Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo

Transcripción

1 apíulo Iroduió Rpua Traioria d Sima Lial Ivaria l Timpo Ua vz obido l modlo d u ima, xi vario méodo para l aálii dl dmpño dl ima. E la práia, la ñal d rada para u ima d orol o oo o aiipaió, pro d auralza alaoria, y la rada iaáa o pud xprar forma aalíia. Sólo alguo ao pial oo o aiipaió la ñal d rada y pud xprar forma aalíia o mdia urva; al l ao dl orol auomáio d hrramia d or. E l aálii y diño d ima d orol, db r ua ba d omparaió dl dmpño d divro ima d orol. Ea ba ofigura pifiado la ñal d rada d pruba pariular y omparado la rpua d vario ima a a ñal d rada. Muho ririo d diño baa al ñal o la rpua dl ima a lo ambio la odiio iiial (i ñal d pruba). El uo d ñal d pruba juifia porqu xi ua orrlaió r la araríia d rpua d u ima para ua ñal d rada d pruba omú y la apaidad dl ima d majar la ñal d rada ral Sñal d pruba ípia Dbido a qu rara vz oo o aiipaió l ojuo omplo d ñal qu pud rar a u ima d orol, omú l uo d u ojuo d ñal, qu o bi ooida y dfiida, y uya forma prmi valuar algua araríia muy pariular dl dmpño l domiio dl impo dl ima. So múlipl la ñal d pruba qu pud mplar. La ñal d pruba qu ua rgularm o fuio aló u(), rampa, parábola, impulo, oidal,. o a ñal d pruba, rula impl fuar l aálii mamáio y/o xprimal d lo ima d orol, r ora araríia, dbido a qu o ñal o fuio dl impo muy impl. E ípio qu l aálii d la rpua mporal mpl la forma d la rada a la qu l ima ará ujo o mayor fruia bajo ua opraió ormal. Eo drmia uál d la ñal d rada ípia db uar para aalizar la araríia dl ima. Fuió Rampa. S mpla uado upo qu la rada para u ima d orol o fuio dl impo qu ambia forma gradual. Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo.

2 Rpua Traioria d Sima Lial Ivaria l Timpo Fuió Ealó. E mpla uado upo qu l u ima ará ujo a prurbaio rpia. Fuió Impulo. Ea ñal pruba aduada i upo qu l ima ará para u ima ujo a rada d hoqu. El uo d ñal d pruba prmi qu l diño d u ima d orol por lo gral prmia alazar u dmpño aifaorio a rada ral. D igual modo, l uo d la ñal d pruba úil, dbido a qu prmi omparar l dmpño d odo lo ima obr la mima ba Rpua raioria y rpua ado abl. Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. La rpua l impo d u ima d orol oa d do par: la rpua raioria y la rpua ado abl, qu omúm domiada rpua d régim aioario. La rpua raioria id al omporamio dl ima qu va dl ado iiial al ado fial. La rpua d ado aioario rfir a la mara la ual ompora la alida dl ima oform l impo, id a ifiio ( ) Eabilidad abolua, abilidad rlaiva y rror ado abl uado fúa l diño d u ima d orol, db r apaz d podr prdir l omporamio diámio baado l ooimio d u ompo; o impraivo, para podr garaizar ua opraió aifaoria a ualquir ipo o odiió d xiaió. La araríia má impora dl omporamio diámio d u ima d orol la abilidad abolua, dir, i l ima abl o iabl Dfiiio Sima abl. U ima d orol á quilibrio i, auia d ualquir prurbaió o rada, la alida prma l mimo ado. U ima d orol lial ivaria o l impo abl i la alida rmia por rgrar a u ado d quilibrio uado l ima á ujo a ua odiió iiial. Sima ríiam Eabl. E aqul ima d orol lial ivaria o l impo qu la oilaio d la alida oiúa para impr. Sima Iabl. E aqul l qu la alida divrg i lími a parir d u ado d quilibrio uado l ima á ujo a ua odiió iiial. E u ima fíio ral la alida pud aumar haa u iro puo, pro ípiam la alida limiada o aoada por rriio máia o bi l ima pud olapar o volvr o lial dpué d qu la alida xd ira magiud, por lo ual ya o aplia la uaio difrial lial. Rpraió d la Rpua d u Sima Eabl Fraio M. Gozalz-Loga

