Plan Anual de Actividades Académicas a completar por el Director de Cátedra

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1 Plan Anual de Actividades Académicas a completar por el Director de Cátedra Departamento: De Ingeniería en Sistemas de Información Asignatura: Matemática Discreta Asociado: Ing. Roberto Horacio Fanjul Adjunto: Esp. Lic. Ana Elisa Ibañez, Lic. Gladis Mónica Romano, Mg. Lic. Lidia Beatriz Esper, Mg. Lic. Lina Tártalo JTP: Esp. Lic. Hilda María Motok Auxiliares: Lic. Clara Grinblat, Ing. Ariel Martínez, Ing. Marisel Bedrán Planificación de la asignatura Fundamentación de la materia dentro del plan de estudios. Esta asignatura está dirigida a aquellos que estén interesados en conocer una parte de la matemática finita y, más concretamente, al alumnado de cualquier ingeniería informática. Las actuales recomendaciones curriculares en informática señalan que, la presencia de parte de las matemáticas necesarias para el ingeniero informático ha sufrido un proceso de redireccionamiento hacia las estructuras discretas. Así, aunque no existe total coincidencia en el papel que debe jugar la matemática tradicional, todos coinciden en resaltar la importancia que en ciencia de la computación tienen las estructuras discretas. En ese sentido podríamos decir que las estructuras discretas son las matemáticas de la informática, aunque no las únicas. De hecho, la matemática discreta, considerada como disciplina independiente, ha nacido hace muy pocos años como consecuencia de la aparición del computador que, al fin y al cabo, es una máquina finita. Esto se debe a que la Matemática Discreta proporciona los fundamentos teóricos apropiados para la informática, fundamentos que no son sólo beneficiosos para hacer informática teórica, sino para la práctica de la informática, como evidencia la reciente proliferación de libros sobre métodos formales. Son muchos los tópicos que pueden clasificarse dentro de la materia de matemática discreta. Podemos considerar, por ejemplo, los tópicos relacionados con la teoría de conjuntos, la lógica básica, las técnicas de demostración, los fundamentos de conteo, la aritmética entera y modular, los grafos, los árboles o 1

2 la probabilidad discreta. De entre ellos, existen ciertos tópicos que por sus características pueden, también, englobarse dentro de otras disciplinas o materias. Por ejemplo, los conceptos relacionados con la teoría de conjuntos pueden formar parte del álgebra, la lógica básica y las técnicas de demostración formarían parte de la lógica considerada como materia, y lo mismo ocurre con la probabilidad discreta que ya por sí misma puede considerarse una disciplina. Todo ello nos ha llevado a considerar en esta asignatura conceptos relacionados con la aritmética entera y modular, la lógica, relaciones y dígrafos, grafos, relaciones y estructuras de orden, árboles y estructuras finitas; en un todo de acuerdo con los contenidos mínimos de la asignatura establecidos en la Ordenanza de Consejo Superior Nº: 1150/07 Propósitos u objetivos de la materia. La materia MATEMÁTICA DISCRETA, inserta en el área de Programación de la carrera de Ingeniería en Sistemas de Información, tiene como objetivo fundamental: Contribuir a la formación básica del Ingeniero en Sistema de Información con aportes matemáticos relacionados con la lógica formal, métodos de demostración y lógica de predicados; el conjunto de los enteros, inducción y recursión; relaciones, orden y estructuras; grafos y árboles, conceptos necesarios para el área de Programación. Incentivar a los alumnos a desarrollar sus capacidades de detección y solución de problemas propios de su carrera. Presentar al estudiante de primer año los temas y técnicas de los métodos discretos y el razonamiento, los cuales necesitan un análisis cuidadoso de su estructura y de las posibilidades lógicas. Presentar una amplia gama de aplicaciones cuyas soluciones conducen por sí mismas a procedimientos iterativos que llevan a algoritmos específicos. Desarrollar la madurez matemática del estudiante a través del estudio de un área muy diferente de lo que tradicionalmente se incluye en el cálculo y las ecuaciones diferenciales. Presentar un análisis adecuado de los temas para el estudiante de informática, que le servirán de base para realizar cursos más avanzados en áreas específicas de su carrera. Contenidos. UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES Que el alumno sea capaz de: Identificar los elementos que pertenecen y los que no pertenecen a un conjunto Interpretar correctamente la notación simbólica en la definición de conjuntos. 2

