NÚMEROS COMPLEJOS. y sabemos que no podemos calcular raíces de números negativos en R. Para resolver este problema introduciremos el valor i = 1
|
|
- Julia Alicia Cruz Zúñiga
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 NÚMEROS COMPLEJOS 1. Qué es un número complejo? Defncones. La ecuacón x + 1 = 0 no tene solucón en el campo real puesto que s ntentamos resolverla tendremos que x = ± 1 y sabemos que no podemos calcular raíces de números negatvos en R. Para resolver este problema ntroducremos el valor = 1 que llamaremos undad magnara. Las expresones del tpo a + b sendo a y b números reales recben el nombre de números complejos. (Por ejemplo +...). Todo número complejo es de la forma a + b. Se dce que el número complejo está escrto en forma bnómca. El número a se llama parte real del número complejo = a + b. El número b se llama parte magnara del número complejo = a + b. Un número real es aquel que no tene parte magnara es decr b = 0. Un número magnaro puro es aquel que no tene parte real es decr a = 0. Dos números complejos son guales s tenen guales su parte real y su parte magnara es decr a + b = c + d a = c y b = d. Ejemplos: Calcular las raíces sguentes: a) 6 = 6 ( 1) = 6 1 = 6 b) 100 = 100 ( 1) = = 10 Ejerccos: Calcular las raíces sguentes: a) -5 b) -16 Solucón: 1
2 a) 5 b) Expresa en forma bnómca el número complejo = ( 1) = = 5+ 9 Ejercco: Expresa en forma bnómca los sguentes números complejos: a) 100 b) + 7 Solucón: a) 10 b) + 7. Operacones con números complejos. Suma y dferenca de números complejos. Ejemplos: Calcula las sguentes sumas: a) (+ 5) + (+ ) = = 5+ 9 b) (1+ ) + (1 ) = = Ejerccos: Calcula las sguentes sumas: a) (1+ ) + (1+ ) b) + ( 5)
3 Solucón: a) + b) El opuesto del número complejo a+ bes a b. Ejemplos: Escrbe los opuestos de los sguentes números complejos: a) + Opuesto: b) 1 Opuesto: 1+ Ejerccos: Escrbe los opuestos de los sguentes números complejos: a) + b) 5 Solucón: a) b) + 5 Ejemplos: Calcula las sguentes dferencas: (+ 5) (+ ) = + 5 = 1+ Ejerccos: Calcula las sguentes dferencas: a) (1+ ) (1 ) b) (1+ ) (1+ ) c) ( 5) Solucón:
4 a) b) c) + 6 Producto de números complejos. = 1 = 1. Tendremos en cuenta que ( ) Calcula los sguentes productos: ( + 5) ( + ) = = ( 1) = = 1 + Ejerccos: Calcular los sguentes productos: a) (1+ ) ( 1 ) b) (1+ ) (1+ ) c) ( 5) Solucón: a) b) + c) 5 + Calcula los sguentes productos: ( + 5) ( 5) = (5) = 5 = 5( 1) = + 5 = 9 Ejerccos: Calcula los sguentes productos:
5 a) (1+ ) (1 ) b) (1+ ) (1 ) c) ( 5) ( + 5) Solucón: a) b) 10 c) 9 Ejercco: Determnar el número x sabendo que (1 + x) ( ) es un número real. Solucón: x = Sendo 1 = + my = n+ hallar m y n de modo que la suma de 1 y sea. 1+ = + m+ n+ = (+ n) + (m+ )= Luego: + n = n = = 0 m+ = 1 m= 1 = Ejercco: Calcular: a) ( + ) + (1 ) ( ) b) + ( ) (+ ) c) (1+ ) (1 ) d) ( + ) (1 ) ( + ) 5
6 Solucón: a) b) 1 c) d) 1 6 Dvsón de números complejos. Dado un número complejo = a+ bse llama complejo conjugado de al complejo = a b. Escrbe los conjugados de los sguentes números complejos: a) + Conjugado: b) 1 Conjugado: 1+ Ejercco: Escrbe los conjugados de los sguentes números complejos: a) + b) 5 Solucón: a) b) + 5 La dvsón de números complejos se hace multplcando numerador y denomnador por el complejo conjugado del denomnador. Calcula las sguentes dvsones: 6
7 + 5 (+ 5)( ) ( 1) + (+ )( ) () 9 16( 1) ( + 5):( + ) = = = = = ( 1) = = = = ( 1) ( 5) ( ) ( 1) 5 ( ) ( 1) 1 ( 5): = = = = = = 5 Ejerccos: Calcula las sguentes dvsones: a) (1+ ) : (1 ) b) (1+ ) : (1+ ) c) ( ): Solucón: a) b) + c) El nverso del número complejo = a+ b es Calcular el nverso del número complejo (1 ) = = = = = 1+ (1+ ) (1 ) 1 1 ( 1) = a + b 1 1 Ejercco: Calcula el nverso de los sguentes números complejos: a) 1 b) + c) + 7
8 Solucón: 1 1 a) + b) c) 5 5 Cálculo de las potencas de la undad magnara: = 1 ( ) = 1 = 1 = = ( 1) = = = ( ) = = ( 1) = 1 Calcula 55 S dvdmos 55 entre obtenemos cocente 588 y resto luego ( ) = 1 = 1 ( ) = = =. Utlando este raonamento podemos escrbr smplemente que Ejercco: Calcula las sguentes potencas: 55 = =. a) b) c) d) Solucón: a) b) 8