3 apíulo 3: Par I 3 Rpraió d la Rpua d u Sima ríiam Eabl Rpraió d la Rpua d u Sima Iabl Figura. Difr forma d rpua d u ima fuió d la abilidad abolua Por ora par, xi oro omporamio impora la rpua dl ima y qu db ribir ua uidadoa oidraió á la abilidad rlaiva y l rror ado abl. Dado qu u ima d orol fíio implia u almaamio d rgía, la alida dl ima, uado é á ujo a ua rada, o ud a la rada d imdiao, io qu xhib ua rpua raioria a d alazar u ado abl. La ípia rpua raioria d u ima d orol práio xhib oilaio amoriguada a d alazar u ado abl. El ado abl fial o ariam db oiidir o l iiial. D hho, i la alida d u ima ado abl o oiid xaam o la rada, di qu l ima i u rror ado abl. E rror u idiador d la priió dl ima. uado fúa l aálii d u ima d orol, db obligaoriam xamiar l omporamio, ao régim raiorio omo régim aioario. 3. Sima d Primr Ord S domia ima d primr ord a aquéllo uya uaió dripiva mporal d primr ord. Eo ima uiliza al igrador omo bloqu báio l darrollo d modlo mamáio d ima fíio. oidr l ima d primr ord d la Figura igui: R ( ) + E( ) ( ) Figura. Diagrama d Bloqu d u Sima d Primr Ord Fíiam, ima pud rprar u iruio R, u ima érmio o algo imilar. Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. Fraio M. Gozalz-Loga

4 4 Rpua Traioria d Sima Lial Ivaria l Timpo E la figura igui fúa la rpraió implifiada dl diagrama d bloqu dl ima d primr ord. R( ) + ( ) Figura 3. Diagrama d Bloqu d u Sima d Primr Ord Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. La rlaió rada-alida R()/() obi mdia: ( ) () + R 3... Rpua a u Ealó Uiario Parido d la fuió d rafria d u ima d primr ord, prod a apliar u alo uiario r() u() uya raformada d Lapla l/. S prod a uiuir R() l/ la fuió d rafria y i: + () R() + Para lograr la rpua l impo dl ima (), db apliar la raformada ivra d Lapla a la xprió arior, dod rula pri fuar ua xpaió fraio parial. () + + La xprió arior upibl a qu apliqu la raformada ivra d Lapla, obiédo la rpua dl ima l impo a u aló uiario: () para La uaió arior idia qu la alida () iiialm ro y al fial (uao ) vulv uiaria. Ua araríia impora d al urva d rpua xpoial () qu, para, l valor d la rpua ().63, lo qu idia qu la rpua () alazó 63.% d u ambio oal. E rulado obi d uiuir u impo, la uaió d la rpua, () ( ). 63 E impora idiar qu a mdida qu la oa d impo má pquña, má rápida la rpua dl ima. Ora araríia impora d la urva d rpua xpoial qu la pdi d la lía d ag, /, dado qu: () d d La rpua alazaría l valor fial i mauvira u vloidad d rpua iiial. A parir la uaió arior mura qu la pdi d la urva d rpua () dimiuy forma mooóia d / a ro. La urva d rpua xpoial () morada la igui grafia. Fraio M. Gozalz-Loga

5 apíulo 3: Par I 5 ().8 B Rpua () % A 86.5% 95.% 98.% 99.3% Timpo Figura 4. urva d rpua xpoial, aoiada a la rpua d u ima d primr ord a ua rada d aló uiario Para u impo igual a ua oa d impo, la urva d rpua xpoial ha ido d a 63.% dl valor fial. uao, la rpua alaza 86.5% dl valor fial. Y para 3, 4, 5 la rpua alaza 95, 98. y 99.3%, rpivam, dl valor fial. Por ao, para 4, la rpua prma dro dl % dl valor fial. La uaió d la rpua (), idia laram qu l ado abl alaza mamáiam ólo dpué d u impo ifiio. Si mbargo, la práia, ua imaió razoabl dl impo d rpua la logiud d impo qu ia la urva d rpua para alazar la lía d % dl valor fial, o uaro oa d impo, 4. U maimo para drmiar xprimalm i u ima o o d primr ord, prod a grafiar la urva logarímia () ( ) ora l impo, dod () la alida dl ima, omo ua fuió d. Si la urva ovir ua lía ra, l ima d primr ord. () ( ) ( ) ( ) % 36.8 ( ) ( ).386[ ( ) ( ) ] Figura 5. Grafia d () ( ) / () ( ) ora ima d j mi-logarímio 3... Rpua rampa uiaria d ima d primr ord Ahora upóga qu i l ima d primr ord (Figura 3). Al ual aplia ua rampa uiaria. Dado qu la raformada d Lapla d la fuió rampa uiaria l/, obi la alida dl ima. Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. Fraio M. Gozalz-Loga

