UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N 13 CÁLCULO I
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- Juan Luis Quintana Torres
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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N CÁLCULO I Profesor: Carlos Ruz Leiva MÁXIMOS Y MÍNIMOS Criterio de la segunda derivada Supongamos que f ( c) = 0 (i) Si f ( c) > 0, f (c) es un valor mínimo relativo (ii) Si f ( c) < 0, f (c) es un valor máimo relativo Ejemplos: Para f ( ) = tenemos f () = Los puntos críticos son: f ( ) = + = 0 = y = La segunda derivada es: f ( ) = 6 Ya que f ( ) = 6( ) < 0, el criterio de la segunda derivada nos dice que f ( ) = ( ) ( ) = es un máimo relativo Ya que f ( ) = 6( ) > 0, el criterio de la segunda derivada nos dice que f ( ) = ( ) ( ) = es un mínimo relativo Para f ( ) = ( ) tenemos f ( ) = ( ) Los puntos críticos son: f ( ) = ( ) = = = 0 = 0 y = La segunda derivada es: f ( ) = 6 Ya que f (0) = 6(0) = > 0, el criterio de la segunda derivada nos dice que f (0) = (0) ( 0) = 0 es un valor mínimo relativo Ya que f ( ) = 6( ) = < 0, el criterio de la segunda derivada nos 4 dice que f ( ) = ( ) ( ) = es un valor máimo relativo 7
2 Ejercicios: Hallar los puntos críticos y los valores etremos relativos f ( ) = + f ( ) = ( + )( + ) f ( ) = ( ) ( + ) 4 + f ( ) = f ( ) = 6 f ( ) = + 7 f ( ) = 8 ( ) = f 6 9 f ( ) = ( ) ( + ) 0 f ( ) = f ( ) = ( )( ) f ( ) = + + f ( ) = + 4 f ( ) = + f ( ) = 6 f ( ) = 7 f ( ) = f ( ) = + + Máimos y mínimos en los etremos en los etremos del intervalo Si c es un etremo del dominio de f, se dice que f posee un máimo en el etremo c si, y sólo si, f ( c) f ( ) para todo en el dominio de f que sea suficientemente próimo a c Se dice que posee un mínimo en el etremo c si, y sólo si, f ( c) f ( ) para todo en el dominio de f que sea suficientemente próimo a c min ma min ma Ejemplo: Analizar los valores etremos relativos en los etremos del intervalo [,0] para la función f ( ) = + Solución: La derivada de la función dada es f ( ) = 4 + Como f ( ) = 4( ) + = < 0, la función a la derecha de - decrece Es decir, la función en - tiene un valor máimo, de valor f ( ) = Como f ( 0) = 4(0) + = > 0, la función a la izquierda de 0 crece Es decir, la función en 0 tiene un valor mínimo, de valor f ( 0) =
3 La gráfica de esta función es > plot(*^+*-,=-0); Máimos y mínimos absolutos f (d) se llama valor máimo absoluto de f si, y sólo si, f ( d) f ( ) para todo en el dominio de f f (d) se llama valor mínimo absoluto de f si, y sólo si, f ( d) f ( ) para todo en el dominio de f Ejemplos: Hallar los puntos críticos y clasificar los valores etremos de Solución: El dominio de la función es [ 0, [ La derivada de la función es ( + ) ( ) f ( ) = ( + ) = ( + ) f ( ) = + Como la derivada nunca se anula, no eisten puntos críticos en el interior del dominio de f En el etremo izquierdo el número 0 es un punto crítico Ya que f ( ) > 0 para todo en ] 0, [ y f es continua en [ 0, [, ha de ser creciente en [ 0, [, luego f ( 0) = es un mínimo en el etremo que es también un mínimo absoluto
