PERFECCIONAMIENTO DEL CÁLCULO DE LAS TRANSMISIONES POR TORNILLO SIN FIN A LAS TENSIONES DE CONTACTO

Transcripción

1 RFCCIONAMINTO DL CÁLCULO D LAS TRANSMISIONS OR TORNILLO SIN FIN A LAS TNSIONS D CONTACTO Soto Brumn L. H*, Moya Rodríguz J. L., Goytisolo spinosa R. A., Hrnándz Battz. A.. * Facultad d Ingniría Mcánica, Univrsidad Autónoma d acatcas, México. Facultad d Ingniría Mcánica, Univrsidad Cntral Marta Abru d Las Villas. Cuba. Facultad d Ingniría Mcánica, Univrsidad Carlos Rafal Rodríguz d Cinfugos. Cuba. Dpartamnto d Construcción Ingniría d Fabricación. TS d Ingniros Industrials d Gijón. Univrsidad d Ovido. Facultad d Ingniría Mcánica, Univrsidad Cntral Marta Abru d Las Villas. Carrtra a Camajuaní, Km 5, C 5480, Santa Clara, Villa Clara, Cuba. mail: jorgmoyar@gmail.com Ára Tmática: Disño d lmntos d Máuinas. RSUMN n las transmisions por tornillo sinfín pudn prsntars difrnts tipos d fallas, sindo las más significativas l dsgast, la picadura, la fractura y l agarraminto. Solamnt xistn métodos d cálculo stablcidos para dos d stas fallas: la fractura y la picadura. La dtrminación d las tnsions d contacto n las transmisions por tornillo sin fin tin una gran importancia para lograr un adcuado dsmpño y durabilidad d stas transmisions. Sin lugar a dudas uno d los aspctos u más influy n l valor d las tnsions d contacto, admás dl matrial, la potncia transmitida y la lubricación, s la gomtría dl dint. No obstant n las xprsions u rign stos cálculos hay imprcisions, al suponr la mayoría d los autors a la hora d calcular las tnsions d contacto u l prfil dl dint dl tornillo s rcto. n l prsnt trabajo s analiza l procdiminto d cálculo d las tnsions d contacto u aparcn n los txtos spcializados y las insuficincias d las mismas, s proponn nuvas xprsions para l cálculo d las tnsions d contacto y s comparan los rsultados por l Método d los lmntos finitos. ALABRAS CLAV: Tornillo sinfín, tnsions d contacto, Hrtz Código 06

2 INTRODUCCIÓN La capacidad d carga y la calidad d una transmisión por tornillo sin fin dpndn dl comportaminto dl contacto d los dints ngranados bajo carga. Los métodos actuals para analizar stos fnómnos son mayormnt mpíricos basados n datos d prubas simplificadas y modlos matmáticos u asumn un contacto y una distribución d carga idal n l dint. Obviamnt l disño basado n sos métodos no s capaz d alcanzar la capacidad óptima d una transmisión por tornillo sin fin. l análisis d los dints bajo carga basado n l método d los lmntos finitos para dtrminar la distribución d carga ntr los dints, l coficint d rcubriminto ral y las tnsions rals d contacto s l único método capaz d proporcionar un mjor disño d stas transmisions. Usando st método s posibl stimar más xactamnt la dformación d los dints bajo carga, las tnsions n las rudas y la distribución d carga ntr los dints. S ha llvado a cabo muchas invstigacions y publicacions n sotros tipos d ngranajs, pro prácticamnt ninguno n transmisions por tornillo sin fin. XRSIÓN ARA L CÁLCULO D LAS TNSIONS D CONTACTO La gran mayoría d los txtos d lmntos d Máuinas [] [] [] [4] [5] [6] para dtrminar las tnsions d contacto partn d la xprsión d Hrtz, s dcir: 0,48 n. rd rd () ara dtrminar l radio d curvatura rducido ( rd ) todos los txtos sñalados antriormnt partn d u l prfil dl dint dl tornillo sin fin s d Aruímds, rcto n su scción d contacto y por tanto solamnt tinn n cunta l radio d curvatura dl dint d la corona para hallar l radio rducido, s dcir: rd d w. sn ().cosλ sta suposición s muy válida para l prfil d Aruímds, pro pudn xistir otras formas d prfils. La norma DIN 975 [7] stablc 6 formas dl flanco dl dint dnominados A, N, I, K, C y H. Algunos d stos flancos son volvnts, otros son convxos y otros cóncavos. or tanto la simplificación u s hac y postriormnt s gnraliza para dtrminar las tnsions d contacto basadas n l prfil d Aruímds pud conducir a rrors n los valors calculados d stas tnsions. or jmplo si los prfils furan volvnts s staría n prsncia dl caso d Hrtz d dos cilindros n contacto (Vr figura b) a b c Figura Casos d Hrtz para valuar las tnsions d contacto: a Cilindro sobr plano b Cilindro sobr cilindro. c- Cilindro dntro d cilindro. ara st caso (caso b) l radio d curvatura rducido srá: rd. ()

