Capítulo xx Campos y potenciales electrostáticos. Ecuación de Laplace

Transcripción

1 Capítulo xx Campos potencales electrostátcos. Ecuacón de Laplace Obetvos Estudo de los potencales eléctrcos para dstntas confguracones de campos con dversas condcones de borde en dos dmensones. Determnacón de las superfces equpotencales las líneas campo eléctrco para dstntas confguracones de electrodos nmersos en un medo líqudo poco conductor conectados a una fuente de baa tensón. Comparacón los resultados expermentales con las correspondente predccones teórcas que resultan al resolver la ecuacón de Laplace en dos dmensones. Implementacón del método de relaacón usando una planlla de cálculos para resolver la ecuacón de Laplace. Estmacón del valor del campo eléctrco en algunos puntos del medo. Introduccón El campo eléctrco en un dado punto del espaco está relaconado con la fuerza eléctrca que se eerce sobre una carga testgo postva q colocada en ese punto. S en el punto de coordenadas (x exste un campo eléctrco E v ( x sobre la carga testgo colocada en ese punto se eerce una fuerza F v ( x. Según la defncón de campo eléctrco tenemos: 34 v v F( x = q E( x (xx.) Como la fuerza F v es un vector la carga q es un escalar resulta que E r es tambén un vector. Por su parte el potencal eléctrco está relaconado con el trabao W que debemos realzar para llevar una carga de un punto a otro; más precsamente el cambo en el potencal entre dos puntos será: () = W()/q. Aquí W() es el trabao que tenemos que realzar para llevar la carga q del punto al punto. Como el trabao es una magntud escalar el potencal tambén lo es. Más específcamente la varacón de potencal entre dos puntos próxmos es: dw r r r r d = = F( x dl = E dl (xx.) q q Por lo tanto las componentes del campo eléctrco pueden expresarse en funcón del potencal eléctrco: 4 E x d = dx E d d = E z d = (xx.3) dz o más generalmente: 407

2 d E = dl max (xx.4) donde esta expresón sgnfca que el módulo de E r es gual a la dervada del potencal eléctrco con respecto al desplazamento en la dreccón en que esta dervada es máxma. Más aun esta dreccón es la dreccón del campo E r. Esto se escrbe más formalmente (los lectores que no estén famlarzados con esta notacón pueden gnorar esta ecuacón por aora) como: 4 E v = r. (xx.5) emos tambén que cuando d = 0 como ocurre sobre una línea o superfce equpotencal la componente de E r sobre esta línea es cero. En otras palabras E r es sempre perpendcular a las líneas (o superfces) equpotencales. La dea central de este expermento consste en determnar expermentalmente los potencales determnados por una dada confguracón de electrodos. Las líneas o superfces equpotencales se obtenen determnando el lugar geométrco de los puntos de gual potencal. A partr de estas superfces equpotencales se pueden encontrar las líneas de campo eléctrco trazando las traectoras ortogonales a las superfces equpotencales. Los valores del campo eléctrco pueden obtenerse a partr de los valores de potencal en el entorno de un punto usando la Ec.(xx.4). La le de Gauss 34 (físcamente equvalente a la le de Coulomb) relacona los campos con las cargas puede expresarse de dos maneras. En forma ntegral se expresa como: S r r E ds = q neta ε 0 (xx.6) donde la ntegral es sobre una superfce cerrada q neta es la carga neta en el nteror de dca superfce. En forma dferencal la le de Gauss se escrbe como: ρ r E r. = ε 0 (xx.7) donde el prmer membro representa la dvergenca del campo eléctrco ρ es la densdad volumétrca de carga. Combnado (xx.5) (xx.7) obtenemos la ecuacón de Posson que relacona los potencales con las cargas: ρ ε = (xx.8) Cuando la densdad de cargas es nula o sea en las zonas donde no a carga neta esta ecuacón se reduce a la ecuacón de Laplace: 0 408