4 Gráfica de la función: > f:=(sqrt()-)/(sqrt()+); Hallar los puntos críticos y clasificar los valores etremos de ( ) = +, f, [ ] + +, - < 0 Solución: La función se puede escribir como f ( ) = +, 0 +, - < < 0 Su derivada es f ( ) =, 0 < < f (0 + h) f (0) La derivada en 0 no eiste, ya que f ( 0) = lim = h 0 h h + h + + f (0 + h) f (0) lim = y f ( 0) = lim + = h 0 h 0 h h h h + lim + = h 0 h En = la derivada se anula, luego es también un punto crítico Los puntos etremos = y = son también puntos críticos Aplicamos el criterio de la primera derivada En = tenemos un mínimo relativo de valor f ( ) = 4 En = 0 tenemos un máimo relativo de valor f ( ) = En = tenemos un mínimo relativo de valor f ( ) = En = tenemos un máimo relativo de valor f ( ) = 4
5 Gráfica de la función: > f:=piecewise(-/<= and <0,^+*+,0<= and <=/,^-*+); and < 0 f := + 0 and 0 > plot(f,=-,y=0); El valor máimo absoluto es f ( ) = El valor mínimo absoluto es f ( ) = Hallar los puntos críticos y clasificar los valores etremos de f ( ) = + Solución: El dominio de la función es el intervalo [, ] Primero determinamos los puntos críticos, derivando la función y luego, igualándola a cero dy = + = 0 d Resolviendo la ecuación, obtenemos: = Elevamos al cuadrado, ambos lados de la ecuación: =, 4 4 =, =, luego = ±
6 De estos dos números, solamente es raíz de la ecuación f ( ) = 0 El otro,, es una raíz etraña que introdujimos al elevar al cuadrado En resumen, los puntos críticos son: =, = = Usando el criterio de la primera derivada, tenemos el siguiente resultado Máimo relativo en = y el valor máimo es f ( ) = Mínimo relativo en = y el valor mínimo es f ( ) = Mínimo relativo en = y el valor mínimo es f ( ) = El valor máimo absoluto es f ( ) = El valor mínimo absoluto es f ( ) = Gráfico de la función > f:=sqrt(-^)+/; f := + > plot(f,=-,y=-0);
7 Ejercicios Hallar los puntos críticos y clasificar los valores etremos f ( ) = + f ( ) = ( )( ) f ( ) = 4 +, [ 0, ] 4 f ( ) = + f ( ) = + 6 f ( ) = +, [,] 0 7 f ( ) = +, ],0[ 8 f ( ) = ( )( ), [ 0,] 9 f ( ) = ( ) ( ), [ 0,4] 0 f ( ) = f ( ) =, [,] f ( ) = + f ( ) = 4 f ( ) = f ( ) = (4 ) ( ), <, 0 < 6 f ( ) =, 4 7 f ( ) =, < <, 4 <, Problemas sobre máimos y mínimos Ejemplos: Una ventana tiene la forma de un rectángulo rematado por su parte superior con un semicírculo y se quiere contornear con p metros de borde metálico Hallar el radio de la parte semicircular si el área total de la ventana ha de ser máima Solución: El área total de la ventana viene dado por la función: π r A( r) = rh( r) + El perímetro total de la ventana es: p = r + h( r) + π r Despejando h (r), obtenemos: p r π r h( r) = Reemplazamos en la fórmula del área:
8 p r π r π r π r A( r) = r + = pr r Derivando, obtenemos: A ( r) = p 4r π r Haciendo A ( r) = 0 : A ( r) = p 4r π r = 0 Despejando r : p r = 4 + π Como la segunda derivada es: A ( r) = 4 π < 0, podemos concluir que p r = proporciona el máimo deseado 4 + π Hallar las dimensiones de la base de la caja rectangular de volumen máimo que puede construirse con 00 cm de cartón si la base ha de ser tres veces más larga que la anchura Solución: El volumen viene dado por V ( ) = h( ) El área de la superficie total es: 00 = 6h ( ) h( ) Despejamos h () : h( ) = = 8 4 Reemplazando esta epresión en la fórmula del volumen : Simplificando: V ( ) = 00 4 V ( ) = 4 (00 ) Derivamos: V ( ) = 4 (00 9 ) Haciendo V ( ) = 0, obtenemos: 00 9 = 0 y entonces = ± 0 0 Para las condiciones del problema, debe ser = 7 0 Como la segunda derivada V ( ) = es negativa para =, vemos que este valor da lugar a un máimo Las dimensiones de la base rectangular 0 han de ser cm de anchura y 0 cm de largo
