Instituto Superior del Profesorado Dr. Joaquín V. González Departamento de Matemática - Curso de Nivelación A N E X O T E Ó R I C O

Transcripción

1 A N E X O T E Ó R I C O Coteido Cojutos uméricos... 2 Módulo o Vlor bsoluto... 5 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN... 6 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN... 7 Logritmció... 8 Expresioes lgebrics... 8 Poliomios... 8 Opercioes co poliomios... 9 Ríces y Fctorizció de poliomios Expresioes lgebrics rcioles Itervlos reles Fucioes FUNCIONES POLINÓMICAS FUNCIÓN CONSTANTE FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CUADRÁTICA Águlos Polígoos Triágulos Triágulo rectágulo Trigoometrí e el triágulo rectágulo Cudriláteros Circufereci y círculo Perímetro y Áre de Figurs Pls Cuerpos Áre y Volume de cuerpos geométricos... 20

2 Cojutos uméricos NÚMEROS NATURALES Los úmeros turles so quellos que se us pr cotr y umerr. El cojuto se simboliz co N y uque el cero puede o o ser cosiderdo como úmero turl, veces pr evitr duds se simboliz N 0 l cojuto que lo icluye N= {0; 1; 2; 3; 4; 5;.} Algus propieddes importtes so: N tiee u primer elemeto (el cero) o tiee u último elemeto, es por lo tto, u cojuto ifiito N es u cojuto discreto porque etre dos úmeros turles siempre hy u úmero fiito de úmeros turles. Todo úmero turl, tiee su sucesor +1. OPERACIONES Ls opercioes siempre posibles e el cojuto de los úmeros turles so: Sum, Producto y Potecició U úmero turl se puede expresr como producto de otros úmeros turles, que se llm fctores o divisores del primero. Ls opercioes posibles e lguos csos so: -Rest (si el miuedo es myor que el sustredo e N, y si el miuedo es myor o igul que el sustredo e N 0 ). -Cociete (Si el dividedo es múltiplo del divisor y éste es distito de cero). -Rdicció (Podemos extrer ríces cudrds de cudrdos perfectos, ríces cúbics de cubos perfectos, etc.). NÚMEROS ENTEROS El cojuto de los úmeros eteros es u mplició del cojuto de los úmeros turles. L ecesidd de relizr l operció 3-8, por ejemplo, justificó l creció de los úmeros egtivos. Al cojuto formdo por los úmeros turles, sus correspodietes egtivos y el cero se lo llm cojuto de los úmeros eteros. L otció que se us pr idetificr l cojuto de los úmeros eteros es: Z = {.,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,.} Propieddes importtes: OPERACIONES Z o tiee primero i último elemeto Cd úmero tiee u tecesor y u sucesor. Z es u cojuto discreto. Todo úmero etero tiee su opuesto -, tl que + (-) = 0 Al relizr ls opercioes de sum, rest y multiplicció de úmeros eteros,

3 siempre se obtiee como resultdo u úmero etero. Pr el producto y el cociete se debe teer e cuet l regl de los sigos. L potecició es posible si l bse es eter pero el expoete es turl Números Pres e Impres U umero pr es quel etero que se puede escribir de l form: 2k, dode k es u etero (los úmeros pres so los múltiplos del úmero 2). Los úmeros eteros que o so pres, se llm úmeros impres y se puede escribir como 2k+1 Los úmeros pres so: { -4, -2, 0, 2, 4, 6, } y los impres: { -5, -3, -1, 1, 3, 5, } Divisibilidd e Z U úmero etero 0 es divisor de otro úmero etero b si existe u tercer úmero etero tl que se verific. = b. E símbolos: b Z /b=. (se lee es divisor de b ) Decir que es divisor de b es equivlete decir que b es divisible por o bie que b es u múltiplo de. Ejemplo: 32 es divisible por 4 puesto que 32= 4.8 Etoces 4 32 U umero etero b, distito de 0, 1 y 1, se llm PRIMO si y solo si dmite solo cutro divisores: 1, 1, el mismo úmero y su opuesto. Por ejemplo: 3 es u úmero primo pues sus divisores so -3; - 1; 1; 3 A los úmeros distitos de 0, 1 y -1 que dmite más de cutro divisores se los llm úmeros COMPUESTOS Observció: 1 y 1 o so úmeros primos i compuestos. Dos úmeros eteros so COPRIMOS ó PRIMOS ENTRE SI, cudo solo tiee como divisor comú 1 y - 1. Tegmos e cuet que si bie dos úmeros primos so siempre coprimos, o es ecesrio que los úmeros ddos se primos pr que resulte coprimos. NÚMEROS RACIONALES Los úmeros rcioles so quellos que se puede escribir como cociete de dos úmeros eteros (co divisor distito de cero) Simbólicmete: b, dode y b so eteros y b 0 recibe el ombre de umerdor y b se llm deomidor.

