1. INTRODUCCIÓN 2. LA DIFERENCIAL. Planteamiento y definición. Funciones derivables

Transcripción

1 Funciones derivbles. INTRODUCCIÓN En el tem nterior hemos presentdo el concepto de derivd en sus dos cepciones: derivd de un unción en un punto y unción derivd de otr; en éste, scremos lgún provecho de todo ello. En primer lugr hblremos de l plicción de l derivd l cálculo de vlores proimdos de un unción y l estudio de su crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos reltivos. Si lgun vez hs sentido l curiosidd de sber por qué todos los botes de rerescos son de ls misms dimensiones, por poner un ejemplo, hor tendrás ocsión de stiscerl. Posteriormente estudiremos los teorems de Rolle, del vlor medio, de Cuchy, l regl de l'hôpitl..., resultdos cumbres del pensmiento cientíico que verás por primer vez y que no te bndonrán mientrs sigs teniendo lgo que ver con ls mtemátics. Finlizremos el tem dndo ls técnics necesris pr representr gráicmente un unción.. LA DIFERENCIAL Plntemiento y deinición Siendo () un unción derivble en un punto 0, consideremos un D tl que 0 +D pertenezc l dominio de. Puede considerrse, entonces, l dierenci D ( 0 + D) -( 0 ) que en l igur viene representd por el segmento BD. ( ) ( 0 ) Trcemos l tngente l unción en el punto 0, rect de pendiente ( ). Considerdo el triángulo ABC se tendrá: BC BC ( 0) = tg = = i BC = ( 0) D AB D Por otr prte: D BD = BC + CD [*] Hbid cuent de que 0, unque se un punto culquier, es un punto ijo, el vlor de CD dependerá de D, de modo que podrímos escribir CD como unción de D : CD = r( D) y, por tnto: de donde: En ests condiciones, sustituyendo en [*] BC por ( 0) D y CD por r( D ), tendrímos: D ( ) D + r( D) 0 r( D) = Dy - ( ) D r( D) Dy - ( 0) D Dy lím = lím = lím - ( ) = ( )- ( ) = Æ0 D Æ0 D Æ0 D D D D En resumen: Que cundo, considerd un unción () derivble en un punto 0, tommos un incremento D de l vrible independiente, l vrible dependiente eperiment su vez un incremento que puede epresrse en orm de sum: D ( 0) D + r( D) iguldd que tmbién puede escribirse en l orm: ( 0 + D) = ( 0) + ( 0) D + r( D) con l prticulridd de que r( D ) es, pr D Æ 0, un ininitésimo de myor orden que D, de tl mner que pr vlores de D suicientemente pequeños, como vlor proimdo de ( 0 +D ) podrá tomrse el de ( 0) + ( 0) D. 6

2 Observ que ijdo el punto 0, el vlor de ( 0) D depende sólo de D. Pues bien, l unción ( d ) 0 tl que: ( d) ( D) = ( ) D 0 0 Funciones derivbles l llmremos dierencil de () en el punto 0, de modo que ( 0 ) D será el vlor tomdo por dich dierencil pr el incremento D. Digmos, por último, que l iguldd nterior suele escribirse hbitulmente en l orm: d () d (El que se sustituy D por d se justiic en que pr l unción se veriic que ( 0) = en culquier punto, de donde, en ese cso, d D = D. Pero, ddo que, tmbién hbrí de ser dy = d, luego d =D ). Ejemplo (cálculo de un vlor proimdo) Supongmos que se dese conocer un vlor proimdo de 64,. Tomd l unción: () =, lo primeros que hremos será ijr el 0 más próimo 64, en el cul se conozc el vlor ecto de ( 0 ). Es decir, tommos 0 = 64. Hciendo D = 0, y recordndo l iguldd proimd: ( 0 + ( 0) + ( 0) D como en este cso se tiene: () = concluiremos que: 0, 0, = 4 + = 4, (Ciertmente, dr un vlor proimdo sin cotr el error cometido es lgo incompleto. En el uturo quizás completes el cálculo.). CRECIMIENTO DECRECIMIENTO Deiniciones (de unción creciente y decreciente) Trs observr detenidmente ls igurs siguientes: ( ) () ( ) E() ( ) () ( ) E() resultrá rzonble que digmos: ➀ Un unción es creciente en un punto ŒR si eiste un entorno E() tl que: ŒE( ) Ÿ ➁ Un unción es decreciente en un punto ŒR si eiste un entorno E() tl que: ŒE( ) Ÿ Ï Ì Ó Ï Ì Ó < i () < () > i () > () < i () > () > i () < () Por etensión, diremos que un unción es creciente (decreciente) en un intervlo bierto cundo se creciente (decreciente) en todos los puntos del intervlo. 7

