Distribuciones estadísticas unidimensionales

Transcripción

1 Dstrbucones estadístcas undmensonales ESTADÍSTICA Estuda los métodos ara recoger, organzar y analzar nformacón, con la fnaldad de descrbr un fenómeno que se está estudando y obtener conclusones. TÉRMIOS ESTADÍSTICOS Poblacón: Es el conjunto homogéneo de elementos (ersonas, anmales o cosas) sobre el que se va a realzar un estudo. Ejemlos:. Alumnos del BAC matrculados en Antequera.. Al estudar la ntencón de voto en nuestro aís en el marco de unas eleccones generales, la oblacón la consttuyen todos los cudadanos esañoles con derecho a voto. Muestra: Cualquer arte de la oblacón sobre la que se hace el estudo. Ejemlos:. Alumnos de º BAC matrculados en ºC del I.E.S. Pedro Esnosa de Antequera.. Al hacer un sondeo sobre la ntencón de voto, no se uede realzar sobre toda la oblacón, ues sería como celebrar las eleccones or antcado; así que el sondeo debe restrngrse a un número lmtado de ndvduos (la muestra). S la muestra no está ben elegda, es bastante robable que los resultados del sondeo sean erróneos. S solo consultamos ndvduos que vvan en catales de rovnca y no en el camo, o solo ersonas mayores de 40 años y no jóvenes con derecho a voto, o asalarados y no emresaros, el resultado del sondeo uede no ser un reflejo de la realdad. Indvduo: Es cada elemento de la oblacón o de la muestra. Ejemlos:. Cada alumno de º C.. Cada cudadano esañol con derecho a voto. Tamaño: Es el número de elementos de la oblacón o de la muestra (). Ejemlos:. Hay 30 alumnos de º C en I.E.S. Pedro Esnosa.. Muestra de de esañoles con derecho a voto. Carácter estadístco: El carácter es la roedad que se estuda en los ndvduos de una oblacón o muestra. Modaldades de un carácter: Son las dstntas osbldades que se ueden resentar en el estudo de dcha roedad. Las modaldades de un carácter deben ser ncomatbles y ehaustvas:

2 Incomatbles: Cada dato debe ertenecer a una sola modaldad. Ehaustvas: La totaldad de las modaldades debe recoger todas las osbldades que ueden resentarse en los datos. Tos de caracteres: - Carácter cualtatvo: S la roedad a estudar ndca una cualdad y or tanto sus modaldades no son medbles. Ejemlo: Preferenca de los alumnos de º C, a la hora de ractcar un deorte. Sus modaldades: Fútbol; Baloncesto; Balonmano; Gmnasa rítmca. - Carácter cuanttatvo: S la roedad a estudar da lugar a modaldades que se ueden medr con una cantdad. Los valores numércos que éste toma y que forman las dstntas modaldades del carácter cuanttatvo consttuyen una varable estadístca (V.E.) que uede ser: V.E. dscreta: Cuando sólo uede tomar un número fnto de valores. Ejemlo: úmero de hermanos de los alumnos de º C. Sus modaldades: 0; ; ; 3; 4. V.E. contnua: Cuando teórcamente uede tomar todos los valores de un ntervalo. Ejemlo: Altura (en centímetros) de cada alumno de º C. Sus modaldades: [ 60,65) [ 65,70) [ 70,75) [ 75,80) [ 80,85) [ 85,90) Convene tener en cuenta que en la ráctca todas las varables estadístcas se tratan como dscretas. Lo que en realdad dferenca una de otra es que la V.E. contnua admte la osbldad de tomar los valores de un ntervalo mentras que la dscreta no. TABLAS DE FRECUECIAS La estadístca trata la nformacón agruándola en tablas de frecuencas, en las que los datos estadístcos aarecen organzados en modaldades del carácter y sus resectvas frecuencas: - Frecuenca absoluta de una modaldad: Es el número de ndvduos que hay de dcha modaldad (f ). La suma de todas las frecuencas absolutas es el tamaño de la muestra (): K f f + f f K - Frecuenca relatva de una modaldad: Es el cocente entre la frecuenca absoluta f de la modaldad y el tamaño de la muestra (h ): h f - Frecuenca acumulada de una modaldad: Es la suma de las frecuencas de las modaldades anterores a ella (con ella ncluda). Pueden ser:

