( ) = ( ) ( ) E X x p. E X Y = E X E Y XY independientes. E X Y E X E Y Cauchy Schwarzt ( ) 2. Pr X a E X a Markov

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1 1 2 Varables aleatoras 2.1 Dscretas Genércas Esperanza de una v.a. o Valor esperado Propedades de la Esperanza k = ( x ) E X x p EmX+ b = mex + b EK Varanza de una v.a. = K ( + ) = + E X Y E X E Y E X Y = E X E Y XY ndependentes ( ) ( ) ( ) ( ) E X Y E X E Y Cauchy Schwarzt Pr X a E X a Markov 2 = ( μ) 2 Var X E X E X E X k k X X ( x ) ( x ) Var X = x μ p = x p μ Propedades de la Varanza 2 ( + ) = Var mx b m Var X Var K = 0 Var X + Y = Var X + Var Y XY ndependentes ( + ) = + + Var X Y Var X Var Y 2Covar XY 2 = Var X E X E X 2 Esperanza de una funcón de una v.a. k ( ) ( x ) E g X = g x p

2 30) Mont 64 Sea la sguente funcón de dstrbucón de una varable aleatora: 0, 0 x < 2 0, 2 2 x < 0 F(x) = 0, 7 0 x < 2 1, 0 2 x a) Calcular la funcón de probabldad. 31) Mont 63 La funcón de cuantía, o de probabldad, de una varable X vene dada por: X p(x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 a) Calcular P(X 2). b) Calcular P(X>-2). c) Calcular P(-1 X 1). d) Calcular P(X 1 ó X=2). e) Calcular P(X 1,25). f) Calcular P(X 2,2). g) Calcular la funcón de dstrbucón. X p(x) 0,125 0,250 0,250 0,250 0,125 a) Calcular P(X 2) b) Calcular P(X>-2) ,875 c) Calcular P(-1 X 1) ,75 d) Calcular P(X 1 ó X=2) e) Calcular P(X 1,25) ,875 f) Calcular P(X 2,2) g) Calcular la funcón de dstrbucón. 0,125 0,375 0,625 0,875 1,000 32) Peralta pg198 Sea 0, 0 x < 2 1/2 1 x < 2 F(x) = k 2 x < 3 3/4 3 x < 4 1, 0 4 x a) Qué valor debe tomar k para que F(X) sea una funcón de dstrbucón? b) Representar y calcula la funcón de probabldad. 33) Mont 63 La funcón de cuantía, o de probabldad de una varable X vene dada por: a) Calcular E(X). b) Calcular Var(X). X p(x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8

3 34) Mendel 3.10 La funcón de cuantía, o de probabldad de una varable X vene dada por: a) Calcular E(X). b) Calcular E(1/X). c) Calcular E(X 2-1). d) Calcular Var(X). X p(x) 0,4 0,3 0,2 0,1 35) Mont 63 La funcón de cuantía, o de probabldad de una varable X vene dada por: X p(x) 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001 a) Calcular E(X) 2. b) Calcular E(X 2 ). c) Calcular Var(X). 36) Mont 3.11 La funcón de cuantía de una varable X vene dada por: X p(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07 a) Calcular E(X). b) Calcular Var(X). c) Calcular σ (X). d) Calcular E(X) 2. e) Calcular E(2X+12). 37) Freund 3.4 La funcón de cuantía, o de probabldad de una varable X vene dada por la expresón: x + 2 p(x) = x = { 1,2,3, 4,5} 25 a) Obtener la funcón de dstrbucón. b) Obtener la meda y varanza. 38) Mont 3.17 La funcón de cuantía, o de probabldad de una varable X vene dada por la expresón: 2x + 1 p(x) = x = 0,1,2,3,4 25 { } a) Calcular P(X=4). b) Calcular P(X 1). c) Calcular P(2 X 4). d) Calcular P(X>10). 39) Mont 63 Sea X una varable aleatora dscreta cuyos posbles valores son X {0,1,2,3,α}. S E(X)=6 a) Cuánto vale α s todos los valores son gualmente probables?

