tiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo.

Transcripción

1 Selectividad CCNN 006. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f() = -. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Calcula los etremos relativos de f (puntos donde se alcazan y valor de la función).. [ANDA] [SEP-B] Un alambre de metro de longitud se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima. 3. [ANDA] [JUN-A] Determina un punto de la curva de ecuación y = e - en el que la pendiente de la recta tangente sea máima. 4. [ANDA] [JUN-B] Sea f la función definida por f() = 4 +3, para 0. a) Halla, si eisten, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de f. c) Esboza la gr fica de f. 5. [ARAG] [SEP-A] Comprobar si f() = e +sen tiene un máimo relativo en = e [ARAG] [SEP-B] Sea f: una función polinómica de grado menor o igual a tres que tiene un mínimo relativo en 0,0 y un máimo relativo en,. Calcular la epresión de dicha función. 7. [ARAG] [JUN-A] Calcular los valores de a y b para que la función f() = b tenga como asíntota vertical la recta = y como -a asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = y b = 3 la función f() tiene algún mínimo relativo. 8. [ARAG] [JUN-B] Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima. 9. [ASTU] [SEP] Un campo tiene forma de trapecio rectángulo. Las longitudes de las bases son 4 m y 40 m y la de su altura 40 m. Se divide en dos campos rectangulares C y C. Situando el campoen el origen de coordenadas como se muestra en la figura, calcula: a) La ecuación de la recta r que contiene al lado inclinado del trapecio. b) El área de los campos en función de la anchura de C. c) Se quiere sembrar maíz en el campo C y trigo en C. El beneficio del maíz es de, euros por m y el del trigo euro. Cuáles son las dimensiones de los campos que hacen el beneficio máimo? 0. [ASTU] [SEP] Calcula: e --cos a) lim 0 sen b) lim + +. [ASTU] [JUN] El triángulo isósceles, descrito en la figura, mide 0 cm de base y 0 cm de altura. a) Cuál es la ecuación de la recta r señalada en la figura que contiene el lado del triángulo? b) Dado el rectángulo inscrito cuya base mide a, calcula las coordenadas de los puntos B y C en función de a. c) Halla el valor de a que hace máimo el área del rectángulo.. [ASTU] [JUN] Sea la función f() = +6+8, +4, - < 0 a cos, > 0 5 de diciembre de 009 Página de 5

2 Selectividad CCNN 006 a) Estudia su continuidad en toda la recta real en función de a. b) Estudia su derivabilidad en toda la recta real en función de a. c) Para a = 4, haz un dibujo aproimado de su gráfica. 3. [C-LE] [SEP-A] a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() = e -, sus máimos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de infleión. Demuéstrese que para todo se tiene que f() e. b) Prúebese que la ecuación 3 = e tiene alguna solución en (-,]. ln cos() -+cos() 4. [C-LE] [SEP-A] Calcúlese lim 0 5. [C-LE] [SEP-B] Eisten máimo y mínimo absolutos de la función f() = cos()+ en el intervalo 0,? Justifíquese su eistencia y calcúlense. 6. [C-LE] [SEP-B] Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f() = en el punto = [C-LE] [JUN-A] Considérense las funciones f() = e y g() = -e -. Para cada recta r perpendicular al eje O, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. ln(cos) 8. [C-LE] [JUN-A] Calcúlese el valor de lim 0 9. [C-LE] [JUN-B] Sea f() = a 3 +b +c+d. Determínese a, b, c y d para que la recta y+ = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto 0,-, y la recta -y- = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto,-. 0. [C-MA] [SEP] Determina, si es posible, los valores del parámetro k para que la función definida por +-e f() = si < 0 +-e sea continua en = 0. (-k) si 0. [C-MA] [SEP] Para la función f() = (+)e se pide: a) Estudia su dominio y continuidad. b) Determina sus puntos de corte con los ejes. c) Obtén las coordenadas de los máimos y mínimos relativos. d) Determina las coordenadas de los puntos de infleión. (Recuerda que e 0, ). [C-MA] [JUN] Determina los valores a, b, c para que la función f() = 3 +a +b+c pase por el origen de coordenadas, tengaun punto de infleión en = -, y su recta tangente en = tenga pendiente [C-MA] [JUN] Enuncia el teorema de Rolle. En los ejemplos siguientes f(-) = f() pero no hay ningún valor c -, tal que f'(c) = 0. Justifica en cada caso por qué no contradicen el teorema de Rolle: a) f() = 4. b) f() = - (Nota: representa el valor absoluto de ). 4. [CANA] [SEP-A] La potencia f() en vatios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia () en ohmios 4 viene dada por la epresión f() = Hallar la potencia máima y el correspondiente valor de. (+). 5. [CANA] [SEP-B] Para qué valores de a la recta a+y = Ln(3) es tangente a la curva f() = Ln + + en el punto de abscisa = 0? 5 de diciembre de 009 Página de 5