3 w sn.cosλ (4) w sn.cos λ (5) Figura n torno a la dtrminación dl radio d curvatura rducido. Trabajando las xprsions, 4 y 5 s llga a: m sn (6) rd volv cos λ Si s compara sta xprsión con la u aparc n los txtos d disño: S pud infrir u: m sn rd (7) Ar. cos λ or jmplo para valors típicos d y : y 80 rd volv rd Ar. rdvolv 0,9 rd Ar. (8) Aplicando st valor a la xprsión,8 para los mismos valors d n y, s pud obsrvar u l hcho d no considrar adcuadamnt l valor d r rd pud llvar a rrors considrabls n l cálculo d las tnsions. Si por l contrario, l contacto s produc ntr un prfil convxo y uno cóncavo, siguindo l mismo procdiminto s llga a la siguint xprsión para l radio d curvatura rducido: or jmplo para valors típicos d y : y 80 rd circ (9) rd Ar. rdvolv 0,94rd Ar.

4 Tnindo n cunta la xprsión 9 y para los mismos valors d n y rd al no considrar l valor d adcuadamnt, significa u los valors d tnsions tnidos n cunta para l disño son mucho mnors u los u actúan ralmnt. n las xprsions antriors: d w diámtro primitivo dl tornillo d w diámtro primitivo d la corona λ- ángulo d hélic ángulo d ngranaj. OSIBILIDAD D DTRMINAR LAS TNSIONS D CONTACTO N BAS AL ÁRA D CONTACTO. A través d un ngorroso procdiminto analítico y a partir d las considracions d Hrtz s pudn dtrminar las tnsions d contacto conocindo la hulla d contacto n un instant dado. ara matrial lástico isotrópico, Hrtz propuso varias suposicions a tnr n cunta para l caso gnral dl contacto ntr dos curpos. Dmostró u la intnsidad d prsión ntr las suprficis d contacto podía sr rprsntada por una construcción smi-lipsoid como s mustra n la figura. rd Figura. Distribución d las tnsions d contacto d Hrtz. La prsión o tnsión d contacto n cualuir punto dntro dl ára d contacto s xprsa como: x y (0) a b Dond: o Tnsión Máxima n l cntro dl ára d contacto. a, b Smijs mayor y mnor d la lips rspctivamnt, los cuals dpndn dl prfil dl dint, la furza aplicada y las propidads lásticas d los curpos n contacto x, y Coordnadas dl punto dond s stá calculando la tnsión. La carga total stá dada por l volumn d la smi lipsoid π. a. b. () or tanto, la tnsión máxima n términos d la carga aplicada pud xprsars d la forma siguint: Dtrminación d la lips d Contacto. () π. a. b. ara cualuir carga d contacto s ncsario dtrminar l valor dl j mayor y l j mnor ants d podr valuar las tnsions máximas d contacto. ara dtrminar los js d la lips d contacto pud sr aplicado l siguint procdiminto: Cálculo d los parámtros auxiliars