9 c) 1 d) Potenca de números complejos dados en forma bnómca. Ejemplos: Calcula la sguente potenca: Utlando el bnomo de Newton tenemos que: ( ) () () () () () 0 1 = = 0 1 = ( ) + 9 ( 1) = 0 1 = = = Trángulo de Tartagla: Luego: ( + ) = = = Ejerccos: Calcular las sguentes potencas: a) 5 (1 ) 9
10 b) c) d) ( + ) 7 ( 1 ) ( ) Solucón: a) 1+ 8 b) c) d) Identdades notables: (a + b) = a + b + ab (a b) = a + b ab (a + b) (a b) = a b Ejercco: Calcula las sguentes operacones con números complejos: a) b) (1+ ) : ( + ) ( + ):(1 + ) Solucón: 8 a) b). Módulo y argumento de un número complejo. Representacón en el plano de los números complejos. Se dbuja un sstema de coordenadas cartesanas. En el eje de abscsas se representa la componente real y se llama eje real y el eje de ordenadas la componente magnara y se llama eje magnaro. 10
11 En este sstema de coordenadas los números complejos se representan hacendo corresponder al número complejo a+ bel punto de coordenadas A ab que se llama afjo del número complejo a+ b. De esta forma a cada ( ) número complejo le hacemos corresponder un punto del plano y recíprocamente. S unmos el orgen O con el punto A obtenemos un segmento orentado que llamamos vector y representamos por OA. Así pues a cada número complejo le hacemos corresponder un vector. Representar el número complejo +. El afjo del número complejo + es ( ). Ejerccos: Representa los sguentes números complejos: a) b) + Representa los sguentes números complejos sus opuestos y sus conjugados: a) + b) 1 c) + d) 5 Módulo de un número complejo. Defncón: Se llama módulo del número complejo = a+ b a = a + b. 11
12 1. Calcula el módulo de los sguentes números complejos: a) = + = + = = 5 = 5 b) = Ejerccos: a) = b) = + 6 c) = 1 Solucón: a) = 5 b) = 1 c) = = ( ) + ( 1) = + 1= 5 Argumento de un número complejo. Se llama argumento del número complejo = a+ bal ángulo que forma con el semeje postvo de abscsas. Se le representa por arg() = α. + Cálculo del argumento de los números complejos más sencllos. Ejemplos: Calcular el argumento de los números complejos sguentes: = = = -5 = -5 1
13 Ejercco: Calcular el argumento de los sguentes números complejos: a) = b) = c) = d) = 6 Solucón: a) α = 90º b) α = 180º c) α = 0º d) α = 70º + Cálculo del argumento de cualquer número complejo. b S = a + b entonces α = arg( ) = arctg a Ejemplos: Calcular el argumento de los sguentes números complejos: a) = + α= arctg = arctg1 y como α está en el prmer cuadrante α= 5º b) = 1 1
14 α= arctg = arctg 1 c) = y como α está en el tercer cuadrante α= 0º α= arctg = arctg y como α está en el cuarto cuadrante α= 0º d) = + α= arctg = arctg( 1) y como α está en el segundo cuadrante α= 15º Ejerccos: Calcular el argumento de los números complejos: a) = b) = + c) 1 = + 1
15 d) = 1 e) = + f) = 1 g) = + h) = + ) = j) = 1+ k) = l) = 6 6 Solucón: a) α = 10º b) α = 0º c) α = 10º d) α = 5º e) α = 60º f) α = 15º g) α = 150º h) α = 5º ) α = 5º j) α = 15º k) α = 00º l) α = 0º 15
16 . Forma trgonométrca y polar de un número complejo. Forma bnómca Forma trgonométrca Forma polar a+ b r( cosα + senα ) r α donde r es el módulo del número complejo a + b y α es el argumento. Escrbe de todas las formas posbles los sguentes complejos: a) + b). Módulo: r = + = 8 Argumento: α = 60º + = 8 cos 60º + sen60º = Por tanto ( ) 8 60 º Módulo: r = 1. Argumento: α = 90º. = 1 cos 90º + sen90º = Por tanto = 1 (cos90º + sen90º) = 190º ( ) º 1 90 c) 65º 65º = 6( cos 5º + sen5º ) = 6. + = Ejercco: Escrbe de todas las formas posbles los sguentes complejos: a) b) 0º c) + cos 0º + sen0º 1 e) + d) ( ) 16
17 f) 0º g) 1 5 h) 00º ) + j) 1 6 cos10º + sen10º l) + m) 615º k) ( ) n) + o) 90º p) q) 1+ cos150º + sen150º s) t) 6 6 r) ( ) Solucón: a) = 610 º = 6(cos 10º + sen10º ) b) 0 º = (cos0º + sen0º ) = + c) + = 80 º = 8(cos 0º + sen0º ) d) (cos 0º + sen0º ) = 0 º = + 1 e) + = 110 º = cos10º + sen10º f) 0º = (cos0º + sen0º ) = g) 1 = 5 º = (cos 5º + sen5º ) 5 5 h) 5 00º = 5(cos00º + sen00º ) = ) + = 860 º = 8(cos 60º + sen60º ) j) 1 = 15 º = (cos15º + sen15º ) k) ( cos10º + sen10º ) = 6 = 6 10 º + l) + = 150 º = (cos150º + sen150º ) m) 6 15 º = 6(cos15º + sen15º ) = + n) + = 5 º = (cos 5º + sen5º ) 9 9 o) 9 0º = 9(cos 0º + sen0º ) = p) = 65 º = 6(cos 5º + sen5º ) q) + = = (cos15º sen15º ) 1 15 º + 17