4 40) Peralta pg209 Sea k ;x = 0,1 (x + 2)! p(x) = 0 ;resto a) Qué valor debe tomar k para que p(x) sea una funcón de probabldad? b) Calcular la funcón de dstrbucón. c) Calcular E(X). 41) Newbold pg118 La cantdad de clps que una máquna automátca ntroduce en las cajtas en que éstos se venden varía de la forma sguente: X p(x) 0,04 0,13 0,21 0,29 0,20 0,10 0,03 a) Probabldad de que, al menos una caja de cada dos, tenga más de 50 clps. b) Calcular la meda y la desvacón típca del número de clps en las cajas. c) S el coste de cada caja es 0,16+2X (X = nº de clps) y la gananca es sempre gual a 150, calcular la meda y la varanza del benefco. X p(x) x p(x) x 2 p(x) G G p(g) G 2 p(g) 47 0,04 1,88 88,36 55,84 2,23 124, ,13 6,24 299,52 53,84 7,00 376, ,21 10,29 504,21 51,84 10,89 564, ,29 14,50 725,00 49,84 14,45 720, ,20 10,20 520,20 47,84 9,57 457, ,10 5,20 270,40 45,84 4,58 210, ,03 1,59 84,27 43,84 1,32 57, , ,80 49,90 1,95 50,04 7,80 50,04 7,80 42) Mendel 3.13 Una compañía de seguros emte una pólza que ofrece proteccón contra un suceso, que tene una probabldad de ocurrrle a 2 de cada 100 personas que lo suscrben, a los que se les paga Las tarfas admnstratvas, que la compañía paga al estado, son de 15 por pólza, a) Cuánto debería cargar la compañía en cada pólza para que la gananca esperada fuera de 50? 43) Mendel 3.20 Un vendedor vsta cada día a uno o dos clentes (con probabldad 1/3 y 2/3 respectvamente). Cada vsta puede dar como resultado una venta de o nnguna venta (con probabldad 0,1 y 0,9 respectvamente). a) Obtener la funcón de dstrbucón y de cuantía de las ventas daras y mensuales. b) Obtener la meda y varanza de las ventas daras y mensuales.

5 44) Mendel 3.2 Un juego consste en lanzar 2 monedas, s salen dos cruces se gana 1, s salen dos caras se ganan 2, s no concden se perde 1. a) Calcular la funcón de probabldad. b) E(gananca). c) Var(gananca). d) Cuánto se debe pagar para que sea un juego de suma nula? 45) Freund pg139 Una pastelería trabaja para un únco clente. Éste puede, cada día, desear un número de pasteles que varía entre 0 y 5 (ambos ncludos) con gual probabldad. La pastelería gana 1 por cada pastel venddo y perde 0,4 por cada pastel hecho y no venddo. S el clente desea más pasteles de los que se han hecho ese día sólo se lleva los que hay hechos. a) Calcular la gananca esperada del pastelero los días en que hace 1,2,..,5 pasteles. b) Cuántos pasteles debería hacer para maxmzar la gananca? Demanda Vende Sobran Hechas () Hechas () Demanda Benefcos , ,4-0,8-1,2-1,6-2,0 0, ,0 0,6 0,2-0,2-0,6 0, ,0 2,0 1,6 1,2 0,8 0, ,0 2,0 3,0 2,6 2,2 0, ,0 2,0 3,0 4,0 3,6 0, ,0 2,0 3,0 4,0 5,0 0,77 1,30 1,60 1,67 1,50 Demanda 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1,60 1,67 1,50 1,30 0,