5 Slcción d los coficints d dflxión Dtrminación d las dflxions lásticas. cuacions d la dflxión lástica y la lips d contacto D la Toría d la Mcánica d Contacto s conoc u la xprsión para la dformación lástica δ s la siguint: A B δ C δ π b C () Los smijs d la lips s pudn dtrminar por las siguints cuacions: b C.C (4) b δ a (5) A La dflxión δ xprsa la suma d las dflxions d los dos curpos n contacto a mdida u s aproximan uno al otro. A, B y C son parámtros auxiliars usados para calcular la dflxión d los curpos n l punto d contacto. C δ y C b son coficints. Una forma sncilla, pro bastant prcisa s mdir l ára d contacto n l dint (a través d las prubas tradicionals d la mancha d contacto) inscribir una lips n la misma. Dtrminación d los parámtros auxiliars l parámtro C s una función d las constants lásticas (módulo d lasticidad) y ν (coficint d poisson): ν ν (6) C A B A y B son parámtros rlacionados con la curvatura d las suprficis d contacto y s pudn calcular a través d las siguints xprsions: () ( K K K K ) [( K K ) ( K K )] 4( K K )( K K ) sinζ A (7) 4 4 () ( K K K K ) [( K K ) ( K K )] 4( K K )( K K ) sinζ B (8) 4 4 (i) Dond K I y K (i) () II (i,) son las curvaturas principals d las suprficis d contacto y ζ s l ángulo formado por los vctors unitarios d las dirccions principals. Conocindo las cuacions d la transmisión sin fin s pudn obtnr las curvaturas principals d las suprficis d los dints d acurdo al tipo d dint. Dtrminación d la distribución d la prsión d contacto Con la cuación d o, la prsión n l cntro d la lips d contacto s dtrmina cuando los smijs son conocidos. ntoncs la prsión n cualuir posición dntro d la lips d contacto pud sr obtnida usando la cuación d d p xy. ara simplificar l procso d cálculo s pud acudir al método d los lmntos finitos y dividir la lips d contacto n un númro dtrminado d lmntos y s asum una prsión promdio como s mustra n la figura La prsión o tnsión promdio pud calculars como:

6 dy dx b y a x p A i i i i x x o y y ij.. (9) Dond los subíndics i y j rprsntan la posición d un lmnto d la lips d contacto, y A s l ára dl lmnto. Indudablmnt mintras más lmntos d contacto s usn n la lips, los rsultados d los cálculos srán más prcisos. VALORS D LAS TNSIONS D CONTACTO D ACURDO AL TIO D RFIL Aplicando stos concptos tóricos a los trs tipos d contacto u pudn prsntars d acurdo al prfil dl dint dl tornillo, s obtinn las xprsions para dtrminar las tnsions d contacto: ara sinfín d Aruímds:. cos 0,578 sn m c λ (0) ara sinfín con contacto convxo-convxo: cos 0,578 sn m c λ () ara sinfín con contacto convxo-cóncavo: cos 0,578 sn m c λ () n las xprsions antriors: - y son los coficints d poisson dl matrial dl tornillo y d la ruda rspctivamnt - y los módulos d lasticidad dl matrial dl tornillo y d la ruda rspctivamnt - s la carga normal a los dints n contacto l rsto d los parámtros ha sido dfinido con antrioridad DTRMINACIÓN D LAS TNSIONS D CONTACTO MDIANT L MÉTODO D LOS LMNTOS FINITOS. Como s sñalaba antriormnt hasta l momnto l único método válido para dtrminar lo más ralmnt posibl l compartiminto d la carga, l factor d rcubriminto y las tnsions actuants n una transmisión por tornillo sin fin s l método d los lmntos finitos [0] ara analizar las tnsions d contacto utilizando l método d los lmntos finitos s ncsario n primr lugar crar un modlo paramétrico tridimnsional dl contacto ntr los dints dl tornillo y la ruda, introducindo los corrspondints lmntos gap. Utilizando l softwar Mchanical Dsktop fu posibl la cración d modlos d los dints d la ruda y l tornillo, los cuals s xportaron al sistma d lmntos finitos COSMOS/M. A los modlos s ls cró la malla, s asignaron las propidads dl matrial y las condicions d carga y frontra para dtrminar las tnsions d contacto y admás las tnsions n l pié dl dint producto d la flxión. sto srá tma d un próximo trabajo.