3 Funciones derivbles Teorem (sobre l relción signo de l derivd-crecimiento) El siguiente es el primero de un serie de teorems en los que se pondrá de mniiesto cómo el conocimiento de l derivd de un unción permitirá conocer muchs propieddes de ést: Se () un unción derivble en un punto ŒR. Entonces: () > 0 i l unción es creciente en. () < 0 i l unción es decreciente en. ( ) - ( ) En eecto. Supongmos, por ejemplo, que () = k > 0; o se: lím = k > Æ - Tomdo entonces el entorno de centro k y rdio k, podrá segurrse, en virtud de l deinición de límite, que el cociente ( ) - ( ) - se hllrá en él, y por lo tnto será positivo, sin más que tomr perteneciente cierto entorno reducido de, E ( ). Pero, entonces: Ï Œ E (), con < i () < () Ì Ó Œ E (), con > i () > () En el cso en que () < 0, se procede de orm nálog. Advertenci y por tnto l unción serí creciente en. 0 El que l derivd de ( ) en el punto se positiv (negtiv) constituye, como cbmos de ver, un condición suiciente pr que l unción se creciente (decreciente) en dicho punto, pero no es un condición necesri. () = Observemos l gráic de l unción ( ) =, que se hll l derech. Dich unción es creciente en el punto =0 y, sin embrgo, su derivd en dicho punto no es positiv. O Ejemplo Se ( ) = Como ( ) = -, y sucede: (, ) y creciente en el intervlo (, ). Ï - > 0 > Ì, l unción será decreciente en el intervlo Ó - < 0 < 4. MÁIMOS MÍNIMOS LOCALES Un de ls plicciones más útiles de l derivd es, l reerid l obtención de los máimos y mínimos locles o reltivos de un unción (unque se trt de ides relcionds, no debes conundir estos etremos locles con los bsolutos, que ueron deinidos en el primer tem). Empecemos estbleciendo tles conceptos. Deiniciones (de máimo y mínimo locl) Diremos que un unción ( ) tiene un máimo locl o reltivo en un punto cundo eist un entorno E() tl que: ŒE( ) i ( ) ( ) Diremos que un unción ( ) tiene un mínimo locl o reltivo en un punto cundo eist un entorno E() tl que: ŒE( ) i ( ) ( ) 8

4 Funciones derivbles máimo locl en mínimo locl en ( ) () ( ) ( ) () ( ) Teorem (condición necesri pr l eistenci de etremos locles) L condición necesri pr que un unción, derivble en un punto ŒR, teng un máimo o un mínimo locl en dicho punto es que () = 0 En eecto: Si uer () π 0, se tendrí, o bien () < 0, o bien () > 0, y l unción serí o bien decreciente o bien creciente en, donde no podrí hber ni máimo ni mínimo locl. Tres observciones L primer, que l nterior no es condición suiciente pr l eistenci de etremos locles. En l págin nterior hemos visto que siendo ( ) =, se tiene ( 0) = 0, y en tl punto l unción no tiene ni máimo ni mínimo locl: es creciente. L segund, que () = 0 es, eectivmente, un condición necesri pr l eistenci de etremo locl, pero sólo en el supuesto de que ( ) se derivble en el punto. El ejemplo más sencillo pr ilustrr lo que decimos lo constituye l unción ( ) =, de l que y hemos hbldo en otrs ocsiones y cuy gráic está l derech. En = 0 tiene un mínimo locl y en ese punto l unción ni siquier es derivble. O ()= L tercer, que el teorem nterior permite seleccionr los puntos, de entre quellos en los que ( ) es derivble, en los que puede hber máimos o mínimos reltivos; pero un en ellos, no despej totlmente ls duds. Así, considerd l unción: 4 ( ) = su derivd se nul en los puntos = 0, = y =, pero cómo sber si, eectivmente, lcnz etremos locles en ellos? Teorem (condición suiciente pr l eistenci de etremos locles) Sen ( ) un unción y ŒR un punto tles que () = 0 Entonces: () < 0 i En eiste un máimo locl. () > 0 i En eiste un mínimo locl. En eecto. Supongmos () = 0, () < 0. En tl cso, l unción () serí decreciente en, y ddo que () = 0, hbrá un entorno de en el que: () > 0 l izquierd de () < 0 l derech de i () () creciente l izquierd de decreciente l derech de i En eiste máimo locl. Observemos que, sin necesidd de clculr (), cundo prtiéndose de que () = 0 se sep que hy un entorno de en el que l izquierd de es () > 0, y l derech () < 0, eso bstrá pr concluir que en hbrá un máimo locl. (En el cso () = 0, () > 0 el rzonmiento es nálogo) 9

