Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales y a los enteros negativos.

Transcripción

1 Tem 1: Números Reles 1.0 Símbolos Mtemáticos Distito Aproximdo Meor o igul Myor o igul Uió Itersecció Cojuto vcío Existe No existe Perteece No perteece Subcojuto Implic Equivlete 1.1 Cojuto de los úmeros Nturles (N): 0, 1,,. Números positivos si decimles. Sirve pr cotr y pr order. Eteros (Z):..., -, -, -1, 0, 1,,,... Números eteros (positivos o egtivos), si decimles. Icluye los turles y los eteros egtivos. Rcioles (Q):..., -,..., - 0,..., -,..., ,..., -1,..., 0,..., 1,...,,...,,... Números que se puede expresr como divisió de dos eteros siedo el deomidor distito de cero. So los úmeros si decimles, co decimles fiitos, o co decimles ifiitos pero periódicos. Icluye los eteros y los úmeros frcciorios. No so los º decimles ifiitos y o periódicos ( 08...) Irrcioles (I):..., ,,..., e,..., π,... So los úmeros co decimles ifiitos y o periódicos. No se puede expresr como cociete de dos úmeros eteros. Alguos se represet por letrs especiles: π= 119 e=,7118 Pr sber si u ríz es irrciol hy que relizrl: = Reles (R): Icluye los Rcioles y los Irrcioles. No icluye los imgirios (ríces egtivs). Ejercicio 1: Idic qué cojuto umérico perteece los siguietes úmeros: ) - b) π c),1 d) 11 e) 7 f) 6 g) 8 h) 7 i) 9 j),0 1. L rect rel Se llm rect rel l rect e l que se represet los úmeros reles. A cd puto de l rect le correspode u úmero rel y cd úmero rel le correspode u puto e l rect Itervlos Se llm itervlo bierto de extremos y b, y se deot por (, b), el cojuto de úmeros reles compredido etre y b, si icluir estos extremos: (, b) = {x R, < x < b} Ejemplo: (-, ) Se llm itervlo cerrdo de extremos y b, y se deot por [, b], el cojuto de úmeros reles compredido etre y b, icluyedo los extremos: [, b] = {x R, x b} Ejemplo: [-, ] Será semibiertos o semicerrdos cudo icluy uo solo de los extremos. Se llm semirrect l itervlo determido por u úmero rel y todos los úmeros myores o meores que él.

2 1. Aproximcioes y errores U úmero deciml se puede expresr de form exct o de form proximd. A veces os iteres tomr u úmero proximdo, y que o os iteres tods sus cifrs decimles. Se puede trucr u úmero deciml pr proximrlo. Es elimir ls cifrs decimles que o os iterese. Ejemplo: Queremos trucr dos decimles el úmero,1879. Se quedrí e el úmero,1 Se puede proximr por defecto. Hy problems dode o os iteres los decimles y si el úmero etero imeditmete iferior. Se elimi directmete los decimles. Ejemplo: Teemos 10 euros pr comprr botells de Coc-Col. Cd botell cuest 1, euros. Podemos comprr 7,69 botells. Lógicmete el úmero de botells que podremos comprr será de 7. Se puede proximr por exceso. Hy problems dode o os iteres los decimles y si el úmero etero imeditmete superior. Se tod el úmero etero siguiete si decimles. Ejemplo: Queremos mover u mes de 100 kg y cd perso es cpz de soportr 1 kilos. Necesitremos 7,18 persos pr moverl. Lógicmete ecesitremos 8 persos l meos pr moverl. Se puede redoder u úmero deciml pr proximrlo. Es elimir ls cifrs decimles que o os iterese, redodedo l últim. Si l primer cifr que queremos elimir es 0, 1,,, o l cifr terior permecerá igul. E cmbio si l primer cifr que queremos elimir es, 6, 7, 8, o 9 l cifr terior se umetrá e u uidd. Ejemplo: Queremos redoder dos decimles el úmero,1879. Se quedrí e el úmero,1 Ejemplo: Queremos redoder dos decimles el úmero,187. Se quedrí e el úmero,16 Llmremos error l difereci etre el úmero excto y su proximció e vlor bsoluto (e positivo). Ejemplo: Si redodemos el úmero,187. Se quedrí e el úmero,16. L difereci es:,187,16 = 0,0017. El error cometido serí de 0, Opercioes co úmeros reles Frccioes: o Sums y rects: Co el mismo deomidor: o o ± b = ±b c c c Simplificció: No se puede simplificr: Multiplicció: y divisió: Multiplicció: b = b c d c d = = 1 = = Co distito deomidor: ± b = d±b c + = +1 = 19 c d c d 6 6 Sí se puede simplificr: Divisió: : b = d c d c b = (+7) = Fctor comú : = 7 = Potecis: U poteci de bse egtiv es egtivo si el expoete es impr, y positivo si es pr: ( ) = ( ) = ( ) Csos prticulres: 1 = 0 = 1 = 1 m m = 1 = 0 = 1 = 1 = Multiplicció: m = +m = Divisió: m = m = 1 = Poteci: ( ) m = m ( ) = 6 Poteci de u multiplicció: ( b) = b ( ) = Poteci de u divisió: ( b ) = b ( ) = Poteci de u sum: ( + b) + b ( + ) +

