AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES.
|
|
- Germán Ortega Vázquez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICACIONES. Ejemplo 1. La ecuació poliómica x 2 + 2x + 2 = 0, co coeficietes reales, tiee dos solucioes complejas cojugadas: 1 + i y 1 i. Este o es u hecho aislado. Proposició 1. Sea a x +a 1 x 1 + +a 1 x+a 0 = 0 ua ecuació poliómica de grado, co coeficietes a 0, a 1,..., a R. Si z C es ua solució de la ecuació, etoces su cojugado z tambié lo es. Demostració: Por ser z ua raíz del poliomio 0 = a 0 + a 1 z a z. Tomado cojugados y aplicado las propiedades de la cojugació, 0 = a 0 + a 1 z a z = a 0 + a 1 z a z = a 0 + a 1 z a z = a 0 + a 1 z a z. Lo que prueba que z es ua raíz del poliomio Ejemplo 2. Si x 2 + ax + b, es u poliomio de segudo grado co coeficietes e R y si raíces reales, etoces existe α+βi, α βi C raíces del poliomio. Además x 2 +ax+b = (x (α+βi))(x (α βi)) = x 2 2αx+α 2 +β 2 = (x α) 2 +β 2. Despejado se tiee que α = a 2 y β = b α 2 = Observació 1. Si z = a + bi C, etoces zz = a 2 + b 2 = z 2. 1 b a2 4.
2 2 C. RUIZ Defiició 1. Dado z = a + bi C, se llama módulo de z al escalar z = zz = a 2 + b 2. Observació 2. El módulo z de u complejo z es igual al módulo (o orma) de u vector z e R 2 ( z, la distacia de z al orige) y por tato tiee las mismas propiedades: z 0; si z = 0, etoces z = 0. zw = z w para todo z, w C. z + w z + w para todo z, w C. Defiició 2. Para z = a + bi C se llama módulo de z a z = a 2 + b 2 ; argumeto de z a Argz = (1, 0)z [0, 2π) = θ, el águlo que forma el eje OX co el vector determiado por z (ver el dibujo de abajo); forma polar de z a z = z (cos θ + i se θ) = e iθ. Figura 1. Forma polar de u complejo. La forma polar de u úmero complejo os permite eteder mejor la multiplicació e C. Después de la siguiete Proposició etederemos que u productos de complejos o es más que u giro juto co ua homotecia. Proposició 2. Sea z, w C, co z = z (cos θ + i se θ) y w = w (cos β + i se β), etoces se tiee que zw = z w ( cos(θ + β) + i se(θ + β) )
3 APUNTES AM 3 Demostració: zw = z w ( cos θ + i se θ )(cos β + i se β) = z w ( (cos θ cos β se θ se β) + i(cos θ se β + se θ cos β) ) = z w ( cos(θ + β) + i se(θ + β) ) Figura 2. Giro co homotecia. Figura 3. Giro para w = 1. Co esta ueva image del producto de complejos, ahora es fácil calcular raíces de úmeros complejos.
4 4 C. RUIZ Proposició 3. a: Para todo z C y para todo N se tiee que z = z ( cos(argz) + i se(argz) ). b: Para todo z, w C existe u k Z de modo que Arg(zw) = Argz + Argw + 2kπ. c: Si z C\{0}, co z = z (cos θ + i se θ), y para todo N se tiee que ( z = z cos( θ + 2kπ ) + i se( θ + 2kπ ) ) dode k = 0, 1, 2,..., 1. Ates de hacer la demostració veamos alguas cosideracioes sobre los euciados. E primer lugar, el apartado c) os dice que existe raíces -ésimas de todo complejo o ulo. Notació: Para z = 1 sus raíces -ésimas se puede escribir de la forma e i 2kπ para k = 0, 1, 2,..., 1 dode e it = cos t + i se t (fórmula de Euler). E el siguiete ejemplo mostramos lo que os dice el apartado b). Ejemplo 3. Si z = 1 y w = i, etoces Argz = π, Argw = 3π 2 zw = i. Luego y Arg(zw) = Argi = π 2 = Argz + Argw 2π = π + 3π 2 2π. Figura 4. Argumetos mayores que 2π. Demostració: a: Se sigue directamete de la Proposició aterior aplicado la fórmula de multiplicació veces.
