CONTRASTE SOBRE UN COEFICIENTE DE LA REGRESIÓN

Transcripción

1 Modelo: Y =! 1 +! 2 X + u Hipótesis nula: Hipótesis alternativa H 1 :!!! 2 2 Ejemplo de modelo: p =! 1 +! 2 w + u Hipótesis nula: Hipótesis alternativa: H :!! Como ilustración, consideremos un modelo que relacione la inflación en precios con la inflación en salarios. p es la tasa de crecimiento de los precios y w es la tasa de crecimiento de los salarios. 1 de probabilidad de Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =1. es cierta (suponemos que conocemos la desviación típica y que ésta es igual a.1) Si la hipótesis nula es cierta, el estimador tendrá una distribución con media 1.. Para dibujar la distribución debemos conocer su desviación típica. 2

2 de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =! 2 es cierta (la desviación típica se considera conocida)! 2-4sd! 2-3sd! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd! 2 +3sd! 2 +4sd Esta sería la distribución de para el caso general. En lo que sigue suponemos que conocemos la desviación típica (sd=standard deviation). 3 de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =1. es cierta (suponemos que conocemos la desviación típica y que ésta es igual a.1) Supongamos que tenemos una muestra de datos para estimar el modelo de inflación de precios frente a la inflación de salarios y que la estimación del coeficiente de pendiente,, es.9. Sería este resultado una evidencia suficiente en contra de la hipótesis nula! 2 = 41.?

3 de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =1. es cierta (suponemos que conocemos la desviación típica y que ésta es igual a.1) NO LO ES! Es cierto que la estimación es inferior a 1. pero, debido a que existe el término de perturbación en el modelo, nosotros no podríamos esperar una estimación exactamente igual a de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =1. es cierta (suponemos que conocemos la desviación típica y que ésta es igual a.1) Si la hipótesis nula fuese cierta, las estimaciones no deberían estar lejos de 1.. De modo que no parece existir conflicto entre la estimación y lo que proponemos en la hipótesis nula. 6

4 de probabilidad! 2-4sd! 2-3sd! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd! 2 +3sd! 2 +4sd En el caso general, el resultado equivale a haber obtenido una estimación que esté solamente una desviación típica por debajo del valor hipotético. 7 de probabilidad! 2-4sd! 2-3sd! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd! 2 +3sd! 2 +4sd Si la hipótesis nula fuese cierta, la probabilidad de obtener una estimación una desviación típica (o más) por encima o por debajo del valor medio es 31.7%. 8

5 de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =1. es cierta (suponemos que conocemos la desviación típica y que ésta es igual a.1) Ahora supongamos que en el modelo de inflación de precios/inflación de salarios, obtuviésemos una estimación de 1.4. Este resultado claramente entra en conflicto con la hipótesis nula. 9 de probabilidad! 2-4sd! 2-3sd! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd! 2 +3sd! 2 +4sd 1.4 está cuatro desviaciones típicas por encima del valor hipotético y la probabilidad de obtener una estimación más extrema que ésta es sólo del.6%. En este caso, rechazaríamos la hipótesis nula. 1

6 de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =1. es cierta (suponemos que conocemos la desviación típica y que ésta es igual a.1) Supongamos que ahora obtemos una estimación igual a.77. Este es un resultado complicado para emitir un juicio sobre la hipótesis nula. 11 de probabilidad! 2-4sd! 2-3sd! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd! 2 +3sd! 2 +4sd Si la hipótesis nula fuese cierta, la estimación obtenida estaría entre 2 y 3 desviaciones típicas por debajo de la media. 12

7 de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =1. es cierta (suponemos que conocemos la desviación típica y que ésta es igual a.1) Existen dos posibilidades. La primera es que la hipótesis nula sea cierta y simplemente hayamos obtenido una estimación anormal (mala suerte con la muestra). La otra posibilidad es que la hipótesis nula sea falsa. Es decir, la tasa de inflación en precios no es igual a la tasa de inflación en salarios. 13 de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =! 2 es cierta (la desviación típica se considera conocida)! 2-4sd! 2-3sd! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd! 2 +3sd! 2 +4sd El procedimiento habitual para tomar decisiones consiste en rechazar la hipótesis nula si implica que la probabilidad de obtener una estimación tan extrema como la que se ha obtenido es menor que alguna probabilidad pequeña p. Por ejemplo, podríamos decidir rechazar la hipótesis nula si ello implicase que la 14 probabilidad de obtener un valor tan extremo como el obtenido fuese menor que.5 (5%).