5 Funciones derivbles Observciones 4.- Ahor podemos concluir que l unción que ntes mencionábmos, ( ) = , lcnz en = 0 y = mínimos locles y en = un máimo locl..- Nturlmente, podrí uno preguntrse que sucederá en puntos en los que, nulándose l derivd primer de ( ), tmbién se nule l segund. Pues puede que hy un máimo locl, puede que un mínimo locl, o puede que ni lo uno ni lo otro, como se puede comprobr dibujndo ls gráics de ls unciones ( ) = y de ( ) = 4 y viendo qué sucede, en mbos csos, con ( 0) y ( 0). Hy criterios que permiten slir de duds en tles csos, pero no se estudin en este curso.. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Considerciones previs Con recuenci, en ciencis como l economí, l ísic, l sociologí... se presentn situciones en ls que intervienen unciones, normlmente de vris vribles, y se deserá conocer pr qué vlores de ésts ls unciones lcnzn un vlor óptimo, esto es: máimo o mínimo. Nosotros nos limitremos estudir lgunos ejemplos sencillos, con unciones como máimo de dos vribles, entre ls que será posible estblecer lgun relción, de orm que, inlmente, l unción que deseemos optimizr dependerá de un sol vrible. Estos problems son de índole eminentemente práctic, y en su resolución se pueden permitir cierts legrís que serín impropis en un conteto más teórico. El máimo o mínimo bsoluto de l unción ( ) se buscrá en un intervlo cerrdo que hbrá que deducir del propio conteto del problem y, slvo que dicho vlor se lcnce en uno de los etremos del intervlo, el mimo o mínimo bsoluto será locl y se encontrrá en un punto en el que l derivd se nule. Resolveremos continución un ejemplo, dejndo otros pr el prtdo de ejercicios. Ejemplo y Resumiendo: Se dese verigur cuál es el envse cilíndrico de cm de cpcidd que, por tener supericie totl mínim, resulte el más económico. En primer lugr hemos de estblecer l unción que se dese optimizr; en este cso, el áre totl, A, del cilindro. Siendo el rdio de l bse e y l ltur del cilindro se tendrá: Ay (, ) = p + py A continución, buscremos lgun relción entre ls dos vribles, e y. El hecho de que el volumen del cilindro se cm nos permite escribir: p Función optimizr: Ay (, ) = p + py [*] Relción entre ls vribles: Despejndo en [**]: p p y = [**] 666 y llevndo ese vlor [*]: Ay (, ) = p + p = p + p Como vemos, l unción A depende y de un sol vrible, (el rdio de l bse del cilindro) y tendrá por dominio el intervlo (, 0 + ): el mínimo bsoluto coincidirá con el mínimo locl, luego: 666 A ( ) = 4p - = 0 de donde result: =, 76 cm. El correspondiente vlor de l ltur es: 749, cm. (Podrí comprobrse que pr ese vlor de, l derivd segund de A es positiv). 40

6 Funciones derivbles 6. CURVATURA Considerciones previs Cundo próimmente nos dispongmos trzr l gráic de un unción, l inormción que nos proporcionrá su derivd será undmentl, pues el conocimiento de los intervlos de crecimiento y decrecimiento, de los etremos locles, es decisivo l hor de dibujr l curv. Hy, sin embrgo, lgunos spectos más sutiles, que hcen reerenci l orm de l curv, pr cuyo estudio hy que hcer uso de l segund y, en lgunos csos, l tercer derivd. A ellos dedicremos este prtdo. Deiniciones Observ ls igurs siguientes. En tods prece un curv ( ) y su rect tngente ( y t ) en el punto. Lo que distingue unos csos de otros es l posición reltiv en un entorno de de l curv y l tngente: en el primer cso, el de l izquierd, l curv qued por encim de l tngente en ; en el segundo, l curv qued por debjo de l tngente y, inlmente, en el tercero, el que l curv quede por encim o por debjo de l tngente depende de que nos situemos l derech o l izquierd de. En el primer cso, diremos que l unción es cóncv en ; en el segundo que es conve y, en el tercer cso, diremos que es un punto de inleión. y t y t y t Formlizndo un poco lo nterior: Se ( ) un unción derivble en un punto y consideremos su tngente en ese punto, de ecución: yt = () + ()( - ). Diremos que ( ) es cóncv en si eiste un entorno E() tl que Œ E( ) i ( ) > yt Diremos que ( ) es conve en si eiste un entorno E() tl que Œ E( ) i ( ) < yt Diremos que ( ) tiene un punto de inleión en si eiste un entorno E() tl que, tomdo Œ E( ), el signo de ( )- y t es distinto, según se < ó >. Teorem Si ( ) es un unción y ŒR un punto tles que eisten (), ( ), siendo demás ( ) continu en, entonces: Si () < 0, entonces ( ) es conve en. Si () > 0, entonces ( ) es cóncv en. Si () = 0, () π 0, entonces ( ) tiene un punto de inleión en. Demostremos l primer proposición: Considerd l unción g () = ()-y t, se tiene: g () = 0; g () = 0 ; g () = (). Luego, si como estmos suponiendo, () < 0, entonces g () = 0, g () < 0 y, por tnto, g () tiene un máimo locl en. Pero, entonces, g (), l nulrse en, hbrá de ser negtiv en un entorno de, o se, que () será conve en. Ejemplo Ls otrs proposiciones se demuestrn nálogmente. Considerd l unción: ( ) = - 6 +, como: ( ) = - ; ( ) = 6 - ; ( ) = 6, se tiene: ) ( ) es conve en el intervlo (-, ) b) ( ) es cóncv en el intervlo (, ) c) ( ) tiene un inleión en =. 4