6 6 Rpua Traioria d Sima Lial Ivaria l Timpo Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. () R() + + S prod a apliar paraió fraio parial: ( + ) () + ( + ) Fialm obi la rpua l impo, apliado la raformada ivra d Lapla: () + para E la igui figura mura la rpua dl ima d primr ord, a ua rada dl ipo rampa uiaria. Si mbargo, hay qu ha oar qu la rpua o alida o oiid plam o la rada o xiaió, d modo qu xi u rror régim aioario. Rpua () r( ) ( ) ( ) Timpo Figura 6. urva d rpua d u ima d primr ord a ua rada d rampa uiario E l impo, la diaia r la rada y alida orrpod al rror d ado (): ( ) r( ) ( ) () A mdida qu l impo r, y id a ifiio,, obi l rror d régim aioario lim [ ( ) ] lim ( ) La rada rampa uiaria y la alida dl ima mura la Figura 6. El rror dpué d la rada rampa uiaria igual a para ua ufiim grad. Er má pquña la oa d impo, má pquño l rror ado abl dpué d la rada rampa. Fraio M. Gozalz-Loga

7 apíulo 3: Par I Rpua impulo uiario d ima d primr ord oidr u ima d primr ord. A ima l aplia ua rada impulo uiario, r() δ(), d al modo la raformada d Lapla rula r R() y fialm la alida dl ima pud obr omo: () R() D al modo qu apliado raformada ivra d Lapla obi: () para La urva d rpua obida mdia la uaió arior apar la igui figura. Rpua () / () Timpo Figura 7. urva d rpua d u ima d primr ord a ua rada d impulo Ua propidad impora d lo ima lial ivaria o l impo. E l aálii arior, dmoró qu, para la rada rampa uiaria, la alida () : () + para Para la rada aló uiario, qu la drivada d la rada rampa uiaria, la alida. () para Por úlimo, para la rada impulo uiario, qu la drivada d la rada aló uiario, la alida () : () para Ua propidad bi ira rula al fuar la omparaió d la rpua dl ima para a r rada (rampa, aló, impulo) idia o laridad qu la rpua ala drivada d ua ñal d rada obi difriado la rpua dl ima para la ñal origial. Ruérd qu la drivada d la rampa l aló, y la drivada dl aló l impulo. Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. Fraio M. Gozalz-Loga

8 8 Rpua Traioria d Sima Lial Ivaria l Timpo Por ora par, ambié obrva qu la rpua para la igral d la ñal origial obi igrado la rpua dl ima para la ñal origial y drmiado la oa d igraió a parir d la odiió iiial d alida ro. Lo a xpuo vidia ua propidad d lo ima lial ivaria o l impo. Aqullo ima lial y varia o l impo y lo ima o lial o po a propidad. 3.3 Sima d Sgudo Ord Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. Si bi iro qu lo ima d orol d gudo ord o raro la praia, u aálii gralm ayuda a formar ua ba para l dimio dl aálii y diño d ima d ord ma alo, pialm aqullo qu pud aproximar mdia ima d gudo ord. oidr u ima d orol d gudo ord, o ralimaió uiaria omo l qu mura la Figura 8. La fuió d rafria d lazo abiro : E( ) R () + ( ( ) ) + ξ Figura 8. Sima d orol Prooipo d Sgudo Ord ( ) () ( + ξ ) G() E Dod, ξ, o oa ral. La fuió d rafria d lazo rrado dl ima : R ( ) () + ξ + El ima d la Figura 8, o la fuio d rafria a morada dfi omo ima prooipo d gudo ord. E la forma aóia d gudo ord: R ( ) () + ξ + S i qu: σ ξ domia auaió; la fruia aural o amoriguada y ξ l faor d amoriguamio rlaivo dl ima. El faor d amoriguamio rlaivo ξ l oi r amoriguamio ral B y l amoriguamio ríio B, ξ La uaió araríia d la uaió aóia d gudo ord obi dl domiador d la fuió d rafria global: Δ + ξ + B B ( ) Fraio M. Gozalz-Loga