5 APUNTES AM 5 b: Como 0 Argz < 2π y 0 Argw < 2π, etoces 0 Argz + Argw < 4π. Ahora si Argz + Argw [0, 2π) Arg(zw) = Argz + Argw. E otro caso, Argz+Argw [2π, 4π) Arg(zw) = Argz+Argw 2π [0, 2π). c: Si teemos ua raíz -ésima de z ( w = z ), como w = w ( cos(argw) + i se(argw) ) = z (cos θ + i se θ). y la forma polar de u úmero complejo es úica siempre que el argumeto permaezca e el itervalo [0, 2π), se sigue que { w = z w = z Argw = θ + 2kπ, k Z Argw = θ+2kπ. Observemos que θ < θ + 2π < θ + 4π θ + 2( 1)π <... < < θ + 2π = θ + 2π. Vemos que para los valores de k = 0, 1, 2,..., ( 1), teemos argumetos distitos de la forma θ + 2kπ ; para otros valores del argumeto de w dados por otros k, solo coseguimos repetir las raíces que ya teemos Figura 5. cos θ = cos( θ + 2π). Ejemplo 4. Vamos a calcular las raíces cúbicas de la uidad 3 1.
6 6 C. RUIZ 3 1 = 3 1( cos( 0 + 2kπ 3 ) + i se( 0 + 2kπ ) ), k = 0, 1, 2. 3 Luego las tres raíces que os sale so z 1 = 1, z 2 = cos( 2π) + i se( 2π) 3 3 y por último z 3 = cos( 4π) + i se( 4π ). Observemos que las tres raíces 3 3 sobre la circuferecia uidad dibuja u triágulo equilátero Figura 6. Raíces cúbicas de la uidad. Ejemplo 5. Vamos a calcular las raíces cuartas de 1, = 4 1( cos( π + 2kπ 4 ) + i se( π + 2kπ ) ), k = 0, 1, 2, 3. 4 Luego las cuatro raíces que os sale so z 1 = cos( π) + i se( π), 4 4 z 2 = cos( 3π) + i se( 3π), z = cos( 5π) + i se( 5π) y por último z = cos( 7π) + i se( 7π ). Observemos que las cuatro raíces sobre la circuferecia uidad dibuja u cuadrado 4 4 Figura 7. Raíces cuartas de 1.
7 APUNTES AM 7 Referecias Departameto de Aálisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Uiversidad Complutese, Madrid, Spai address: Cesar Ruiz@mat.ucm.es
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Capítulo INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Problema Calcula las partes real e imagiaria de los siguietes úmeros complejos: a) i + + i, b) + i i + i + i + i, c) d) + i), + ), + i e) f) ) + i 04, i +
Más detallesTema 1: Números Complejos
Números Complejos Tema 1: Números Complejos Deició U úmero complejo es u par ordeado (x, y) de úmeros reales Éste puede iterpretarse como u puto del plao cuya abscisa es x y cuya ordeada es y El cojuto
Más detallesEjemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi
u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo
Más detallesUna ecuación diferencial lineal de orden superior general tendría la forma. (1) dx dx
.7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior 6.7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior Ua ecuació diferecial lieal de orde superior geeral tedría la forma d y d y dy a( ) a ( )... a ( )
Más detallesNúmeros complejos Susana Puddu
Números complejos Susaa Puddu 1. El plao complejo. E el cojuto C = IR IR defiimos la suma y el producto de dos elemetos de C de la siguiete maera a, b + c, d = a + c, b + d a, b.c, d = ac bd, ad + bc Dejamos
Más detalles1. Definiciones y propiedades básicas - C como extensión de R.
Facultad de Ciecias Exactas, Igeiería y Agrimesura Departameto de Matemática - Escuela de Ciecias Exactas y Naturales ÁLGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA I Liceciatura e Física - 2015 Equipo docete: Viviaa del
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detallesLos números complejos ( )
Los úmeros complejos (15.06.016) 1. Itroducció Estas otas se propoe u doble objetivo. Co los apartados a 8 se pretede dar uas ocioes básicas sobre los úmeros complejos que ayude a fijar los coceptos expuestos
Más detallesTema 1.1: El cuerpo de los números complejos. Módulo y argumento de un número complejo
Tema 1.1: El cuerpo de los úmeros complejos. Módulo y argumeto de u úmero complejo Facultad de Ciecias Experimetales, Curso 2008-09 Erique de Amo, Uiversidad de Almería Notació. N deotará el cojuto de
Más detalles3. Volumen de un sólido.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes.. Volume de u sólido. E esta secció veremos cómo podemos utilizar la itegral defiida para calcular volúmees de distitos tipos
Más detallesUNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que
Más detallesFunciones de variable compleja
Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) =
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detalles2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.