6 2.1.2 Bnomal n p(x) = p x E x = n p σ 2 x = Var x n x ( 1 p) x = { 0,1, L,n } ( x) = n p ( 1 p) 46) Newbold pg142 Un analsta predce que el 3,5% de las PYMES quebrarán durante el próxmo año. Supuesto que fuera certo. a) Calcular la probabldad de que quebren al menos 3 de un grupo de 100 PYMES. 47) Hossack pg96 La probabldad de que un ndvduo tenga un accdente en un día cualquera es 0, a) Calcular la probabldad de que un ndvduo, a lo largo de un año, tenga 0 accdentes. b) Ídem con 1 accdente. c) Ídem con 2 accdentes. d) Es gualmente probable que tenga un accdente un día cualquera que tenga 3 o más en un año? 48) Bean pg194 Una compañía de seguros sabe que la probabldad de que se produzca una reclamacón es p=0, Para un grupo de 100 asegurados, a) Calcular la probabldad de que se recban más de 2 reclamacones. 49) Bean pg193 Supuestas 250 pólzas de seguro, cada una de las cuales tene una probabldad de ser reclamada del 10%, a) Calcular la probabldad de que reclamen más del 12% de los asegurados. 50) Newbold pg133 Un agente de seguros tene 5 contactos y pensa que, para cada uno de ellos, la probabldad de consegur un venta es 0,4. a) Calcular la funcón probabldad del nº de ventas, deducr su forma y dbujarla. b) Calcular la meda usando las dos fórmulas. c) Calcular la varanza. d) Cuál es la probabldad de que las ventas sean mayores o guales que 2 y menores o guales que 4? 51) La probabldad de que durante una semana cualquera de la Bolsa, la cotzacón del esté por encma de la de la es del 50%. Suponendo ndependenca, a) Cuál es la probabldad de que durante un plazo de 25 semanas el esté por encma de la el 75% de las veces o más? b) Ídem pero con la probabldad de subda del 55% en vez del 50%. 52) Bean pg194 El preco de un ben es de 10. En un día este preco puede subr 1 o bajar 1 (subr con probabldad 0,6). Supuestas que las fluctuacones daras son ndependentes, a) Calcular el preco medo al cabo de 4 días. b) Calcular la varanza del preco medo al cabo de 4 días. 53) Newbold pg144 Una empresa recbe productos de dos subcontratstas A y B, de A recbe el 70% de los peddos. A fabrca con una tasa de defectuosos del 10% y B con una del 20%. Recbe un peddo con 20 artículos de los que 1 es defectuoso a) Qué subcontratsta envía el peddo?

7 54) Durante 200 días se probó, en lotes de 4, un artículo nuevo, obtenéndose las sguentes frecuencas de días en los que fallaron X artículos. X Días a) Estmar la probabldad de fallo del artículo. b) Compara ambas dstrbucones (teórca y empírca) c) Calcular la probabldad de que en los próxmos 200 días haya más de 40 en los que no falle nngún artículo (ndcar el cálculo). 55) Peña pg134 Se tenen dos urnas A={70% bolas blancas ; 30% bolas negras} y B={30% bolas blancas ; 70% bolas negras}. Se seleccona una urna al azar, se extraen 10 bolas con reemplazamento y se obtene el resultado sguente : {bnbbbbnbbb} a) Cuál es la probabldad de que se haya elegdo la urna A? Posson POISSON X P( λ) λ > 0 λ x e λ p (x) = x = 0,1, L ; E(X) = λ ; Var(X) = λ x! X P( λ ); X P( λ ) X + X P( λ + λ ) X X s 1 2 ndependentes 56) Bean pg190 Sabemos que X P(3), a) Calcular P(X>4). 57) Bean pg198 Las llamadas a una centralta se hacen con una meda de 2 llamadas cada mnuto. S hay 5 operadores, a) Calcular la probabldad de que, en el próxmo mnuto, alguno de los operadores esté lbre. 58) Bean pg198 El chp de un ordenador tene una probabldad de estar defectuoso del 0,1%, a) Calcular, usando la bnomal, la probabldad de que haya al menos dos chps defectuosos en un bloque de b) Ídem usando Posson. 59) Bean pg190 El número medo de vstas por mnuto a una págna Web es de 5, a) Calcular la probabldad de que en un mnuto haya más de 20 vstas. 60) Bean pg200 Las medas de hosptalzacones por grpe en un grupo de trabajadores en los últmos cuatro meses del año pasado fueron las sguentes: Mes Sep Oct Nov Dc Hosp a) Suponendo que la ncdenca de la grpe no es gual todo el año, calcular la probabldad de que en el msmo período de este año haya menos de 5 hosptalzacones.