4 Eteros positivos +1; +2; +3; egtivos -1; -2; -3; = {0} Rcioles Frcciorios Decimles exctos 2,5 = Puros Periódicos Periódicos Mixtos 0,6 = 2,333 = 2, 3 = 2,132 = 4,323 = 0, 12 = 0,214 = Propieddes importtes de este cojuto umérico: Etre dos úmeros rcioles existe ifiitos rcioles, por eso se dice que o es discreto sio que es u cojuto deso. Como cosecueci de esto, o puede hblrse de úmeros rcioles cosecutivos. Expresió deciml de u rciol Q o tiee primero i último elemeto. Pr expresr u frcció como úmero deciml es suficiete efectur el cociete etre el umerdor y el deomidor. Tl como se muestr e el cudro terior, l expresió deciml obteid puede teer u úmero fiito de cifrs decimles, o bie, u úmero ifiito de cifrs decimles que se repite ifiitmete. OPERACIONES - SUMA c + = b d. d b. c b. d co b, d 0 - RESTA: pr restr dos frccioes, simplemete summos l miuedo el opuesto del sustredo: - PRODUCTO c - = + c. d b. c = b d b d b. d c. c. = b d b. d co b, d 0 - COCIENTE: el cociete se resuelve multiplicdo el dividedo por el recíproco o iverso del divisor: c d : =. = b d b c Recordr: Dos úmeros rcioles so recíprocos o iversos multiplictivos si su producto es igul 1. Hy u úmero rciol que o tiee recíproco... Cuál es?. d b. c

5 - POTENCIACION: l potecició puede hcerse e el cojuto de los úmeros rcioles pr bse rciol y expoete etero b b b b b -RADICACION: b c d c d b NÚMEROS IRRACIONALES Hy úmeros que se crcteriz porque tiee ifiits cifrs decimles o periódics. Estos úmeros se llm irrcioles, y que o se puede expresr uc como cociete o rzó de dos úmeros eteros. Ej de úmeros irrcioles: - Números que, uque tiee ifiits cifrs decimles, ésts o form período: 0, Como solució de ecucioes, por ejemplo, l ecució x 2 = 2 tiee solució irrciol y se puede geerlizr diciedo tods ls ríces eésims o excts so irrcioles. Estos úmeros se deomi irrcioles lgebricos. Además existe otros como el úmero y e (bse de los logritmos turles) que o so irrcioles lgebricos sio irrcioles trscedetes. (relció de l circ El cojuto de los úmeros irrcioles se desig co l letr I. NÚMEROS REALES Al cojuto formdo por los úmeros rcioles y los irrcioles se lo llm cojuto de los úmeros reles y se lo desig co R Por lo tto R = Q I El cojuto R es deso (o se que etre dos reles siempre existe otro rel), pero se difereci de los rcioles, e que, mietrs que e quedb huecos e l rect uméric, e los úmeros reles esos huecos h sido ocupdos por los irrcioles, co lo que podemos firmr que los reles cubre tod l rect uméric. Módulo o Vlor bsoluto El vlor bsoluto de u úmero rel x se deot por y se defie como: = 0 Esto quiere decir que los úmeros x y x está l mism distci del orige

6 Etoces represet l distci de culquier de los úmeros x y x l orige (o cero). Otr form de expresr el vlor bsoluto de u úmero rel x es: x = 2 x Ejemplo: Si x 2 = 36, 2 x = 36, result x = 6 y por lo tto: x = 6 o x = -6 Propieddes del Vlor Absoluto < < > Gráficmete Gráficmete PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN * Producto de Potecis de igul bse: m = m+ * Cociete de Potecis de igul bse: m : = m * Poteci de otr Poteci: ( m ) = m * Poteci de expoete cero: 0 = 1 ( 0)

