Análisis Dimensional y Modelos a Escala

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Eugenio Padilla Valverde
hace 7 años
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1 Análisis Dimensional y Modelos a Escala Santiago López 1. Análisis Dimensional Es interesante saber que las unidades de una cantidad física pueden ser explotadas para estudiar su relación con otras cantidades físicas. Dado que la naturaleza es independiente del sistema de unidades que se utilicen, se pueden sacar las siguientes conclusiones: 1. Toda relación físicas expresada de manera correcta (por ejemplo, la da ley de Newton) puede ser escrita de manera adimensional. Esto es, se puede escribir una igualdad de manera que las unidades a lado y lado de la misma sean nulas.. En cualquier comparación, las unidades de las cantidades a ser comparadas deben ser las mismas para que la primera sea valida (cuánto da la suma de tres mangos y un kilo de carne?). La primera conclusión es uno de los principios del análisis dimensional, el cual permite escribir leyes de escalamiento y relaciones entre diferentes parámetros de importancia en experimentos. La segunda conclusión es el principio de homogeneidad dimensional, el cúal requiere que todos los términos en una ecuación tengan las mismas unidades para que ésta sea válida (cúal debe ser el primer paso para saber si la respuesta de un ejercicio está correcta?). Entre varios métodos para el análisis dimensional, estudiaremos aquel propuesto por Buckingham (1914). Éste método propone que debe existir una relación funcional de la forma: f(q 1, q, q 3... q n ) = 0 (1) Para un número n de parámetros relevantes que describen un fenómeno en particular. Ahora, los n parámetros pueden ser combinados exáctamente en (n r) grupos adimensionales independientes (o grupos Π), dónde r es el número de dimensiones independientes. Lo anterior se puede expresar cómo: φ(π 1, Π... Π n r ) = 0 1

2 La importancia de éste método yace en la reducción significativa de parámetros cuando n y r son de un dígito (piensen ésto por un momento). Los pasos a seguir para resolver un problema de análisis dimensional deben ser: Paso 1. Seleccionar Variables y Parámetros En general, dentro de la lista debe incluirse una variable no conocida o la variable solución. El resto de los parámetros deben de venir de la geometría del problema, condiciones de frontera, condiciones iniciales, y propiedades del material. Constantes y otros límites fundamentales también deben ser incluidos. Sin embargo, recuerde que una lista exhaustiva de parámetros produce resultados de poca utilidad. Resolvamos el siguiente problema: para un fluido que fluye en una tubería llena, detecta una caída de presión entre dos mediciones de presión hechas a lo largo del ducto. Después de muchos experimentos, se halla que la caída de presión p depende de la distancia x que separa las mediciones, el diámetro d del tubo, la velocidad media del flujo U, la densidad ρ, la rugosidad ɛ del ducto, y la viscosidad dinámica µ. La relación funcional queda cómo: f( p, x, ρ, ɛ, d, U, µ) = 0 Paso. Construir Matriz Dimensional Por el momento, los problemas descritos en éste curso sólo implican variables térmicas (θ, o temperatura) y mecánicas (o dinámicas). La matriz dimensional se contruye listando las potencias de M, L, T, y θ en una columna para cada parámetro. Para el problema considerado: p x d ɛ U ρ µ M L T Paso 3. Determinar el Rango de la Matriz Recuerden que anteriormente se había mencionado que r es el número de unidades independientes que corresponden al número de grupos Π formados. Piensese que la tabla construida en el paso como un sistema de ecuaciones lineales para M, L, y T y se quiere saber si el sistema es LI (linealmente independiente). Recordando conceptos de algebra lineal, sabemos que un sistema de ecuaciones (en este caso, la matriz dimensional) es LI si para alguna submatriz

3 3 x 3 su determinante es diferente de cero, lo que implica que el rango es r = 3. Si probamos la determinante de las tres primeras columnas del problema: = Pero si probamos la determinante de las últimas 3 columnas: = Confirmando que r = 3. Por lo general, en estudios de dinámica las unidades relevantes son masa, longitud y tiempo las cuales son 3. En estudios de estática, en cambio, la masa no es relevante (r = ). Paso 4. Determinar el número de grupos Adimensionales Para nuestro caso, el número de grupos Π es igual a 7 3 = 4 (n r). Paso 5. Construir los grupos Π Por lo general se siguen dos métodos: por exponentes y por inspección (el cual dejo para que lo intuyan). El método por exponentes supone la construcción de cada grupo Π como la multiplicación de un parámetro con r parámetros repetitivos, cada uno elevado a un exponente desconocido. La escojencia de los r parámetros repetitivos depende de dos cosas: que la determinante formada por éstos sea distinta de cero, y buen criterio. En los problemas de fluidos, generalmente los parámetros repetitivos incluyen una velocidad, una longitud, y una propiedad del fluido son usadas como parámetros repetitivos. Para nuestro problema, podemos utilizar los parámetros U, ρ, y d, las cuales forman una matriz LI. Para formar el primer grupo Π utilicemos la variable solución p junto a las variables repetitivas así: Π 1 = P U a d b ρ c Los exponentes a, b, y c son obtenidos del requistito que Π 1 es adimensional: M 0 L 0 T 0 = (ML 1 T )(LT 1 ) a (L) b (ML 3 ) c Resolviendo el sistema de tres ecuaciones así obtenido, tenemos que a =, b = 0, y c = 1. Queda entonces que: Π 1 = p ρu 3

