Universidad Eafit Universidad Eafit ISSN (Versión impresa): X COLOMBIA

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1 Uversdd Eft Uversdd Eft ISSN (Versó mpres): -34X COLOMBIA Oscr Robledo MATEMÁTICAS FINANCIERAS CON ECUACIONES DE DIFERENCIAS FINITAS OTRA APROXIMACIÓN AL CÁLCULO DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Uversdd Eft, octubre-dcembre, úmero 4 Uversdd Eft Medellì, Colomb pp. -3 Red de Revsts Cetífcs de Amérc Lt y el Crbe, Espñ y Portugl Uversdd Autóom del Estdo de Méxco

2 é ù é (+ ) - g (+ ) - ù F = A ê ú + ê - ú \ r = K + Mtemátcs Fcers co ecucoes de dferecs fts Otr proxmcó l cálculo del vlor del dero e el tempo Oscr Robledo Trdcolmete se h desrrolldo ls ecucoes ecesrs pr clculr el vlor del dero e el tempo co bse e el resultdo obtedo del desrrollo de ls seres geerds por los flujos de efectvo e el tempo. Ahor be, pesr de que los prcpos báscos se desrrollro hce muchos ños, se preset u mer ovedos de proxmrse l cálculo del vlor del dero e el tempo, y que e uestro medo dch metodologí o es coocd por el comú de ls persos que trj estos tems y sólo hst hce pocos ños se h cdo su eseñz e cursos de posgrdo y pregrdo de l uversdd. Pr el desrrollo del clculo del vlor del dero e el tempo se h pltedo ls sguetes premss, que se respet: Ts de terés: Expres el vlor del dero e el tempo e dc l ctdd de dero que geer u cptl por udd de tempo. Se cosder costte durte el perodo de álss. Iterés compuesto: Los tereses geerdos por u cptl e u período de tempo geerr uevos tereses e períodos de tempo subsecuetes; es decr, los tereses se cptlz, geerdo más tereses. Cptlzcó dscret: Los motos de dero se preset e mometos del tempo clrmete defdos, esto es, el tempo se mde e form dscret e uddes como meses, ños. Al drse el desrrollo de ls mtemátcs trvés del tempo y tocdo más e detlle el tem del cálculo dferecl, se ve que clmete se desrroll el mejo de vrbles dscrets, e dode los vlores que tom ésts puede socrse co los úmeros turles y se desrroll los modelos pr mejr ecucoes co cremetos o dferecles. Al hcer estos cremetos cd vez meores, prece el cálculo ftesml: cudo ese cremeto o delt tede cero. Es sí como prece ls ecucoes dferecles como herrmet pr solucor muchs problems del clculo y l físc, etre otrs stucoes. Y que ps cudo esos cremetos o se hce muy pequeños so que cotú sedo precbles y de cosdercó? Pr este cso se h desrrolldo ls ecucoes de dferecs fts, que fuco de mer smlr ls ecucoes dferecles, co l excepcó de que e este cso ls dferecs etre los vlores que pued tomr l vrble e estudo sí so precbles. Pr el cso del vlor del dero e el tempo, se ecuetr que se puede hcer que l udd de tempo e el cul se defe gresos o beefcos moetros y egresos o slds de efectvo, smsmo como los mometos e que se cptlce los tereses correspodetes, se comporte como u vrble dscret, sedo posble plcr los desrrollos logrdos pr ecucoes de dferecs fts. OSCAR ROBLEDO. Profesor, deprtmeto de Proyectos, Uversdd EAFIT. Eml: REVISTA Uversdd EAFIT No. 4 octubre.ovembre.dcembre