18 r) ( cos150º + sen150º ) = = 150 º + s) = 800 º = 8(cos 00º + sen00º ) t) 6 = 1 = 1(cos0º sen0º ) 6 0 º + 5. Producto y cocente de números complejos en forma polar. El producto de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos. r r' r r' α α' = α+ α' ( 6) 180º = 100º 680º = 100º + 80º 1 Ejercco: Calcular los sguentes productos: a) 10º 60º b) 50º 670º c) 515º 65º 00º Solucón: 1 b) 000º c) 6050º a) 180º El cocente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tene por módulo el cocente de los módulos y por argumento la dferenca de los argumentos. r rα : r' α' = r' α α' 1 100º : 680º = = 6 100º 80º 0º Ejercco: Calcular los sguentes cocentes: a) 10º : 60º b) 600º : 70º c) 760º : 7 5º Solucón: 18
19 Calcular los sguentes cocentes: b) 0º c) 115º a) 60º 6. Potencacón y radcacón de números complejos en forma polar. La potenca n-ésma de un número complejo es otro número complejo que tene por módulo la potenca n-ésma del módulo y por argumento n veces el argumento del complejo dado: n r r n ( α ) = ( ) n α 1 ( + ) = ( ) = ( ) = 56 = 56( cos 0º + sen0º ) = 56 = º 60º 0º Ejercco: Calcular: a) ( ) 5 b) ( ) 6 0º + c) ( ) d) ( ) 78 0º e) ( 1 ) 6 f) ( 5 ) 9 00º + g) ( ) 7 h) ( 1 ) 65 + ) ( ) j) ( 6 ) 15º k) ( + ) 10 19
20 l) ( 1 ) 78 0º m) ( ) 7 n) ( 1+ ) o) ( ) 8 Solucón: a) 77760º b) 79180º c) 5190º 78 d) ( ) 180º e) ( ) 70º 5 9 f) ( ) 180º 8 7 g) ( ) 60º 65 h) ( ) 15º ) 690º j) º k) 1090º l) 10º 6 7 m) ( ) 15º n) 15 º 1 8 o) ( ) 10º Las raíces n-ésmas de un número complejo son n números complejos que tenen de α + k 60º módulo la raí n - ésma del módulo y por argumento con 0 k < n. n 0
21 Halla las raíces cúbcas del complejo = 8 α = arg = 90º. = 8. Las raíces cúbcas son tres números complejos n n 0 1 con 90º º 90º º n = 8 = y arg 0 = = 0º arg 1 = = 150º y 90º + 60º arg = = 70º luego: 1 0 = 0º = ( cos0º + sen0º ) = + = + 1 = 150 = ( cos150º + sen150º ) = + = = = cos 70º + sen70º = 0 + ( 1) =. 1 º + ( ) ( ) 0 70º Ejerccos: Calcula las sguentes raíces: con { } a) -1 b) 1 + c) -6 d) -7 e) 6 79 Solucón: a) b) c) = 1 = 1 = 1 = = = = º 180º 8 8 = 6 = 6 00º 90º 70º π 16 9π 16 17π 16 5π 16 1
22 d) e) = = = = = = = = = 60º 180º 00º π 1 π 5π 1 7π 1π 1 17π 1 Ejerccos de números complejos. 1. Efectúa las sguentes operacones con números complejos dando la parte real y la parte magnara del resultado: a) + b) c) ( ) 1+ d) ( 1+ ) ( + ) ( + ) e) f) g) : + + Solucón: 1 a)
23 b) 1 1 c) d) 10 1 e) + f) + g) 1. Calcula (en forma bnómca) las sguentes potencas: a) ( 1+ ) ( 5 + b) ) Solucón: a) 11 b) Determnar el valor de m para que el número complejo = ( 6) ( m) sea: a) Un número real. b) Un número magnaro puro. Solucón: a) m = b) m = 1. Determnar el valor de x para que Solucón: x = 1 ( + ) (1 - ) + x sea gual a 7 5-5
6.1 EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS
TEMA NÚMEROS COMPLEJOS. EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIONES Al resolver ecuacones del tpo : x + = 0 x = ± que no tene solucón en los números reales. Los números complejos nacen del deseo
Más detallesProblemas sobre números complejos -1-
Problemas sobre números complejos --.- Representa gráfcamente los sguentes números complejos y d cuáles son reales, cuáles magnaros y, de estos, cuáles magnaros puros: 5-5 + 4-5 7 0 -- -7 4.- Obtén las
Más detallesACTIVIDADES INICIALES
Soluconaro 7 Números complejos ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Clasfca los sguentes números, dcendo a cuál de los conjuntos numércos pertenece (entendendo como tal el menor conjunto). a) 0 b) 6 c) d) e) 0 f)
Más detalles1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115. 2. Representación gráfica de los números complejos página 116
Números complejos E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Números magnaros. Números complejos en forma bnómca págna. Representacón gráfca de los números complejos págna 6.. Suma de números complejos págna 8.