2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces
Más detallesProblemas de Sucesiones
Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]
Más detallesAplicaciones del cálculo integral vectorial a la física
Aplicacioes del cálculo itegral vectorial a la física ISABEL MARRERO epartameto de Aálisis Matemático Uiversidad de La Lagua imarrero@ull.es Ídice 1. Itroducció 1 2. Itegral doble 1 2.1. Motivació: el
Más detallesTEMARIO DE MATEMÁTICAS [ ]
TEMARIO DE MATEMÁTICAS [2015-16] TEMA 9: NÚMEROS COMPLEJOS. APLICACIONES GEOMÉTRICAS. I. NÚMEROS COMPLEJOS I.1. PLANO COMPLEJO I.1.A. INMERSIÓN DE ú EN I.1.B. UNIDAD IMAGINARIA I.1.C. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesNúmeros Complejos Matemáticas Básicas 2004
Números Complejos Matemáticas Básicas 2004 21 de Octubre de 2004 Los números complejos de la forma (a, 0) Si hacemos corresponder a cada número real a, el número complejo (a, 0), tenemos una relación biunívoca.
Más detallesCRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MATEMÁTICA I - 0 - Capítulo 6 ------------------------------------------------------------------------------------ CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las matrices iversas se puede usar
Más detallesResolución de ecuaciones no lineales
Resolució de ecuacioes o lieales Solucioa ecuacioes o lieales tipo f()= Normalmete cada método tiee sus requisitos Métodos so iterativos Métodos iterativos para resolver f()= E geeral métodos iterativos
Más detallesCálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesMatemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1_A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 3 (1 puto) Sea las matrices A= 0 1 y B = 1-1 - 0 1 1 De las siguietes operacioes, alguas o se puede
Más detallesTEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( putos) Dibuje el recito defiido por las siguietes iecuacioes: + y 6; 0 y; / + y/3 ; 0; ( puto) Calcule
Más detallesFUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:
Más detallesUnidad 1: Números Complejos
Uidad 1: Números Complejos 11 Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las
Más detallesExpresiones Algebraicas
Semiario Uiversitario Matemática Módulo Expresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,
Más detallesLa sucesión de Lucas
a sucesió de ucas María Isabel Viggiai Rocha Cosideramos la sucesió umérica { } defiida por: - - si 3 y y 3. Esta sucesió es coocida como la sucesió de ucas y a sus térmios se los llama úmeros de ucas.
Más detallesLA MARAVILLOSA FUNCION Y ECUACION CUADRATICA. CAMPO ELÍAS GONZALEZ PINEDA.
LA MARAVILLOSA FUNCION Y ECUACION CUADRATICA CAMPO ELÍAS GONZALEZ PINEDA. cegp@utp.edu.co Itroducció. E este artículo presetamos u estudio geeral de la fució cuadrática. Veremos lo importate de esta fució
Más detallesTrabajo Especial Estadística
Estadística Resolució de u Problema Alumas: Arrosio, Florecia García Fracaro, Sofía Victorel, Mariaela FECHA DE ENTREGA: 12 de Mayo de 2012 Resume Este trabajo es ua ivestigació descriptiva, es decir,
Más detallesPrueba A = , = [ 7.853, 8.147]
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 5-6 - CONVOCATORIA: Septiembre MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe
Más detallesSi la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE:
Ua progresió es geométrica, si cada termio después del primero se obtiee multiplicado el aterior por u valor costates Este valor costate se llama razó geométrica (q) E geeral: a a : a......... a ; 3 Si
Más detallesEstalmat. Real Academia de Ciencias. Curso 2005/2006. Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot. Método de Newton. Miguel Reyes Mayo 2006
Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 Diámica compleja Cojutos de Julia y Madelbrot. Método de Newto. Miguel Reyes Mayo 6 Los úmeros complejos Los úmeros complejos so los úmeros de la forma dode
Más detallesTécnicas para problemas de desigualdades
Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1_A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 0-1 2 1 ( putos) Resuelva la siguiete ecuació matricial: A X - 2 B C, siedo A 1 0 1, B -2, C. 1
Más detallesSobrantes de 2004 (Septiembre Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A
OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y amargas Cada trufa dulce lleva 20 g de cacao, 20 g de ata y 30 g de azúcar y se vede a 1 euro la uidad Cada trufa amarga
Más detallesNúmeros complejos. .a C ib/ C.c C id/ D a C c C i.b C d/.a C ib/.c C id/ D ac bd C i.ad C bc/
Númers cmplejs El cjut frmad pr tds ls úmers de la frma acib, dde a y b s úmers reales, c las peracies de adició y prduct defiidas pr: 1/100.a C ib/ C.c C id/ D a C c C i.b C d/.a C ib/.c C id/ D ac bd
Más detallesNúmeros reales Números. irracionales. Figura 3.1. Construcción del conjunto de los números complejos.