7 Figura 4. Modlo dl tornillo sin fin y la corona para su análisis pro l método d los lmntos finitos CONCLUSIONS La mayoría d los autors d txtos y artículos sobr l disño d transmisions por tornillo sin fin a la hora d dtrminar las tnsions d contacto partn d la suposición d u l prfil dl dint dl tornillo s d Aruímds y gnralizan la xprsión matmática obtnida para otros tipos d prfils dl dint dl tornillo. sto pud trar grands imprcisions n los valors d stas tnsions. A través dl Método d los lmntos finitos s pud prcisar con bastant xactitud las tnsions actuants n las transmisions por tornillo sin fin y prfccionar las xprsions matmáticas para su cálculo a rsistncia. RFRNCIAS. Nimann, G. Tratado tórico práctico d lmntos d máuinas, 40 pp., d. Labor S.A, Barclona,967.. Dobrovolsky. V. t al. lmntos d Máuinas. ditorial MIR. Moscú 980. Rshtov D. lmntos d Máuinas. ditorial Mashinostroini. Lningrado Kudriatzv N. Dtali Mashin. ditorial Mashinostroini. Lningrado Ivanov M. N Dtali Mashin. ditorial Mashinostroini Lningrado Mott Robrt L Disño d lmntos d Máuinas. ditora rntic Hall, México Dutchs Institut für Normung V. DIN 975 Bgriff und Bstimmungsgröβn für ylindrschnck ngtrib mit sich rchtwinklig kruzndn Achsn. Buth Vrlag. Brlin. Grmany Borsi, A.. and Sidbottom, O. M. Advancd Mchanics of Matrials, 985 (John Wily, Chichstr). 9. Yang, F. Numrical analysis and D modlling and simulation of worm garing with localisd tooth contact. hd dissrtation, Th Nottingham Trnt Univrsity, Nottingham, UK. 0. Litvin, F. L., Chn, J. S., Lu, J. and Handschuh, R. F. Application of finit lmnt analysis for dtrmination of load shar, ral contact ratio, prcision of motion, and strss analysis. J. Mch. Ds., 996, 8(4), UNIDADS Y NOMNCLATURA n rd r rd d w d w λ r r m máx Tnsión d contacto (Mpa) Carga unitaria (N/m) Módulo d lasticidad rducido (Mpa) Radio d curvatura rducido (mm) Diámtro primitivo dl tornillo (mm) Diámtro primitivo d la corona (mm) Ángulo d hélic (grados) Ángulo d ngranaj (grados) Radio d curvatura dl prfil dl dint d la corona (mm) Radio d curvatura dl prfil dl dint dl tornillo (mm) Coficint d diámtro dl tornillo (mm) Númro d dints d la corona (adimnsional) Módulo (mm) Tnsión d contacto máxima (Mpa)

8 a, b Smijs mayor y mnor d la lips rspctivamnt, los cuals dpndn dl prfil dl dint, la furza aplicada y las propidads lásticas d los curpos n contacto (mm) x, y Coordnadas dl punto dond s stá calculando la tnsión (mm) δ Suma d las dflxions d los dos curpos n contacto a mdida u s aproximan uno al otro (mm) A, B y C arámtros auxiliars usados para calcular la dflxión d los curpos n l punto d contacto (adimnsionals) C δ y C b Coficints (adimnsionals) ν Coficint d poisson dl matrial dl tormillo (adimnsional) ν Coficint d poisson dl matrial d la corona (adimnsional) Módulo d lasticidad dl matrial dl tornillo (Mpa) Módulo d lasticidad dl matrial dl tornillo (Mpa) (i) K I y K (i) II (i,) Curvaturas principals d las suprficis d contacto () ζ Ángulo formado por los vctors unitarios d las dirccions principals (grados) Carga normal a los dints n contacto (N)