Más detallesTema 4. Números Complejos
Tema. Números Complejos. Números complejos...... Defncón de números complejo..... Conjugado y opuesto de números complejos..... Representacón gráfca de los complejos.... Operacones con complejos..... Suma
Más detalles= x 1º B. 2º- Calcular y simplificar: 3º- Calcular el valor de k para que el cociente
Departamento de Matemátcas 1º B 7 / OCT / 05 1º- Defnr conjugado, opuesto e nverso de un nº complejo. Escrbr y representar el conjugado, el opuesto, el conjugado del opuesto, el opuesto del conjugado,
Más detalles62 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS
6 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los números complejos: a x -x+=0 (Soluc: ± b x +=0 (Soluc: ± c x -x+=0 (Soluc: ± d x -x+=0 (Soluc: ± e x -6x +x-6=0 (Soluc:,
Más detallesNúmeros Complejos Matemáticas Básicas 2004
Números Complejos Matemáticas Básicas 2004 21 de Octubre de 2004 Los números complejos de la forma (a, 0) Si hacemos corresponder a cada número real a, el número complejo (a, 0), tenemos una relación biunívoca.
Más detallesFugacidad. Mezcla de gases ideales
Termodnámca del equlbro Fugacdad. Mezcla de gases deales rofesor: Alí Gabrel Lara 1. Fugacdad 1.1. Fugacdad para gases Antes de abarcar el caso de mezclas de gases, debemos conocer como podemos relaconar
Más detallesVectores VECTORES 1.- Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales. Las Magnitudes Escalares: Las Magnitudes Vectoriales:
VECTOES 1.- Magntudes Escalares y Magntudes Vectorales. Las Magntudes Escalares: son aquellas que quedan defndas úncamente por su valor numérco (escalar) y su undad correspondente, Eemplo de magntudes
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas
NÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS I º Bachllerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemátcas I) NECESIDAD DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (págs. 46 a 48 lbro de texto) Ejemplo : Los números complejos,
Más detallesLa variable compleja permite resolver problemas muy diferentes dentro de. áreas tan variadas como pueden ser hidráulica, aerodinámica, electricidad,
17 Análss matemátco para Ingenería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 1 Los números complejos La varable compleja permte resolver problemas muy dferentes dentro de áreas tan varadas
Más detallesEjercicios de recopilación de complejos
Ejercicios de recopilación de complejos Conjugado, opuesto, representaciones gráficas. Tipos de complejos 1. Clasificar los siguientes números complejos en reales e imaginarios. Para cada uno, cuál es
Más detallesNúmeros imaginarios. Unidad imaginaria. Números imaginarios. Un número imaginario se denota por bi, donde: besunnúmeroreal i es la unidad imaginaria
Números Complejos Números imaginarios Unidad imaginaria Launidadimaginariaeselnúmero ysedesignaporlaletrai. Números imaginarios Un número imaginario se denota por bi, donde: besunnúmeroreal i es la unidad
Más detallesCapitalización y descuento simple
Undad 2 Captalzacón y descuento smple 2.1. Captalzacón smple o nterés smple 2.1.1. Magntudes dervadas 2.2. Intereses antcpados 2.3. Cálculo de los ntereses smples. Métodos abrevados 2.3.1. Método de los
Más detallesTEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado
Más detallesCÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 2.- VECTORES. pág. 1
CÁLCL ECTRIAL 1. Magntudes escalares y vectorales.. ectores. Componentes vectorales. ectores untaros. Componentes escalares. Módulo de un vector. Cosenos drectores. 3. peracones con vectores. 3.1. Suma.
Más detallesEL NÚMERO COMPLEJO. Los números complejos. Distintas expresiones del número complejo. Operaciones con números complejos.
EL NÚMERO COMPLEJO. Los números complejos. Distintas expresiones del número complejo. Operaciones con números complejos. 1. Introducción Los números complejos o imaginarios nacen de la necesidad de resolver
Más detallesVARIABLE ALEATORIA DISCRETA. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Concepto de varable aleatora. Se llama varable aleatora a toda aplcacón que asoca a cada elemento del espaco muestral de un expermento, un número real.