3 Se d el cso más secllo: se v lzr el comportmeto de u ctdd úc de dero trvés del tempo. Como udd de tempo se tom meses y se sume u ts de terés %, como el costo del dero, defd pr u período gul. S se tee hoy es ctdd de dero, que se llm P, detro de u mes se tee: F = P + P = P(+) Y detro de dos meses: F = F + F = F (+) = P(+) Y u mes ms delte: F 3 = F + F = P(+) 3 Lo cul puede ser presetdo de otr mer: Se Etoces F = P F = P F = P F = F + D = P + D F = F + D Pr este cso D K = F -, queddo: F = P + P = P(+) F = F + F = F (+) = P(+) Que es smlr lo pltedo clmete. Esto se puede geerlzr que s F es el vlor futuro, e culquer período de es ctdd de dero P, co l ts de terés, etoces: F = P(+) Fórmul be coocd por quellos que h estuddo mtemátcs fcers y que es l bse de todo el cálculo del dero e el tempo. Cómo se puede relcor est stucó co los postuldos de ls ecucoes de dferecs? Ates de respoder est pregut se profudz u poco e este tpo de ecucoes. U fucó de l form: + = f(,, +, ) co, Î N y, +, Î R se llm ecucó de dferecs de orde L teror fucó tmbé puede presetrse e l form: = g() Dode,,, 3,... so coefcetes culquer, que puede ser costtes o vrbles. S se lmt detro de u rgo de vlores, e uestro cso los eteros postvos, l ecucó tom el ombre de ecucó de dferecs fts. Pr el álss del vlor del dero e el tempo, es sufcete co tomr de l ecucó geerl de dferecs fts presetd, sólo u dferec. Pr esto se puede smplfcr est ecucó y quedr co: + - = g() Est ecucó de dferecs fts, por teer solo u dferec, se dce que es de prmer orde. Por fcldd pr el desrrollo que se pretede logrr, se reescrbe est ecucó colocdo prmero el vlor de que sgue e l sucesó, que es + y luego el vlor de, lo cul se puede expresr: + + = g() S y so costtes rbtrrs dferetes de cero co, Î R, se dce que l ecucó de dferecs es lel (y de prmer orde). Etoces + + = g(), co ls codcoes expresds, es u ecucó de dferecs fts lel de prmer grdo, que por fcldd smplemete llmremos ecucó de dferecs fts. De mer smlr como ls ecucoes lgébrcs es posble ecotrr u solucó, e dode se clcule u vlor (o vlores) que l sgárselo l vrble (o vrbles) hg verdder, o stsfg l guldd plted por l ecucó. Por ejemplo s estblecemos l ecucó: 3x 4 = ecotrmos que l reemplzr x por se stsfce l guldd. Es decr s x = etoces 3 x 4 =, o se que =

4 3 Otro ecucó puede ser: 4x 6x += E est cso ecotrmos que exste dos vlores de x que stsfce l ecucó: x =.75 x =.39 De mer smlr, se puede ecotrr solucó ls ecucoes de dferecs, que e est stucó l solucó será otr ecucó. Se = f(), se dce que es u solucó de u ecucó de dferecs s: está defd pr el cojuto de vlores de, co Î N Al reemplzr y sus respectvs dferecs e l ecucó dd, l stsfce. S se tee l ecucó = 3, se ve s es u solucó de l ecucó de dferecs + = 3. + = = comprobemos s es solucó: Como = 3 etoces + = 3 + y e l ecucó: x 3 = = lo cul es verddero, co =,,,... Se puede observr que es u de ls muchs solucoes que l ecucó + = 3 pued teer. S se estblece = c3, co c u costte culquer, podemos verfcr s est ecucó es u solucó de l ecucó de dferecs: = c3 + = c3 + Al reemplzr teemos: c xc3 = c3 + c3 + = lo cul es certo. Como hemos vsto, u ecucó de dferecs tee como solucó otr ecucó, y de mer smlr como sucede co ls ecucoes dferecles, est ecucó solucó correspode u fml de ecucoes. Cudo se tee u ecucó de dferecs fts lel de prmer orde tedremos dos stucoes:. g() = E este cso + + = se llmrá u ecucó homogée o reducd. Se v deotr como y h l solucó de l ecucó homogée l cul se llmrá l solucó homogée. b. g() ¹ Pr este cso + + = g() se llm l ecucó complet. Se deot como y p u solucó de l ecucó complet, l cul se llm u solucó prtculr. Ahor be, se puede demostrr que l solucó geerl de l ecucó de dferecs + + = g() co g() ¹ tedrá l form: = y h + y p y que y p será del msmo tpo que g(). Es decr, l solucó de u ecucó de dferecs fts lel de prmer orde se obtee de l combcó lel de l solucó homogée y de u solucó prtculr, l cul será smlr g(). S por ejemplo, g() = 3 + 4, l solucó prtculr, y p, será u polomo de segudo grdo. Ahor be, se puede presetr dos stucoes co g():. g() se u costte.. g() se u fucó de. Ls solucoes pr cd cso so:. Cudo g() es u costte: Se g() = M co M u costte rbtrr, M Î R L ecucó + + = g() = M se puede escrbr: Hgmos: M + + = A= g() y B= Reemplzdo e l ecucó de dferecs se tee que: + = A + B REVISTA Uversdd EAFIT No. 4 octubre.ovembre.dcembre