8 61) Peña Ejemplo 5.8 En un proceso de fabrcacón de tela aparece, por térmno medo, 1 defecto por cada 20 metros. a) Calcular la probabldad de 6 defectos en un rollo de 200 metros. 62) Hossack pg89 En un año hubo 140 reclamacones de un grupo de 1000 pólzas. a) Calcular la probabldad de que un asegurado no haga nnguna reclamacón durante 9 meses. b) Calcular la probabldad de que un asegurado haga más de 2 reclamacones durante 1 año. c) Calcular la probabldad de que de dos asegurados sólo uno de ellos haga una reclamacón anual. 63) Newbold pg142 Un analsta predce que el 3,5% de las PYMES quebrarán durante el próxmo año. Supuesto que fuera certo. a) Calcular, utlzando la dstrbucón de Posson, la probabldad de que quebren al menos 3 de un grupo de 100 PYMES. b) Comparar con el resultado del problema 46). 64) Hossack pg96 La probabldad de que un ndvduo tenga un accdente en un día cualquera es 0, a) Calcular, utlzando la dstrbucón de Posson, la probabldad de que un ndvduo, a lo largo de un año, tenga 0 accdentes. b) Ídem con 1 accdente. c) Ídem con 2 accdentes. d) Comparar con el resultado del problema 47). 65) Hossack pg91 La experenca del número de reclamacones de 4000 pólzas se da en la tabla sguente : X Rec a) Ajustar la dstrbucón de Posson correspondente y comparar frecuencas empírcas y teórcas. 66) Hossack pg92 En un año, de 200 pólzas, hubo 26 reclamacones. a) Calcular la probabldad de que en el próxmo año haya menos de 750 reclamacones par un grupo de 6000 pólzas (Dejar ndcado el resultado). 67) Hossack pg93 Con los datos de la tabla sguente: Tpo de Resgo Pólzas Perodo Reclamacones Incendo año 12 Robo año 250 Responsabldad Cvl 66 4 años 35 a) Calcular la probabldad de que haya menos de 250 reclamacones de un grupo de 2178 tenedores de pólzas en un año.

9 68) Ejercco 4: En un año determnado y en una cartera de seguros formada por pólzas se han producdo 140 declaracones de snestros. Calcula la probabldad de que un asegurado cualquera no haya declarado nngún snestro en 9 meses. a) Calcula tambén, la probabldad de que el asegurado en cuestón tenga más de 2 snestros en un año. 69) Ejercco 5: En una cartera formada por pólzas de seguros, se han producdo a lo largo de un perodo de resgo anual las sguentes declaracones de snestros: Número de Pólzas Snestros a) Comparar el número de pólzas que han tendo 0, 1, 2 y 3 snestros con aquellas que resultan de asumr una dstrbucón de Posson para el número de snestros por pólza de parámetro 0,2. 70) Ejercco 6: A partr de las declaracones de snestros recbdas por una entdad aseguradora a lo largo de un mes, se estma que el número de snestros por pólza se dstrbuye según una Posson de meda 0,01. a) Calcula cuántas pólzas de una cartera formada por un total de se espera que tengan más de dos snestros en un año. 71) Ejercco 7: Para una pólza de seguros determnada, el número medo de snestros daro es de 0,015 y las probabldades de snestro en días dstntos son ndependentes entre sí. a) Calcula, para el plazo de un mes (consderando un mes de 30 días), el número esperado de snestros, las probabldades de que se produzcan 0, 3, 4 y 8 snestros y la probabldad de que ocurran 10 snestros o menos. b) Repte el ejercco s el plazo consderado es un año (con 365 días). 72) Ejercco 8: En un determnado año, 200 pólzas han tendo 38 accdentes. Suponendo que la cartera de pólzas es homogénea y que el número de snestros por pólza y perodo se dstrbuye según una Posson: a) determna la probabldad de que un asegurado cualquera no tenga nngún accdente en un año, b) la probabldad de que dos asegurados no tengan nngún accdente en un año c) el número de pólzas, de las 200, que no tendrán nngún snestro durante el año consderado. 73) Ejercco 9: Suponendo que el número de snestros por pólza en un año sgue una dstrbucón de Posson y que el número medo de snestros durante los dos últmos años ha sdo 1,4 y 1,5 respectvamente, a) calcular la probabldad de que un asegurado tenga 6 snestros en dos años (bajo la hpótess de ndependenca en la snestraldad anual).