7 * Poteci de expoete egtivo: 1 ( 0) * Distributividd respecto del producto y cociete: ( b) = b ( : b) = : b OJO!!L Potecició NO ES DISTRIBUTIVA respecto de l sum y l rest ( + b) + b ( b) b PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN m * Ríz de u poteci o poteci de u ríz: m * Ríz de otr ríz: m. m * Producto del ídice y expoete por u mismo úmero: m. r m. r * Distributividd respecto de l multiplicció y divisió:. b. b OJO!!!: L Rdicció NO ES DISTRIBUTIVA respecto de l sum y l rest b b b b b b EXPONENTES FRACCIONARIOS: Los rdicles se puede expresr como potecis de ídice frcciorio, de modo que el ídice de l ríz se el deomidor del expoete, y el expoete del rdicdo (que puede teerlo o o), se el umerdor del expoete. SIMPLIFICACIÓN DE ÍNDICES: Ejemplo: Si existe u úmero turl que divid l ídice y l expoete (o los expoetes) del rdicdo, se obtiee u rdicl simplificdo. OJO!!! Si es impr: Si es pr:

8 Logritmció El logritmo se defie como l operció ivers de l potecició. Etoces: log = = co >0 1; >0 Por ejemplo: log = 2, y que (3) =9 Cudo l bse del logritmo o prece, etoces es 10. Es decir: log 1000 = 3, y que 10 = 1000 PROPIEDADES DE LOGARITMACIÓN * log =1 * log 1=0 * log +log =log ( ) * log log =log * log ( )=log Expresioes lgebrics U expresió lgebric es u cojuto de vribles (letrs) y costtes (úmeros) relciodos etre sí por ls opercioes defiids e el cojuto umérico e el cul se está trbjdo. Alguos ejemplos: ; 3 ; ( 1) +. 1 Poliomios U poliomio es expresió lgebric que posee u sol vrible. Dich vrible tiee expoetes turles. (Poli = muchos; Nomio = térmio) Ej: P(x) = 2x 3 + 5x 3 Es poliomio () = () =5 Es poliomio Es poliomio (de grdo cero) () = No es poliomio (o tiee expoetes turles) () =0 () = +3 Es poliomio. Se lo llm Poliomio Nulo No es poliomio (o tiee expoetes turles) Los coeficietes del poliomio so los úmeros que multiplic l vrible. Se llm coeficiete pricipl l úmero que multiplic l vrible de myor expoete. El térmio si vrible (elevd l cero) se llm térmio idepediete.

9 Grdo de u poliomio: Es el myor expoete l que se ecuetr elevd l vrible. Especilizció: Especilizr el poliomio e u vlor umérico, sigific que l vrible tom ese vlor. () = (2) =3(2) 5 (2) +1 (2) =23 Poliomios Igules: Dos poliomios so igules si los coeficietes de térmios del mismo grdo so igules. Poliomios opuestos: Dos poliomios so opuestos si los coeficietes de térmios del mismo grdo so vlores opuestos. Opercioes co poliomios SUMA: Cosiste e sumr coeficietes de térmios del mismo grdo. No es ecesrio que esté ordedos i completos. Ejemplo: +2 + ( ) RESTA: Cosiste e sumr el opuesto de u poliomio. Ejemplo: (4 +3 ) (2 +21) MULTIPLICACIÓN: Se multiplic todos los térmios del primer poliomio co cd térmio del segudo. (Recordr: Propiedd distributiv) Ejemplo: (3 2). (2 +45) (5) (5) DIVISIÓN: Es posible relizr l divisió siempre que el grdo del divisor se meor o igul que el grdo del dividedo. Ejemplo: C.A. =4 =1 Si l relizr l divisió P(x):(x), el resto result cero, es equivlete decir que: *(x) es divisor de P(x) *(x) divide P(x) * P(x) es múltiplo de ()

10 REGLA DE RUFFINI Es u método que permite relizr divisioes, cudo el poliomio divisor es de l form (x-), siedo u úmero rel. Ejemplo: ( ):( +1) Se coloc los coeficietes e orde del dividedo Resto Cociete (Result de u grdo meor l dividedo) TEOREMA DEL RESTO Puede plicrse sólo e el mismo cso que l regl de Ruffii, es decir, cudo el poliomio divisor se de l form (x-), siedo u úmero rel. Permite obteer el resto l divisió, evludo el poliomio e. Ejemplo: :(2) Aplicdo el teorem del resto vemos que el resto de l divisió es 2. (2) = 1 4 (2) +1(2) 3(2) +2= = =2 4 Ríces y Fctorizció de poliomios RAÍCES DE UN POLINÓMIO Ls ríces de u poliomio so todos los vlores r que verific que P(r)=0. Es decir, l evlurse el poliomio e ese vlor, el resultdo es cero. Ejemplo: 5 es ríz de () =210, y que P(5)=0 Todo poliomio de grdo, tiee lo sumo ríces reles. Si u vlor rel es veces ríz se dice que es ríz -ésim. CALCULO DE RAÍCES Pr hllr ls ríces de u poliomio se debe igulr cero y utilizr el método coveiete segú su grdo. Poliomios de grdo uo. () =3 +5 Pr hllr l ríz se igul cero, etoces: 3x-5=0 Luego, se resuelve l iguldd, qued sí: = Poliomios de grdo dos () = + +