7 Funciones derivbles 7. TEOREMA DE ROLLE Teorem (de Rolle) Si ( ) es un unción continu en [, b ], derivble en (, b ) y tl que () = b (), entonces eiste l menos un punto Œ(, b ) tl que ( ) = 0. En eecto. Recordndo el teorem de Weierstrss, l demostrción de éste es ácil: Como ( ) es continu en el intervlo cerrdo [, b ], lcnz en él un máimo y un mínimo bsolutos y, entonces, un de dos: O bien cd uno de esos vlores los tom en los etremos del intervlo, y eso supondrí, l ser () = b (), que los vlores máimo y mínimo de l unción en el intervlo coincidirín, luego l unción serí constnte, con derivd nul en todos los puntos de (, b ), O bien uno l menos de esos vlores los tom en un punto interior, de (, b ). Pero ese máimo o mínimo bsoluto serí locl por qué? y, en consecuenci, siendo l unción ( ) derivble en (, b ), hbrí de ser ( ) = 0. Interpretción geométric Un inmedit interpretción geométric del teorem de Rolle es l que se desprende de l igur djunt: Trzd l gráic de un unción ( ) continu en [, b ], derivble en (, b ) y tl que () = b (), eiste l menos un punto en el interior del intervlo en el que l tngente l curv es horizontl, de pendiente cero. Ejemplo () b (b) L unción ( ) = -8 es continu en el intervlo [, ] y derivble en (, ), veriicándose que () = () = -. Por tnto, eistirá Œ(, ) tl que ( ) = 0. Ahor bien, como ( ) = -8, tendremos que ( 4) = 0; luego, en este cso, el punto del teorem (que puede ser más de uno, unque en este cso se sólo uno) es igul 4. Un interpretción ísic Supongmos que l unción ( ) del teorem indicr l posición en unción del tiempo de un punto en movimiento rectilíneo. L iguldd () = b () signiicrí que trnscurrido un tiempo b desde el instnte, el móvil se encontrrí en el punto de prtid, luego l ser ( ) = 0 pr lgún Œ(, b ), l velocidd hbrí sido nul en lgún momento. O se, que o bien no se hbrí producido relmente movimiento o bien hbrí eistido l menos un momento en el que, l dejr de vnzr, y retroceder, el móvil se hbrí detenido. 8. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Teorem (de Cuchy o del vlor medio generlizdo) Si ( ) y g( ) son dos unciones continus en [, b ] y derivbles en (, b ), entonces eiste l menos un punto Œ(, b) tl que: [ b ( )- ( )] g ( ) = [ gb ( )-g ( )] ( ) iguldd que puede escribirse: si los denomindores no son nulos. b ( )- ( ) gb ( )- g ( ) ( ) = g ( ) 4

8 Funciones derivbles En eecto. L unción: h ( ) = [ b ( )- ( ) ] g ( )-[ gb ( )-g ( ) ] ( ) es continu en [, b ], derivble en (, b ) y cumple: h() = hb (). Entonces, en virtud del teorem de Rolle, eistirá l menos un punto Œ(, b ) tl que h ( ) = 0. Pero como: se concluye lo que hbímos nuncido. h ( ) = [ ( b )- ( ) ] g ( ) -[ gb ( )- g ( ) ] ( ) Observemos que el teorem de Cuchy permite comprr el incremento eperimentdo por ls dos unciones lo lrgo del intervlo [, b] comprndo sus derivds en un punto interior. Buscrle un interpretción geométric es lgo más complicdo que en el cso nterior; pero, sin embrgo, desde un punto de vist ísico, lo que se deduce de lo demostrdo es que l relción entre los espcios recorridos por dos móviles en un mismo intervlo de tiempo coincide con l relción entre sus velociddes en un instnte determindo. Teorem (del vlor medio) Si ( ) es un unción continu en [, b ] y derivble en (, b ), entonces eiste l menos un punto Œ(, b ) tl que b ( )- ( ) b - = ( ) L demostrción es sencill: Tnto l unción ( ) como l g( ) =, son continus en [, b ] y derivbles en (, b ), luego eistirá l menos un punto Œ(, b ) tl que: b ( )- ( ) ( ) b ( ) ( ) = - o se: = ( ) gb ( )- g ( ) g ( ) b - Interpretción geométric Observndo l igur de l derech se comprenderá que el teorem del vlor medio, desde un punto de vist geométrico, signiic que en el rco de l curv ( ), continu en [, b ] y derivble en (, b ), eiste l menos un punto en el que l tngente, por tener l mism pendiente que l secnte que une los etremos del rco:,(), b,( b) Un interpretción ísic ( ) ( ), es prlel ell. () b (b) Considerdo un movimiento rectilíneo de ecución e = (), t con () t derivble en R, el teorem precedente permite segurr que entre dos instntes t0 y t siempre hbrá otro en el que l velocidd coincid con l velocidd medi lo lrgo del intervlo [ t0, t]. Observción Antes de seguir, prece conveniente hcer lgun postill sobre l órmul: b ( )- ( ) b - = ( ) llmd órmul de los incrementos initos. El hecho de que el teorem segure l eistenci del punto, pero lo deje indetermindo, no le priv de trscendenci, y sobre ello quizás tengs ocsión de hblr con más detlle en el uturo. Por el momento, podemos decir que l órmul nterior puede utilizrse pr cotr el vlor de ( ) en lugres en los que ( ) esté cotd, mejorndo ls proimciones que se hcín con l dierencil. Así, por ejemplo, intentemos encontrr un vlor proimdo de 44 : 4

