personal.us.es/elisacamol Elisa Cañete Molero Curso 2011/12

Transcripción

1 Teoría de conjuntos. Teoría de Conjuntos. personal.us.es/elisacamol Curso 2011/12 Teoría de Conjuntos.

2 Teoría de conjuntos. Noción intuitiva de conjunto. Propiedades. Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí, que se llaman elementos del mismo. Un conjunto lo podemos definir por extensión, encerrando todos sus elementos entre llaves, por ejemplo, A = {2,4,6,8}, o por comprensión, es decir, caracterizando los elementos que forman dicho conjunto, por ejemplo, A = {números pares y positivos menores que 9}. Teoría de Conjuntos.

3 Teoría de conjuntos. Propiedades y Definiciones. Propiedades. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a / A. Ejemplos:, el conjunto vacío, que carece de elementos. N, el conjunto de los números naturales. Z, el conjunto de los números enteros. Q, el conjunto de los números racionales. R, el conjunto de los números reales. C, el conjunto de los números complejos. Teoría de Conjuntos.

4 Teoría de conjuntos. Propiedades y Definiciones. Propiedades. Al número de elementos de un conjunto se le denomina cardinal del conjunto A y se denota por A. El cardinal del conjunto es el cero. Se dice que dos conjuntos A y B son iguales (o idénticos) si constan exactamente de los mismos elementos, en cuyo caso escribiremos A = B. Ejemplos: A = {2,4,6,8}, B = {2,8,4,6} y C = {2,2,4,4,6,8}. A = B = C. Teoría de Conjuntos.

5 Teoría de conjuntos. Propiedades y Definiciones. Propiedades. Se dice que un conjunto A es un subconjunto de B y se escribe A B si todo elemento de A es de B. Esta relación entre conjuntos se llama relación de inclusión. Si A B no excluye la posibilidad de que B A. A B y B A si y sólo si A = B. Teoría de Conjuntos.

6 Teoría de conjuntos. Propiedades. Unión. Dados dos conjuntos A y B, se define la unión de A y B, y se denota por A B, al conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B. Intersección. Dados dos conjuntos A y B, se define la intersección de A y B, y se denota por A B, al conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B. Teoría de Conjuntos.

7 Teoría de conjuntos. Propiedades de la unión. Propiedades. Propiedad asociativa: Propiedad conmutativa: Propiedad idempotente: (A B) C = A (B C) A B = B A A A = A Elemento ínfimo y elemento universal: Para cualquier conjunto A se verifica que A = A. Si todos los conjuntos considerados son partes de un conjunto U, se tiene que A U = U. Teoría de Conjuntos.

8 Teoría de conjuntos. Propiedades de la intersección. Propiedades. Propiedad asociativa: Propiedad conmutativa: Propiedad idempotente: (A B) C = A (B C) A B = B A A A = A Elemento ínfimo y elemento universal: Para cualquier conjunto A se verifica que A = A. Si todos los conjuntos considerados son partes de un conjunto U, se tiene que A U = A. Teoría de Conjuntos.

9 Teoría de conjuntos. Notas. Propiedades. Si A B = se dice que A y B son conjuntos disjuntos. Sea A 1,A 2,...,A n una colección finita de conjuntos, se define la unión de todos los conjuntos y se representa por n A i = A 1 A n, como el conjunto de todos los i=1 elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A i. Sea A 1,A 2,...,A n una colección finita de conjuntos, se define la intersección de todos los conjuntos y se representa n por A i = A 1 A n, como el conjunto de todos los i=1 elementos que pertenecen a cada uno de los conjuntos A i. Teoría de Conjuntos.

10 Teoría de conjuntos. Notas. Propiedades. Ambas operaciones entre conjuntos verifican las siguientes propiedades: Ley de simplificación: Propiedad distributiva: (A B) A = A (A B) A = A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Teoría de Conjuntos.

11 Teoría de conjuntos. Conjunto Complementario. Propiedades. Si A X, se llama complementario de A con respecto a X, al conjunto de todos los elementos de X que no pertenecen a A, y se denota por A. Propiedades: El complementario verifica las siguientes propiedades: = X y X =. A = A. A B = A B. A B = A B. Si A B, entonces B A. A A = X y A A =. Teoría de Conjuntos.

12 Lenguaje formal. Teoría de conjuntos. Lógica proposicional. Tablas de Verdad Una proposición simple es una afirmación simple a la que se le pueda asignar un valor de verdad (V) o falsedad (F). Ejemplos: x+3 es un entero positivo NO ES UNA PROPOSICIÓN. 15 es un número entero SÍ ES UNA PROPOSICIÓN y tiene el valor V. 15 es un número par SÍ ES UNA PROPOSICIÓN y tiene el valor F. Las proposiciones las representamos con las letras p, q, r, etc... Asignamos p a la siguiente proposición hoy es lunes, por q la proposición el cielo está despejado por r hoy hay luna llena. 2 Teoría de Conjuntos.

