con el eje O, su pendiente es tg 5. Buscamos los puntos donde f '(). f ' () 6 + f ' () , Como f (0) 0 y f (), los puntos (0, 0) y (, ) son los que cumplen las condiciones del problema. 7 Dada la parábola y 5 + 6, se traza la cuerda que une los puntos de abscisa 0 y. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a esa cuerda. f (0) 5 y f (). Por tanto, la pendiente de la cuerda que pasa por estos puntos es 5. 0 Tratamos de encontrar el punto que cumple la igualdad f '() : f '() 6 6 f '() Como f c m c m 9, la recta tangente es y c m

49 Unidad. Derivadas 8 El coste total (en dólares) de fabricación de q unidades de cierto artículo es: C (q) q + 5q + 75 Cq ( ) El coste medio por unidad es: M (q) q a) Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que as allado en el apartado a). a) M (q) q + 5q + 75 q M' (q) ( 6q+ 5 ) q ( q + 5q+ 75 ) 6q + 5q q 5q 75 q q q q 8 q 5 8 q 5 unidades Se deben fabricar 5 unidades. b) C (5) 75; M (5) 5 9 La función f () a funcionar ( f () en miles de euros, en años). a) Represéntala gráficamente. indica los beneficios obtenidos por una empresa desde que comenzó b) Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máimo? Cuál es ese beneficio? c) Perderá dinero la empresa en algún momento? a) f ' () 60( + 9) ( no está en el dominio). ( + 9) ( + 9) ( + 9) Máimo en (, 0). f () 0 8 asíntota orizontal: y 0 "+ La gráfica sería: b) Beneficio máimo en 8 A los años. El beneficio sería f () 0 miles de euros c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas, pues f () 0 y f () > 0 para todo > Aplica la regla de L'Hôpital para resolver los siguientes límites: a) lm e tg í b) c) ln " 0 sen " 0 5 " d) lm e í e) sen f ) sen " + ln ( + ) " 0 sen " 0 + tg a) lm e í 0 e " 0 sen 0 " 0 cos tg b) " " 0 + tg 5 5 9

50 Unidad. Derivadas c) ln " "+ / + 5 "+ ( + 5 ) 0 d) "+ + e ln ( ) + + "+ e + "+ + e ( ) + e) sen " 0 sen 0 cos 0 0 " 0 cos f ) " 0 + sen tg 0 0 " 0 cos + + tg 5 Halla los límites siguientes: a) cos b) " 0 ( e ) lm [ ln ( + )] í " 0 ln ( + ) a) cos 0 sen " 0 ( e ) 0 " 0 ( e ) e sen 0 cos " 0 e e 0 " 0 e e < F b) [ ln ( + )] 0 + " 0 ln ( + ) 0 " 0 ln ( + ) " 0 ( + ) ln ( + ) + " 0 ( + ) ln ( + ) " 0 ln( ) Dada la función f () a + b, alla a y b para que f pase por el punto (, ) y en ese punto la tangente sea paralela a la recta y +. Pasa por (, ) 8 f () 8 a + b 8 a + b Para que la recta tangente sea paralela a la recta dada, f ' () f ' () a + b f ' () 8 a + b 8 a + b Aora, resolvemos el sistema: a+ b 8 a, b 5 a+ b 5 Determina, en cada caso, los valores máimo y mínimo de la función en el intervalo que se indica. a) y 6, [0, 5] b) y 6 + 5, [, ] c) y, [, ] d) y, [0, ] + Hallamos los puntos singulares que quedan dentro de los diferentes intervalos, evaluamos en ellos y en los etremos de los intervalos. 50

51 Unidad. Derivadas a) f ' () 6 f ' () f (0) f () f (5) 9 El máimo se encuentra en 0 y vale. El mínimo se encuentra en y vale. b) f ' () + f ' () f ( ) f () f () 8 El máimo se encuentra en y vale 8. El mínimo se encuentra en y vale. c) f ' () 6 f ' () , f ( ) 0 f (0) 0 f () f () 6 El máimo se encuentra en y vale 6. El mínimo se encuentra en y vale 0. d) f '() ( + ) f '() 0 8 ( + ) f (0) 0 f ( ) f () 0 8, f () 5 El máimo se encuentra en y vale. El mínimo se encuentra en 0 y vale 0. 5 Halla los máimos y los mínimos de las funciones y sen e y cos en el intervalo [0, π]. y sen f ' () cos f ' () 0 8 cos 0 8 π, π f (0) 0 f bπ l f c π m f (π) 0 El máimo se encuentra en π El mínimo se encuentra en y cos π y vale. y vale. f ' () sen f ' () 0 8 sen 0 8 0, π, π f (0) f (π) f (π) Los máimos se encuentran en 0 y π y valen. El mínimo se encuentra en π y vale. 5

52 Unidad. Derivadas 55 Estudia el crecimiento de las siguientes funciones y di cuáles son sus máimos y sus mínimos: a) y ( + )e b) y e c) y ln ( + ) d) y ln a) Puntos singulares: f ' () ( )e + ( + )e e ( ) f ' () 0 8 e ( ) , Crecimiento y decrecimiento: f ( ) 5 8 c, 5 m es un máimo. e e f () e 8 (, e ) es un mínimo. Intervalos de crecimiento (, ) (, + ). Intervalos de decrecimiento (, ). b) Puntos singulares: f '() e e ( e) e f '() 0 8 e 0 8 0, Crecimiento y decrecimiento: f (0) 0 8 (0, 0) es un mínimo. f () 8, e e eo es un máimo. Intervalos de crecimiento (0, ). Intervalos de decrecimiento (, 0) (, + ). c) Puntos singulares: f '() + f '() Crecimiento y decrecimiento: f (0) 0 8 (0, 0) es un mínimo. Intervalos de crecimiento (0, + ). Intervalos de decrecimiento (, 0). f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 0 f ' < 0 f ' > 0 0 5

