1b percusión CÁLCULOS Y DIAGRAMAS 15%

Transcripción

1 Laboratorio de Vibracioes Mecáicas Departameto de geiería Mecáica Práctica Determiació de mometos de iercia y PARTCPACON 5% 1b localizació del cetro PRESENTACÓN 1% de gravedad y de NVESTGACONES 1% percusió CÁLCULOS Y DAGRAMAS 15% NOMBRE RESULTADOS 3% MATRCULA CONCLUSONES 5% GRUPO DE LAB COMENTAROS Y OBSERVACONES 5% PROFESOR NSTRUCTOR TOTAL 1% OBJETVOS El alumo determiará el mometo de iercia de u cuerpo cualuiera y ecotrará su cetro de percusió. Se estudiará las diferetes características del cetro de percusió co respecto al cetro de pivoteo y su relació co la frecuecia de oscilació de u sistema. FUNDAMENTOS Mometos de iercia Los mometos de iercia de área juega u papel importate e el diseño de estructuras, especialmete para el aálisis estático del fucioamieto de dichas estructuras. U ejemplo muy claro e ilustrativo so los mometos de iercia de área utilizados e el aálisis de vigas y columas. El mometo de iercia de área es ua medida de la distribució del área alrededor de u eje de giro y es ua propiedad costate de la secció trasversal e vigas y columas para dicho eje. E cotraste, el mometo de iercia de masa es u idicador de la distribució de la masa alrededor de u eje de giro, razó por la cual el mometo de iercia de masa es importate para el aálisis diámico de cuerpos co movimieto de cuerpo rígido. La ecuació de movimieto de rotació alrededor de u eje ormal al plao de movimieto para u cuerpo rígido cotiee ua itegral ue depede de la distribució de la masa co respecto al mometo del eje. Esta itegral debe calcularse cuado el cuerpo rígido tiee ua aceleració agular e el eje de rotació = r dm (1) Esta itegral represeta ua propiedad importate del cuerpo y está evuelta e el aálisis de cualuier cuerpo ue tiee ua aceleració agular e el eje de giro. Así como la masa m de u cuerpo es ua medida de su resistecia a la aceleració de traslació, el mometo de iercia es ua medida de la resistecia a la aceleració agular ue preseta u cuerpo sujeto e u eje. El mometo de iercia de masa es u térmio icoveiete y difícil de calcular. Esta propiedad uca es calculada directamete de la geometría del cuerpo o utilizado la Ec. (1), excepto por las geometrías elemetales. El mometo de iercia puede ser medido co precisió observado su efecto e la respuesta diámica del cuerpo rígido ate aceleració agular midiedo la frecuecia de oscilació del cuerpo e vibració libre. 1

2 Laboratorio de Vibracioes Mecáicas Departameto de geiería Mecáica Existe otras formas de medir el mometo de iercia. Si la masa del cuerpo rígido es cocetrada e u círculo delgado, el cual tiee las mismas propiedades ierciales de resistecia a la aceleració agular como el cuerpo rígido, el radio de este círculo o aillo puede ser el radio de giro K. Si toda la masa es cocetrada e u puto, la distacia de dicho puto al eje fijo puede ser. Ese puto es llamado cetro de percusió. La localizació del cetro de percusió y del radio de giro está relacioada co la localizació del cetro de masa y el cetro de rotació e dode r es la distacia radial al cetro de masa desde el eje fijo. Si el mometo de iercia de masa es reemplazado por esta euivalecia =m r, la frecuecia atural del sistema será g = () Este térmio tiee ua utilidad simple para ue el cetro de percusió y el cetro de oscilació pueda ser itercambiados y resulte la misma frecuecia atural e cada caso. Sistemas de u grado de libertad e vibració libre si amortiguamieto Para estos tipos de sistemas es posible teer diferetes casos de comportamieto, los cuales puede ser a) Sistema masa resorte b) Pédulo simple c) Pédulo compuesto Figura 1.- Sistemas co u grado de libertad e vibració libre si amortiguamieto. E el caso c) tiee setido calcular el mometo de iercia de masa, pues cotrario a los casos a) y b) la masa o está cocetrada e u solo puto y el cuerpo preseta ua rotació de cuerpo rígido e u eje perpedicular al plao de movimieto y ue pasa por el puto. Para este caso, la sumatoria de mometos exteros e el puto e cuestió debe ser igual a la sumatoria de mometos efectiva. M ext = M efec (3) E la fig. () se aprecia u diagrama de cuerpo libre del pédulo compuesto de la fig. (1c). Utilizado dicho diagrama y la Ec. (3) es posible cocluir ue rmg siθ = Gθ + rmat (4) pero r θ = a t, e cosecuecia