9 Una fábrica posee una cantidad de producción de artículos por semana La eperiencia ha demostrado que n artículo por semana pueden ser vendidos a un precio de p dólares cada uno, donde p = 0 n, y el costo de producción de n artículos es ( n + n ) dólares Cuántos artículos deberían fabricarse cada semana a fin de obtener el mayor beneficio? Solución: El beneficio ( P dólares) en la venta de n artículos es P = np ( n + n ), es decir P = 00n 600 n Podemos simplificar los cálculos suponiendo que la función f ( ) = , 0, coincide con la función obtenida anteriormente en los valores de = n enteros Derivando se obtiene: f ( ) = Haciendo f ( ) = 00 6 = 0, obtenemos: = 6, 666 Calculando f (6) y f (7) nos damos cuenta que la elección debe ser = 7 ( Cómo sabemos para que este valor corresponde el mayor beneficio?) 4 Hallar dos números positivos cuya suma es 40 y cuyo producto sea máimo Solución: Sean e y los dos números positivos tales que + y = 40 y que P = y, sea máimo Reemplazamos y = 40 en P = y, obtenemos: P() = (40 ) Derivamos e igualamos a cero, para determinar puntos críticos dp = (40 ) + ( ) = 40 = 0 d De aquí se obtiene que = 0 es un punto crítico Como la segunda derivada d P de la función P = (40 ), es = < 0, se deduce que en = 0, d tenemos un máimo relativo Es decir, P = y es máimo para = 0, y = 0 Hallar las dimensiones del rectángulo que, con perímetro p, posea el área máima 6 Un jardín rectangular de 00 metros cuadrados de área ha de vallarse contra los conejos Hallar las dimensiones que requerirán la menor cantidad de valla, si uno de los tres lados del jardín está ya protegido por una tapia Solución: Sean e y los lados de la valla El área del jardín es A = y = 00 m y la longitud de la valla es L = + y 00 Reemplazando y = en L = + y, obtenemos:
10 00 L () = + Derivamos e igualamos a cero: 00 L () = = 0 De esta ecuación obtenemos que = 0 m y luego y = 0 m Obviamente, estos valores corresponden a la menor longitud de valla posible de usar(justifique) 7 Hallar la mayor área que puede tener un rectángulo si su base descansa sobre el eje y sus vértices superiores están en la curva y = 4 Solución: Sean e y las coordenadas que determinan el área del rectángulo mostrado en la figura Reemplazando y = 4 en la epresión A = y, obtenemos: A() = (4 ) Derivamos e igualamos a cero: A () = (4 ) + ( ) = = 0 De aquí obtenemos: = ± 8 Hallar el área máima para un rectángulo inscrito en un círculo de radio r 9 Sea Q la producción, R los ingresos, C el costo y P el beneficio Dado que P = R C, cuál será la relación entre el ingreso marginal dr MR = dq y el costo marginal dc MC = dq cuando el beneficio sea máimo? 0 Un fabricante encuentra que el coste total para producir Q toneladas es aq + bq + c dólares y el precio a que puede venderse cada tonelada β αq Suponiendo que a, b, c,α, β, son todos positivos, hallar la producción que da lugar al beneficio máimo Solución: La función que representa al beneficio, es P ( Q) = ( β αq) Q ( aq + bq + c)