Números Complejos El cojuto de los úmeros complejos La supremacía de los úmeros reales como cojuto umérico máximo duró poco; o existe u úmero real a que satisfaga la ecuació x 2 + a = 0. Para ello, es
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A ( putos) Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de care. Además, el
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció A Juio, Ejercicio 4, Opció B Reserva 1, Ejercicio 4, Opció
Más detallesTEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*
CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma,
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS: C
NÚMEROS COMPLEJOS: C Alejandro Lugon 21 de mayo de 2010 Resumen Este es un pequeño estudio de los números complejos con el objetivo de poder usar las técnicas de solución de ecuaciones y sistemas diferenciales
Más detallesDonde el par Tm a la salida del motor se expresa en N.m y la velocidad del motor w se expresa en rad/s.
U automóvil (Citroe XM V6) tiee la geometría idicada e la figura. Su masa total es.42 Kg. Dispoe de u motor cuya relació par-velocidad puede expresarse mediate la relació: Tm=-,52.-3.w2+,38.w-5,583 N.m
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.
Más detallesTrata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor.
1 Estadística Descriptiva Tema 8.- Estadística. Tablas y Gráficos. Combiatoria Trata de describir y aalizar alguos caracteres de los idividuos de u grupo dado, si extraer coclusioes para u grupo mayor.
Más detalles( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
Algebra uiversitaria UNIDAD III. POLINOMIOS 3.. Técicas elemetales para buscar raíces Recordado la defiició de raíz U poliomio P(x) tiee ua raíz r si y solo si P(r) = 0. Recordar el teorema de factorizació
Más detallesForma polar de números complejos (repaso breve)
Forma polar de números complejos (repaso breve) Objetivos. pasar la forma polar de números complejos. quisitos. Números complejos, funciones trigonométricas, valor absoluto de números complejos, circunferencia
Más detallesEl cuerpo de los números complejos
Capítulo 1 El cuerpo de los números complejos En este primer capítulo se revisan los conceptos elementales relativos a los números complejos. El capítulo comienza con una breve nota histórica y después
Más detallesc) la raíz cuadrada Primero tienes que teclear la raíz cuadrada y después el número. 25 = 5
Aexo Calculadora La proliferació de las calculadoras e la vida cotidiaa obliga a profesores y padres a replatearse su uso. Los profesores debemos eseñar a los alumos su utilizació. Pero será los profesores
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS SUCESIONES DE FUNCIONES En primer curso estudiamos el concepto de convergencia de una sucesión de números. Decíamos que dada una sucesión de números reales (x n ) n=1 R, ésta
Más detallesFigura 1. Círculo unidad. Definición. 1. Llamamos número π (pi) al valor de la integral
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. La función f(x) = 1 x 2 es continua en el intervalo [ 1, 1]. Su gráfica como vimos es la semicircunferencia de radio uno centro el origen de coordenadas.