8 de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =! 2 es cierta (la desviación típica se considera conocida) 2.5% 2.5%! 2-4sd! 2-3sd! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd! 2 +3sd! 2 +4sd De acuerdo con esta regla de decisión, rechazaríamos la hipótesis nula si la estimación cayese dentro de las colas superior e inferior que acumulan el 2.5% de la probabilidad. Si aplicamos esta regla decisión al ejemplo de la inflación precios/inflación salarios, la 15 primera estimación de! 2 no nos conduciría al rechazo de la hipótesis nula. de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =! 2 es cierta (la desviación típica se considera conocida) 2.5% 2.5% La segunda sí conduciría al rechazo. 16

9 de probabilidad Distribución de si la hipótesis nula H :! 2 =! 2 es cierta (la desviación típica se considera conocida) 2.5% 2.5%! sd!! 2 -sd 2! 2 +sd! sd Las colas que acumulan el 2.5% de probabilidad en una distribución normal siempre comienzan a 1.96 desviaciones típicas de su media. 17 de probabilidad Regla de decisión (nivel de significación 5%): Rechazo (1) si (2) si (1) si (2) si (1) si (2) si 2.5% 2.5%! sd!! 2 -sd 2! 2 +sd! sd Rechazaríamos H si la diferencia, expresada en términos de desviaciones típicas, fuese mayor que 1.96 en valor absoluto. 18

10 de probabilidad Regla de decisión (nivel de significación 5%): Rechazo (1) si (2) si (1) si z > 1.96 (2) si z < Región de aceptación para : 2.5% 2.5%! sd!! 2 -sd 2! 2 +sd! sd Los valores de z que definen la región de aceptación son 1.96 y (para un nivel de significación del 5%). 19 de probabilidad Regla de decisión (nivel de significación 5%): Rechazo (1) si (2) si 2.5% 2.5% Veamos la regla de decisión en el ejemplo de inflación de precios/inflación de salarios. La hipótesis nula es que el coeficiente de pendiente es igual a 1.. 2

11 de probabilidad Regla de decisión (nivel de significación 5%): Rechazo (1) si (2) si (1) si (2) si (1) si (2) si Región de aceptación para : 2.5% 2.5% La región de aceptación para es el intervalo.84 a Una estimación muestral que caiga en este rango no conducirá a un rechazo de la hipótesis nula. 21 de probabilidad Error Tipo I: rechazar H cuando es cierta Probabilidad de error Tipo I: en este caso es el 5% El nivel de significación del contraste es el 5 % Rechazo Región de aceptación Rechazo 2.5% 2.5%! sd!! 2 -sd 2! 2 +sd! sd El nivel de significación de un contraste se define como la probabilidad de cometer un error de Tipo I si la hipótesis nula es cierta. 22

12 de probabilidad Regla de decisión (nivel de significación 1%): Rechazo (1) si (2) si (1) si z > 2.58 (2) si z < Región de aceptación para :! sd!! 2 -sd 2! 2 +sd! sd Las colas que acumulan el de la probabilidad de una distribución normal comienzan a 2.58 desviaciones típicas de la media, de manera que ahora rechazamos la hipótesis nula si el valor del estadístico z es mayor que 2.58 en valor absoluto. 23 de probabilidad Regla de decisión (nivel de significación 1%): Rechazo (1) si (2) si (1) si (2) si (1) si (2) si Región de aceptación para : La región de aceptación para es el intervalo entre.742 y Puesto que es más amplio que el correspondiente al contraste al nivel de significación del 5%, existe un riesgo menor de cometer un error Tipo I, si la hipótesis nula es cierta. 24

13 Comparación de regiones de aceptación al 5% y 1% de probabilidad 5%: < z < %: < z < 2.58 nivel 1% nivel 5%! 2-4sd! 2-3sd! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd! 2 +3sd! 2 +4sd Este diagrama compara los procesos de decisión para contrastes al 5% y 1%. Notar que si se rechaza H al 1%, debe rechazarse también al 5%. 25 Comparación de regiones de aceptación al 5% y 1% de probabilidad 5%: < z < %: < z < 2.58 nivel 1% nivel 5%! 2-4sd! 2-3sd! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd! 2 +3sd! 2 +4sd Notar también que si cae dentro de la región de aceptación del contraste al 5%, también debe caer dentro de la región de aceptación al 1%. 26