5 4 Pr poder estblecer u solucó se ecest defr u codcó de borde, e este cso se puede sumr que se cooce el prmer vlor, cudo =. Se y el vlor ddo cudo =, sí tedremos: = y = Ay + B = y = Ay + B = A y + B( + A) = y 3 = Ay + B = A 3 y + B( + A + A ) = - y = A y + B( + A + A + + A - ) =,, 3, De seres se sbe que: + A + A + + A - = Así, y = A - A y + B - A Lo cul se puede geerlzr: - A = A y + B - A Ahor, s A = se tee que: Etoces, - A - A co A ¹ + + A + A A = = veces y = y + B Que geerlzdo qued: Y = y + B E resume, co y coocdo, se tee que l solucó de l ecucó de dferecs fts es: ì é ù ï - A A y + B ê ú = í - A úû ï îy + B s A ¹ s A= Se puede presetr el cso e dode o se coozc el prmer vlor, y, pero s se cooce culquer otr codcó de borde, que pr el cso se sume que será y. Es sí como podemos resolver l ecucó de dferecs fts co bse e l codcó de borde coocd: Se y = S (S Î R), el vlor ddo cudo =. E este cso se puede cosderr que y = C, dode C es u costte rbtrr, sí se tee que l solucó será smlr l y estblecd: é = A C + B - A ú ú ù ê - A û s A ¹ E est ecucó, l coocer, y y los demás compoetes, se puede clculr C: Ahor, se puede geerlzr: s y es coocdo y y ¹ : ì é ù s A ¹ ï - A A C + B ê ú = í ê ú s A= ï ë - A û îc + B. Cudo g() es u fucó. E este cso y e vst que se utlz ls ecucoes de dferecs fts e el cáculo del vlor del dero e el tempo, se plte sólo dos tpos de fucoes:. g() es u polomo de prmer grdo. Se tee etoces que: + + y = t + u co t, u costtes rbtrrs Se sbe que l solucó será: = yh + y p co y p u fucó de l form de g(). Solucó homogée Se trbj co l ecucó homogée + + = Pr este cso: A = y B = é - A ù æ ö y h = A C + B ê ú = A - A C = - ç ú C û è ø y h = A C

6 5 Solucó prtculr L solucó será de l form b + d, etoces: y p = b + d co b y d costtes culquer Así, y p+ = b(+) + d Llevdo y p y y p+ l ecucó orgl: + + = t + u teemos que: (b(+) + d) + (b + d) = t + u b + b + d + b + d = t + u ( b+ b) + b + d + d = t + u Se puede ecotrr los vlores de b y d e fucó de,, t y u, plcdo el prcpo de los coefcetes determdos, por el cul los coefcetes de ls vrbles de u ecucó, pr que ést se cumpl, so gules. Coefcete de : b+ b = t Térmos depedetes b + d + d = u t \ b= + u ( + ) - t ( + ) \ d = ( + ) Co b y d y coocdos, se puede escrbr l solucó l ecucó de dferecs fts: = A C + b + d U ejemplo: Ecotrr l solucó l ecucó de dferecs + -4 = 3+ co y = 6 E este cso teemos que: =, = -4 t = 3, u =, g() = 3 + Etoces: A = - 4 = 4 3 b = = (- 4) - 3 (- 4) d = = (- 4) 3 Así: y h = 4 x C y p = Etoces = y h + y p = 4 xc co y = 6 L solucó es: Y = 6 = 4 x C - + \ C = 3 y = b. g() es u fucó expoecl. L ecucó de dferecs fts será del tpo: + + = co, costtes rbtrrs. Así g() = Cómo logrr l solucó: Solucó homogée: Se trbj co l ecucó homogée + + = A= yh yh y = A C B= 3 é - A ù æ ö = A C + Bê ú = A C = - C A ç - úû è ø Solucó prtculr: Se tee que l solucó será de l form r, etoces: y p = r y p+ = r + reemplzdo e l ecucó orgl: r + + r = r( + ) = r + r = REVISTA Uversdd EAFIT No. 4 octubre.ovembre.dcembre