4 Si hacemos un procedimiento similar pero en vez de utilizar p usamos los parámetros que faltan ( x, ɛ, µ), obtenemos: Π = x/d, Π 3 = ɛ/d, y Π 4 = µ/ρud Paso 6. Armar la ecuación adimensional funcional La ecuación formada por los grupos adimensionales queda como: ( p x ρu = φ d, ɛ ) d, µ ρud Dónde Φ es una función no determinada. Algunos de éstos grupos tienen nombres; por ejemplo, es el número de Euler, y ρud se conoce cómo el número p ρu µ de Reynolds. Usualmente, un mismo grupo adimensional puede ser presentado de distintas formas (como es el caso del número de Reynolds en éste ejemplo), sin perder su significado.. Modelos a Escala Si se logra mediante un ejercicio juicioso y una consideración estricta de las variables relevantes de un fenómeno reducir el número de parámetros en la ecuación 1 tal que sólamente queden dos grupos-π, es relativamente sencillo estudiar experimentalmente un fenómeno que sea dominado por estos dos grupos. En los estudios básicos de mécanica de fluidos, generalmente implica hallar la relación entre el número de Euler y otro grupo adimensional: p ρu = φ(π 1) = K Π 1 Dónde K es una constante (por qué?). Éste tipo de relaciones es muy conveniente si se quiere estudiar un fenómeno a escala reducida, ya que las variables de interés quedan todas condensadas en Π 1, y éste último es la única condición de escalamiento del prototipo. Aunque no imposible (en algunos casos), el escalamiento cuando se realiza con más de dos grupos-π es más complejo ya que requiere que el investigador de alguna manera exprese los diferentes grupos en uno sólo, combinándolos linealmente; obviamente, esta combinación no puede ser arbitraria, sino que debe señirse a la física del fenómeno estudiado. 4

5 EJEMPLO: Modelo de Presa Supóngase que se quiere estudiar los patrones de flujo alrededor del embalse y el vertedero de la presa Salvajina, Cauca, Colombia. Para éste tipo de casos, se recomienda utilizar en conjunto con el número de Euler, el número de Froude 1. Los ingenieros de la época escogieron que la escala fuera 75:1, para evitar que el modelo tuviera un número de Reynolds menor a E4 (es decir, que el flujo tanto en el prototipo y modelo fueran completamente turbulentos ). De acuerdo a esto, cual es la ley de escala que rige al modelo según el prototipo? Respuesta En general: ( p ρu = U ) ( p = g L prototipo ρu = U ) g L modelo la escala de velocidades se halla: ( ) ( ) U U = g L prototipo g L modelo Teniendo en cuenta que la gravedad no cambia, y la escala es 75:1 (en adelante, prototipo y modelo referidos como p y m, respectivamente), llegamos a: la escala de presiones es igual a: ( ) p ρu Up 75 = U m 1 U p U m = 75 p = ( ) p Dado que, en éste caso, en ambos modelos se va a usar agua (se puede utilizar otro líquido): p p = U p = 75 p m Um 1 Demuestre que si un flujo es dominado por las fuerzas de inercia (U, ρ, p) y de gravedad (U, g, L), se obtiene p ρu = U g L. L corresponde a una longitud característica del flujo. Dogma de fe, de éste tema se hablará más adelante ρu m 5

6 la escala que corresponde a los caudales se puede extraer, sabiendo que Q = U A, así: ( ) Q p Am = Q ( ) p L m = 75 Q m A p Q m Problemas L p Q p Q m = (75) 5/ 1. Utilizando Q, D, H/L, ρ, µ, g como variables apropiadas para el flujo sobre un tubo liso, determínese los grupos adimensionales correspondientes, usando Q, ρ, µ como parámetros repetitivos.. Las pérdidas causadas por una bifurcación en una tubería a travéz de la cual fluye un gas (ρ = 40 kg/m 3, µ = 0,00 P, V = 5 m/s) se han de determinar mediante pruebas en un modelo con agua a temperatura estándar. El laboratorio puede proveer hasta 75 lt/s. Cual debe ser la escala del modelo? Cuales son las leyes de escalamiento? 6

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