3 Representar conjuntos en Diagramas de Venn Realizar operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica) Construir una teoría formal básicamente a partir de las propiedades de los números enteros. Aprender un lenguaje que es muy útil y con muchas aplicaciones en matemáticas. Preparar al estudiante para que pueda profundizar en el área. Conocer propiedades relativas a la divisibilidad y a los números primos. Conocer y demostrar diversos teoremas relativos a los números enteros Contenidos Conceptuales: Conjuntos y subconjuntos. Operaciones con conjuntos. Sucesiones. Divisiones en los enteros. Estructuras matemáticas. Algoritmos y seudocódigos. UNIDAD 2: LÓGICA Identificar proposiciones simples y compuestas.1 Aplicar las leyes lógicas para obtener nuevas proposiciones o equivalentes. Aplicar correctamente las reglas de inferencia que se utilizan en los razonamientos y/o demostraciones matemáticas. Diferenciar la sintaxis y la semántica de la lógica proposicional y del cálculo de predicados. Utilizar adecuadamente los términos y fórmulas del lenguaje lógico y del cálculo de predicados. Identificar propiedades que requieran de la inducción matemática como método de prueba. Aplicar la inducción matemática para la demostración de propiedades. Contenidos Conceptuales: Proposiciones y operaciones lógicas. Conectivos lógicos y proposiciones compuestas. Cuantificadores. Proposiciones condicionales. Métodos de demostración. Inducción matemática. UNIDAD 3: RELACIONES Y DIGRAFOS. RELACIONES Y ESTRUCTURAS DE ORDEN Identificar las Relaciones de Equivalencias y las Relaciones de Orden Parcial. Conocer los dígrafos y las matrices asociados a relaciones binarias. Identificar a los Conjuntos Cocientes generados por las Relaciones de Equivalencia Identificar los elementos distinguidos de un Conjunto Parcialmente Ordenado (CPO) Representar a los CPO por medio del Diagrama de Hasse Reconocer una estructura de Látis y sus propiedades 3

4 Reconocer una estructura de Álgebra de Boole y sus propiedades. Contenidos Conceptuales: Conjuntos productos y particiones. Relación. Dígrafo de una relación. Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto. Relaciones de Equivalencia y de Orden. Conjunto Cociente generado por una Relación de Equivalencia. Conjuntos parcialmente ordenados (CPO). Elementos distinguidos: Maximal, minimal, máximo y mínimo. Diagrama de Hasse. Estructura algebraica de Látis. Propiedades. Tipos especiales de Látises. Estructura algebraica de Algebra de Boole. Aplicaciones UNIDAD 4: GRAFOS y ÁRBOLES Conocer distintos tipos de grafos y las propiedades vinculadas a las relaciones entre nodos y aristas. Identificar las trayectorias y circuitos de Euler en un grafo. Identificar las trayectorias y circuitos hamiltonianos en un grafo. Conocer distintos tipos de árboles con sus propiedades y aplicaciones. Utilizar los grafos y árboles para visualizar, representar y resolver distintas situaciones problemáticas. Utilizar distintas formas para recorrer los vértices de un árbol dirigido. Contenidos Conceptuales: Definición y elementos de un grafo. Vértices, aristas, grado, recorridos, circuitos, caminos y ciclos. Subgrafo y grafo cociente. Trayectorias y circuitos de Euler. Trayectorias y circuitos hamiltonianos. Coloración de grafos. Polinomios cromáticos. Árboles. Propiedades. Árbol con raíz. Propiedades. Árbol binario. Árbol binario completo. Subárbol. Recorrido del árbol binario. Árboles etiquetados. Árbol binario posicional. Búsqueda en árboles: en preorden, entreorden y postorden. Búsqueda en árboles generales. Árboles no dirigidos. Propiedades. Árboles de expansión de relaciones conexas. Algoritmo de Prim. Árboles de expansión mínima. Grafo con pesos. Algoritmo de Kruskal UNIDAD 5: SEMIGRUPOS Y GRUPOS Identificar y Reconocer las propiedades de las operaciones binarias. Reconocer y determinar elementos neutros y simétricos de diversas operaciones binarias. Identificar las estructuras matemáticas designadas como semigrupos y grupos. Crear ejemplos de las estructuras algebraicas designadas como semigrupos y grupos. Resolver problemas donde intervienen las estructuras algebraicas de semigrupos y grupos. 4