9 apíulo 3: Par I 9 E forma gral, l omporamio diámio dl ima d gudo ord pud dribir érmio d do parámro ξ y. Eo do parámro o lo qu dfi la ubiaió d lo polo d la fuió d rafria d lazo rrado. D hho l parámro ξ, dfi la ubiaió d lo polo d la fuió d rafria. E ao la raí dl poliomio araríio Δ(), o lo polo. Si < ξ <, lo polo lazo rrado o ompljo ojugado y ura l miplao izquirdo dl plao. El ima, o domia ubamoriguado y la rpua raioria oilaoria. Si ξ, l ima domia ríiam amoriguado. Si ξ > l ima obr amoriguado. Si ξ, la rpua raioria o amorigua. La rpua raioria d lo ima ríiam amoriguado y obr amoriguado o oilaoria. Ahora da obr la rpua dl ima qu apar la Figura 9 para ua rada aló uiario. S oidra r ao difr: l ubamoriguado ( < ξ < l), l ríiam amoriguado (ξ ) y l obramoriguado (ξ > ).. () Figura 9. urva d rpua aló uiario dl ima aóio d gudo ord Para ua rada d aló uiario r() u(), i qu la raformada d Lapla R() /, la rpua dl ima obi omado la raformada d Lapla d la raformada d la alida. () R() + ξ + + ξ + () ( + ξ + ) Nó qu para obr la raformada ivra d Lapla d () db fuar ua dompoiió fraio parial, y lo ual domiado por la raí dl poliomio araríio Δ(). Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. Fraio M. Gozalz-Loga

10 Rpua Traioria d Sima Lial Ivaria l Timpo ao ubamoriguado ( < ξ < ) Si l faor d amoriguamio aifa: < ξ <, o la raí dl poliomio araríio o omplja ojugada., ξ ξ ± j, α ± j dod α ξ, d ξ Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. D al modo, qu la fuió d rafria alida pud r faorizada d la forma: R () () ( + ξ + j )( + ξ j ) Dod α orola l amoriguamio dl ima y oo omo faor d amoriguamio o oa d amoriguamio. El ivro d la oa d amoriguamio, /α, proporioal a la oa d impo dl ima. Por u par d ξ la fruia d domia fruia aural amoriguada. Para ua rada aló uiario, la rpua () rib omo: () d ( + ξ + ) La raformada ivra d Lapla d la uaió arior obi o failidad i () haido uo d la paraió fraio parial rib la forma igui: () () + ξ + ξ ( + ξ + ) ( + ξ ) + ( + ξ ) + S oo ua propidad ira: + ξ L ξ od ( + ξ ) + d d ξ L d ( + ξ ) + d D al modo qu la rpua dl ima pud r obida por la raformada ivra d Lapla d la uaió ya ablida y obi omo: L [ ( ) ] ( ) ξ () ξ od + d ξ ξ () ξ d + a para ξ ξ A parir d la uaió arior obrva qu la fruia d oilaió raioria la fruia aural amoriguada d y qu, por ao, varía o l faor d amoriguamio rlaivo ξ. d ξ d d Fraio M. Gozalz-Loga

11 apíulo 3: Par I La ñal d rror para ima (), la difria r la rada y la alida, y : r () ( ) ( ) ( ) ξ ξ o d + d para ξ La ñal d rror pra ua oilaió oidal amoriguada; ado abl, o, o xi u rror r la rada y la alida. Si l faor d amoriguamio rlaivo igual a ro ξ, la rpua vulv o amoriguada y la oilaio oiúa idfiidam. La rpua () para l ao dl amoriguamio ro obi uiuydo ξ la uaió d la rpua i qu: o para () A parir d la uaió arior, abl qu rpra la fruia aural o amoriguada dl ima. E dir,, la fruia a la ual l ima oilaría i l amoriguamio dimiuyra a ro. Si l ima lial i ualquir aidad d amoriguamio, o pud obrvar xprimalm la fruia aural o amoriguada. La fruia qu obrva la fruia aural amoriguada d, qu igual a. Ea fruia impr mor qu la fruia aural o amoriguada. U aumo ξ rduiría la fruia aural amoriguada d. Si ξ auma má allá d la uidad, la rpua vulv obramoriguada y o oilará. Solo para r mplado o objivo d valuaió, o aadémio. Prohibido la rproduió oal o parial d doumo. Fraio M. Gozalz-Loga