3 Selectividad CCNN [CANA] [JUN-A] Sea la función real de variable real f() = a) Razonar si la función es continua en toda la recta real. b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real. - si 36. si > + 7. [CANA] [JUN-A] El consumo de un barco navegando a una velocidad de nudos (millas/hora) viene dado por la epresión C() = Calcular las velocidad más económica y el coste equivalente. 8. [CATA] [SEP] Sea f: la función definida por f() = e (a+b), donde a y b son números reales. a) Calcule los valores de a y b para que la función tenga un etremoa relativo en 3,e 3. b) Para los valores de a y b obtenidos, diga que tipo de etremo tiene la función en el punto citado. 9. [CATA] [JUN] Considere la función f() = 4 +a 3 +b +c+7. a) Calcule c sabiendo que su recta tangente en el punto de abscisa = 0 es horizontal. b) Para el valor de c encontrado en el apartado anterior, calcule a y b sabiendo que esta función tiene un etremo relativo en el punto de abscisa = - y que corta al eje O cuando =. c) Para los valores obtenidos en los otros apartados, calcule los intervalos donde la función crece y decrece, sus etremos relativos y dibuje una representación gráfica aproimada. 30. [ETR] [SEP-A] Dada la función f() = sen+sen(+), en el intervalo 0 <, calcula su derivada, simplificándola en lo posible. Es cos-cos(+) constante esta función f()? 3. [ETR] [SEP-B] Calcula las asíntotas y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f() = + -. A partir de los resultados obtenidos, dibuja la gráfica de la función f(). +-e 3. [ETR] [JUN-A] Calcula lim 0 sen 33. [ETR] [JUN-B] Defien el concepto de máimo relativo de una función f() y enuncia su relación con las derivadas sucesivas de f(). 3+ si < [MADR] [SEP-A] a) Calcular los valores de a y b para que la función f() = +a cos si 0 < a +b si de. b) Estudiar la derivabilidad de f() para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior. sea continua para todo valor 35. [MADR] [JUN-A] a) Dibujar la gráfica de la función f() = indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y + asíntotas. b) Demostrar que la sucesión a n = n es monótona creciente. n+ c) Calcular lim n a n+ -a n. 36. [MURC] [SEP] i) Definición de función continua en un punto. ii) Estudie la continuidad de la función f() = y clasifique según los distintos tipos de discontinuidad. iii) Estudie si tiene asíntotas horizontales o verticales. 37. [MURC] [SEP] i) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. ii) Calcule la recta tangente a la curva f() = ln en el punto =. iii) Calcule el punto de corte de dicha recta con el eje. 5 de diciembre de 009 Página 3 de 5