14 Caso general Decisión Rechazo H al 1% (y también al 5%) Rechazo H al 5% pero no al 1% Ejemplo: Inflación precios/inflación salarios No rechazo H al 5% (ni al 1%) 1. Rechazo H al 5% pero no al 1% Rechazo H al 1% (y también al 5%) El diagrama resume las decisiones posibles en contrastes realizados para niveles de significación del 5% y del 1%, en el caso general, y en el ejemplo de inflación de precios/ salarios. 27 Caso general Decisión Rechazo H al 1% (y también al 5%) Rechazo H al 5% pero no al 1% Ejemplo: Inflación precios/inflación salarios No rechazo H al 5% (ni al 1%) 1. Rechazo H al 5% pero no al 1% Rechazo H al 1% (y también al 5%) Deberías ofrecer los resultados de ambos contrastes sólo si rechazas a un nivel de significación del 5%, pero no a un nivel del 1%. 28

15 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 5% nivel 2.5% 2.5%! sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! sd Hemos definido error de Tipo I como el rechazo de la hipótesis nula cuando es cierta. En el contraste de hipótesis, también existe la posibilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa. Esto se conoce como error de Tipo II. Aquí demostraremos que existe un intercambio o trade-off entre el riesgo de cometer un 29 error de Tipo I y el riesgo de cometer un error Tipo II. ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel! sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! sd El gráfico muestra las regiones de aceptación y rechazo para un contraste a un nivel de significación del 5%. El riesgo de cometer un error Tipo I, si la hipótesis nula es cierta, es del 5%. Si realizamos el contraste a un nivel de significación del 1%, el riesgo de cometer un error de Tipo I se reduce al 1%, si la hipótesis nula es cierta. 3

16 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel! sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! sd Cuáles son las implicaciones de la elección del nivel de significación si la hipótesis nula es falsa? El gráfico explica cómo se toman las decisiones, pero no presenta la verdadera distribución de si la hipótesis nula es falsa. 31 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel distribución bajo! 2! 1 2-2sd! 1 2 -sd! 1 2! 1 2 +sd 1! 2 +2sd Supongamos que H 1 :! 2 =! 2 1 es cierta y, por tanto, la distribución de es la curva que se presenta en la parte derecha. Si tuviésemos datos para estimar la regresión, la estimación de sería la que se muestra. En este caso, tomaríamos la decisión correcta y rechazaríamos H, independientemente del nivel de significación que se adoptase. 32

17 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel distribución bajo! 2! 1 2-2sd! 1 2 -sd! 1 2! 1 2 +sd 1! 2 +2sd Aquí tenemos otra estimación (suponemos que hemos conseguido una muestra distinta a la anterior). De nuevo, la decisión correcta sería rechazar la hipótesis nula, tanto para un nivel de significación del 5% como del 1%. 33 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel distribución bajo! 2! 1 2-2sd! 1 2 -sd! 1 2! 1 2 +sd 1! 2 +2sd En el caso que se muestra ahora, cometeríamos un error de Tipo II y no rechazaríamos la hipótesis nula para esos niveles de significación. 34

18 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel distribución bajo! 2! 1 2-2sd! 1 2 -sd! 1 2! 1 2 +sd 1! 2 +2sd Pero, en el caso de esta estimación, podríamos tomar la decisión correcta si realizamos el contraste a un nivel de significación del 5%, mientras que cometeríamos un error Tipo II si utilizásemos un nivel de significación del 1%. 35 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel distribución bajo! 2! 1 2-2sd! 1 2 -sd! 1 2! 1 2 +sd 1! 2 +2sd La probabilidad de cometer un error de Tipo II si realizamos el contraste al nivel del 1% viene dado por la probablidad de que caiga dentro de la región de aceptación para ese nivel de significación, es decir, el intervalo entre las líneas rojas punteadas. 36

19 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel distribución bajo! 2! 1 2-2sd! 1 2 -sd! 1 2! 1 2 +sd 1! 2 +2sd Dado que H 1 es cierto, la probabilidad de que caiga en la región de aceptación es el área sombreada que corresponde a la distribución bajo H ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel distribución bajo! 2! 1 2-2sd! 1 2 -sd! 1 2! 1 2 +sd 1! 2 +2sd Si realizásemos el contraste a un nivel de significación del 5%, la probabilidad de cometer error Tipo II si H 1 es cierta, viene dada por el área que está bajo la distribución correspondiente a H 1, dentro de la región de aceptación a ese nivel de significación. Es el área gris del gráfico. En este caso particular, si realizásemos el contraste al 5% en vez de al 1%, el riesgo de cometer error Tipo II se reduciría casi a la mitad. 38