3 409 0 = (xx.9) que es una ecuacón dferencal en dervadas parcales. Esta es la ecuacón que debe satsfacer el potencal eléctrco en las zonas lbres de carga neta en condcones estátcas o con campos alternos de baas frecuencas para los que se cumple que las longtudes de onda asocadas sean muco más grandes que las dmensones del sstema. 3 Para una frecuenca de 50 Hz la longtud de onda es de 6000 km en el are. Resolucón numérca de la ecuacón de Laplace método de relaacón: Exsten mucos métodos de resolucón de la ecuacón de Laplace por métodos analítcos los cuales son partcularmente adecuado para sstemas con geometrías smples. 45 Sn embargo cuando la geometría de los electrodos son compleas o las condcones de borde son varables como las que generalmente se presentan es stuacones práctcas es necesaro utlzar métodos numércos que actualmente pueden mplementarse fáclmente en las computadoras modernas. Un modo smple de resolver numércamente la ecuacón de Laplace consste en usar el método de relaacón Aquí descrbremos brevemente su resolucón para el caso bdmensonal que puede mplementarse usando una oa de cálculo. S el problema es bdmensonal la Ec. (xx.9) puede escrbrse como: 0 = x (xx.0) S dscretzamos el plano x- de modo de formar una malla bdmensonal como se lustra en la Fg. xx. las coordenadas (x se reemplazan por los índces. Recordando las expresones báscas de dervacón numérca tenemos: x (xx.) x. (xx.) Utlzando estas relacones la expresón (xx.0) puede aproxmarse como: 0 = (xx.3) donde es el tamaño de la dscretzacón o de la celda untara como se lustra en la Fg. xx.. Resolvendo (xx.3) para [ (x] tenemos: ( ) 4 =. (xx.4)

4 Esto sgnfca que s la funcón (x satsface la ecuacón de Laplace en dos dmensones el valor del potencal () en un dado punto del plano () es gual al promedo del valor del potencal en los cuatro puntos vecnos próxmos. En el método de relaacón se ace uso de esta propedad de la solucón de la ecuacón de Laplace. En una oa de cálculo el valor de una dada celda es el promedo de sus vecnas más próxmas excepto para aquellos puntos que tenen un potencal fo (concdente con el potencal de los electrodos) cuos valores están establecdos por las condcones de borde no varían. La aplcacón del método mplca realzar teracones asta que los valores de las celdas no camben o asta que su varacón sea menor que un valor prefado por eemplo varacones por debao de 0.%. # Fgura xx. Dscretzacón del plano. Las celdas cuadradas tenen lados de longtud. El punto de coordenadas (x vene representado por el nodo () con x=. e =.. Condcones de borde de Drclet Neumann: Exsten dos tpos báscos de condcones de borde en el caso que se use un dseño expermental como el propuesto en este expermento Fgs. xx.xx.3 xx.4. Por un lado están los valores de potencal determnados por los electrodos (o bordes metálcos) cuos valores son constantes. En estas zonas se aplca como condcón de borde lo que se conoce como condcón de Drclet ( = constante). Operaconalmente esto se logra mponendo que los valores # Un eemplo de aplcacón de este procedmento se puede encontrar en la planlla relax.xls que puede obtenerse del sto de Internet 40

