Los vectores y sus operaciones

Transcripción

1 lasmatematcase Pedro Castro rtega Los ectores y ss operacones Un ector qeda determnado por dos pntos, el orgen, y el extremo Un ector qeda completamente defndo a traés de tres elementos: módlo, dreccón y sentdo Módlo de n ector es la dstanca entre y Se desgna ponendo el ector entre barras: Dgamos qe el módlo es a n ector lo qe el alor absolto es a n número real Dreccón de n ector es la dreccón de la recta qe lo contene o en la qe se encentra el ector, así como la de todas ss paralelas Sentdo Cada dreccón admte, natralmente, dos sentdos opestos En la fgra de arrba el ector tene sentdo opesto qe el ector Dos ectores son gales cando tenen el msmo módlo, la msma dreccón y el msmo sentdo Cando qeremos hacer so de n ector, podemos tomar, en s lgar, calqera de los qe son gales a él Dos ectores gales tambén se llaman eqalentes l connto formado por todos los ectores gales o eqalentes se le llama ector lbre y se selen desgnar así:,, w, x, y, etcétera Es decr, s, ' ', '' '',, son todos ectores gales, entonces, ' ', '' '', es n ector lbre S decmos qe estamos tlzando el ector, lo qe qeremos decr es qe estamos tlzando calqera de los del connto anteror, y lo llamaremos representante de la clase Hay dos tpos de magntdes físcas Unas son las magntdes escalares, en las qe para ndcar s alor basta con ndcar n número y s ndad correspondente (la masa, el tempo, el olmen, la temperatra, la densdad, etc) Sn embargo otras son magntdes ectorales, en las qe no basta ndcar n número (módlo) y na ndad, sno qe tambén habrá qe dar nformacón sobre en qé dreccón an, y en qé sentdo (elocdad, ferza, aceleracón, etc) Prodcto de n número por n ector Dado n ector y n número real k, k es otro ector qe tene la msma dreccón qe S k 0, k tene el msmo sentdo qe ; y s k 0, k y tenen sentdos opestos demás, la relacón entre los módlos de y de k es la sgente: k k Dcho de otra manera, el módlo de k es k eces el de sí por eemplo, el sentdo del ector eces el módlo de 3 es opesto al de, y s módlo es tres 3 Sma, resta y combnacón lneal de ectores Para smar dos ectores y, se procede del sgente modo: se stúa a contnacón de, de manera qe el orgen de concda con el extremo de La sma es el ector cyo orgen es el de y extremo el de Para restar dos ectores y,, se le sma a, el opesto de : S colocamos y con orgen común y completamos n paralelogramo, entonces la dagonal cyo orgen es el de y es el ector sma, La dagonal qe a del extremo de al extremo de es la resta Dados dos ectores y, y dos números reales a y b, el ector a b se dce qe es na combnacón lneal de y Por eemplo, 3, 5 7, son combnacones lneales de y Vectores Págna 1

2 lasmatematcase Pedro Castro rtega Coordenadas de n ector Un mportante resltado es qe, dados dos ectores x, y, con dstntas dreccones, calqer ector se pede poner como combnacón lneal de x y de y Es decr, exsten números reales a y b tales qe ax by demás la combnacón lneal anteror es únca, o lo qe es lo msmo, sólo exsten dos números reales a y b para los qe es certa la galdad anteror ase y coordenadas Se llama base del connto de los ectores del plano a dos ectores calesqera x e y con dstntas dreccones En este caso la base se denotará así: x, y S los dos ectores de la base son perpendclares se dce qe forman na base ortogonal, y s, además, ambos son ntaros o de módlo 1, se drá qe forman na base ortonormal Tal y como hemos sto anterormente, calqer ector del plano se podrá poner como combnacón lneal de los x, y de forma únca, es decr, exsten números reales a y b tales qe ax by Pes ectores de na base ben, a los números a y b se les llama coordenadas de en la base y escrbremos, para abrear, a, b ben a, b o peracones con coordenadas Spongamos qe y tenen, respecto de na base, las sgentes coordenadas:,,, Entonces: Las coordenadas del ector sma,, se obtenen smando las coordenadas de con las de :,, Dado n número real k, las coordenadas del ector k (prodcto de n número por n ector), se obtenen mltplcando por k las coordenadas de :,, k k k k Dados a y b números reales, las coordenadas de na combnacón lneal de y, a b, se obtenen aplcando lo qe se ha sto en los dos pntos anterores: Eemplos,,,,, a b a b a a b b a b a b 1 Spongamos qe, 3 y 5,4, 5 y 3 Las coordenadas de Las coordenadas de Las coordenadas de 3 1 son dos ectores respecto de na base Calclar las coordenadas de son:, 3 5, 4 5, 34 3,1 5 son: 5, 3 5, 53 10,15 son: 3, 3 5, 4 6, 9 10,8 6 10, 9 8 4, 1 Las coordenadas de, y w respecto de na base son 1, 1,,3 y w 5,15 se cmpla qe w a b Hallar a y b para qe Lo qe haremos es expresar la galdad anteror ssttyendo los ectores por ss coordenadas Entonces: 5,15 a1, 1 b,3 a, a b,3b a b, a 3b Igalando las prmeras coordenadas entre ab5 sí, y las segndas entre sí se pede plantear el sstema a 3b 15 Resoléndolo tenemos qe a 3, b 4 Vectores Págna