20 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel distribución bajo ! 2! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd El problema es, por supuesto, que nunca sabemos si H es cierta o falsa. Si lo supiéramos, para qué ibamos a hacer contrastes? 39 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II distribución hipotética bajo región de aceptación de 1% nivel 5% nivel distribución bajo ! 2! 2-2sd! 2 -sd! 2! 2 +sd! 2 +2sd Recapitulemos: si H fuese cierta, realizar el contraste a un nivel de significación del 1% en vez de al 5%, reduciría enormemente el riesgo de cometer un error Tipo I (no cometeríamos error Tipo II)....sin embargo, si H fuese falsa, realizar el contraste a un nivel de significación del 1% en vez de al 5% aumentaría el riesgo de cometer un error Tipo II (en este caso no podríamos 4 cometer error Tipo I).

21 CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN s.d. de conocida s.d. de desconocida Discrepancia entre el valor hipotético y la estimación muestral, en términos de s.d: Discrepancia entre el valor hipotético y la estimación muestral, en términos de s.e.: Nivel de significación 5%: rechazo H :! 2 =! 2 si z > 1.96 o z < Nivel de significación 5%: rechazo H :! 2 =! 2 si t > t crit o t < -t crit La clave está en observar el valor crítico de la distribución t, y si el valor del estadístico t en nuestra muestra es mayor (en valor absoluto) que dicho valor crítico, rechazamos la hipótesis nula. Y si es menor (en valor absoluto) no la rechazamos. 41 CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN normal t, 1 g.l. Este es el gráfico corespondiente a una distribución normal con media y varianza 1. También tenemos una distribución t con 1 grados de libertad (enseguida definiremos este concepto). Cuando el número de grados de libertad es grande, la distribución t se parece mucho a la distribución normal (y confome los grados de libertad siguen aumentando, la t converge 42 a la normal).

22 CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN normal t, 1 g.l. t, 5 g.l. Si son tan parecidas, por qué utilizar una distribución t en vez de una normal como referencia? Pasaría algo si nosotros utilizásemos los valores críticos de la normal, es decir, el 1.96 para un nivel de significación del 5 %, y el 2.58 para un nivel del 1%? La respuesta es que sí hay diferencia. Aunque las distribuciones se parecen, la distribución t tiene colas más largas que la normal y esta diferencia es tanto mayor, cuanto más pequeño sea el número de grados de libertad. 43 CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN normal t, 1 g.l. t, 5 g.l. Por tanto, la probabilidad de obtener un valor elevado del estadístico es mayor con una distribución t que con una distribución normal. Esto significa que las regiones de rechazo tienen que empezar a más desviaciones típicas de distancia respecto a, en el caso de la distribución t. 44

23 CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN normal t, 1 g.l. t, 5 g.l La cola del 2.5% de probabilidad de una distribución normal comienza a 1.96 desviaciones típicas de su media. Y la cola del 2.5% de probabilidad de una distribución t con 1 grados de libertad comienza a 2.33 desviaciones típicas de su media. 45 CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN Distribución t: valores críticos Grados de Dos colas 1% 5% 2% 1%.2%.1% libertad Una cola 5% 2.5% 1%.1%.5% Por esta razón, necesitamos mirar la tabla de valores críticos de la t cuando realizamos contrastes de significación sobre los coeficientes de la regresión. 46 Grados de libertad = nº de observaciones nº de parámetros estimados.

24 CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN s.d. de conocida s.d. de desconocida Discrepancia entre el valor hipotético y la estimación muestral, en términos de s.d: Discrepancia entre el valor hipotético y la estimación muestral, en términos de s.e.: Nivel de significación 5%: rechazo H :! 2 =! 2 si z > 1.96 o z < Nivel de significación 5%: rechazo H :! 2 =! 2 si t > 2.11 o t < Volviendo al resumen del procedimiento de contrastación de hipótesis, si realizamos el contraste a un nivel de significación del 5%, deberíamos rechazar la hipótesis nula si el valor absoluto de t fuese mayor que CONTRASTE t SOBRE SOBRE UN COEFICIENTE DE REGRESIÓN s.d. de conocida s.d. de desconocida Discrepancia entre el valor hipotético y la estimación muestral, en términos de s.d: Discrepancia entre el valor hipotético y la estimación muestral, en términos de s.e.: Nivel de significación 5%: rechazo H :! 2 =! 2 si z > 1.96 o z < Nivel de significación 1%: rechazo H :! 2 =! 2 si t > o t < Si quisiésemos hacer el contraste a un nivel de significación del 1%, el valor crítico de la distribución t sería Por tanto, en este caso 48