7 6 Por coefcetes determdos: r( + ) = \ r = + Así, l solucó será: = y h + y p = A C + r Se clcul C reemplzdo e l ecucó ls codcoes cles dds (o de borde). Ejemplo:. Buscr l solucó de: + = 8y + 4x3 co y = - Solucó homogée: = A = 8 B = Etoces y h = 8 xc Así, l solucó prtculr será: y p = - (4/5) x3 Ecotrmos el vlor de C: = y h + y p = 8 xc - (4/5) x3 co y = - y = - = 8 xc - (4/5) x3 \ C = - + 4/5 = -6/5 L solucó será: = - (6/5)x 8 - (4/5)x3 Se puede plcr hor lo desrrolldo co ls ecucoes de dferecs fts ls mtemátcs fcers. Se tom u pgo úco y se ve cómo se puede plcr ls ecucoes de dferecs fts pr clculr su vlor e el futuro: S se tee u vlor P e el mometo cl, e el período sguete será, como y hemos vsto, Solucó prtculr: L podemos ecotrr por dos cmos: F = P + P = (+)P F. L solucó prtculr es u fucó expoecl = 4x3 g() = 4x3 co = 3 Así, P y p = r = r3 y p+ = r3 + reemplzdo e l ecucó orgl: r xr3 = 4x3 3xrx3-8xr3 = 4x3 3 (3r- 8r) = 4x3 Por coefcetes determdos: (3r- 8r) = 4 \ r = -4/5 b. Aplcdo l formul, se tee que: = 4 = 3 = = 8 Se F el vlor de u ctdd de dero P e el período F + será el vlor e el período + El vlor presete, P, es F El vlor futuro, F, es F L ts de terés de l opercó es F F + + F r= 4 = = -4/5 3x-8 P

8 7 Podemos estblecer: F + = F + F = (+)F Que es u ecucó de dferecs fts. F + - (+)F = Co F = P = =+I A = + B = é - A ù F = A F + B ê ú = (+ ) - A úû F Pr este cso podemos plter l ecucó de dferecs: F + = F + F + A = (+)F + A A = + B = A F = A sí: = = -(+) g() = A ( + ) ù ( + ) é ù é é -A - -ù F + Bê ú = A ê ú= A ê ú -A úû -(+ ) úû Etoces l fl del proceso, = sí: Y como Se puede hcer Etoces: F = (+) F F = P = F = F = F F = P(+) Que es l ecucó desrrolld pr clculr el vlor futuro, e períodos y u ts de terés, de u ctdd de dero de hoy. Se puede clculr ls demás fórmuls utlzds e mtemátcs fcers: Sere uforme Se F el vlor de u sere uforme A e el período F + será el vlor e el período + El vlor del prmer período, F es El vlor futuro, F, es F L ts de terés de l opercó es F F + F ( + ) é -ù F= A ê ú E el cso de seres uformes se costumbr utlzr A pr deomr el vlor gul que prece peródcmete e el tempo, es sí como l ecucó que hemos logrdo se puede escrbr: ( + ) é -ù F= Aê ú Sere grdete rtmétc Se F el vlor cumuldo e el período F + será el vlor e el período + El vlor del prmer período, F es El vlor futuro, F, es F L costte de crecmeto es g, 3 F F F REVISTA Uversdd EAFIT No. 4 octubre.ovembre.dcembre A A A 3 A + A - A A

