NÚMEROS COMPLEJOS. Capítulo Operaciones con números complejos

Transcripción

1 Capítulo 1 NÚMEROS COMPLEJOS Observe que la ecuación x no tiene solución en los números reales porque tendríamos que encontrar un número cuyo cuadrado fuera 1, es decir x 2 1 o, lo que viene a ser lo mismo, tendría que existir 1. Pero, qué le parecería que nos inventáramos un nuevo número?. Un número que designamos por i y que cumple que i 2 1, es decir, abusando del lenguaje, tenemos que i 1. Como se trata de un número imaginario, diremos que i es la unidad imaginaria. Más aún, suponga que tenemos todos los números reales en una caja y hacemos una mezcla explosiva, a saber, tomando una distancia prudente, arrojamos en su interior nuestra unidad imaginaria i y sometemos la mezcla a las operaciones de suma y multiplicación conocidas de los números reales. El resultado por sorprendente que parezca, es otro campo numérico que llamamos números complejos y que se representan con C. Fíjese, suponga que queremos multiplicar dos números de la caja anterior, si los dos números son reales ya sabemos hacerlo, si uno es real, por ejemplo 2 y el otro es i, simplemente pondremos 2i, de modo que mediante la multiplicación obtenemos la infinidad de números de la forma bi donde b es de R. Estos números se llaman imaginarios puros y están en la caja de C Por otra parte si queremos sumar (o restar) y sacamos dos números de la caja anterior, si son reales ya sabemos hacerlo y si uno es real, por ejemplo 7 y el otro es imaginario puro, por ejemplo 2i, simplemente ponemos 7 + 2i. Todos estos números también completan la caja C. En definitiva C está formado por todos los números de la forma a + bi con a y b reales; esta forma de expresar los números complejos se llama forma binómica; el número a se llama parte real del número complejo y el número b (sólo el número que multiplica a i), se llama parte imaginaria. Observe que los números reales son de C, pues, por ejemplo 2 se puede poner como 2 + 0i Operaciones con números complejos Si ahora queremos sumar o restar dos números complejos lo hacemos como sumábamos los binomios: Suma de números complejos (a + bi) ± (c + di) (a + c) ± (b + d)i Ejemplo.- ( 2 + 3i) (2 2i) 4 + 5i 1

2 2 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Producto de números complejos. Recuerde que introdujimos la unidad imaginaria como i i i 2 1. Multiplicamos como dos binomios: (a + bi)(c + di) (ac bd) + (ad + bc)i Ejemplo.-En la práctica puede operar como si se tratara de dos binomios simplificando después ( 2 + 3i) (2 2i) ( 2) 2 + ( 2) ( 2i) + (3i) 2 + (3i) ( 2i) 4 + 4i + 6i 6i i + 6i i Llamaremos conjugado de un número complejo z a + bi, al que resulta de cambiar de signo su parte imaginaria z a bi. División de números complejos.- Si queremos hacer (a + bi) (c + di) multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador y después simplificamos y obtenemos el número complejo (a + bi) (a + bi)(c di) (c + di) (c + di)(c di) ac + bd bc ad c d2 c 2 + d 2 i Ejemplo.- En la práctica es mucho más fácil: 2 + 3i 2 2i ( 2 + 3i)(2 + 2i) (2 2i)(2 + 2i) Tenga en cuenta que el denominador es una suma por diferencia, es decir la diferencia de los cuadrados: 2 2 (2i) 2 4 4i , luego operando 2 + 3i 2 2i i i i Potencias de la unidad imaginaria.- El número i se comporta de una forma peculiar respecto de las potencias de sí mismo, observe: i 1 i i 2 1 i 3 i 2 i ( 1)i i i 4 i 3 i ( i)i 1 i 5 i 4 i i i 6 i 5 i i 2 1 i 7 i 6 i ( 1)i i i 8 1 Y así sucesivamente se van repitiendo de cuatro en cuatro. Vea: Ejemplo.- Para calcular i 34 dividimos 34 entre 4. este cociente es 8 con un resto de 2. De modo que i 34 (i 4 ) 8 i i 2 1

3 1.1. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Representación gráfica Si suponemos que un número complejo z a+bi es un punto del plano cartesiano cuyas coordenadas son (a, b), podemos representar ese punto. A dicho punto se le llama afijo del número complejo. Es decir el eje X representamos la parte real a y a ese eje le llamaremos eje real, y en el eje Y representamos la parte imaginaria y a este eje le llamaremos eje imaginario. Observe: Ejercicios y problemas 20. Escriba cinco números complejos que no sean reales y otros cinco que sean imaginarios puros. Represéntelos gráficamente. 21. Sean z 2 3i, w 1 + i, v 1 i; realice las siguientes operaciones: z 2w, z z, z(w + v), z w, zw i, z : w, 1 z, w 1, ww 1, w 2, w 3, w 4, i 3423, (i 5 + i 12 ) 3, (1 + i) i 22. Determine el valor de x para que el producto (2 5i)(3 + xi) sea: a) un número real; b) un número imaginario puro. 23. Dados los números complejos 2 mi y 3 ni, determine el valor de m y n para que su producto sea 8 + 4i. 24. Halle x para que el cociente x + 3i, sea imaginario puro i 25. Encuentre un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.