9 Funciones derivbles Buscmos en l sucesión de potencis quints:,,, 4... l últim menor de 44, y vemos que es = 4. Entonces, considermos l unción ( ) =, que es continu en [4, 44] y derivble en (4, 44), por lo que, ddo que ( ) =, eistirá 4, 4 < < 44, tl que: 44-4 = De modo que: 44 - = o bien: 44 = + 4 Pero el que se = 4 < < 44 <, 0, nos permitirá escribir: , < < i, < < i + 0, < + O tmbién:, 004 < 44 <, 0047 con lo que hbremos ddo un vlor proimdo hst l curt cir deciml de 44 Corolrio. 4 < Si () es un unción tl que () = 0, " Œ(, b), entonces () es constnte en( b., ) En eecto. Tomdo un intervlo cerrdo [, b ] contenido en ( b,, ) () será continu en [, b ] y derivble en (, b ), luego eistirá Œ (, b ) tl que: b ( )- ( ) = ( ) = 0 b - o se: ( b ) = ( ), de donde, l ser, b rbitrrios, se deduce l tesis. O se, que no sólo es cierto que l derivd de un constnte es cero, sino que un unción de derivd nul en un intervlo es constnte en el intervlo. Otro corolrio Si () y g () son dos unciones tles que () = g (), " Œ(, b), entonces eiste k ŒR tl que, en dicho intervlo: () = g () +k. (Es decir, si dos unciones tienen igul derivd, diieren en un constnte.) Pr demostrrlo, bst plicr el corolrio nterior l unción h () = ()- g (). 9. REGLA DE L'HÔPITAL Teorem (Regl de l'hôpitl) () Si lím () = lím g () = 0 y eiste lím, entonces tmbién eiste lím Æ Æ Æ g () Æ () (), veriicándose: lím = lím g () Æ g () Æ () g () Eecturemos l demostrción en dos prtes. Primero, vemos qué tenemos. () ) L hipótesis de que eiste lím, supongmos que es igul L, grntiz que eiste un entorno E( ) tl que Æ g () () y g () son derivbles y g () no se nul en E(). 44

10 Funciones derivbles (En cso contrrio, o se, si todo entorno de contuvier puntos en los que () o g () no uern derivbles, o g () tomr el () () vlor 0, no cbrí que lím = L, pues ello eige que l unción esté deinid en un entorno de.) Æ g () g () ) Además, podemos suponer que () = g () = 0, porque unque no uese sí inicilmente, podrímos cmbir el vlor de ls unciones en, y que pr l eistenci y, en su cso, vlor de los límites pr Æ, es indierente lo que ocurr precismente en. ) En tl cso, culquier que se Œ E ( )(supongmos > ), l unción g no se nul en (, ], porque de nulrse en un punto y, con < y, g cumplirí ls condiciones del teorem de Rolle en [ y, ], luego eistirí b Œ( y,)(y, por tnto, b Œ(, ), que está contenido en E() ) tl que g ( b) = 0, contr lo dicho en ) Segundo: Como consecuenci de todo lo nterior, culquier que se Œ E ( )(supongmos > ), y g cumplen ls hipótesis de Cuchy en [, ], luego eistirá un z Œ(, ) tl que: Pero, siendo lím Æ () z g () z = L ()- g ()-g () z =, es decir: g () z () g (), se tendrá que pr todo e > 0 eistirá d> 0 tl que: 0 < - < i () z z d - L < e g () z = () z g () z y en ess condiciones, ijdo e > 0 bstrá tomr un Œ E ( ) que veriique: 0< - < d, con lo cul será 0< z - < d, como se observ en el esquem: d z + d E() pr que se cumpl: () g () () z - L = - L < e g () z () En resumen: lím = L = lím Æ g () Æ () g () Ejemplo L regl de l'hôpitl es mucho más ácil de plicr que de demostrr. Así, por ejemplo, pr clculr: lím Æ hipótesis del teorem, se tendrá: lím = lím = Æ -4 - Æ - 4 Observción importnte, cumpliéndose ls Puede demostrrse, unque quí no lo hgmos, que l regl de l'hôpitl tmbién vle pr clculr límites en los que Æ, y pr deshcer indeterminciones del tipo /. Asimismo, medinte rtiicios sencillos, se puede plicr indeterminciones del tipo 0, -, ó. È Así, por ejemplo, pr clculr lím Í -, procederímos como sigue: Æ 0 Î sen È lím lím sen () () - cos - - sen 0 Í - = = lím = lím = = 0 Æ0 Î sen Æ0 sen Æ0 sen + cos Æ0 cos + cos - sen El truco h consistido en trnsormr l epresión inicil en un cociente, pr poder plicr l regl en el pso (). Luego l hemos vuelto plicr en (). 4

