Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Objetivos. Contenidos

Transcripción

1 Rzones trigonométris de un ángulo gudo Ojetivos Entender l utilidd de ls R. Trigonométris en l ingenierí tul efinir ls R. Trigonométris de un ángulo gudo. omprender l relión entre los ldos de los triángulos notles (30, 45, 37 ). plir ls R. Trigonométris en l resoluión de prolems de plnimetrí. ontenidos Introduión l tem: undo oservmos un ingeniero medir l ltur de un edifiio, o l inlinión de un rreter utilizndo un instrumento llmdo teodolito podemos quizá pensr qué relión tiene ese instrumento on ls Rzones Trigonométris, pues ien undo un ingeniero oserv por el teodolito lo que he es ver dos puntos, uno de refereni un iert distni previmente medid y otro un ierto ángulo de inlinión, on estos dtos y utilizndo ls rzones trigonométris se puede determinr l ltur de edifiios, de montñs, l inlinión de un rreter o en todo so her levntmientos de plnos topográfios. Ls R. trigonométris en ls primers iviliziones (Grei, Hindú, et.) fueron utilizds priniplmente en oserviones stronómis, l medid de lturs o distnis de difíil eso se relizron on instrumentos más rudimentrios y on l yud de tls trigonométris pudieron relizr onstruiones stntes preiss que tulmente todví nos sorprenden. Justifiión: El porqué de l introduión del tem? Esogemos est introduión pues relion el tem on spetos de l relidd, relion tmién diferentes disiplins omo mtemátis e ingenierí, nos permitirá explorr en form generl el grdo de onoimiento de los estudintes. En est introduión oservmos un pliión diret de ls R. Trigonométris lo ul ontriuye ptr l tenión de los estudintes y predisponerlos pr los ontenidos que se expondrán en l lse. pág. 1

2 esrrollo del tem: Índie: se Sente del ángulo se 1. Rzones trigonométris de ángulos gudos.. Resoluión de prolems de R. Trigonométris. 3. Rzones trigonométris de ángulos notles. 4. Resoluión de prolems on triángulos notles. 5. Teorems de R.Trigonométris de ángulos omplementrios y R.Trigonométris reipros. 6. Resoluión de prolems de ls propieddes. 1. Rzones trigonométris de ángulos gudos do un triángulo retángulo, 90 on ldos,, Elementos: : teto opuesto respeto l ángulo : teto dyente respeto l ángulo : Hipotenus Notión Se lee efiniión sen Seno del ángulo sen os tn ot oseno del ángulo Tngente del ángulo otngente del ángulo os tn ot s osente del ángulo Not históri: El omienzo de l trigonometrí, en generl, se puede deir que el énfsis se oloó en primer lugr en l stronomí y, ontinuión, psó l trigonometrí esféri y, finlmente, se trsldó l trigonometrí pln. Podemos enontrr noiones de rzones trigonométris en los hindúes, los Siddhnts,en el siglo III, estleieron tls en el ul relionn l mitd de uerd on l mitd del ro o ángulo entrl sutendido. s Teorems: En todo tringulo retángulo se umple: > > + omproión del Teorem de Pitágors omproión 1: O sen Los áres siglo VI, entre ellos ul-wef onstruyo tls de senos on ángulos de urto en urto de grdo on oho ifrs deimles. En el siglo XV enontrmos el primer trjo sistemátio y reopiltorio de l trigonometrí independiente de l stronomí en e tringulis - Regiomontno-. onde se plnten tls de rzones trigonométris, l demostrión del teorem de senos y trigonometrí esféri. pág.

3 el triángulo retángulo, 90 en l prolongión de onstruimos el triángulo E ongruente E m E 90 E trpeio retángulo Relionndo el áre del trpeio y ls áres de los triángulos E + E E + ( )( + ) ( ) + + omproión : Tomndo omo entro el punto onstruimos un irunfereni de rdio F Medinte el Teorem de l Tngente un irunfereni: ( ) ( F)( E) Entones: ( )( + ) +. Resoluión de prolems de R. Trigonométris. En un triángulo retángulo se verifi que 7 sen entones determine tn + os 5 Resoluión: onsiderndo el triángulo retángulo: 5 x Medinte el teorem de Pitágors x + 7 (5) x 4 Entones: 7 5 tn ;se tn + se 3 7 E pág. 3

4 L torre de pis se iniió su onstruión en 1173, después de prolongds interrupiones se onluyo l onstruión en L longitud de l torre es de 55,8m desde l se, tiene un inlinión de unos 4 y su seprión máxim de l vertil es: (onsidere sen ) Not: L Torre se oniió originlmente omo un edifiio dereho, pero omenzó inlinrse durnte ls fses temprns de onstruión rzón de 5 ro segundos l ño o equivlente un seprión de.5m de l vertil en su prte más lt.. etermine tn + ot si en un triángulo retángulo se umple: 3 Resoluión: Resoluión: el gráfio es l longitud de l torre y su seprión mxim de l vertil es Entones sen(4 ) 0, ,89m 4 55,8m Por definiión: tn ;ot Por el teorem de pitgors + + (3 )...(1) demás: tn + ot + + tn + ot...() Reemplzndo (1) en (): (3 ) tn + ot 9 L grn pirámide de Giz sirvió omo tum pr el frón de l urt dinstí Jufu (Keops), onstruid on miles de loques de piedr de tonelds de peso, su onstruión demoro proximdmente 0 ños, el perímetro de l se es 90m y su ltur es 146m, l tngente del ángulo de inlinión de un de sus rs es: pág. 4