11 Pr hllr ls ríces se igul cero, etoces: + + =0 Pr resolver es iguldd, se utiliz l fórmul resolvete:, = ± Poliomios de grdo myor 2. () = Si el poliomio posee térmio idepediete, se utiliz el método de Guss. FACTOR COMÚN Cudo el poliomio posee úmeros o vribles e comú todos sus térmios puede extrerse u fctor comú. Ejemplo: ( ) FORMA FACTORIZADA DE UN POLINOMIO A PARTIR DE SUS RAÍCES Todo poliomio puede escribirse de l form => P(x)=(x-r 1 ).(x-r 2 ) (x-r ), siedo el coeficiete pricipl y r 1, r 2, r 3,, r sus ríces. Ejemplo: P(x)= 3(x-1)(x+2)(x-1/2) 2 Expresioes lgebrics rcioles Cojuto de posibilidd o domiio Tod expresió lgebric rciol tiee setido o es posible siempre que el deomidor se distito de cero. Por ejemplo: result posible si +5 0, por lo tto 5, etoces tiee como domiio: {5} Opercioes MULTIPLICACIÓN Se fctoriz umerdores y deomidores pr luego simplificr. E el cso de l divisió, se ps multiplicció pr cotiur co el procedimieto. Ejemplo: : (5)( +5) ( 1)( + +1) + +1 ( +5) 1 5 ( 5)( + 5) ( 1)( + + 1) ( +5)

12 1 +5 SUMA Y RESTA. Se fctoriz los deomidores, se busc el comú deomidor (m.c.m) y se reliz el procedimieto de sum e rcioles. Ejemplo: + = + = ().() = = () () () () Itervlos reles L represetció de los úmeros reles e l rect uméric permite visulizr que este cojuto es totlmete ordedo. Etoces, ddos dos úmeros reles distitos y b, siempre se puede estblecer etre ellos u relció de meor o myor. Se verific lgu de ls siguietes desigulddes: < b ó b ó > b ó b Por ejemplo: los úmeros reles myores que 1 y meores que 5 L expresió terior puede escribirse co l siguiete desiguldd: 1 < x < 5 pero tmbié puede idicrse trvés del itervlo bierto (1, 5) El itervlo es bierto porque o cotiee los extremos, lo que se idic co el uso de prétesis. [, b] = {x/ x IR < x < b} itervlo cerrdo (, b) = {x/ x IR < x < b} itervlo bierto [, b) = {x/ x IR < x < b} itervlo semibierto derech (, b] = {x/ x IR < x < b} itervlo semibierto izquierd [, +) = {x/ x IR, < x} (, +) = {x/ x IR, < x} (-, ] = {x/ x IR, x < } (-, ) = {x/ x IR, x < } itervlo cotdo iferiormete ( perteece l cojuto) itervlo cotdo iferiormete ( o perteece l cojuto) itervlo cotdo superiormete ( perteece l cojuto) itervlo cotdo superiormete ( o perteece l cojuto) Fucioes U fució f de u cojuto A e u cojuto B es u ley que hce correspoder cd elemeto x perteeciete l cojuto A, uo y solo u elemeto y del cojuto B, llmdo imge de x por f, que se deot y=f (x). E símbolos, se expres f : A B, siedo el cojuto A el domiio de f, y el cojuto B el Codomiio