3 Laboratorio de Vibracioes Mecáicas Departameto de geiería Mecáica ( G ) rmg siθ = + r m θ (5) dode claramete puede recoocerse como el teorema de ejes paralelos como G r m = + (6) por lo ue después de sustituir la Ec. (6) e la Ec. (4) se obtiee ue θ + rmgsiθ = (7) la Ec. (7) es ua ecuació diferecial de segudo orde o lieal y homogéea. Dicha ecuació es o lieal porue cotiee ua fució seoidal e la variable depediete. Si se divide dicha ecuació etre se podrá escribir e su forma estádar dode (8) θ + siθ = rmg = (9) si se supoe oscilacioes peueñas (águlos θ peueños) puede trasformarse la Ec. (8) e ua ecuació lieal de la forma (1) θ + θ = Figura.- Diagrama de cuerpo libre del pédulo compuesto. Forma de determiar el cetro de percusió para u pédulo compuesto E la fig. (3) se muestra u diagrama de cuerpo libre para determiar las fuerzas y mometos co respecto al puto. Si se defiió como la distacia ue hay del puto al cetro de percusió, etoces se obtiee lo siguiete Resultado de la Ec. (7) para u pédulo compuesto M = θ (11) 3

4 por lo tato la sumatoria de mometos es F t Laboratorio de Vibracioes Mecáicas Departameto de geiería Mecáica = θ (1) y la sumatoria de fuerzas es igual al producto de la masa por la aceleració F = ma mrθ t = (13) a partir de las Ecs. (1) y (13) se obtiee ue θ G + mr mr θ mr mr = = = (14) recordado la teoría de radio de giro, ue es el puto dode se cocetra todas las masas, etoces podemos defiirlo co depedecia e la masa y su cetro de gravedad K G m G = (15) como dode K G es el radio de giro. De acuerdo co la Ec. (15) la Ec. (14) puede escribirse K G = + r (16) r si se desea represetar la frecuecia atural de u pédulo compuesto e fució de su cetro de percusió se tiee ue rmg = (9) = rmg g mr = (9) Figura 3.- Diagrama de cuerpo libre del pédulo compuesto mostrado su cetro de percusió. 4

5 Laboratorio de Vibracioes Mecáicas Departameto de geiería Mecáica MATERAL Y EQUPO A UTLZAR Objeto a oscilar. Pédulo simple. Calibrador Verier. Croómetro. Cita métrica. Báscula. PROCEDMENTO Para medir las frecuecias de oscilació realice lo siguiete: 1. Poga a oscilar el volate por hasta cotar ciclos completos y midiedo el tiempo ue se tarda e completar los ciclos.. Repita el paso 1 tres veces y obtega u tiempo promedio. REPORTE Utilizado las medicioes experimetales elabore u reporte e el ue se muestre lo siguiete: 1. Calcule la frecuecia atural de oscilació del volate.. Localice el cetro de gravedad y de percusió de la pieza. 3. Calcule el mometo de iercia co respecto al cetro de pivote e forma aalítica. 4. Calcule el mometo de iercia co respecto al cetro de gravedad G aplicado el teorema de los ejes paralelos putual e forma aalítica. 5. Utilice u pauete CAD para determiar los mometos de iercia ateriores y compare co los resultados obteidos aalíticamete. NVESTGACÓN 1. Expliue algú método para calcular el mometo de iercia de los cuerpos.. vestigue todo lo posible sobre el cetro de percusió e los cuerpos. REFERENCAS [1] Rao, Sigiresu S. Mechaical Vibratios, Fourth Editio, Pearso. USA 3. [] Steidel, Robert F. A itroductio to mechaical vibratios, Third Editio, Joh Wiley, USA [3] Thomso, William T. Theory of vibratios: applicatios. Secod Editio, Pretice Hall, USA [4] Stile, Hidgo. geiería Mecáica, tomo : Diámica Vectorial. Pretice Hall, 5