5 Contenidos Conceptuales: Revisión del concepto de operaciones binarias. Propiedades de las operaciones binarias. Semigrupos: definición y propiedades. Semigrupos productos y cocientes. Grupos: definición y propiedades. Grupos productos y cocientes. Metodología de Enseñanza. En el dictado de teoría y práctica de esta asignatura, se presentarán distintas estrategias didácticas (recirculación de la información, pistas tipográficas, analogías, preguntas iniciales e intercaladas, etc.) basadas en la programación de actividades que involucraban los distintos tipos de niveles del proceso de asimilación: familiarización, reproducción, producción y creación (Leontiev, 1983). Algunas actividades se diseñarán para introducir el tema, otras para lograr la fijación de conceptos y métodos de trabajo, otras para desarrollar la capacidad de reflexión, razonamiento y creatividad. Con esto se aseguraría la participación-acción del alumno, y con el fin de afianzar habilidades, se tendrán en cuenta las etapas: material o materializada, verbal y mental (Galperín, 1983). El régimen de la asignatura es anual, y la carga horaria por semana es de 3 horas. En una semana el alumno tiene 3 hs cátedras de teoría y en la semana siguiente 3 hs cátedras de práctica, y así sucesivamente hasta completar las 32 semanas (carga horaria total: 96 hs). En las clases teóricas, se hará una revisión, presentación, exposición dialogada y ejemplificación de los temas, con apoyo de material bibliográfico y recursos didácticos, a cargo de los profesores adjuntos. En las clases prácticas, se hará una revisión de los temas ya presentados, con presentación de nuevas situaciones, impartidas por los auxiliares docentes y JTP, con disposición previa de material didáctico. Se aspira que a través de las guías de los trabajos prácticos, prevalezca la acción por parte de los alumnos en la resolución de situaciones problemáticas y ejercicios propuestos. Las Consultas Presenciales, estarán establecidas de acuerdo a las necesidades de la cátedra y de los alumnos que serán periódicas y se organizarán por temas afines. Las mismas se intensificarán en la semana previa a los exámenes parciales y/o finales. Todo el personal de la cátedra atenderá consultas y se informarán con anticipación lugar y hora. También se atenderán consultas (inquietudes, información de notas, etc.) por correo electrónico, que serán atendidas por los docentes a cargo del dictado de la materia. Metodología de Evaluación. Para regularizar los alumnos deben cumplir los siguientes requisitos: Asistencia: 75% para Clases Teóricas y/o Prácticas. Trabajos Prácticos Aprobados. Aprobación del Primer y Segundo Parcial o las Recuperaciones 5

6 respectivas según lo que corresponda. La forma de evaluación de los Parciales es mediante Pruebas Escritas individuales. La nota de aprobación para regularizar es de 4(cuatro) Sobre el Examen Final: El Examen Final consiste en una prueba de conocimientos sobre el Programa Analítico de la Asignatura. Es oral. La Nota mínima de Aprobación es cuatro (4) y la máxima diez (10). Se puede Rendir el Examen Final para su aprobación hasta un máximo de cuatro veces, a partir de lo cual y si no es aprobado, el alumno debe recursar la Asignatura. Observación: el Examen Final indica la Aprobación de la Asignatura y habilita para la inscripción y cursado de las correlativas inmediatas Recursos didácticos a utilizar como apoyo a la enseñanza. El equipo docente acompaña a los alumnos, en los procesos de enseñanza y aprendizaje a través de consultas semanales de los contenidos teóricos y prácticos a fin de lograr un mejor desempeño por parte de los alumnos en cuanto a los conocimientos adquiridos y su aplicación en problemas prácticos. Al ser la actividad curricular práctica, lo más aconsejable es orientar y apoyar a los alumnos con metodologías con las que se analizan casos de índole prácticos en la aplicación básica de las matemáticas discretas en general. Las clases se desarrollan en aulas equipadas para dictar utilizando la tiza y el pizarrón; a partir del año 2009 se equiparon algunas de ellas con cañón y pantalla lo que permite dictar la clase de una manera más atractiva. También desde el período lectivo 2009 se creó el aula virtual de la asignatura Matemática Discreta. Los beneficios obtenidos en pos del nivel académico, tanto por el alumno como por el profesor, son muchos. Algunos de ellos son los siguientes: consultas realizadas y evacuadas en el horario disponible del alumno y del profesor; notas de parciales y sus recuperaciones, como así también de promoción, volcadas en el aula virtual y a disposición de los alumnos en el momento que lo precise; trabajos prácticos de los alumnos presentados en forma virtual; teorías complementarias preparadas por el profesor a disposición del alumno; etc. Articulación horizontal y vertical con otras materias Los contenidos correspondientes a la carrera de Ingeniería en Sistemas de Información se encuentran organizados por áreas, las que se adecuan a las múltiples exigencias de las formas de enseñanza, a las nuevas concepciones de la ciencia y los requerimientos de la formación profesional. Además favorece la interdisciplina. Matemática Discreta pertenece al 1º nivel de la carrera, junto con materias del área Formación Básica Homogénea: Análisis Matemático I, Álgebra y Geometría Analítica, Física I e Inglés I; del área Programación: Algoritmo y 6