Más detallesTema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1
Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma
Más detalles21 EJERCICIOS de POTENCIAS 4º ESO opc. B. impar (-2)
EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO opc. B RECORDAR a m a a m m ( a ) a b a a (a b) a m a a b m a m+ b a a - a b a - b a Tambié es importate saber que algo ( base egativa) par (- ) ( base egativa) impar (- )
Más detallesALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO:
Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: Progresioes aritméticas y geométricas Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/
Más detallesLAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que
Más detallesMATE1214 -Calculo Integral Parcial -3
MATE114 -Calculo Itegral Parcial -3 Duració: 60 miutos 1. Cosidere la curva paramétrica descrita por = te t, y = 1 + t. Halle la pediete de la recta tagete a esta curva cuado t = 0.. Calcular la logitud
Más detallesProblemas resueltos. 1. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos: b) w = 1+i3 (1 i) 3 c) u = 1. = 5 5i. 1 3i 3i 2 i 3 = 1 i
Problemas resueltos 1. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos: a) z = ( + i)(1 i) +i b) w = 1+i (1 i) c) u = 1 1+i + 1 1 i a) z = ( + i)(1 i) +i = 5 5i +i (5 5i)( i) = ( + i)( i) =
Más detallesLOS NÚMEROS COMPLEJOS
LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate
Más detalles84 ejercicios de repaso de NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES
8 ejercicios de repaso de NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES Repaso úmero real. Itervalos: 1. Separar los siguietes úmeros e racioales o irracioales, idicado, de la forma más secilla posible,
Más detallesIngeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Más detallesEjercicios de intervalos de confianza en las PAAU
Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU 2008 1 1.-El úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua ley Normal de media µ días y desviació típica 3 días. a)determiar u itervalo de
Más detallesEl tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.
Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,
Más detallesTEMA 3: TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA OMBINATORIA.
TEMA : TÉCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA OMBINATORIA.. Itroducció...... Itroducció histórica...... Defiició de factorial.... Técicas de recueto...... Pricipio del producto...... Pricipio de adició o regla
Más detallesApuntes sobre series numéricas: preguntas frecuentes y ejemplos resueltos. 1) Preguntas frecuentes. Conceptos, teoremas y ejemplos básicos
Cálculo I ( o de Grado e Iformática, 202-3) Aputes sobre series uméricas: pregutas frecuetes y ejemplos resueltos ) Pregutas frecuetes. Coceptos, teoremas y ejemplos básicos P-. Ua serie ifiita es ua suma
Más detallesTEMA IV INTEGRALES INDEFINIDAS
Tema IV-Itegrales Ideiidas TEMA IV INTEGRALES INDEFINIDAS Dada ua ució ( ) deiida e u cierto domiio D, os plateamos si eiste ua ució F( ) deiida e el mismo domiio, tal que su derivada coicida co la ució
Más detallesFigura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,
VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,
Más detallesCAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió
Más detallesEscuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre
Escuela Pública Eperimetal Descocetrada Nº Dr. Carlos Jua Rodríguez Matemática º Año Ciclo Básico de Secudaria Teoría Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros racioales Los úmeros racioales so aquellos
Más detallesTEMA 4: POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA.
I.E.S. Salvador Serrao de Alcaudete Deartameto de Matemáticas º ESO 0 / TEMA : POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA.. Eresioes Algebraicas. Las EXPRESIONES ALGEBRAICAS se usa ara traducir al leguaje matemático,
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesOlimpiadas Matem aticas, U. de A.
OLIMPIADAS DE MATEMATICA, 04 Uiversidad de Atioquia Cotextos AVISO: Los textos aquí publicados so resposabilidad total de sus creadores Estos so materiales e costrucció Errores y/o cometarios por favor
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales
- Ferado Sáchez - - 7 Sucesioes Cálculo I y series de úmeros reales Sucesioes de úmeros reales 20 205 De maera similar a como se hizo para sucesioes de úmeros racioales, se defie ua sucesió de úmeros reales
Más detalles+ + + = 6 no parece ayudarnos a comprender cómo llegar a conjeturar esta relación. Intentamos acá una aproximación geométrica.
http://www.ricomatematico.com La fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros úmeros aturales obteida visualmete Mario Augusto Buge Uiversidad de Bueos AIres Ciclo Básico Comú Departameto de Matemática
Más detallesConvolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG
Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas
Más detalles12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS)
12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS) 1 Supogamos que ua variable aleatoria X sigue ua ley N(µ; =,9). A partir de ua muestra de tamaño = 1, se obtiee ua media muestral
Más detallesSe plantean una serie de cuestiones y ejercicios resueltos relacionados con la cinética de las reacciones químicas.