5 de potencal en las celdas que defnen estos bordes sean constantes no varíen. Para estos puntos =. Por otro lado están las condcones de borde sobre las paredes del recpente r r que son no conductoras aquí la corrente eléctrca ( = σ E ) en el medo conductor (líqudo) sobre dca pared sólo puede tener componente paralela a la msma. O sea que sobre estas paredes de la cuba la componente perpendcular del campo eléctrco es nula esto es: E = 0 ó = 0 sendo n la normal a la pared. (xx.5) n Esta condcón de contorno se denomna de Neumann. Operaconalmente esta condcón de contorno se logra acendo que los valores de las celdas que defnen los bordes del recpente sean guales a los valores de las celdas contguas nterores. Por eemplo s la pared zquerda del recpente concde con el ee Fg. xx. las celdas que representan esta pared están caracterzadas por los índces ( = 0 ) el valor del potencal sobre esta pared cumple =0 = = con lo que se satsface la condcón (xx.5). Smlarmente para la cara nferor de la cuba concdente con el ee x tenemos: =0 = =. 0-0 Cuba o recpente no conductor. Condcones de Neumann 0 (0) () () Electrodos conductores Condcones de Drclet (00) (0) 0 Fgura xx. La bandea de materal aslante borde rectangular grueso contene un medo poco conductor con dos electrodos metálcos a potencales 0 0 respectvamente. Sobre los electrodos se aplcan las condcones de borde de Drclet = ± 0 en los bordes del recpente se cumplen las condcones de borde de Neumann. Por eemplo sobre el borde zquerdo se cumple: 0 = sobre el borde nferor: 0 =. Proecto I 8.- Análss sem-cuanttatvo Equpamento básco recomendado: Una bandea de vdro o acrílco transparente de aproxmadamente 30 cm x 0 cm x 4 cm. Una fuente de tensón alterna de 5. Un voltímetro. Placas metálcas (cobre bronce alumno) para usar como electrodos. Utlzando el dspostvo expermental smlar al lustrado en la Fg. xx.3 consstente en una bandea transparente de vdro o plástco contenendo agua de poca conductvdad por eemplo agua corrente lmpa o mezclada en proporcones guales con agua destlada. En una oa de papel que cubra el tamaño de la bandea se mprme una retícula de dmensones conocdas por eemplo cm x cm o ben papel 4

6 mlmetrado. Una fuente de tensón alterna de unos 5 almenta el crcuto. Esta fuente puede ser la salda de un transformador con secundaro aslado del prmaro o ben un generador de funcones. Un voltímetro en modo AC con la terra conectada a la masa de la fuente Fg. xx.3 se utlza para medr las tensones en cada punto del medo cuas coordenadas venen determnadas por la grlla de referenca: Sugerencas de trabao: Determne las líneas equpotencales las líneas de campo. Para cada línea equpotencal mda por lo menos 6 puntos con separacones de aproxmadamente cm. Luego en un papel mlmetrado o un papel gual al usado como grlla marque estos puntos de gual potencal únalos con líneas contnuas. Éstas son las líneas equpotencales correspondentes a la geometría de electrodos escogda. Determne al menos 0 líneas equpotencales tratando que alguna de ellas esté cerca de los electrodos algunas en las zonas centrales. En cada caso encuentre las zonas donde el campo eléctrco es más alto. Para la msma confguracón anteror coloque un conductor entre los electrodos determne como se modfcan las líneas equpotencales (Fg. xx.4). En partcular estude las líneas equpotencales alrededor del conductor. Cómo son las líneas de campo el campo msmo sobre la superfce de conductor? Fgura xx.3 La bandea de materal aslante contene agua destlada. Las líneas gruesas contnuas representan los electrodos metálcos. En el punto de coordenadas (x se mde el valor del potencal eléctrco (x con el voltímetro. 4

7 Fgura xx.4 La bandea contene una muestra de un conductor o un aslador entre los electrodos Proecto I 83.- Análss cuanttatvo Método de relaacón I Utlzando el dspostvo expermental smlar al lustrado en la Fg. xx.3: Sugerencas de trabao: Determne el potencal para todos los puntos de la bandea usando un retculado de aproxmadamente cm de lado. Represente sus resultados en una matrz bdmensonal realce una representacón gráfca trdmensonal de sus resultados esto es (x. Para la geometría elegda calcule el potencal por el método de relaacón. Represente los resultados numércos usando el msmo crtero de grafcacón que el elegdo para representar los resultados expermentales. Compare sus medcones con la solucón numérca. 43