11 El beneficio es máimo cuando la producción Q, satisface la ecuación dp = ( β αq) αq aq b = 0 Es decir, cuando la producción, es dq β b Q = ( α + a) d P Es máimo el beneficio ya que = α a < 0 dq La sección transversal de una viga tiene la forma rectangular de altura l y anchura w Suponiendo que la resistencia de la viga varía directamente con w l, cuáles son las dimensiones de la viga más resistente que puede cortarse partiendo de un tronco redondo de diámetro d? Solución: El diámetro del árbol, es d = w + l y la resistencia de la viga, es R = kw l, k = constante La función que describe la resistencia de la viga, en función con su altura, es R( l) = kl( d l ) La altura necesaria para que la resistencia de la viga sea máima, se obtiene dr de la ecuación = k( d l ) kl = 0 dl Las dimensiones de la sección transversal de la viga de máima resistencia, d son l = y w = d Sea P = f (Q), ( P = precio, Q = producción) la función de demanda Demostrar que para una producción que haga máimo el ingreso total (precio producción) la elasticidad f ( Q) ε = es Q f ( Q) De todos los triángulos isósceles con un perímetro dado, cuál posee mayor área? 4 Se dispone de 00 cm de cartón para construir una caja rectangular Cuáles son las dimensiones de la base para una caja de volumen máimo, si la longitud ha de ser doble que la anchura? (a) Supóngase que la caja tiene tapa (b) Supóngase que la caja no tiene tapa Solución: (b) El volumen de la caja, es V = y El área de la caja, es A = + 4y + y = 00 De estas dos epresiones se obtiene la función V ( ) = (0 ) La dimensión, para volumen máimo se deduce de la ecuación dv = (0 ) = 0 d
12 Las dimensiones de la base de la caja sin tapa, son = cm y = 0 cm Hallar el área máima que puede tener un paralelogramo inscrito en un triángulo ABC de modo tal que un vértice coincide con A mientras que los otros se sitúan sobre cada uno de los lados del triángulo 6 Hallar las dimensiones del triángulo de menor área que puede circunscribirse a un círculo de radio r 7 De una pieza rectangular de cartón han de cortarse cuatro cuadrados congruentes, uno en cada esquina La pieza restante, en forma de cruz, se dobla para formar una caja abierta De qué tamaño deben cortarse los cuadrados para que el volumen de la caja resultante sea máimo? 8 Cuál es el área máima posible para un triángulo inscrito en un círculo de radio r? 9 Un fabricante de artículos para alumbrado sabe que puede vender lámparas de pie por semana a p dólares cada una, donde = 7 p El coste de producción es ( ) dólares Demostrar que el máimo beneficio se obtiene cuando la producción es de alrededor de 0 unidades por semana 0 Supongamos que en el ejercicio 9 la relación entre y p es p = 00 0 Demostrar que para obtener el máimo beneficio el fabricante debería producir solamente alrededor de unidades por semana Supongamos que en el ejercicio 9 la relación entre y p es = 00 0 p Qué producción da lugar al máimo beneficio en este ejemplo? Demostrar que una tienda de campaña cónica de volumen dado necesitará la mínima cantidad de lona cuando la altura sea veces el radio de la base Supóngase que no se utiliza lona en el suelo Se ha de cortar una pieza de cuerda de longitud l en dos partes, una que forme un triángulo equilátero y la otra un círculo Cómo debería cortarse la cuerda de modo que (a) haga máima la suma de las dos áreas, (b) haga mínima la suma de las dos áreas? 4 Dado un cono circular recto de altura h y radio de la base r, hallar el cilindro inscrito: (a) con el mayor volumen (b) con la mayor superficie curva En una esfera de radio R se inscriben cilindros y conos circulares rectos Hallar: (a) el cilindro de volumen máimo (b) el cilindro con la mayor superficie curva (c) el cono de volumen máimo 6 Cuál es el volumen máimo de un cono circular recto de lado a?
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