13 Observcioes Se f u fució rel defiid medite l fórmul o ecució y = f (x). L vrible x es l vrible idepediete, y l vrible y es l vrible depediete. Así, u fució rel, es u fució de vrible y vlor rel. El domiio de u fució es el cojuto de vlores que puede tomr l vrible idepediete. El recorrido de u fució es el cojuto de vlores que puede tomr l vrible depediete. Ejemplos: i) f(x)=3x, como existe el triplo de todo rel x, etoces Dom.f(x)= R 1 ii) h(x)= Como l ivers de u umero existe siempre que este se distito de cero, result h x 3 defiid pr todo x tl que verific que x Etoces Dom.h(x)=(-;3) (3;+) PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES FUNCION INYECTIVA-SOBREYECTIVA-BIYECTIVA - U fució f es iyectiv, si y sólo si, pr todo, b e el domiio de f, si f()=f(b) etoces =b. - U fució f es sobreyectiv si pr todo elemeto b B existe l meos u elemeto A pr el cul f() = b. Dicho de otr mer, f es sobreyectiv si Im(f) = B. - U fució f es biyectiv si es l vez iyectiv y sobreyectiv, es decir pr todo elemeto b B existe exctmete u elemeto A pr el cul f() = b.i FUNCION CRECIENTE -DECRECIENTE - U fució f es creciete e u itervlo I cudo, pr todo,b I < b f () < f (b), es decir, cudo su gráfic sube de izquierd derech. - U fució f es decreciete e u itervlo I cudo, pr todo,b I < b f () > f (b), es decir, cudo su gráfic bj de izquierd derech. MAXIMO-MINIMO L fució f(x) preset u máximo reltivo e x o, cudo existe u etoro E(x o ) tl que: L fució f(x) preset u míimo reltivo e x o, cudo existe u etoro E(x o ) tl que:

14 So putos que se distigue por ser quellos cuy imge es l myor o l meor (máximo - míimo) de tods ls imágees de los lrededores. No se excluye que hy otros putos "lejdos" de x o cuy imge se myor o meor que f(x o ). FUNCIONES POLINÓMICAS U fució poliómic f es u fució de l form: f(x)=. x x dode es u etero o egtivo, y los coeficietes,., 1, 0 so úmeros reles. Algu propieddes de ls fucioes poliómics 1. El domiio de tods ls fucioes poliómics so todos los úmeros reles 2. L gráfic de y = f (x) itercept l eje Y e el puto (0,c), llmdo orded l Orige 3. L gráfic de y = f (x) itercept l eje X e los putos (x, 0) llmdos ceros ó ríces 4. Ls fucioes poliómics so fucioes cotius. Etre ls fucioes poliómics se ecuetr por ejemplo: ls fucioes costtes, ls fucioes lieles, ls fucioes cudrátics, cuys priciples crcterístics se describirá cotiució. FUNCIÓN CONSTANTE U fució costte es quell que tiee l form y=f(x)=c, dode c es u úmero rel fijo. Su gráfic es u rect prlel (o coicidete) l eje X. FUNCIÓN LINEAL So fucioes poliómics de l form: f (x)= mx + b L represetció gráfic de u fució liel es u rect dode m represet l pediete (grdo de iclició) y b represet l orded l orige (cruce de l rect e el eje y ). Cudo m>0, l fució liel es creciete, y cudo m <0, l fució liel es decreciete. Observció. Ecució geerl de l rect L ecució geerl de u rect es Ax+By+C=0 co A 0 o B 0. Cudo B=0, l gráfic es u rect prlel l eje Y o coicidete co este eje. Cudo B 0, l gráfic es u rect que tiee pediete igul A m = B

15 FUNCIÓN CUADRÁTICA So fucioes poliómics de l form: diferete de cero. f (x) = x 2 + bx + c, dode, b y c so prámetros y es Propieddes de u fució cudrátic o El gráfico de u fució cudrátic es u prábol. o L prábol resultr cócv hci rrib si > 0 y cócv hci bjo si < 0. o L gráfic de y = f (x) = x 2 + bx + c itercept l eje Y e el puto (0,c) o L gráfic de y = f (x) = x 2 + bx + c itercept l eje X cudo = b 2 4c 0, y e tl cso, ls bsciss de los putos de itersecció so ls ríces de l ecució x2 + bx + c = 0. b b o Su gráfic es u prábol cuyo vértice es el puto ; f 2 2 b o L rect verticl x es eje de simetrí de su gráfico. 2 Águlos Águlos cosecutivos: Dos águlos cosecutivos si tiee el vértice y uo de sus ldos e comú. Águlos complemetrios: Dos águlos so complemetrios cudo su sum es igul 90. Águlos suplemetrios: Dos águlos so suplemetrios cudo su sum es igul 180. Águlos dycetes: Dos águlos so dycetes cudo so suplemetrios y cosecutivos. Polígoos U polígoo es u figur pl compuest por u secueci fiit de segmetos rectos cosecutivos que ecierr u regió e el plo. Estos segmetos so llmdos ldos y los putos e que se itersec se llm vértices.