9 8 sí se tee: A = A + g A 3 = A + g A + = A + g A = A + (-)g L ts de terés de l opercó es. Se puede plter l ecucó de dferecs: F + = F + F + A + g = (+)F + A + g F + - (+)F = A + g L cul es u ecucó de dferecs fts co g() u fucó poloml, sí = = + g() = A + Solucó homogée: F + - (+)F = F h = (+). C Etoces: A g æ ö F = ( + ). C - ç + - è ø y co F = g æ ö A g F ( ) C = = +. - ç + - \ C = + è ø L solucó es: F F æ g = (+ ) ç è A = - A ö + ø [( + ) -] + - g g æ ö A ç + - è ø é ( + ) ê ê ë é ù é (+ ) - g (+ ) - ù = Aê ú + ê -ú Cudo =, F = F = F é ù é (+ ) - g ( + ) - ù F = A ê ú + ê - ú ê ë ú û ê ë úû Que es lo msmo que : - ù -ú úû A Solucó prtculr: F p = e + h F p+ = e(+) + h e l ecucó orgl F = F + F g co F : Vlor futuro de l sere uforme A F g : Vlor futuro del grdete covecol g F = A(F/A, %, ) + g(f/g, %,). e(+) + h - (+)(e + h) = A + g e(+) + h - (+)(e + h) = A + g e+e + h - e - h - e - h = A + g -e + e - h = A + g Se logr que: g - e = g \ e=- A g e - h = A \ h = - - g A g g æ ö A F p = = - ç + - è ø Ejemplos:. Se coloc $6, e u cuet de horros. Cd mes se sc los /3 de lo que se tee e l cuet. S se recooce tereses del.% mesul, estblecer u ecucó que permt clculr el sldo e l cuet e culquer mometo. Co cuáto se cotrá l cbo de 8 meses? Se S el sldo e l cuet luego del retro. Se puede estblecer l ecucó de dferecs: S+ = S + S - S 3 co S = 6, æ ö æ ö æ ö S + = S ç+ - = S ç + S+ - S ç + = è 3ø è3 ø è3 ø

10 9 L solucó es: S æ ö æ ö ç + x S = ç + x 6, como =.% =. è 3 ø è 3 ø S = 6, x.3453 Co est fórmul se puede clculr el sldo de l cuet e culquer mometo. Al cbo de 8 meses, = 8 S 8 = 6, x =.4» E 8 meses se cotrá co $.. Se cuet co $3, los cules se verte e u cuet de horros. El prmer mes se retr $5,, el segudo mes se retr $ 7, el tercero $9, y sí sucesvmete. S l cuet recooce tereses del.5% mesul, cuáto tempo se podrá retrr dero de l cuet? Se puede escrbr l ecucó de dferecs: S + = S + S -5, -, = (+)S -(5, +,) S + - (+)S = - (5, +,) = = + g() = -5, -, Solucó homogée: S + - (+)S = S h = (+).C Solucó prtculr: Será u polomo de prmer grdo. S p = + b S p+ = (+) +b y e l ecucó orgl (+) +b - (+) ( + b) = -5, -, + +b - -b - -b = -5, -, - + -b = -5, -, - =, -b= 5,,, \ = = = 33,333.5 \ b = 9 888,889 Etoces: S = (+).C + 33, ,889 co S = 3, REVISTA Uversdd EAFIT No. 4 octubre.ovembre.dcembre S o = 3, = (+) C + 33,333x ,889 \ C = ,889 S = ,889 (+) + 33, ,889 = ,889x , ,889

11 3 Se podrá retrr dero hst que este se cbe, e cuyo cso S = Así, S = = ,889 x , ,889 despejmos y se obtee que: =.63» El dero dur meses, queddo u pequeño sldo dspoble. CONCLUSIÓN Se puede coclur que l utlzr ls ecucoes de dferecs fts e el cálculo del vlor del dero e el tempo se lleg ls msms formuls desrrollds trdcolmete pr éstos cálculos. Ahor be, co est metodologí se tee l fcldd que pr l solucó de u stucó culquer o es ecesro teer que plcr l fórmul pertete pues co plter l ecucó de dferecs que se fer de l stucó e cuestó y l solucorl como se h mostrdo, se ecuetr el resultdo buscdo. BIBLIOGRAFÍA Grcí, Jme A. (). Mtemátcs fcers co ecucoes de dferecs fts. 4. Ed. Bogotá: Perso. Goldberg, Smuel. (958). Itroducto to dfferece equtos. New Yor: Joh Wley. Levy, H. y F. Lessm. (99). Fte dfferece equtos. New Yor: Dover Publctos. Sydseter, Kut y Peter J. Hmmod. (996). Mtemátcs pr el álss ecoómco. Mdrd: Pretce Hll.