11 Funciones derivbles 0. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Considerciones previs Aunque se trt de lgo que está implícito en ls págins precedentes, concluiremos este cpítulo dedicndo uns línes l representción gráic de unciones. Desde luego, en l epresión lgebric con l que se deine normlmente un unción se contienen tods ls propieddes de l mism. Nd mejor, en eecto, pr crcterizr ciert unción que decir que se trt de l () = sen, pongmos por cso. Sin embrgo, l representción gráic de un unción permite hcerse un rápid ide de ls crcterístics más importntes de ést y clrr ciertos spectos oscuros que l mism pudier presentr. No hn ltdo ejemplos de esto que decimos en lo que hemos visto hst hor. Un primer pso pr dibujr l gráic de un unción, que puede ser suiciente en los csos más sencillos, consiste en obtener vrios puntos de l mism. Así, pr representr un unción linel: () = + b, bst con tomr dos culesquier de sus puntos y trzr l rect que los une; pr representr un unción cudrátic: () = + b + c, bst con dibujr el vértice y dos o cutro puntos más de l correspondiente prábol... Sin embrgo, el procedimiento, que no hy que desprecir por completo, demás de que puede resultr engñoso si no se tom un grn número de puntos, es insuiciente en l myor prte de los csos. Lo que sigue es pues, en grn medid, un recopilción de cuestiones y estudids. Son distintos spectos que pueden considerrse l hor de eectur l representción gráic de un unción. No se h de entender que siempre se bsolutmente preciso estudirlos todos, pero cuntos más de ellos nlicemos, más seguridd tendremos de que l curv que trcemos es l correct. Con objeto de que resulte más ácil ver cómo se hlln relciondos cd un de los distintos psos, tomremos un unción título de ejemplo y trs estudir de orm conjunt sus propieddes, terminremos dibujndo su gráic. Ejemplo Vmos estudir ls propieddes y dibujr l gráic de l unción: () = A tl eecto, iremos dndo, uno uno, un totl de nueve psos: -. Dominio Lo primero que conviene determinr es el dominio de l unción; esto es, los vlores de l vrible pr los que eiste (). L determinción del dominio requerirá en cd cso un estudio prticulr (si se trt de un unción rcionl, hbrá que ecluir, si eisten, los puntos en los que se nule el denomindor; si se trt de un unción en l que intervengn logritmos, hbrí que ecluir los vlores de que diern lugr logritmos de números negtivos; si de un ríz cudrd, los que hgn el rdicndo negtivo,etc.). En nuestro cso, D = R -{ -, }. Continuidd Si un unción no es continu en un punto, l gráic se rompe en dicho punto, lo cul es importnte pr trzr l curv. L myorí de ls unciones que tendremos que dibujr serán continus en todo su dominio, pero hy que evitr un error recuente, consiste en decir que un unción es continu incluso en puntos donde no está deinid. En nuestro cso, siendo () un unción que es cociente de dos unciones polinómics, será continu en todo punto, slvo en quellos en que el denomindor se nule. Por lo tnto:. Simetrís () es continu en su dominio. En l igur siguiente precen ls gráics de dos unciones. L de l izquierd es simétric respecto del eje O. L de l derech, respecto del origen de coordends. 46

12 Funciones derivbles Simétric respecto del eje O Simétric respecto del origen ( ) () ( ) () Pr estudir l simetrí de un unción () se comprn los vlores, pr todo del dominio, de () y ( - ). Entonces: () = ( - ) " Œ Dominio de i () es simétric respecto del eje O () = -(- ) " Œ Dominio de i () es simétric respecto del origen En nuestro cso, l curv será simétric respecto del origen de coordends, pues: 4. Puntos uilires (-) () = ; ( - ) = - (-) - =- - hemos dicho que l obtención de unos cuntos puntos de l gráic puede yudr su trzdo. En prticulr, el punto de corte de l curv con el eje O (que, si eiste, será único), se obtendrá dndo el vlor 0 y clculndo () 0. Los puntos de corte con el eje O (que pueden ser más de uno), corresponderán los vlores de tles que () = 0. No siempre es ácil resolver tl ecución, y cundo ello ocurr puede prescindirse de est inormción. En nuestro ejemplo, el único punto de corte de l curv con los ejes coordendos es el origen, ddo que: = =. Máimos y mínimos l ocles Debido que un unción puede tener máimos o mínimos locles en puntos en los que no se derivble, lo primero que convendrá hcer será ver si l unción que se trte de representr no es derivble en lgún punto de su dominio y, cso de que se sí, nlizr qué sucede en tles puntos. Hecho lo nterior, pr determinr los máimos y mínimos locles en los puntos en los que () se derivble, se procede de l siguiente mner: Se hlln los puntos tles que () = 0. Siendo uno de los puntos tles que () = 0, se clcul (). Si () < 0, en eiste un máimo locl. Si () > 0, en eiste un mínimo locl. Si () = 0, hy que recurrir otros procedimientos, que consisten bien en comprr el vlor de l unción l izquierd y l derech de con el que tom en, bien en plicr otro criterio que no se estudi en el presente curso y en el que intervienen ls derivds sucesivs de en el punto. En l unción del ejemplo, derivble en todo su dominio, se tiene: () = ( + ) como: () = ( - ) 4 - ( - ) i (- ) < 0, ( 0) = 0, ( ) > 0 = 0 = - ó = 0 ó = + podremos concluir que en el punto (-, - / ) eiste un máimo locl y en el (, / ) un mínimo locl. Lo que suced en el punto (0, 0), qued epenss de lo que vemos posteriormente. 47