53 Unidad. Derivadas d) Dom (0, + ) Puntos singulares: f ' () ln + f ' () 0 8 ln e Crecimiento y decrecimiento: f ' < 0 f ' > 0 0 e f (e ) e 8 (e, e ) es un mínimo. Intervalos de crecimiento (e, + ). Intervalos de decrecimiento (0, e ). 56 Prueba que eiste un punto de la curva y arc tg la bisectriz del primer cuadrante. + en el que la recta tangente es paralela a La bisectriz del primer cuadrante tiene pendiente. Por tanto, el punto en el que la recta tangente es paralela a ella, cumple la ecuación. f '() ( ) c m + f '() f (0) π 8 En el punto b0, π l la tangente a la curva es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. 57 Estudia la continuidad y la derivabilidad de estas funciones: + a) f () * + 5 si si < 5 b) g () ) si si < c) () e + ) + + si 0 si > 0 a) Llamemos f () + y f () + 5. Ambas funciones son continuas y derivables por ser polinómicas. f( ) Por tanto, la función f () también es continua en el punto de ruptura y, en consecuencia, lo es en todo f( ). f ' () y f ' () f ' ( ) Como f ' f ' ( ) () f ' (), la función f () no es derivable en. La derivada queda así: si < f '() * si > 5

54 Unidad. Derivadas b) Llamemos g () 5 y g (). Ambas funciones son continuas y derivables donde están definidas. g( ) Por tanto, la función g () también es continua en el punto de ruptura y, en consecuencia, lo es en todo. g( ) g ' () y g ' () g' ( ) Como g ' g' ( ) / () g ' (), la función g () no es derivable en. La derivada queda así: si < g ' () * si > c) Llamemos () e + y () + +. Ambas funciones son continuas y derivables. ( 0) Por tanto, la función () también es continua en el punto de ruptura y, en consecuencia, lo es en todo ( 0). ' () e y ' () + ' ( 0) ' ( 0) Como ' (0) ' (0), la función () es derivable en 0 y ' (0). La derivada queda así: ' () e si * + si > 58 Calcula, en cada caso, los valores de m y n para que las funciones siguientes sean derivables en Á: 5+ m si m n a) f () * b) g () * + n si > n + si si < c) () * ( ) si 0 m + n si > 0 d) j () m + * n si < si a) Llamemos f () 5 + m y f () + n. Ambas funciones son continuas y derivables por ser polinómicas. Para que la función sea continua en el punto de ruptura debe ser: f( ) 6+ m m + n f ( ) + n f ' () 5 y f ' () + n Para que sea derivable en el punto de ruptura debe ser: f ' ( ) f' ( ) + n 8 + n Resolvemos el sistema: 6+ m + n 8 Los valores son m 8, n. + n 5

55 Unidad. Derivadas b) Llamemos g () m + n y g () n. Ambas funciones son continuas y derivables por ser polinómicas. Para que la función sea continua en el punto de ruptura debe ser: g( ) m+ n 8 m + n n g ( ) n g ' () m + n y g ' () n Para que sea derivable en el punto de ruptura debe ser: g' ( ) m+ n 8 m + n n g' ( ) n Resolvemos el sistema: m+ n n 8 Los valores son m, n. m+ n n c) Llamemos () ( ) y () m + n. Ambas funciones son continuas y derivables por ser polinómicas. Para que la función sea continua en el punto de ruptura 0 debe ser: ( 0) 8 n ( 0) n ' () ( ) y ' () m Para que sea derivable en el punto de ruptura 0 debe ser: ' ( 0) ' ( 0) m 8 m d) Llamemos j () m + y j () n. Ambas funciones son continuas y derivables por ser polinómicas. Para que la función sea continua en el punto de ruptura debe ser: j( ) m 6 8 m 6 n j ( ) n j ' () m + y j ' () n Para que sea derivable en el punto de ruptura debe ser: j' ( ) m+ 8 m + n j' ( ) n Resolvemos el sistema: m 6 n 8 Los valores son m, n. m+ n 55

56 Unidad. Derivadas Página 0 59 Dada las funciones f () y f () e alla, en cada caso, f ', f '', f ''', f iv. Cuál será la derivada enésima de cada una de las funciones dadas? f () f ' () f '' () 0 f ''' () f iv () f v () 0 y, desde esta, todas las derivadas sucesivas siguientes. f () e f ' () e f '' () e f ''' () 8 e f iv () 6 e La fórmula general, teniendo en cuenta que los coeficientes son potencias de, es: f n () n e 60 Halla dos números positivos cuya suma sea 00 y su producto sea máimo. Sean e y dos números positivos. + y 00 8 y 00 El producto es P y (00 ) 00 Buscamos que el producto sea máimo: P' 00 P' y Aora comprobamos si el valor 50 es un máimo: P' > 0 P' < Por tanto, cuando y 50 se obtiene el producto máimo que es, P Calcula dos números cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea mínima. Sean e y dos números. + y 50 8 y 50 La suma de los cuadrados es S + y + (50 ) Buscamos que la suma de cuadrados sea mínima: S' 00 S' y