13 Conectores lógicos. Teoría de conjuntos. Lógica proposicional. Tablas de Verdad Las proposiciones simples pueden combinarse mediante las llamadas conectores lógicos para formar proposiciones compuestas. Los conectores lógicos son: La negación. Por ejemplo, p significa que hoy no es lunes. La disyunción. También se le denomina o inclusivo. Por ejemplo, p q significa que pueden ser ciertas las dos proposiciones hoy puede serl lunes y/o el cielo puede estar despejado. En el lenguaje cotidiano el o es exclusivo. La conjunción. Corresponde al y de nuestro lenguaje cotidiano. Por ejemplo, p q significa que hoy es lunes y el cielo está despejado. Teoría de Conjuntos.

14 Conectores lógicos. Teoría de conjuntos. Lógica proposicional. Tablas de Verdad La implicación. También llamada condicional. Por ejemplo, p q significa que si hoy es lunes entonces el cielo está despejado. La equivalencia. Por ejemplo, p q significa que hoy es lunes si y sólo si el cielo está despejado. Otros elementos que suelen aparecer son los paréntesis. Por ejemplo, no es lo mismo esta proposición compuesta p (q r) que esta otra (p q) r Teoría de Conjuntos.

15 Tablas de Verdad. Teoría de conjuntos. Lógica proposicional. Tablas de Verdad p tomará el valor verdad (V) si p toma el valor falso (F) y tomará el valor falso (F) si p toma el valor verdad (V). p q tomará el valor verdad (V) si al menos uno de entre p y q toma el valor verdad (V) y tomará el valor falso (F) si tanto p como q toma el valor falso (F). p q tomará el valor verdad (V) si p y q toman el valor verdad (V) y tomará el valor falso (F) si uno de entre p y q toma el valor falso (F). Teoría de Conjuntos.

16 Tablas de Verdad. Teoría de conjuntos. Lógica proposicional. Tablas de Verdad p q tomará el valor verdad (V) si p y q toman el valor verdad (V) y tomará el valor falso (F) si uno de entre p y q toma el valor falso (F). p q tomará el valor verdad (V) si p y q toman el valor verdad (V) o si p toma el valor falso (F) independientemente del valor que toma q y tomará el valor falso (F) en los demás casos. p q tomará el valor verdad (V) si p y q toman el mismo valor y tomará el valor falso (F) en los demás casos. Teoría de Conjuntos.

17 Tablas de Verdad. Teoría de conjuntos. Lógica proposicional. Tablas de Verdad Una proposición se dice que es una tautología si toma el valor verdad independientemente de los valores de las proposiciones que la componen. Una proposición se dice que es una contradicción si toma el valor falso independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. Una proposición se dice que es una contingencia si no es ni una tautología ni una contradicción. Teoría de Conjuntos.

18 Teoría de conjuntos. Axiomas y Propiedades. El álgebra de Boole es un conjunto de elementos, B, dos operaciones binarias: +, denominada suma o adición y, llamada producto o multiplicación, que satisfacen los siguientes axiomas: Axioma 1: Las operaciones + y son conmutativas: a+b = b+a a b = b a Axioma 2: Las operaciones + y son asociativas: (a+b)+c = a+(b+c) (a b) c = a (b c) Teoría de Conjuntos.

19 Axiomas. Teoría de conjuntos. Axiomas y Propiedades. Axioma 3: Las operaciones + y son distributivas: a+(b c) = (a+b) (a+c) a (b+c) = (a b)+(a c) Axioma 4: Las operaciones + y tienen elemento identidad 0 y 1, respectivamente: a+0 = a a 1 = a Axioma 5: Cada elemento a B tiene un complementario que se denota por a : (Operación unitaria) a+a = 0 a a = 1 Teoría de Conjuntos.

20 Ejemplos. Teoría de conjuntos. Axiomas y Propiedades. Ejemplo 1: El álgebra de conjuntos es un álgebra de Boole. El conjunto de elementos, las dos operaciones binarias, la unión y la intersección, siendo sus elementos identidad el conjunto universal (el total X) y el conjunto vacío ( ). La operación unitaria el complementario: A = A, A X = A. A A = X = 1, A = = 0. Teoría de Conjuntos.

21 Ejemplos. Teoría de conjuntos. Axiomas y Propiedades. Ejemplo 2: Álgebra Proposicional. El conjunto B está formado por dos elementos V y F; las dos operaciones (disyunción) y (conjunción) cuyos elementos identidad son F y V respectivamente. La operación unitaria es la negación,. V F = V, F F = F, (suma) V V = V, F V = F, (producto) V V = V = 1, V V = F = 0, (complementario) Teoría de Conjuntos.

22 Ejemplos. Teoría de conjuntos. Axiomas y Propiedades. Ejemplo 3: Álgebra de conmutación. Este álgebra es importante en el análisis de circuitos. El conjunto de elementos, B = {0,1} las dos operaciones (+) y y la operación unitaria vienen dadas por: x x Aplicación inportante: Circuitos eléctricos Teoría de Conjuntos.