4 Selectividad CCNN [MURC] [JUN] Dada la función f() =, se pide: - i) Dominio de definición y corte con los ejes. ii) Intervalos en los que es positiva y en los que es negativa. iii) Asíntotas. iv) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. v) Representación aproimada. 39. [MURC] [JUN] Construir un triángulo rectángulo de perímetro 3 con área máima. 40. [RIOJ] [SEP] Estudia (dominio, crecimiento, máimos y mínimos, asíntotas) y representa gráficamente la función y = ln(). 4. [RIOJ] [JUN] Calcula, si eisten, los siguientes límites: lim sen() tg() sen() ; lim ; lim a - a -a (con a > 0) 4. [RIOJ] [JUN] Estudia (dominio, crecimiento, máimos y mínimos, asíntotas) y representa gráficamente la función y = [VALE] [SEP-A] Un incendio se etiende en forma circular uniformemente. El radio del círculo quemado crece a la velocidad constante de,8 m/min. a) Obtener el área quemada en función del tiempo transcurrido desde el comienzo del incendio. b) Calcular la velocidad de crecimiento del área del círculo quemado en el instante en que el radio alcance 45 m. 44. [VALE] [SEP-B] a) Obtener la derivada de la función f() = a+b+sen. Calcular a y b si O=(0,0) es un punto de la curva y = a+b+sen, cuya recta tangente en O 0,0 es el eje O. b) Justificar que la función g() = - +sen se anula en dos puntos del intervalo [0, ]. c) Calcular esos dos puntos. 45. [VALE] [SEP-B] Dos postes de 3 m y 4 m se hallan clavados verticalmente en el suelo. Sus bases distan 5 m y, en el segmento que las une, hay un punto P que dista metros de la base del poste más bajo. El etremo superior de cada poste se une con Pmediante un segmento rectilíneo de cable. Se pide: a) Obtener la epresión f() de la longitud total de cable utilizado en ambos segmentos. b) Demostrar que esa longitud total de cable es mínima cuando son iguales los valores absolutos de las pendientes de los dos segmentos considerados. Calcular esa longitud mínima. 46. [VALE] [JUN-B] Dada la función f() = ln en el intervalo cerrado [,e], siendo e =,788...: a) Razonar que eiste un punto P de la gráfica de y = ln en el que la recta tangente a ella es paralela a la recta que pasa por los puntos A=,0 y B= e,. b) Obtener el punto P considerado en a). c) Calcular la pendiente de la recta tangente a y = ln en ese punto P. 47. [VALE] [JUN-B] El coste del marco de una ventana rectangular es de,5 euros por metro lineal de los lados verticales y 8 euros por metro lineal de los lados horizontales. a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de m de superficie para que resulte lo más económico posible. b) Calcular, además, el coste de ese marco más económico posible considerado en a). Soluciones. a) -{0} b) Creciente en -,0,+ c) Máimo: 0,0. Mínimos: -,- 4,,- 4 8 Asíntotas: = 0 b) Creciente: -,-,+. Mínimo:,4. Máimo: -,-4 c) cm (circunferencia) y 56 cm 3. 0,0 4. a) No corta a los ejes si 6. f() = a=, b=3, no 8. 6 y a) y = 5 de diciembre de 009 Página 4 de 5

5 Selectividad CCNN b) = , -, 0, - 0. el 0 4. = ; f() = ; c) 30m5m; 4m5m 0. a) b) e. a) y = 4 b) B 0-a 0-a,0 ; C,0-a c) 5. a) a=4, ; a 4: -{0} b) -{0} c) 3. a) Creciente: -,. Máimo:, e. P. infleión:,. Asíntotas: y = Máimo: 0, ; mínimo,0 6. y=0; =0 e -. a) b) -,0,,0 c) Mínimo, d) -4, - e 3 e 4. 3, -6, 0 3. a) no está definida en el 0 b) no es derivable en 5. no eiste 6. a) b) -{} 7. velocidad: 3,8 nudos; consumo: 8,35 8. a) -, 4 b) máimo 9. a) 0 b) 0, -8 d) Crecimiento: -,0,+. Ma: 0; min: -,. Gráfica: 30. f'() = 0. Es constante a), b) derivable en -{0} 35. a) Dom: - -{}. Crec:. Asint: = -, y = {-,}; 0,0 ii) Positiva: -,0,+ iii) =, = -, y = 0 iv) Decrec. en v) - - Asíntotas: = 0, y = 0. Gráfica: c) 36. ii) Disc: = -: infinita; = -: evitable iii) = -, y = 37. ii) y = -+ln4 iii) 0,ln4-38. i) a 4. ; no; a catetos: 6 4. Dom: -{0,}. Crec:. Sin ma. ni min. Asíntotas: y = ,55 m /min 44. a= f'() = a+cos ; a=; b=0 c) 0, 45. a) f() = b) 8,6 m 46. P e-,ln(e-) ; m = e- 40. Dom: +. Crec: 0,e. Ma: e, e a) 580 b) a) 8 4 t b) 5 de diciembre de 009 Página 5 de 5