3 Idetiddes otbles: o ( + b) = + b + b Ejemplos: (x + ) = x x ( x 1) = (( x) + ( 1)) = ( x) + ( 1) + ( x)( 1) = x x (x 1) = (x + ( 1)) = (x) + ( 1) + (x)( 1) = x + 1 x ( x + ) = (( x) + ) = ( x) + + ( x)() = x + x o ( + b) ( b) = b Ejemplo: (x + ) (x ) = x = x Ríces: Si es pr, A debe ser positiv 16 Csos prticulres: = y que x 16 7 m A Multiplicció de igul ídice: Divisió de igul ídice: Poteci de u rdicl: Rdicl de u rdicl: Si es impr, A puede ser positiv o egtiv. = = A. m A.p = 6 9 A A B B = A B = A B ( A p ) m = A p.m m A.m = A Extrcció e itroducció de fctores e u rdicl: Ejemplo: Itroduce x x = x x = x 8 x = A p = 9 = A r A p = x 11 x 79 (Rdicles equivletes) x = 79 = x x = = x ( ) = 6 = = = A r A p 8 = 1000 = A r +p Ejemplo: Extre 16 = = = Sum de rdicles: Los rdicles sólo se puede sumr cudo se puede escribir de tl form que teg el mismo ídice y rdicdo (rdicles semejtes) = + + = + = = x + = Rciolizció de deomidores: Dd u expresió co rdicles e el deomidor, e ocsioes coviee ecotrr otr expresió equivlete que o los coteg e el deomidor. A est operció se l deomi rciolizció de deomidores. Nos podemos ecotrr co tres csos: 1. E el deomidor hy u úico sumdo, e el que hy u rdicl de ídice. E este cso se multiplic y se divide l expresió por dicho rdicl. Ejemplo: = = = =. E el deomidor hy u úico sumdo, e el que hy u rdicl de ídice superior. E este cso se multiplic y se divide l expresió por u rdicl decudo pr que desprezc el rdicl del deomidor. Ejemplo: = = = =. Cudo el deomidor es u biomio co rdicles de orde. E este cso se multiplic y se divide por el cojugdo del deomidor. Ejemplo: = ( ) ( ) = + (+ ) ( ) ( ) = = = Ejercicio : Oper ls expresioes siguietes: ) b) + c) d) 7 f) g) ( ) h) ( 7) i) ( 1 ) j) k) l) 1 ( ) 6 m) 6 e) : 7 Ejercicio : Desrroll ls siguietes potecis: ) (x ) b) (x + ) c) ( x + 6) d) ( x 6) e) (x + 7) (x 7)