ESUEL UNIVERSIRI DE INGENIERÍ ÉNI INDUSRIL UNIVERSIDD POLIÉNI DE MDRID Roda de Valecia, 3 80 Madrid www.euiti.upm.es sigatura: Igeiería de la Reacció Química Se platea ua serie de cuestioes y ejercicios
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL. 1.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
ejerciciosyeamees.com CÁLCULO DIFERENCIAL.- Estudia la cotiuidad de las guietes fucioes: - + f() = ; g()= ; h()= + - ( - )(+) + - - - - - < < 0 i()= e j()= - k()= - > cos 0 = 0 + se l()= m()= = 0 = 0 Sol:
Más detallesSumando miembro a miembro estas dos igualdades, obtenemos: (5.3) Lo que demuestra que la (5.3) es también solución de la ecuación de Bessel.
Ecuacioes Difereciales de Orde Superior arte V Fucioes de essel Ig. Ramó Abascal rofesor Titular de Aálisis de Señales y Sistemas y Teoría de los Circuitos II e la UTN, Facultad Regioal Avellaeda ueos
Más detallesMODULO PRECALCULO QUINTA UNIDAD
www.mateladia.org MODULO PRECALCULO QUINTA UNIDAD Límites Cotiuidad y Derivada.... y cotiuó Alicia:
Más detallesCurso OPOSICIONES EDUCACIÓN SECUNDARIA: MATEMÁTICAS
Academia DEIMOS Preparació de Oposicioes: a) Secudaria b) Diplomados e Estadística del Estado C/ Ferádez de los Ríos, 75, º Izda. Metro: MONCLOA 2805 Madrid 669 3 64 06 http://academiadeimos.blogspot.com.es
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES (2007)
IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) jercicio 1- Tomada, al azar, ua muestra de 10 estudiates de ua Uiversidad, se ecotró que 54 de ellos
Más detallesTema 3.- Números Complejos.
Álgebra. 200-2005. Igeieros Idustriales. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Tema 3.- Números Complejos. Los úmeros complejos. Operacioes. Las raíces de u poliomio real. Aplicacioes
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesFigura 1. Formación de la imagen en un espejo plano.
TEMA 9: ÓPTICA GEOMÉTRICA. 9. Itroducció. La logitud de oda de la luz visible suele ser muy pequeña e comparació co los objetos /agujeros reales de la vida cotidiaa que se alla e su camio, por lo que e
Más detallesMatemáticas I. Tema 2 E.I.I. Aplicaciones Lineales y Matrices. Curso 2012-2013
Matemáticas I E.I.I Tema 2 Aplicacioes Lieales y Matrices Curso 202-203 Itroducció 2 Como requisitos previos para maejar todos lo que e este tema se itroduce se tiee que recordar de cursos ateriores los
Más detallesLos números complejos
Universidad Autónoma de Madrid Actualización en Análisis Matemático, abril de 2012 Cardano (1501 1576) Dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el rectángulo cuyos lados tienen la longitud
Más detallesOPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 0 2
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 0 - Sea las matrices A, B - 1 0 5 (1 5 putos) Calcule B.B t - A.A t (1 5 putos) Halle la matriz
Más detallesTema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD. X- μ. f(x) = e para - < x < Z 2. . e para - < z <
Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD La distribució ormal: La distribució ormal, campaa de Gauss o, curva ormal, tambié defiida por De Moivre. Características y propiedades: La siguiete fórmula
Más detallesMatemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton
Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete
Más detalles. De R (Reales) a C (Complejos)
INTRODUCCIÓN Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN 1.2. OPERACIONES CON COMPLEJOS
NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN La ecuación x + 1 0 no tiene solución en el cuerpo de los números reales R ya que no existe un número real x tal que x 1. Necesitamos un conjunto que contenga a R, que
Más detallesApuntes de Combinatoria para la Olimpiada de Matemáticas. Pedro Sánchez.
Aputes de Combiatoria para la Olimpiada de Matemáticas Pedro Sáchez. (drii@plaetmath.org) 4 de marzo de 00 Ídice geeral. Coteo... Pricipios básicos de coteo......................... Permutacioes..............................
Más detallesTEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.
MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi
EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee
Más detallesEstadística Teórica II
tervalos de cofiaza Estadística Teórica NTERVALOS DE CONFANZA Satiago de la Fuete Ferádez 77 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE NTERVALOS DE CONFANZA PARA LA MEDA CON DESVACÓN TÍPCA POBLACONAL CONOCDA Y DESCONOCDA.
Más detallesTEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:
TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a
Más detalles