3 Frecuencas acumuladas absolutas (F ): F f + f f f F Frecuencas acumuladas relatvas (H ): H h + h h h H Ejemlo : Tabla de frecuencas de carácter cualtatvo (C. C.) Los resultados obtendos al reguntar a los alumnos de º C de bachllerato del I.E.S. Pedro Esnosa de Antequera or la referenca a la hora de ractcar un deorte, se obtenen los sguentes datos: Modaldades f F h h (%) H Fútbol. Baloncesto 8 Balonmano 7 Gmnasa rítmca 3 30 Totales Comleta la tabla Ejemlo : Tabla de frecuencas de una varable estadístca dscreta (V.E.D.) Los resultados obtendos al reguntar a los 30 alumnos de º C de bachllerato sobre el número de hermanos que tenen se obtenen los resultados sguentes, Comleta la tabla. º de hermanos (X ) f Totales 30 3

4 Ejemlo 3: Tabla de frecuencas de una varable estadístca contnua (V.E.C.): Los resultados obtendos al medr (en cm) la altura de los 30 alumnos de º C de bachllerato del I.E.S. Pedro Esnosa (durno), se reflejan en la sguente tabla: Alturas (cm) f [60, 65 [ 7 [65, 70 [ 0 [70, 75 [ 6 [75, 80 [ 3 [80, 85 [ [85, 90 [ Totales 30 Cuando la varable es contnua y el número de datos es elevado, los datos se agruan en ntervalos ó clases. Este hecho acarrea una érdda de nformacón (ues suone que los datos están unformemente reartdos en cada ntervalo), ero gana en comoddad y radez. Los ntervalos se suelen formar todos de la msma amltud (a ). Cuando no es así hay que ndcarlo. El unto medo de cada ntervalo o centro se llama marca de clase (c ). Comleta la tabla del ejemlo 3 con las marcas de clase y las frecuencas. Ejemlo 4: Varable estadístca dscreta smle. Las notas de los eámenes de Matemátcas que un alumno ha tendo durante este curso son: : 4,, 6, 7, 5, 8, 7, 9 (Cas todas las frecuencas absolutas son ) * Las tablas de frecuencas nos las ueden dar tambén en horzontal: Totales f... 4

5 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS La estadístca, tras recoger la nformacón y recogerla en la tabla de frecuencas, reresenta los datos en gráfcos que dan una vsón clara de la dstrbucón, con objeto de consegur con un smle análss vsual la mayor nformacón osble. Según el to de carácter, se utlza un to de dagrama dferente: Para el carácter cualtatvo y la varable estadístca dscreta, se usan: Dagrama de barras: Basado en la roorconaldad entre frecuencas y las alturas de las barras. f ó h Dagrama de sectores: Basado en la roorconaldad entre frecuencas y ángulos. 0 La amltud ( α ) de cada ángulo es α h Es un dagrama suerfcal que resenta el asecto sguente: α Polígono de frecuencas: Línea olgonal que se forma unendo las bases suerores de las barras del dagrama de barras. (Aarece dbujado en el ejemlo anteror del dagrama de barras). Polígono acumulatvo : Línea olgonal que se forma al reresentar en el eje de ordenadas las frecuencas acumulatvas, de la sguente manera: F ó H F Para varable estadístca contnua se utlzan: Hstograma de frecuencas: Basado en la roorconaldad de frecuencas y áreas. Está formado or una sere de rectángulos yutauestos cuya base es la amltud de cada ntervalo de clase, y cuya altura es f ó h (s son de gual amltud) o ben El área o suerfce de cada uno de ellos es: f a ó h a (s son de dstnta amltud). 5

6 S son de la msma amltud: S a f (Proorconal a la frecuenca). S tenen dstnta amltud: S a f (Concde con la frecuenca). f a f ó h f 5 f 4 f f 3 f 6 f l 0 c l c l c 3 l 3 c 4 l 4 c 5 l 5 c 6 l 6 [l -, l [ Polígono de frecuencas: Línea olgonal que se obtene unendo los untos medos de las bases suerores de los rectángulos del hstograma, con el rmer etremo del rmer ntervalo y con el segundo etremo del últmo ntervalo. Polígono acumulatvo: Formado or la sguente línea olgonal ascendente, F óh F F 4 F 3 F F l 0 l l l 3 l 4 En el que la frecuenca acumulatva se encuentra dstrbuda de forma unforme en cada ntervalo. ÚMERO DE ITERVALOS E LAS TABLAS DE V.E.C. Cuando el número de datos de una V.E.D. es muy grande, y no nos dan la tabla de frecuencas de dcha varable con los datos agruados en ntervalos, los odemos agruar en ntervalos de varas formas, una de ellas sería la sguente:. úmero de ntervalos: El número de ntervalos que tomaremos será el redondeo hasta las undades de. Sendo el número total de datos. 6