8 Proecto I 84.- Análss cuanttatvo Método de relaacón II Utlzando alguno de los arreglos expermentales lustrados en la Fg. xx.5 realce el msmo estudo que el propuesto en el proecto anteror. Sugerencas de trabao: Para la geometría elegda determne el potencal expermental punto a punto grafque sus resultados. Use el método de relaacón represente los resultados numércos usando el msmo crtero de grafcacón que el elegdo para representar los resultados expermentales. Compare sus medcones con la solucón numérca. Fgura xx.5 Eemplos de confguracones de electrodos posbles para estudar la dstrbucón de potencales. Proecto I 85.- Estmacón del vector campo eléctrco El obetvo de esta parte es estmar el campo eléctrco en algunos puntos. Para una dada confguracón de electrodos seleccone puntos sobre algunas de las líneas equpotencales obtendas en alguno de los proectos anterores. Mda el potencal en el entorno del punto escogdo (Fg. xx.6). Con esas medcones se puede estmar el valor de E r a partr de sus componentes E x E medante la aproxmacón de (xx.3) por cocentes de dferencas fntas: 44

9 ( x δx ( x δx E x = o E x( ) ( ) (xx.6) x δ x ( x δ ( x δ E = o E ( ) ( ) δ (xx.7) A partr de estas componentes podemos defnr la ntensdad dreccón sentdo del campo: ntensdad: E = E x E o E( ) Ex ( ) E ( ) = (xx.8) E orentacón respecto del ee x: θ = arctan o ben Ex θ ( ) = arctan E ( ) E ( ) (xx.9) ( ) x (x δ (x - δx (x - δ (x δx (x línea equpotencal Fgura xx.6. Medcón de en el entorno de un punto (x para estmar el campo en el punto de coordenadas (x equvalente a (). Sugerencas de trabao: Seleccone puntos (x sobre al menos cuatro equpotencales estme el vector campo eléctrco E r ( x en cada caso. Dbue en el mapa de equpotencales los vectores calculados en cada punto elegdo; para la representacón de los vectores use escalas convenentes. Qué conclue sobre la orentacón del campo eléctrco respecto de una línea equpotencal? Cuestonaro ) Qué observa s mde con el voltímetro la dferenca de potencal entre dos puntos del msmo electrodo? Qué conclue respecto de la varacón de potencal sobre el electrodo metálco? Explque sus resultados. ) Las paredes de la bandea no son conductoras esto mpone condcones de contorno al campo eléctrco al potencal. De la observacón de los mapas regstrados: a) Qué puede decr del gradente del potencal sobre la pared de la bandea? 45

10 b) Cómo es el campo eléctrco en las cercanías de la pared? En especal cuál es la componente del campo normal a la pared? 3) En qué undades expresa el campo eléctrco obtendo expermentalmente Ecs. (xx.6) (xx.7)? Demuestre la equvalenca de esas undades con las que surgen de la defncón de campo eléctrco según la Ec. (xx.). 4) S los expermentos se reptesen conectando los electrodos a una fuente que proporcone la mtad del voltae que la que usó predga qué cambaría en los resultados? Consdere posbles cambos en el campo eléctrco en la confguracón de líneas equpotencales etcétera. Explque sus razonamentos. Para índce campo eléctrco potencal eléctrco superfce equpotencal le de Gauss ecuacón de Posson ecuacón de Laplace Método de relaacón condcón de Drclet condcón de Neumann marcador campoe potencale Sup_equ Gauss posson laplace Relaacón Drclet Neumann Referencas R. Hallda D. Resnck M. Krane Físca para estudantes de cencas e ngenería 4ª ed. vol. II CECSA (Méxco 99). F. Sears M. Zemansk H. Young R. Freedman Físca unverstara vol. II (Addson-Wesle Longman Méxco 999). 3 S. Gl M. Eduardo Saleta and D. Toba Expermental stud of te Neumann and Drclet boundar condtons n D electrostatc problem Am. J. Ps. 70 () 08 (00). 4 E. M. Purcell Berkele pscs course vol. Electrcdad Magnetsmo (Reverté Barcelona 969). 5 J. R. Retz F. J. Mlford and R.W. Crst Foundatons of Electromagnetc Teor (4t Edton) Addson Wesle Ma M. D Staco and W. McHarrs Electrostatc problems? Relax! Am. J. Ps (979). 7 F. Sears M. Zemansk H. Young R. Freedman Físca unverstara vol. II (Addson-Wesle Longman Méxco 990). 46