13 Funciones derivbles 6. Crecimiento y decrecimiento Recordemos lo dicho línes trás: Si () un unción derivble en un punto ŒR, entonces: () > 0 i l unción es creciente en. () < 0 i l unción es decreciente en. (Desde luego, un unción puede ser creciente o decreciente en otros puntos, demás de quellos en los que l derivd es positiv o negtiv, pero se trt de csos de más interés teórico que práctico). 4 - ( - ) En el ejemplo que estmos considerndo se tení que: () = = ( - ) ( - ) cociente que es positivo en los intervlos (-,- ) y (, ), en los que l unción será creciente. En el intervlo (-, ), en el que slvo en el origen l derivd es negtiv, l unción ser decreciente. En cunto lo que suced en el origen precismente, bst con observr que pr vlores < 0 l unción tom vlores negtivos, en = 0 se nul y pr vlores > 0 vlores positivos. Tmbién ser, pues, creciente en este punto. 7. Concvidd, conveidd y puntos de inleión Dijimos págins trás que si ( ) es un unción y ŒR un punto tles que eisten (), ( ), siendo ( ) continu en, entonces: Si () < 0, entonces ( ) es conve en. Si () > 0, entonces ( ) es cóncv en. Si () = 0, () π 0, entonces ( ) tiene un punto de inleión en. En el cso que estmos nlizndo l segund derivd es: () = ( + ), cuyo signo se nliz mejor escribiéndol en l ( - ) ( + )( -) orm () =, pues sí nos segurmos de que el denomindor o es cero o positivo. 4 ( - ) Iguldo el numerdor cero, se ve que ls únics ríces de l correspondiente ecución son, 0 y, por lo que dividiendo l rect rel en los intervlos (-,-), (-, 0), (0, ) y (, ) y viendo qué signo tom () en un punto de cd uno de ellos, se lleg ls siguientes conclusiones, que epresmos medinte un esquem: Signo de () Tipo de curv conve cónvc conve cóncv En los puntos y + l unción no estb deinid, y en = 0 podrí comprobrse que l tercer derivd es distint de cero, por lo que en = 0 hy un punto de inleión. 8. Asíntots En el primer tem de est prte del curso y hbí precido el concepto de síntot, que hor completremos.. Cundo, dd un unción ( ), suced que lím () = L ó lím () = L, de l rect L diremos que es un síntot Æ+ Æ- horizontl de dich unción. En culquier de los cutro csos de l igur siguiente, l rect dibujd en líne de puntos es un síntot horizontl de l curv. 48

14 Funciones derivbles L síntot L síntot L síntot L síntot. Si, dd un unción ( ), sucede que lím () =± ó lím () =±, de l rect = diremos que es un síntot - + Æ Æ verticl de dich unción. L rect dibujd en líne de puntos en l igur siguiente es un síntot verticl de l correspondiente curv. síntot. Pensemos, hor, en un rect, cuy de ecución m + p, cuy situción respecto de l curv ( ) uese l de l siguiente igur. Hbrí de ser: lím y - () 0. En tl cso, dirímos que l rect en cuestión es un síntot oblicu de l unción ( ). Æ [ ] = Cómo se clculrán los vlores de m y p? Observemos, tl in, que:. lím m p lím m + p -() È () () [ + -() ] = 0i = 0i lím Ím - = 0i m = lím Æ Æ Æ Î Æ. lím m + p -() 0 lím m () p= 0 p= lím () m [ ] = i [ - ] + i [ - ] Æ Æ Æ Vemos cómo se plic lo nterior l unción de nuestro ejemplo, () =. Como el lím Æ - no es inito, no eiste síntot horizontl

15 . lím lím - + Æ - =- Æ - =+ ;, luego l rect de ecución = es un síntot verticl. () (). Pr ver si hy lgun síntot oblicu, vemos si es inito lím, observndo que lím = lím Æ Æ hy un síntot oblicu, m + p, siendo m =. El vlor de p lo clculmos sí: È p= lím [ () - m ] = lím Í lím Æ Æ - - ÎÍ = Æ - = 0 Así pues, l síntot oblicu tiene por ecución:. 9. Posición de l curv respecto de l s síntots Funciones derivbles Æ - =, luego Conocids ls síntots de un unción, conocer l posición de l curv respecto de ells puede drnos l últim y muy signiictiv inormción sobre l gráic que queremos dibujr. Consideremos, en primer lugr, un síntot verticl, de ecución =. Cómo sber en qué zons, de ls cutro señlds en l siguiente igur, se hll l curv? 4 Si lím () =+ l curv se hllrá en l zon [] - Æ Si lím () =- l curv se hllrá en l zon [] - Æ Si lím () =+ l curv se hllrá en l zon [] + Æ Si lím () =- l curv se hllrá en l zon [4] En cunto cómo conocer l posición de l curv respecto de un síntot horizontl o un oblicu, en mbos csos se sigue el mksmo procedimiento, que consiste en lo siguiente: Representemos por y c los vlores de ls ordends de los puntos de l curv, y por y ls de los puntos de l síntot. Cómo sber en qué zons, de ls cutro señlds en est nuev igur, se hll l curv? + Æ Si y - y > 0, pr Æ +, l curv se hllrá en l zon [] c 4 Si y - y < 0, pr Æ +, l curv se hllrá en l zon [] c Si y - y > 0, pr Æ -, l curv se hllrá en l zon [] c Si y - y < 0, pr Æ -, l curv se hllrá en l zon [4] c Apliquemos lo nterior nuestro ejemplo, empezndo por dibujr ls síntots de ecuciones conocids: =-, =,. 4 6 ) Ls posiciones indicds con [] y [] se deben, respectivmente, que: lím lím Æ- - - =- ; Æ- + - =+ ) En cunto ls posiciones indicds con [] y [4] son debids que: lím lím - + Æ - =- ; Æ - =+ ) Con relción l síntot oblicu,, observemos que siendo yc - y =, se tendrá: - yc - y < 0, pr Æ - mientrs que yc - y > 0, pr Æ +. De ello se deduce que l curv estrá en ls zons [] y [6], respectivmente. 0