3 lasmatematcase Pedro Castro rtega Pntos y ectores en el plano Sstema de referenca en el plano Los ectores son de gran tldad para la geometría Vamos a constrr, a partr de ellos, n sstema de referenca para expresar analítcamente los pntos En el tema sgente tambén lo tlzaremos para expresar las fgras planas Un sstema de referenca para el plano consste en el connto R,, formado por n pnto fo, llamado orgen, y por na base, para los ectores Habtalmente se toma na base ortonormal (dos ectores ntaros y perpendclares) En este caso se habla del sstema de referenca habtal y tenemos qe 1,0, 0,1 Entonces, a cada pnto P del plano, se le asoca n ector fo P, llamado ector de poscón del pnto P Como, es na base el ector de poscón P tendrá nas coordenadas respecto de la base: 1,0 0,1,0 0,, P a b a b a b P a b Las coordenadas del ector de poscón P son las msmas qe las del pnto P : P a, b Pa, b fgra sgente la constrccón anteror) P P b (éase en la P a, b P P a Vector drector Los ectores sren para marcar las dreccones de las rectas Un ector paralelo a na recta se dce qe es n ector drector o n ector de dreccón de ella Cada recta tene pes nfntos ectores drectores Dada na recta r del plano, cada pnto syo tene s ector de poscón correspondente Por eemplo, a n pnto de la recta le corresponde s ector de poscón, a otro pnto de la recta le corresponde s ector de poscón, etcétera El ector qe ne el pnto con el pnto,, sería n ector drector de la recta r (er fgra de la derecha) bsérese qe el ector es gal al ector de poscón del pnto menos el ector de poscón del pnto : r Coordenadas del ector qe ne dos pntos La galdad anteror nos sre para hallar las coordenadas del ector qe ne dos pntos Como y son, b, b Por tanto: ectores de poscón deben de tener ambos nas coordenadas: a a, Vectores Págna 3,,, b b a a b a b a 1 sí pes las coordenadas del ector se obtenen restándole a las coordenadas de (qe son las msmas qe las de ) las coordenadas de (qe son las msmas qe las de ):,,,, a a b b b a b a 1 sí por eemplo, el ector qe ne el pnto P3, 4 con el pnto Q 6, es 6 3, 4 3, 6 Tambén podemos hallar el ector qe ne Q con P : QP 3 6, 4 3, 6 PQ

4 lasmatematcase Pedro Castro rtega Condcón para qe tres pntos estén alneados Ya hemos sto qe s a1, a y b1, b son dos pntos, el ector b1 a1, b a de la recta qe los contene S 1, C c a, c a y C c b, c b 1 es n ector drector C c c está alneado con y, pertenecerá tambén a la recta, y ocrrrá qe tambén serán ectores drectores de la recta y, por tanto, paralelos a 1, lo qe sgnfca qe los tres ectores han de ser proporconales, con lo qe ss coordenadas deben de formar na proporcón: b a b a k C c a c a 1 1 ; b a b a k ' C c b c b 1 1 Un eercco típco donde se tlza lo anteror es el sgente: aergar el alor de m para qe los pntos P 1,4, Q5, y R6, m estén alneados Por lo qe hemos sto PQ 5 1, 4 4, 6 y PR 6 1, m 4 5, m 4 por tanto, ss coordenadas proporconales: habrán de ser paralelos y, 5 m m 4 m 4 m Pnto medo de n segmento Podemos tlzar tambén los ectores para hallar el pnto medo de n segmento Dado n segmento de extremos a a y b, b, tenemos qe P es la dagonal del paralelogramo P Como las dagonales 1, de n paralelogramo se cortan en s pnto medo M, tenemos (er fgra de la derecha): 1 1 1, a b, a b M P a b a b a, a M P Por tanto, las coordenadas del pnto medo del segmento de 1 extremos a1, a y b1, b son a b, a M b b b 1, Smétrco de n pnto respecto a otro S n pnto X x, x es el smétrco de otro pnto Y y, y respecto de n pnto M m, m el pnto medo del segmento XY Por tanto: x1 y1 m1 x1 y1 x y m1, m, x y m Despeando x 1 y x se obtenen las coordenadas de X en fncón de las de Y y las de M Por eemplo, s hemos de hallar el smétrco del pnto 6,9 respecto del pnto P 4,3 llamar al smétrco X x, x Entonces medo es X 14, x16 x 9 x 9 x 4,3, Y M, entonces M es, lo qe hacemos es x 6 4 x 14 Por tanto, el pnto 3 3 X Vectores Págna 4