10 2.1.4 Bnomal Negatva X BN(r,p) x + r 1 r 1 r p( x ) = p ( 1 p) x = 0, 1, 2, L E ( x ) Var r = ( x) ( 1 p) p r = ( 1 p) p 2 x En ocasones el comportamento de la ntensdad λ de la varable Posson no puede precsarse como una constante o como una funcón determnsta del tempo. Esto puede ocurrr por tres razones: a) La cartera es heterogénea, es decr, está formado por resgos de dferente naturaleza y por tanto, con dferente frecuenca. b) Exste contamnacón postva en el modelo. Esto quere decr que el hecho de que se presente una reclamacón pueda ser evdenca de que otras ocurrrán. c) Fluctuacones aleatoras de corto plazo en la ntensdad. Cuando se tene evdenca de cualquera de estas stuacones, el modelo Posson puede ser modfcado, hacendo que la ntensdad del proceso sea a su vez una varable aleatora (varable estructural) que al tomar valores conserve la dstrbucón orgnal Posson. 74) Bean pg204 Una pareja con 2 nñas decde tener descendenca hasta que tengan 2 nños (La probabldad de nacer nño es 51%) d) Calcular la probabldad de que tengan 2 nñas más. e) Calcular el tamaño medo de la famla. 75) Freund pg181 S la probabldad de que un nño expuesto a una enfermedad fnalmente la contraga es 0,4. a) Calcular la probabldad de que el 10º nño expuesto sea el 3º en contraer la enfermedad. 76) Mendel pg117 En un almacén de nformátca el 20% de los ordenadores está estropeado. Se manda a un técnco que tarda 10 mnutos en comprobar s el ordenador está estropeado y 20 mnutos más en arreglar aquellos que están estropeados a) S el técnco lleva pezas de repuesto para arreglar 3 ordenadores cuánto dura por térmno medo su jornada de trabajo? b) Cuántos repuestos debería llevar para que esté una meda de 8 horas trabajando en el almacén? 77) Mendel 3.83 Observamos una sucesón de ensayos ndependentes que son éxtos (Ex) o fracasos (Fr) con probabldad P(Ex)=p. El número de ensayos X en el que observamos el 5º éxto sgue una BN(r=5,p=?). S el 5º éxto se presenta en el 11º ensayo... a) Calcular el valor de p que hace máxmo P(X=11).

11 78) Hossack pg91 La experenca del número de reclamacones de 4000 pólzas se da en la tabla sguente : X Rec a) Ajustar la dstrbucón BN correspondente y comparar frecuencas empírcas y teórcas. b) Comparar con los resultados de ejercco 65). 79) Cuadras 7.16 Greenwood y Yule, para representar las frecuencas de los accdentes de trabajo observaron los ocurrdos a 647 mujeres en 5 meses y obtuveron la sguente dstrbucón: Nº de accdentes Frecuenca a) Ajustar las dstrbucones Posson y BN correspondentes y comparar frecuencas empírcas y teórcas. Cuál se ajusta mejor a los datos?

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