Más detallesI.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1
PRODUCTO ESCALAR INTRODUCCIÓN El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E
PRUES DE CCESO L UNVERSDD L.O.G.S.E CURSO 004-005 CONVOCTOR SEPTEMRE ELECTROTECN EL LUMNO ELEGRÁ UNO DE LOS DOS MODELOS Crteros de calfcacón.- Expresón clara y precsa dentro del lenguaje técnco y gráfco
Más detalles4 BALANZA DE MOHR: Contracción de mezcla alcohol/h2o
4 LNZ DE OHR: Contraccón de mezcla alcohol/h2o CONTENIDOS Defncones. Contraccón de una ezcla. olumen específco deal y real. Uso de la balanza de ohr. erfcacón de Jnetllos. Propagacón de Errores. OJETIOS
Más detallesUna matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, son números ordenados en filas y columnas.
MATRICES Las matrces se utlzan en el cálculo numérco, en la resolucón de sstemas de ecuacones lneales, de las ecuacones dferencales y de las dervadas parcales. Además de su utldad para el estudo de sstemas
Más detallesTranslaciones, giros, simetrías.
Translaciones, giros, simetrías. Transformaciones geométricas Transformación geométrica es una aplicación del plano en el plano tal que a cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo
Más detallesSolución: Se denomina malla en un circuito eléctrico a todas las trayectorias cerradas que se pueden seguir dentro del mismo.
1 A qué se denomna malla en un crcuto eléctrco? Solucón: Se denomna malla en un crcuto eléctrco a todas las trayectoras cerradas que se pueden segur dentro del msmo. En un nudo de un crcuto eléctrco concurren
Más detallesDEPARTAMENTO DE INDUSTRIA Y NEGOCIO UNIVERSIDAD DE ATACAMA COPIAPO - CHILE
DEPATAMENTO DE NDUSTA Y NEGOCO UNESDAD DE ATACAMA COPAPO - CHLE ESSTENCA EN SEE, PAALELO, MXTO Y SUPEPOSCÓN En los sguentes 8 crcutos calcule todas las correntes y ajes presentes, para ello consdere los
Más detalles2. El conjunto de los números complejos
Números complejos 1 Introducción El nacimiento de los números complejos se debió a la necesidad de dar solución a un problema: no todas las ecuaciones polinómicas poseen una solución real El ejemplo más
Más detallesi=1 Demuestre que cumple los axiomas de norma. Calcule el límite Verifiquemos cada uno de los axiomas de la definición de norma: i=1
CAPÍTULO 3 EJERCICIOS RESUELTOS: CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL Ejerccos resueltos 1 1. La norma p (tambén llamada l p ) en R n se defne como ( ) 1/p x p = x p. Demuestre que cumple los axomas de
Más detallesGUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 22
DOCENTE: LIC.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PCTICO Nº 22 CES: POFESODO Y LICENCITU EN IOLOGI PGIN Nº 132 GUIS DE CTIIDDES Y TJO PCTICO Nº 22 OJETIOS: Lograr que el lumno: Interprete la nformacón de un vector.
Más detallesLlamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 =
1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite
Más detallesPregunta Hoy está nublado, cuál es la probabilidad de que mañana continúe nublado? cuál es la probabilidad de que está nublado pasado mañana?
Cadenas de Marov Después de mucho estudo sobre el clma, hemos vsto que s un día está soleado, en el 70% de los casos el día sguente contnua soleado y en el 30% se pone nublado. En térmnos de probabldad,
Más detalles. De R (Reales) a C (Complejos)
INTRODUCCIÓN Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo
Más detallesFísica I. TRABAJO y ENERGÍA MECÁNICA. Apuntes complementarios al libro de texto. Autor : Dr. Jorge O. Ratto
ísca I Apuntes complementaros al lbro de teto TRABAJO y ENERGÍA MECÁNICA Autor : Dr. Jorge O. Ratto Estudaremos el trabajo mecánco de la sguente manera : undmensonal constante Tpo de movmento varable bdmensonal
Más detalles8 MECANICA Y FLUIDOS: Calorimetría
8 MECANICA Y FLUIDOS: Calormetría CONTENIDOS Dencones. Capacdad caloríca. Calor especíco. Equlbro térmco. Calormetría. Calorímetro de las mezclas. Marcha del calorímetro. Propagacón de Errores. OBJETIVOS
Más detalles1. Teoría: a) Forma polar; b) Producto de números complejos; c) Ley de Moivre.
1. Teoría: a) Forma polar; b) Producto de números complejos; c) Ley de Moivre. 2. Si el senx=0,6 y ð/2
Más detallesIES Menéndez Tolosa (La Línea) Física y Química - 1º Bach - Gráficas
IES Menéndez Tolosa (La Línea) Físca y Químca - 1º Bach - Gráfcas 1 Indca qué tpo de relacón exste entre las magntudes representadas en la sguente gráfca: La gráfca es una línea recta que no pasa por el
Más detallesGuía de Electrodinámica
INSTITITO NACIONAL Dpto. de Físca 4 plan electvo Marcel López U. 05 Guía de Electrodnámca Objetvo: - econocer la fuerza eléctrca, campo eléctrco y potencal eléctrco generado por cargas puntuales. - Calculan
Más detallesFamiliarizar al alumno con las distintas maneras de expresar números complejos.