5 3. Rzones trigonométris de ángulos notles. 3.1 e 45 y 45 Se el udrdo de ldo el ul trzmos su digonl 45 Resoluión: E En el triángulo por definiión de R. Trigonométris: 146 m G 30 m En el triángulo EFG: EF tn FG 146 tn 1,7 115 F 115 m 30 m 1 sen45 1 os45 tn e 30 y 60 Se el triángulo equilátero de ldo en el ul trzmos un ltur Not: tulmente l ltur de l Grn pirámide de Giz es de 136m; se redujo priniplmente por los terremotos y en menor grdo por el desgste que produe el viento del desierto. L grn pirámide está ompñd de otrs pirámides donde estuvieron enterrds l espos y l mdre del frón Jufu En el triángulo por definiión de R. Trigonométris: 1 sen os30 pág. 5

6 1 tn Otros triángulos proximdos 3.3 e 37 y 53 (triángulos proximdos) En este triángulo los ángulos gudos son proximdos ( 6 + ) ( 6 ) sen os tn Not: Si utilizmos un luldor podremos ompror que: 3 3 tn 4 4 No es preismente 37 sino 36, ' Not: En l onstruión medinte regl y omps pr un triángulo equilátero onsidermos: 4. Resoluión de prolems on triángulos notles. Ls señles de rdio FM (Freueni moduld) están en el espetro de 80Mhz 108Mhz son se onexión diret, su desplzmiento está limitd por ostáulos, omo los erros, los edifiios ltos, et. Es por eso que neesitn de ntens soportds en grndes torres sujetds por tirntes, un de ells est sujetd desde tres puntos medintes lmres que soportn hst 5 tonelds de torsión y están inlinds 45,37, según el grfio; determine tn si: 60 Resoluión: pág. 6

7 H 4 Trzmos l ltur H Se: H 3 H 3 ; 4 En H : H tn H 3 tn 6 0,5 El edifiio más lto del mundo es el urj ui en los Emirtos Áres, su onstruión empezó en el 005 y ulminrá en el 009, prtiipn más de 000 operrios, tiene un se de 50m de profundidd, un operrio pr medir su ltur onsider ver l prte más lt del edifiio on ángulo de 75, luego se lej 50m y vuelve oservr l prte más lt del edifiio on ángulo de 60,oteniendo después de lgunos reves álulos que l ltur es: Resoluión: H H 15m 15 3m 60 50m E 75 En el grfio mostrdo se oserv que es isetriz del E, trzmos l ltur Por el teorem de l isetriz EH pág. 7

8 En el triángulo notle 15 3m En el tringulo notle : H ot H 15 3.ot15 H 808m 5. Teorems de R.Trigonométris de ángulos omplementrios y R.Trigonométris reipros. Teorem: Si y β son ángulos omplementrios se umple: sen os β tn ot β se s β Teorem: Si es un ángulo gudo se umple: sen.s 1 os.se 1 tn.ot 1 omproión 3: Si Not: Pr efetos prátios no se onsider l esttur del operrio, puesto que su ltur es despreile omprdo on l ltur del edifiio. tulmente l ltur del rsielos urj ui y supero los 713m y su ltur finl es un sereto, lgunos espeilists indin que será de 800m pero tmién espeuln on lturs de m y β son ángulos omplementrios entones + β 90 retángulo:, onsiderndo el triángulo Por definiión: sen sen osβ os β omproión 4: el triángulo nterior Por definiión: sen s β sen.s ( )( )1 6. Resoluión de prolems de ls propieddes. sen50 os 40 sen0 os x x 70 tn5.ot 65 1 etermine sen(3 x ) si se umple sen(4x + 30 ) os( x); 0 < x < 90 Resoluión: e l ondiión: sen(4x + 30 ) os( x); 0 < x < 90 Utilizndo R.T omplementris 4x x 90 x 10 Finlmente soliitn: 1 sen(3 x) sen(3.10 ) pág. 8

9 onlusiones-síntesis sore el tem: En este tem podemos drnos uent l fuerte relión que tienen ls mtemátis on l relidd, su utilizión pr resolver prolems onretos que tuvieron ls ntigus iviliziones omo lulo de lturs, álulo de pendientes, et; y tulmente tmién se mnifiestn esos prolems pero los resolvemos on otros instrumentos mejorndo los viejos métodos, pero en eseni reonoiendo l experieni del psdo. En l utilizión de ls propieddes pr ángulos omplementrios deemos prestr tenión que R. Trigonométris intervienen por ejemplo: senx os y x + y 90 quí se sume que los ángulos que intervienen son ángulos gudos. En este tem se dee tener muy en lro ls definiiones de ls R. Trigonométris, pues es l se pr futurs demostriones en el urso, será muy útil en l omproión de identiddes trigonométris (Fundmentles, ompuestos, Múltiples, et.); deemos dr ierto énfsis en que los estudintes reuerden ls tres primers O definiiones es deir sen, os HIP HIP O tn ls ules son freuentemente preguntdos en los exámenes, pr ello deemos plnter vridos ejemplos prátios que nos yuden fijr esos onoimientos. En l resoluión de prolems geométrios que tengn los ángulos notles 30,45,37 los estudintes deen provehr esos dtos formndo triángulos retángulos notles y utilizr l proporión que tienen sus ldos pr llegr un respuest stisftori. 1 En so tengmos l siguiente iguldd senx rápidmente deemos onluir que x 30 de igul mner pr los otros ángulos notles, quí se soreentiende que el tem r los ángulos gudos. pág. 9