5 lasmatematcase Pedro Castro rtega Prodcto escalar de ectores Se llama prodcto escalar de dos ectores y al resltado de mltplcar el módlo de, por el módlo de por,, tenemos: el coseno del ánglo qe forman S llamamos al ánglo qe forman y, es decr, cos Como, y cos son números, entonces, tambén es n número De ahí el nombre de prodcto escalar, pes escalar sgnfca número, en contraposcón a ectoral, qe sgnfca ector ntes de segr dgamos qe el ector nlo o ector cero, 0, es n ector cyo orgen y extremo concden y, por tanto, s módlo es cero Carece de dreccón Pes ben, s no de los dos ectores o es 0, entonces, obamente, el prodcto escalar es 0 S y son ambos ectores no nlos, para qe el prodcto escalar sea 0 es necesaro qe cos 0, es decr, qe y sean perpendclares: Por tanto, la condcón necesara y sfcente para qe el prodcto escalar de dos ectores no nlos sea gal a 0 es qe los ectores sean perpendclares Esta es la propedad fndamental del prodcto escalar S el ánglo, 0 es agdo, entonces cos 0 y, por tanto, 0 es obtso, entonces cos 0 y, en este caso, 0 Propedades del prodcto escalar Sn embargo s el ánglo, No son dfícles de demostrar, tlzando la defncón de prodcto escalar, las sgentes propedades elementales Conmtata: socata homogénea:, Dstrbta: w w Posta: 0, 0 El prodcto escalar y la proyeccón de ectores Llamemos a la proyeccón del ector sobre el ector (er fgra) En el tránglo rectánglo se cmple qe cos cos Entonces cos, y hemos demostrado la sgente propedad: El prodcto escalar de dos ectores es gal al módlo de no de ellos por la proyeccón del otro sobre él Por tanto la proyeccón del ector sobre el ector se obtene despeando: Vectores Págna 5

6 lasmatematcase Pedro Castro rtega Expresón analítca del prodcto escalar en bases ortonormales S tomamos R,, n sstema de referenca ortonormal, es decr,, dos ectores ntaros (de módlo no) y perpendclares (ortogonales), tenemos: es na base ortonormal formada por cos0º 1111 ; cos0º 1111 ; cos90º demás, s las coordenadas de dos ectores y respecto de la base Demostracón: Como, Eemplo 1 1, entonces 1 y 1 Por tanto:, son,,, Sean los ectores, 3, 5, y wk,7 Por n lado,, 3 5, Por otro lado, con lo qe k Calclemos y el alor de k para qe w, entonces w 5,4 k,7 5k 47 5k 8 Como w, entonces w 0, es decr 5k 8 0, 8 5 partr de ahora y en el tema sgente trabaaremos sempre con sstemas de referenca ortonormales Módlo de n ector Las coordenadas de n ector x, y son las meddas de los catetos de n tránglo rectánglo cya hpotensa es el módlo de Por tanto (er fgra de la derecha): x y Vamos a dedcr esta galdad a partr del prodcto escalar: x y x, y y cos 0º x, y x, y x y x Ánglo de dos ectores Spongamos qe es el ánglo de dos ectores y :, S las coordenadas de estos ectores son x, y,, x y Por tanto: cos Eemplo Dados los ectores,3 y 5, x x 1 1 y y x y x y 1, ss módlos son: Entonces, despeando: cos x y, entonces x1x y1 y, x y, , 5 6 demás cos 0,365 68, 6º, qe es el ánglo qe forman los ectores y Vectores Págna 6