Capítulo 2 Aritmética compleja Objetivos Familiarizar al alumno con las distintas maneras de expresar números complejos. Manejar con soltura las operaciones aritméticas con números complejos. 2.1. Representaciones
Más detallesCampo eléctrico. Líneas de campo. Teorema de Gauss. El campo de las cargas en reposo. Campo electrostático
qco sθ qz Ez= 4 zπε0 2+ R2 = 4πε0 [z2 +R2 ]3/ 2 El campo de las cargas en reposo. Campo electrostátco ntroduccón. Propedades dferencales del campo electrostátco. Propedades ntegrales del campo electromagnétco.
Más detallesRentas o Anualidades
Rentas o Anualdades Patrca Ksbye Profesorado en Matemátca Facultad de Matemátca, Astronomía y Físca 10 de setembre de 2013 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 1 / 31 Introduccón Rentas o Anualdades
Más detallesTEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 1.1 DEFINICIÓN AXIOMATICA DE LOS NÚMEROS REALES 1.1.1 Axiomas de cuerpo En admitimos la existencia de dos operaciones internas la suma y el producto, con estas operaciones
Más detallesComplejos, C. Reales, R. Fraccionarios
NÚMEROS COMPLEJOS Como ya sabemos, conocemos distintos cuerpos numéricos en matemáticas como por ejemplo el cuerpo de los números racionales, irracionales, enteros, negativos,... Sin embargo, para completar
Más detalles1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes)
Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas
Más detallesVECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector
VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detalles5ª Lección: Sistema de fuerzas gravitatorias. Cálculo de centros de gravedad de figuras planas: teoremas de Guldin.
Capítulo II: MECÁNICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 5ª Leccón: Sstema de fuerzas gravtatoras. Cálculo de centros de gravedad de fguras planas: teoremas de Guldn. Sstemas de fuerzas gravtatoras La deduccón parte de
Más detallesRESISTENCIAS EN SERIE Y LEY DE LAS MALLAS V 1 V 2 V 3 A B C
RESISTENCIS EN SERIE Y LEY DE LS MLLS V V 2 V 3 C D Fgura R R 2 R 3 Nomenclatura: Suponemos que el potencal en es mayor que el potencal en, por lo tanto la ntensdad de la corrente se mueve haca la derecha.
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS: C
NÚMEROS COMPLEJOS: C Alejandro Lugon 21 de mayo de 2010 Resumen Este es un pequeño estudio de los números complejos con el objetivo de poder usar las técnicas de solución de ecuaciones y sistemas diferenciales
Más detalles315 M/R Versión 1 Segunda Parcial 1/7 Lapso 2009/2
35 M/R Versón Segunda Parcal /7 UNIVERSIDAD NACIONAL AIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA MODELO DE RESPUESTA ASIGNATURA: Investgacón de Operacones I CÓDIGO: 35 MOMENTO: Segunda Parcal VERSIÓN:
Más detallesOrganización y resumen de datos cuantitativos
Organzacón y resumen de datos cuanttatvos Contendos Organzacón de datos cuanttatvos: dagrama de tallos y hojas, tablas de frecuencas. Hstogramas. Polígonos. Ojvas ORGANIZACIÓN Y RESUMEN DE DATOS CUANTITATIVOS
Más detallesCANTIDADES VECTORIALES: VECTORES
INSTITUION EDUTIV L PRESENTION NOMRE LUMN: RE : MTEMÁTIS SIGNTUR: GEOMETRÍ DOENTE: JOSÉ IGNIO DE JESÚS FRNO RESTREPO TIPO DE GUI: ONEPTUL - EJERITION PERIODO GRDO FEH DURION 3 11 JUNIO 3 DE 2012 7 UNIDDES
Más detalles1. Lección 7 - Rentas - Valoración (Continuación)
Apuntes: Matemátcas Fnanceras 1. Leccón 7 - Rentas - Valoracón (Contnuacón) 1.1. Valoracón de Rentas: Constantes y Dferdas 1.1.1. Renta Temporal y Pospagable En este caso, el orgen de la renta es un momento
Más detallesDicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y A c se les ha asociado los sucesos B y B c.
Estadístca robablístca 6. Tablas de contngenca y dagramas de árbol. En los problemas de probabldad y en especal en los de probabldad condconada, resulta nteresante y práctco organzar la nformacón en una
Más detallesTema 7: Geometría Analítica. Rectas.
Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos
Más detallesBloque 5. Probabilidad y Estadística Tema 2. Estadística descriptiva Ejercicios resueltos
Bloque 5. Probabldad y Estadístca Tema. Estadístca descrptva Ejerccos resueltos 5.-1 Dada la sguente tabla de ngresos mensuales, calcular la meda, la medana y el ntervalo modal. Ingresos Frecuenca Menos
Más detallesCapítulo 1 Vectores. 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99)
Capítulo 1 Vectores 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99) 21 Problemas de desarrollo - página 22 (soluciones en la página 100) 11 1.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN Sección 1.A Problemas
Más detalles= + = 1+ Cuarta relación fundamental
1.- Determina las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, relacionándolos con algunos ángulos notables (0º, 0º,, 60º, 90º, 180º, 70º, 60º), indicando en qué cuadrante se encuentran: a) 40º b)
Más detallesa1 3 siendo a 1 y a 2 las aristas. 2 a a1
Semejanza y Trigonometria. 77 Ejercicios para practicar con soluciones Dos rectángulos tienen sus lados proporcionales. Los lados del primero miden 6 y 8 cm respectivamente. Si el perímetro del segundo
Más detallesTeoría Tema 3 Complejos - Definición y propiedades
página 1/6 Teoría Tema 3 Complejos - Definición y propiedades Índice de contenido Definición de unidad imaginaria... Desarrollo formal del cuerpo conmutativo de los números complejos, con las operaciones
Más detallesLOS NÚMEROS COMPLEJOS
LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate
Más detallesTrigonometría. Guía de Ejercicios
. Módulo 6 Trigonometría Guía de Ejercicios Índice Unidad I. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Ejercicios Resueltos... pág. 0 Ejercicios Propuestos... pág. 07 Unidad II. Identidades trigonométricas
Más detalles1. NUMEROS COMPLEJOS.
Apunte de Números complejos o imaginarios: Representación gráfica. Complejos conjugados y opuestos. Forma trigonométrica, de De Moivre, exponencial. Operaciones. Raíces.Fórmula de Euler. 1. NUMEROS COMPLEJOS.
Más detallesMétodos específicos de generación de diversas distribuciones discretas
Tema 3 Métodos específcos de generacón de dversas dstrbucones dscretas 3.1. Dstrbucón de Bernoull Sea X B(p). La funcón de probabldad puntual de X es: P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 p Utlzando el método de
Más detallesCAPÍTULO V ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 7 CAPÍTULO V ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Estructura Algebraca es todo conjunto no vacío en el cual se han defndo una o más leyes de composcón nterna, luego de cumplr certas propedades
Más detallesAplicación de la termodinámica a las reacciones químicas Andrés Cedillo Departamento de Química Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa
Aplcacón de la termodnámca a las reaccones químcas Andrés Cedllo Departamento de Químca Unversdad Autónoma Metropoltana-Iztapalapa Introduccón Las leyes de la termodnámca, así como todas las ecuacones
Más detallesTEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
IES IGNACIO ALDECOA 19 TEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 4.1 Medida de ángulos. Equivalencias. Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas
Más detalleshttp://www.rubenprofe.com.ar biofisica@rubenprofe.com.ar RESISTENCIAS EN PARALELO
bofsca@rubenprofe.com.ar El crcuto funcona así: ESISTENCIS EN PLELO.- Las cargas salen del extremo postvo de la fuente y recorren el conductor (línea negra) hasta llegar al punto, allí las cargas se dvden
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos
CONCEPTOS NÚMEROS COMPLEJOS En el conjunto de los números reales, una ecuación tan sencilla como x + = 0 no se puede resolver ya que es equivalente a x = - y no existe ningún número real cuyo cuadrado
Más detallesHistogramas: Es un diagrama de barras pero los datos son siempre cuantitativos agrupados en clases o intervalos.
ESTADÍSTICA I. Recuerda: Poblacón: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determnada propedad, que llamamos carácter estadístco. Los elementos de la poblacón se llaman ndvduos. Muestra:
Más detallesAlgoritmo para la ubicación de un nodo por su representación binaria
Título: Ubcacón de un Nodo por su Representacón Bnara Autor: Lus R. Morera González En este artículo ntroducremos un algortmo de carácter netamente geométrco para ubcar en un árbol natural la representacón
Más detalles, pero lím. 1 x3 1. (x 1) x(x + 1) = x = x 1 1 x 3 = que es una forma indeterminada. (x + 2) (1 + x + x 2 ) = 3
Ana María Albornoz R. Ejercicios resueltos. Calcular los siguientes ites algebraicos + + 5 + + + 0 0 + pero + 0 0 0, pero 0 + + + 4 que es una forma indeterminada. Pero + + + + + + + + + + + + + + + +
Más detallesCapítulo 8: Vectores
Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no
Más detallesFUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO
FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría
Más detalles4. PROBABILIDAD CONDICIONAL
. ROBBILIDD CONDICIONL La probabldad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrdo algún otro evento se denomna robabldad Condconal, Se denota como (B/) y se lee como la probabldad de que ocurra
Más detallesTema 1.3_A La media y la desviación estándar
Curso 0-03 Grado en Físca Herramentas Computaconales Tema.3_A La meda y la desvacón estándar Dónde estudar el tema.3_a: Capítulo 4. J.R. Taylor, Error Analyss. Unv. cence Books, ausalto, Calforna 997.