7 . Amltud de los ntervalos: Sea M el mayor valor que toma la varable y m el menor. La amltud de los ntervalos a, será gual al cocente entre el rmer múltlo del número de ntervalos que sea mayor o gual que M-m y dcho número de ntervalos. Ejemlo: S las alturas de 40 ersonas están comrenddas entre 56 cm. y 85 cm. (ambos ncludos):. El número de ntervalos: Tomaremos 6 ntervalos, ues 40 6, La amltud de los ntervalos: La amltud será a 5, ues 30 es el rmer múltlo de 6 que es mayor o gual que M m Formaremos or tanto 6 ntervalos de amltud 5, que odrán ser: [56, 6[, [6, 66[, [66, 7[, [7, 76[, [76, 8[, [8, 86[ ó ben: [55, 60[, [60, 65[, [65, 70[, [70, 75[, [75, 80[, [80, 85] PARÁMETROS ESTADÍSTICOS La estadístca trata la nformacón resuméndola con números que se llaman arámetros estadístcos. Pueden ser de varos tos: MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ: Son valores de la varable estadístca que reresentan al conjunto de datos. Tenden a stuarse en el centro de dcho conjunto una vez ordenados. Son meddas de centralzacón: La Moda (Mo): Es el valor de la varable estadístca de mayor frecuenca. S el carácter es cualtatvo, es la modaldad de mayor frecuenca. Las dstrbucones con dos modaldades de mayor frecuenca (dos modas) se llaman bmodales, con tres, trmodales; con varas se llaman multmodales. Las dstrbucones con todas sus modaldades de gual frecuenca, se dce que no tenen moda. Para calcular la moda: S el carácter es cualtatvo: En el ejemlo, la moda es Mo Fútbol S la V.E. es dscreta: En el ejemlo, la moda es Mo hermano. S la V.E. es contnua: En el ejemlo 3, se busca el ntervalo en el que se encuentra la moda, que el de mayor frecuenca, llamado ntervalo modal (I Mo ). I Mo [65, 70) Dentro del I Mo, se busca la moda (Mo) de la sguente forma: En el sguente hstograma 7

8 0 A B A(65, 0) B(70, 0) r s C(65, 7) D(70, 6) 76 C D 65 M 0 70 Calculamos la recta r que asa or A y D: r y m + n, donde m 0' Como r asa or A(65, 0) se verfcará que n, luego n 4 ; r y 0 ' Calculamos tambén la recta s que asa or B y C: s y m + n, donde m 0'6. Como s asa or B(70, 0) se verfcará que 0' n n 9 ; s y 0'6 9 0, luego Ahora resolvemos el sstema formado or ambas ecuacones y el valor obtendo ara la es la moda (M o ). y 0'8 + 4 y 0' ' '6 9 67, 43 luego Mo 67,43. Que '4 evdentemente ertenece al I Mo La Meda artmétca ( ) S cada valor de la V.E. nfluye lo msmo (todos tenen el msmo eso), se defne la meda artmétca smle de la sguente forma: Para una V.E.D: Para una V.E.C.: f sendo los valores de la V.E.D. c f sendo c las marcas de clase de la V.E.C. S cada valor de la V.E. tene una nfluenca dferente (no tenen todos los valores el msmo eso, ), se defne la meda artmétca onderada ( ) de la sguente forma: 8

9 Para una V.E.D.: f f, donde reresenta el eso de la varable. Para una V.E.C.: c f f, donde reresenta el eso de cada ntervalo. S la dstrbucón es de datos smles (n ) K Para un carácter cualtatvo no se uede defnr este arámetro. La Medana (M e ): Es el valor de la V.E. que dvde al conjunto de datos, revamente ordenados, de menor a mayor, en dos artes guales. Para calcular la M e : S la V.E. es dscreta: Se ueden resentar dos casos, que sea mar o que sea ar. M c+ S es mar, e, (sendo c el cocente entero que resulta al dvdr entre, y c+ es el valor de la varable que ocua el lugar c+, que se busca mrando en la columna de las frecuencas absolutas acumulatvas F.) S es ar, M e c + c+ + 6 En el ejemlo : 30 (ar), or tanto c 5, luego 5 S fuese 3 (mar), entonces c 5, y M e 6 S la V.E. es contnua: En este caso da gual que sea ar o mar. Se calcula el cocente M e + c (con decmales s rocede). El ntervalo de medana (I Me ) es el que corresonde a c, mrando en la columna de las F. En este ntervalo se encuentra la medana, que calcularemos ayudándonos del sguente ejemlo: 30 En el ejemlo 3, c 5. El dato número 5 está en el ntervalo [65, 70[, que es el I Me en este caso. La M e ertenece a este ntervalo. 9