16 CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS: Simple: Cd pr de ldos se itersec sólo e 1 puto (vértice). Complejo: Algú pr de ldos se itersec e más de u puto. (Tiee ldos que se cruz) Cudo el polígoo es simple, puede ser: Covexo: Todos sus águlos so covexos. Cócvo: Cotiee por lo meos u águlo cócvo. U polígoo covexo puede ser: Regulr: Todos sus ldos so igules. Irregulr: No es regulr. Triágulos So quellos polígoos covexos que tiee 3 ldos y 3 águlos. L sum de sus águlos iteriores es igul 180.

17 ELEMENTOS DEL TRÍANGULO o ALTURA. L ltur correspodiete u ldo es el segmeto perpediculr dicho ldo que ps por el vértice opuesto. o MEDIANA. L medi correspodiete u ldo es el segmeto cuyos extremos so el puto medio del ldo y el vértice opuesto. o MEDIATRIZ. L meditriz de u ldo es l rect perpediculr dicho ldo que ps por su puto medio. o BISECTRIZ. L bisectriz de u águlo es l semirrect co orige e su vértice cuyos putos equidist de los ldos del águlo. ued determidos dos águlos cogruetes, cuy mplitud equivle l mitd del águlo iicil. Triágulo rectágulo Los ldos de u triágulo rectágulo tmbié se deomi: Hipoteus, Cteto Myor y Cteto meor. HIPOTENUSA: Se deomi sí l ldo opuesto l águlo recto, que será siempre el ldo de myor logitud. CATETOS: Los ldos que o so Hipoteus, se deomi Ctetos. Depediedo de su logitud se difereci como Myor y Meor. Trigoometrí e el triágulo rectágulo Tomdo como refereci uo de los águlos gudos, se idetific: Hipoteus, cteto opuesto (l águlo elegido) y cteto dycete (l águlo elegido). Ls relcioes trigoométrics elemetles será: seo, coseo y tgete, y so: =. =. =..

18 Cudriláteros So quellos polígoos covexos que tiee 4 ldos. Circufereci y círculo U circufereci es el cojuto de todos los putos de u plo que está distci fij de u cetro. Es distci se llm rdio y l máxim distci etre dos putos de l circufereci (que ps por el cetro) se llm diámetro. Perímetro y Áre de Figurs Pls El perímetro es l sum de ls logitudes de los ldos de u figur. El perímetro de u círculo se llm logitud de l circufereci. El áre de u figur pl es l medid de l superficie o regió ecerrd por dich figur.

19 Cuerpos Se deomi cuerpo quellos elemetos que ocup u lugr e el espcio (y se rel o idel) y determi u espcio que ecierr. POLIEDROS. So quellos cuerpos compuestos exclusivmete por figurs geométrics pls. ELEMENTOS: o CARA. Es cd uo de los polígoos que lo limit. o ARISTA. Es el segmeto itersecció de dos crs. o VÉRTICE. Es el puto itersecció de dos o más rists. CUERPOS REDONDOS. So quellos que está compuestos totl o prcilmete por figurs geométrics curvs. Como l esfer, el cilidro o el coo. PRISMA. Los prisms so poliedros que posee dos crs prlels, llmds bses. Ls otrs crs se deomi crs lterles. o o o o REGULAR. Aquel cuys bses so polígoos regulres. IRREGULAR. Aquel cuys bses so polígoos irregulres. RECTO. Cudo ls crs lterles so perpediculres l bse. OBLICUO. Cudo ls crs lterles o so perpediculres l bse.

20 o PARALELEPÍPEDO. Es u prism de 6 crs, tods ells prlelogrmos. PIRÁMIDE. Ls pirámides so poliedros que posee u cr llmd bse y el resto de sus crs está formds por triágulos que se ue e u puto o vértice comú (crs lterles). o o o o REGULAR. Su bse es u polígoo regulr. IRREGULAR. Su bse es u polígoo irregulr. RECTA. Ls crs lterles so triágulos isósceles. OBLICUA. Algu de ls crs lterles o es u triágulo isósceles. Áre y Volume de cuerpos geométricos El áre de u cuerpo refiere l áre de los polígoos o figurs curvs que form sus crs. El volume de u cuerpo es l regió espcil ecerrd por el mismo. Prisms y Cilidro Esfer A: 2. Áre de l bse + áre lterl V: Superficie de l bse. ltur A: 4.. V:.. Pirámides y Coo A: Áre de l bse + áre lterl V: (Superficie de l bse. ltur) 3