4 Ejercicio : Extre de l ríz todos los fctores que se posible: ) 8 7 b) 6 1 Ejercicio : Itroduce detro de l ríz y simplific: 0 ) 7 b) 7 7 Ejercicio 6: Reliz l siguiete sum de rdicles: ) c) b) Ejercicio 7: Rcioliz los siguietes deomidores: ) b) c) +1 d) Notció Cietífic L otció cietífic se utiliz pr expresr ctiddes muy grdes o pr ctiddes muy pequeñs. U úmero escrito e otció cietífic se compoe de dos fctores: U úmero deciml: co u úic cifr o ul e l prte eter, y co u úmero fiito de cifrs decimles Ejemplo:,6 U poteci de 10: cuyo expoete se deomi orde de mgitud. Será positivo el orde pr los úmeros grdes. Ejemplo: 10 8 Será egtivo el orde pr los úmeros pequeños. Ejemplo: 10 1 Ejemplos:, = ó, 10 9 = 0, Ls clculdors tiee u tecl especil que permite itroducir úmeros e otció cietífic: EXP Pr escribir, 10 9, serí:, EXP +/- 9 y l ptll mostrrá:, 9, o mostrádose l poteci de Logritmos Se deomi logritmo e bse ( > 0 y 1) del úmero positivo N l expoete x l que se debe elevr pr obteer el úmero N. log N = x x = N Ejemplo: log 81 = y que = 81 Los logritmos e bse 10 se deomi logritmos decimles. Su escritur se brevi omitiedo l bse. log 10 N = log N Ejemplo: log 1000 = y que 10 = 1000 Se el úmero irrciol e =,71881 Los logritmos e bse e se deomi logritmos eperios, y se deot co el símbolo l: log e N = l N Ejemplo: l = 1,0986 y que e 1,0986 = Ejemplo: l e = 1 y que e 1 = e e) 1 Los logritmos decimles y eperios se puede hllr directmete e l clculdor Ejercicio 8: Aplicdo l defiició, clcul el vlor de los siguietes logritmos: 1 ) log 8 c) log d) log f) l e 9 b) l e e) l e g) log Ejercicio 9: Utilizdo l clculdor hll: ) log b) l c) log 0,0 d) l h) log 0, Propieddes de los logritmos 1. E culquier bse, el logritmo de 1 vle 0: log 1 = 0 0 = 1 Ejemplo: log 1 = 0 y que 0 = 1. El logritmo e bse del úmero vle 1: log = 1 1 = Ejemplo: log = 1 y que 1 =. E culquier bse, el logritmo del producto de dos úmeros positivos es igul l sum de los logritmos de dichos úmeros: log (A B) = log A + log B Ejemplo: log ( ) = log + log. E culquier bse, el logritmo del cociete de dos úmeros positivos es igul l difereci de los logritmos de dichos úmeros: A log B A log B Ejemplo: log log. E culquier bse, el logritmo de u poteci de bse positiv es igul l producto del expoete por el logritmo de l bse: log (A ) = log A Ejemplo: log ( ) = log Ejercicio 10: Agrup todo lo posible los siguietes logrítmos: ) log x log y b) ( log x ) + c) + log x log y

5 1.9 Cmbio de bse L siguiete fórmul permite el cálculo de u logritmo e culquier bse medite logritmos e otr bse diferete: log N = log b N Ejemplo: log log b 81 = log log 10 L fórmul del cmbio de bse permite clculr culquier logritmo co l clculdor, hciedo el cmbio bse deciml log 1 o eperi. Ejemplo: log 1 = = 1,079 =,6 log 0,77 Ejercicio 11: Hll co l clculdor los siguietes logritmos: ) log 1 b) log 0,01 1 c) log Vlor bsoluto de u úmero rel Ddo u úmero rel X, su vlor bsoluto, X, coicide co él si es positivo o cero, y co su opuesto si es egtivo. x si x 0 X = { Ejemplo: = = x si x < 0 El vlor bsoluto es siempre myor o igul cero: X 0 El vlor bsoluto de u úmero es siempre igul que el de su opuesto: Ejemplo: = = Aplicció del vlor bsoluto fucioes: Debemos psr rm cd vlor bsoluto de l fució, despejdo l x posteriormete: Ejemplos: +(x ) si x ) x x = 0 x = x = { (x ) si x < x = {x si x x + si x < x [+(x + )] si x b) x x + x + = 0 x = x x + = { x [ (x + )] si x < = { x + x si x x x si x < Ejercicio 1: Desrroll ls expresioes plicdo l defiició de vlor bsoluto ) x + x b) x + x c) x x d) x x 6 e) x 1 x