10 Como 65 < M e < 70, observando el olígono de frecuencas corresondente a este ntervalo: En el que - y son las frecuencas absolutas acumulatvas (7 y 7) de los ntervalos [60, 65) y [65, 70), resectvamente y [l -, l ) es el I Me ([65, 70)) Encontramos M e, calculando la recta r que asa or los untos (65, 7) y (70, 7). La medana será la abscsa del unto de r cuya ordenada es 5: r y m + n ; m ; n ; n r y 33 ; luego 5 Me 33 M e 69 ertenece a I Me [65,70) 69 M e, que, como es lógco, Ventajas de unas meddas sobre otras: La moda es el únco arámetro que se uede calcular ara el carácter cualtatvo. Presenta la desventaja de que en dstrbucones con frecuencas muy arecdas no es sgnfcatvo. La meda artmétca es el únco arámetro en el que ntervenen todos los valores de la V.E. Es en general el más sgnfcatvo, aunque a veces no se uede calcular en dstrbucones con clases abertas (de 80 en adelante). En dstrbucones con un valor de la varable muy dferente del resto, la meda artmétca no es muy sgnfcatva de la dstrbucón. La medana es el mejor arámetro reresentatvo en los casos en que la meda no lo es. MEDIDAS DE DISPERSIÓ Srven ara medr el acercamento o alejamento de los datos resecto de algunas de las meddas de centralzacón, cas semre de la meda artmétca. Son meddas de dsersón: El Rango (r): Es la dferenca entre los valores mámo y mínmo de la V.E. Su cálculo es muy smle: r S estamos en una V.E.D., el rango es: mn má 0

11 S fuese una V.E.C., sería: r l l0, sendo l el últmo etremo del últmo ntervalo, y l 0 el rmer etremo del rmer ntervalo. Esta medda no es demasado sgnfcatva. La Varanza (σ ): Llamamos desvacones resecto de la meda a las dferencas d. Una medda razonable ara calcular un arámetro de dsersón sería la meda artmétca de todas las desvacones d d n otras negatvas) y se demuestra que en todos los casos, ero las desvacones d se anulan unas con otras (ya que unas salen ostvas y d 0. Con lo que la meda artmétca de las desvacones d no nos srve como arámetro de dsersón, ues en todas las dstrbucones valdría 0. Para que las desvacones d no se anulen unas con otras, se toman o sus cuadrados o sus valores f absolutos (en ambos casos sus valores se hacen ostvos) Al tomar la meda de los cuadrados de las desvacones, d, obtenemos la varanza, que se reresenta or σ σ ( ) S desarrollamos esta fórmula obtendremos una más fácl de usar: f σ f S la varable fuese contnua, habría que cambar or c (marcas de clase). La Desvacón Tíca (σ): La varanza es un medda de dsersón cuadrátca, or eso es convenente obtener una medda lneal de dcha dsersón. Dcha medda es la desvacón tíca, que se defne como la raíz cuadrada de la varanza. σ σ La Desvacón Meda (d M ): Es la meda artmétca de las desvacones en valor absoluto d. d M f S la varable estadístca fuese contnua, se cambaría or las marcas de clase c. La desvacón meda no se suele usar mucho en la ráctca.