4 4 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS 1.2. Módulo y argumento. Forma polar. El módulo de un número complejo z a + bi es la distancia que hay del afijo de dicho número hasta el origen de coordenadas. Si recuerda algo de vectores, el módulo de un número complejo es precisamente, el módulo del vector que determinan el origen de coordenadas y el afijo. Veamos como se puede calcular. Observe el dibujo. Si representamos gráficamente el número complejo z a + bi obtenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos son las coordenadas a y b del número complejo. El módulo es entonces, la hipotenusa de ese triángulo, de modo que, por el teorema de Pitágoras ya tenemos el módulo que designamos r z a 2 + b 2 El argumento de un número complejo z a + bi es el ángulo α que forma el vector que determina el número complejo con el lado positivo del eje real (eje X). Veamos como se puede calcular. Si se fija en el dibujo y recuerda que la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo a dicho ángulo, tenemos que tan α b a Y por tanto α es el ángulo que tiene por tangente b/a, es decir, α arctan (b/a), para esto puede utilizar su calculadora. Recordara que son infinidad los ángulos que cumplen esto. El argumento es el único de esos ángulos que está entre 0 y 360 o. De esta forma podemos, sabiendo un número complejo, obtener su módulo y su argumento. Esto nos permite escribir de otra forma un número complejo: la forma polar, dando el módulo y el argumento: z a + bi r α Todo esto nos permite representar los números complejos de otra manera utilizando no coordenadas cartesianas, sino coordenadas polares. Las coordenadas polares consisten en un eje que es una semirrecta graduada que tiene su origen en el 0 sobre la que se trazan ángulos. Por ejemplo, para representar el número complejo 2 30 o, haríamos: Trazamos en nuestro papel una semirrecta horizontal, el inicio de esa semirrecta es el cero y le dibujamos una escala. Nos situamos en el 2 y trazamos con el compás un arco de circunferencia con centro en el 0, de radio 2 y de 30 o de amplitud a partir del eje (vea el dibujo) Con esto sabemos pasar de forma binómica a forma polar, y al revés? Pues también, claro. Vamos a

5 1.2. MÓDULO Y ARGUMENTO. FORMA POLAR. 5 verlo: Suponga que tenemos un número complejo dado en forma polar z r α. Observe que, abusando un poco del lenguaje, los ejes cartesianos consisten en añadir el eje Y al eje polar y completar éste con la parte negativa del eje X. Si superponemos ambos sistemas de representación, r es la distancia entre el 0 y el afijo de z; entonces encontrar la parte real a y la parte imaginaria b de z r α no es otra cosa que encontrar los catetos del triángulo rectángulo de la figura y cuya hipotenusa vale r. Sus conocimientos de trigonometría le permiten recordar que el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es el cociente entre lo que mide el cateto opuesto al ángulo y lo que mide la hipotenusa y el coseno el cociente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. En nuestro caso sen α b r ; cos α a r de modo que basta despejar para obtener a y b b r sen α; a r cos α es decir, z r α r cos α + r sen αi r(cos α + sen αi) a esta última expresión se le llama forma trigonométrica de un número complejo. Antes de seguir con más, practique un poco: Ejercicios y problemas Represente gráficamente los siguientes números complejos y después páselos a forma polar y trigonométrica Haga lo mismo con los conjugados de cada uno de ellos. (a) 5i (b) -3 (c) 3i (d) 5 (e) 3 + 5i (f) 4 6i (g) 3 + 2i (h) 2 5i 27. Represente cada uno de los siguientes números complejos con ejes polares; calcule el conjugado de cada uno de ellos y escríbalos en forma binómica y trigonométrica. (a) 3 60 o; (b) o; (c) 5 45 o; (d) o 28. Represente cada uno de los siguientes números complejos y páselos a forma binómica y polar. (a) 3(cos 30 o i sen 30 o ); (b) 1 2 (cos 45o + i sen 45 o ); (c) 4(cos 60 o i sen 60 o )

6 6 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Operaciones en forma polar Aunque no lo vamos a demostrar ahora (no sufra, cuando veamos la trigonometría tendrá una excelente oportunidad de demostrarlo en algún ejercicio, o en alguna pregunta de examen para que pueda mostrar la excelencia de sus conocimientos). Si r α y s β son dos números complejos: Multiplicación: r α s β (r s) α+β Ejemplo o 2 30 o 6 60 o División: r ( α r ) s β s α β Ejemplo.- 3 ( ) 30 o o 3 0 o Potencia: (r α ) n (r n ) nα Ejemplo.- (3 30 o) o. Fórmula de Moivre Se trata de una fórmula para calcular potencias de números complejos en forma trigonométrica: (r(cos α + i sen α) n r n (cos nα + i sen nα) Ejemplo.- (2(cos 30 o + i sen 30 o )) 3 8(cos 90 o + i sen 90 o ) 8i Ejercicios y problemas Calcule en forma polar y trigonométrica y represente gráficamente los resultados: (1 + i) 5, ( i) 2, (1 + i) 2, ( i) 6, i 7 i 7, 2i ( 3 ) i Raíces n-ésimas de un número complejo