7 Estructuras de Datos; del área Sistemas de Información: Sistemas y Organizaciones (materia integradora del1º nivel); área Computación: Arquitectura de Computadoras. De acuerdo al objetivo propuesto en cada una de estas áreas, luego del 1º nivel de la carrera se pretende lograr que el alumno maneje: un lenguaje común que le permita abordar sin dificultad el avance tecnológico; las metodologías, técnicas y lenguajes de programación, como herramientas básicas para el desarrollo de software; los recursos informáticos necesarios para el desarrollo de los sistemas de información; y, la metodología de sistemas y su aplicación profesional. Por pertenecer al área Programación articula con las otras materias del área: Algoritmo y Estructura de Datos (1º nivel); Sintaxis y Semántica de los Lenguajes (2º nivel); Paradigmas de Programación (2º nivel); y, Gestión de Datos (3º nivel). Es por ello que se programan reuniones entre los docentes que dictan estas asignaturas para informar sobre la forma y los temas desarrollados en cada una de ellas, los que sirven de base para el desarrollo de las otras asignaturas. Cronograma estimado de clases. SEM. DIA Teoría Práctica Aula/Talle r TEMA A DESARROLLAR UNIDA D 1 1 Teórico Conceptos Fundamentales UT1 2 1 Teórico Conceptos Fundamentales UT1 3 1 Práctico Conceptos Fundamentales UT1 4 1 Teórico Lógica UT2 5 1 Teórico Lógica UT2 6 1 Práctico Lógica UT2 7 1 Teórico Lógica UT2 8 1 Práctico Lógica UT2 9 1 Teórico Lógica UT Práctico Lógica UT Teórico Relaciones y Digrafos. Relaciones y 12 1 Teórico Relaciones y Digrafos. Relaciones y 13 1 Práctico Relaciones y Digrafos. Relaciones y 14 1 Práctico Revisión de los temas incluidos en el Primer Parcial 15 1º semana de Julio UT1, 2, 3 Evaluativo Primer Examen Parcial UT1 a 1º Parte 7

8 16 4º semana de Julio 2010 SEM Evaluativo Recuperación Primer Examen Parcial UT1 a 1º Parte DIA Teoría Práctica Aula/Talle r CARGA HORARIA PRIMER CUATRIMESTRE TEMA A DESARROLLAR 17 1 Teórico Relaciones y Digrafos. Relaciones y 18 1 Práctico Relaciones y Digrafos. Relaciones y 19 1 Teórico Relaciones y Digrafos. Relaciones y 20 1 Práctico Relaciones y Digrafos. Relaciones y 48 UNIDA D 21 1 Teórico Grafos y Árboles UT Teórico Grafos y Árboles UT Práctico Grafos y Árboles UT Teórico Grafos y Árboles UT Práctico Grafos y Árboles UT Teórico Semigrupos y Grupos UT Práctico Semigrupos y Grupos UT Teórico Semigrupos y Grupos UT Práctico Semigrupos y Grupos UT Práctico Revisión de los temas incluidos en el Segundo Parcial 31 4º semana de Nov º semana de Dic º semana de Feb Bibliografía, 4, 5 Evaluativo Segundo Examen Parcial 2º Parte a UT5 Evaluativo Recuperación Segundo parcia1 2º Parte a UT5 CARGA HORARIA SEGUNDO 48 CUATRIMESTRE CARGA HORARIA ANUAL 96 Evaluativo Recuperación Integral UT1 a UT5 8

9 Bibliografía Obligatoria: Kolman, B., Busby, R. y Ross, S. ESTRUCTURAS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS PARA LA COMPUTACIÓN. Prentice- Hall Hispanoamericana S.A Grimaldi, R. MATEMATICAS DSICRETAS Y COMBINATORIA. Ed. Addison Wesley Bibliografía de Consulta: Ross, K. y Wright, C.: MATEMÁTICAS DISCRETAS. Segunda Edición. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. Mx (en proceso de compra) Grassmann W.K. & Tremblay J.P. MATEMÁTICAS DISCRETAS Y LÓGICA. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. España Cap I y II Johnsonbaugh, R. MATEMÁTICAS DISCRETAS. Grupo Editorial Iberoamericana Granado Peralta, S. MATEMÁTICA DISCRETA, Editorial CEIT Cap I, II, VII, VIII, IX, XII, XIII, XIV, XV, XI, XII, XVIII Lipschutz, S. MATEMÁTICAS PARA COMPUTACIÓN. Ed. Mc. Graw Hill Cap VII Perez, Julio. MATEMATICA DISCRETA Y ALGORITMOS. Ed. Answer Just in Time. Buenos Aires Scheinerman, E. MATEMATICAS DISCRETAS. Ed. Thomson Learning. Mexico