Más detalles315 M de R Versión 1 Segunda Parcial 1/8 Lapso 2008/2
5 M de R Versón Segunda Parcal /8 Lapso 8/ UNIVERSIDAD NACIONAL AIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA MODELO DE RESPUESTA ASIGNATURA: Investgacón de Operacones I CÓDIGO: 5 MOMENTO: Segunda Parcal
Más detallesv i CIRCUITOS ELÉCTRICOS (apuntes para el curso de Electrónica)
IUITOS EÉTIOS (apuntes para el curso de Electrónca) os crcutos eléctrcos están compuestos por: fuentes de energía: generadores de tensón y generadores de corrente y elementos pasos: resstores, nductores
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3
Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los
Más detallesSolución: I.T.I. 96, 98, 02, 05, I.T.T. 96, 99, 01, curso cero de física
VECTORES: TRIÁNGULOS Demostrar que en una semicircunferencia cualquier triángulo inscrito con el diámetro como uno de sus lados es un triángulo rectángulo. Solución: I.T.I. 96, 98, 02, 05, I.T.T. 96, 99,
Más detalles1. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. Definición del álgebra geométrica del espacio-tiempo
EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DEL ESPACIO Y TIEMPO. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Defncón del álgebra geométrca del espaco-tempo Defno el álgebra geométrca del espaco y tempo como el álgebra de las matrces
Más detallesTÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO
TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO I.- ERRORES 1.- Introduccón Todas las meddas epermentales venen afectadas de una mprecsón nherente al proceso de medda. Puesto que en éste se trata, báscamente, de comparar
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de
Más detallesUNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo
Más detalles27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7
β 27/01/2011 TRIGONOMETRÍA Página 1 de 7 Notación en un triángulo: En un triángulo cualquiera llamaremos a, b y c a sus lados y A, B y C a sus vértices de forma que A sea el vértice formado por los lados
Más detallesBloque 2. Geometría. 2. Vectores. 1. El plano como conjunto de puntos. Ejes de coordenadas
Bloque 2. Geometría 2. Vectores 1. El plano como conjunto de puntos. Ejes de coordenadas Para representar puntos en un plano (superficie de dos dimensiones) utilizamos dos rectas graduadas y perpendiculares,
Más detallesMATEMÁTICA CPU MÓDULO 1. Números reales Ecuaciones e inecuaciones. Representaciones en la recta y en el plano.
MATEMÁTICA CPU MÓDULO Números reales. Ecuaciones e inecuaciones. Representaciones en la recta y en el plano.. Marcar con una cruz los conjuntos a los cuales pertenecen los siguientes números: N Z Q R 8
Más detalles95 EJERCICIOS de RECTAS
9 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS 1) En cada ejercicio hallar la ecuación de la circunferencia que cumple: 1) El radio es igual a 6 y las coordenadas de su centro son ( 1, 2). 2) Su centro es el origen de coordenadas
Más detallesMedidas de centralización
1 Meddas de centralzacón Meda Datos no agrupados = x X = n = 0 Datos agrupados = x X = n = 0 Medana Ordenamos la varable de menor a mayor. Calculamos la columna de la frecuenca relatva acumulada F. Buscamos
Más detallesEcuaciones Lineales en Dos Variables
Ecuaciones Lineales en Dos Variables Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general a + b + c = 0; donde a, b, c representan números reales las tres no pueden ser iguales a cero a la misma
Más detallesRelaciones entre variables
Relacones entre varables Las técncas de regresón permten hacer predccones sobre los valores de certa varable Y (dependente), a partr de los de otra (ndependente), entre las que se ntuye que exste una relacón.
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN 1.2. OPERACIONES CON COMPLEJOS
NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN La ecuación x + 1 0 no tiene solución en el cuerpo de los números reales R ya que no existe un número real x tal que x 1. Necesitamos un conjunto que contenga a R, que
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Unversdad de Cádz Departamento de Matemátcas MATEMÁTICAS para estudantes de prmer curso de facultades y escuelas técncas Tema 13 Dstrbucones bdmensonales. Regresón y correlacón lneal Elaborado por la Profesora
Más detallesÁreas entre curvas. Ejercicios resueltos
Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesTema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS
Tema 9: SOTONES ONDS V T N V Problemas resueltos Prof.: Jame Santo Domngo Santllana E.P.S.-Zamora (U.S.) - 8 9..-En la vga de la fgura calcular por el Teorema de los Trabajos Vrtuales: ) Flecha en ) Gro
Más detallesNUMEROS COMPLEJOS. Se llama unidad imaginaria a un ente abstracto i, al que se le atribuye la propiedad de que su cuadrado es -1: i ² = -1.
Contenido Apunte de Números complejos o imaginarios: Suma y producto de números complejos. División. Raíz cuadrada. Conjugado. Módulo y argumento. Fórmula De Moivre. Raíces. Primera parte NUMEROS COMPLEJOS
Más detallesa) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r.
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE GEOMETRÍA 1. En el espacio se dan las rectas Obtener a) El valor de para el que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 puntos) b) La ecuación del plano que
Más detallesPARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Media aritmética: μ = x
Dstrbucones de Probabldad dscretas-bn1b DISTRIBUIONES DISRETAS DE PROBABILIDAD Dstrbucones dscretas son aquellas en las que la varable sólo puede tomar valores aslados. Ejemplo: lanzar una moneda ( valores:
Más detallesCALCULO DE CENTROS DE MASA ! =
CLCULO DE CENTOS DE S EXPESION GENEL: La poscón del centro de masas de un sstema de partículas vene dada por la expresón: r C.. m r m m r (1) donde es la masa total del sstema de partículas. Esta es una
Más detalles