12 El Coefcente de Varacón (c.d.v): Srve ara comarar la dsersón de dos dstrbucones dstntas. Es ndeendente de la undad en que vengan eresados los valores de las varables. Se defne como: σ c.d v. Indca la dsersón or undad y se suele dar en %, (sn más que multlcar or 00) Es evdente que a mayor coefcente de varacón, mas dsersa será la dstrbucón. MEDIDAS DE POSICIÓ CETRAL Srven ara conocer la oscón de un valor de la V.E. resecto del resto de la dstrbucón. Son meddas de oscón central las sguentes: Cuantles: Se defne el cuantl de orden de una dstrbucón, como el valor de la V.E. que deja or debajo de él al % de la oblacón. Entre los cuantles de orden más frecuente se encuentran: La Medana (Me): Es el cuantl de orden 50 (50 % or encma de la medana y 50 % or debajo). Ya está estudado. Cuartles (Q ): Dvden a la dstrbucón en 4 artes guales. Hay tres cuartles: Q (de orden 5), Q (de orden 50) y Q 3 (de orden 75) Decles (D ): Son los valores que dvden a la dstrbucón en 0 arte guales. Hay 9 decles: D (de orden 0), D (de orden 0), D 3 (de orden 30),..., D 9 (de orden 90) Percentles (P ): Dvden a la oblacón en 00 artes guales. Hay 99 ercentles: P (de orden ), P (de orden ), P 3 (de orden 3),..., P 99 (de orden 99). Para calcular los cuantles: Todos los cuantles son ercentles, ya que: Q P 5, Q M P 50, Q 3 P 75 D P 0, D P 0, D 3 P 30,, D 9 P 90 A la hora de calcular el ercentl P. se ueden resentar dos casos, según se trate de una V.E.D. ó de una V.E.C. Cálculo del ercentl P, ara una V.E.D.: Sea c el cocente decmal que resulta al dvdr el número total de datos entre 00. Llamamos α al roducto de c or el orden del ercentl, es decr: α c S α está entre dos valores de F, or ejemlo entre F m y F m+ ( < F ) será P m+ (corresondente a F m+ ). F α, el ercentl que buscamos P m < m+ S α concde con un valor F, or ejemlo con F m (α F m ), entonces el ercentl P será P + m m+

13 Ejemlo: El estudo de los cuantles tene sentdo ara un número grande de datos; or eso los encontraremos con el sguente ejemlo: Los resultados obtendos al reguntar a los 50 alumnos de º de bachllerato sobre el número de hermanos que tenen (en el I.E.S. Pedro Esnosa), se obtenen los resultados sguentes: º de hermanos (X ) f F (ó más) 4 50 Totales 50 Calcular Q, D 9 y P 7. Para calcular Q tendremos que buscar el ercentl P 5, ues Q P 5. Buscamos c:, 5 50 c, or tanto α será: α,5 5 37, 5 00 Como 8 < 37,5 < 08, tendremos que F m F 8, y F m+ F 08, luego Q P 5 m+. Esto nos dce que el 5% de los alumnos tenen como mucho hermano Para calcular D 9, tendremos que calcular P 90, ues D 9 P Buscamos c:, 5 c, or tanto α, Como 34 < 35 < 46, tendremos que F m F 3 34, y F m+ F 4 46, luego D 9 P 90 m+ 4 3 Esto nos ndca que el 90% de los alumnos tenen como mucho 3 hermanos. Vamos ahora a calcular el P 7 : El valor c es el msmo de antes, c,5, ahora a será:, Como α 08, concde en 3 esta ocasón con un valor F, ues F 08, luego P, 5 α Esto nos ndca que el 7% de los alumnos tenen como mucho,5 hermanos (Este resultado tan etraño es debdo a que la varable es un número natural) Cálculo del ercentl P, ara una V.E.C.: Se comenza como anterormente, calculando c y α. S α está entre dos valores de F, or ejemlo entre F m y F m+ ( < F ) m < m+ F α, el ntervalo del ercentl que buscamos será I P [h, t [ (ntervalo corresondente a F m+ ), y P estará dentro de dcho ntervalo. Para calcular P, obtenemos la ecuacón de la recta r y m + n que asa or los untos (h, F m ) y (t, F m+ ). 3

14 El ercentl P es el valor de corresondente a y α en la ecuacón de dcha recta. Ejemlo: En el ejemlo sguente, vamos a calcular P 65 : Los resultados obtendos al medr en cm. la altura de los 50 alumnos de º de bachllerato del I.E.S. Pedro Esnosa (durno), se reflejan en la sguente tabla: Alturas (cm) f F [50, 58 [ 4 4 [58, 66 [ 8 4 [66, 74 [ 70 [74, 8 [ 5 37 [8, 90 [ 0 47 [90, 98 [ 3 50 Totales Calculamos en rmer lugar c y α: c, 5 y, , 5 00 α. Como 4<97,5<, el ntervalo del ercentl P 65 será I P65 [ 66,74), (ntervalo corresondente a F m+ ). Ahora calculamos la ecuacón de la recta que asa or (66, 4) y or (74, ), r y m + n donde m 8, 75, 8, n 4, n 4 45,5 40, 5 de ecuacón: y 8,75 40, 5. El ercentl P 65 será la abscsa del unto de dcha recta de ordenada 97,5, es decr: 97,5 8,75 P 65 40,5, 97,5 + 40,5 8,75 7, , luego la recta r tendrá P, que ertenece al ntervalo [66, 74) 4