16 Funciones derivbles Despues de todo lo nterior, sólo nos qued trzr l curv. Lo hcemos continución, dejndo pr el lector l tre de comprobr que en ell se relejn ectmente tods ls propieddes de l unción, previmente nlizds. Gráic de l unción () = Otro ejemplo Se muestr continución l gráic de otrs unción, cuy obtención puede ser un interesnte ejercicio. Gráic de l unción () =

17 Funciones derivbles. EJERCICIOS.- Clcul el vlor de l dierencil de ls siguientes unciones en los puntos y pr los incrementos de l vrible independiente que se indicn:. () = en 0 =, pr D = 000,. () = en 0 =, pr D = 0, 00. ( ) = en 0 =, pr D = 000, 4. ( ) = ln en 0 =, pr D = 0, Utilizndo l dierencil, clcul un vlor proimdo de:. b. 400, -, 00 c. 0, Decide si ls siguientes unciones son crecientes o decrecientes en los puntos que se indicn: () = = -, =, = () = cos - sen 0 = 0, = p / 4, = p / 4 () = = 0, =, = Estudi el crecimiento de ls siguientes unciones: - () = g () = e + e h () = ( - )( + ) i () = j () = - k() = ln( + ) -6-6 m() =.ln n() = + sen p() = ln[( -)( -)].- Determin los máimos y mínimos reltivos de ls unciones: cos -sen rctg.( -).( - ) - ln( + ) [ sen(ln ) -cos(ln )] 6. - Hll, b, c, d sbiendo que los etremos locles de l unción + b + c + dson los puntos (0, 4) y (, 0) L ecución de l tngente l curv + b + c + den el punto de inleión (, 0) es - + y l unción tiene un etremo locl en = 0. Clcul () L tryectori de un proyectil lnzdo verticlmente hci rrib tiene por ecución e = v t - g t, donde v es l velocidd inicil, en m/sg y t el tiempo en sg. Clcul el tiempo que el proyectil trdrá en lcnzr su ltur máim y cuánto trdrá en cer desde el momento del dispro si l velocidd inicil es de 60 m/sg Clcul l longitud de los ldos del triángulo isósceles de 4 cm de perímetro y áre máim. 0.- Hll ls dimensiones del rectángulo de 400 m de áre y perímetro mínimo..- Hll el rdio de l bse y l ltur del cono de genertriz 4 m y volumen máimo..- Hll ls dimensiones del cilindro de áre lterl máim inscrito en un eser de rdio 8 m..- Hll l ltur del cono de volumen máimo entre todos los inscritos en un eser de 0 m de rdio. 4.- Clcul el rdio y l mplitud, en rdines, del sector circulr de myor áre entre todos los de 4 cm de perímetro.

18 Funciones derivbles.- El precio de un dimnte es proporcionl l cudrdo de su peso. Determin cuál es l orm de prtir un dimnte que produce un myor deprecición de su vlor. 6.- Clcul ls dimensiones del rectángulo de áre máim de entre todos los de centro el origen de coordends, ldos prlelos los ejes y vértices situdos en l elipse: y + = Determin en qué punto de l unción + l tngente l mism orm el myor ángulo posible con l horizontl. 8.- Qué longitud h de tener un cuerd de un circunerenci pr que se máimo su producto por l distnci de l cuerd l centro de l circunerenci? 9.- Ls dimensiones de un cmpo de útbol son 6 por 04 m, y ls porterís miden 6 m. Determin desde qué punto de l bnd lterl es más probble mrcr gol en un tiro directo. 0.- Si un unción derivble y positiv () tiene un mínimo locl en un punto = y l segund derivd () no es nul, qué se puede decir del signo de ls dos primers derivds de () [ ] en ese punto?.- Determin los vlores máimo y mínimo bsolutos de ls unciones que se indicn, en los intervlos correspondientes: () = -en [-, ] g () = - -8en [-, ] h () = sen en [ p /, 4 p /].- Aplic, si es posible, el teorem de Rolle ls unciones que se indicn, en los intervlos correspondientes: () = - + 8, en [-,] g () = tg, en [, 0 p] h () = , en [- 7, 0] j () = cos, en [, 0p].- Pr cd un de ls unciones e intervlos [ b,] que se indicn continución, se cumple () = b () y, sin embrgo, no eiste ningún Œ( b,) tl que ( ) = 0. Eplic en cd cso por qué no se contrdice el teorem de Rolle: ) ( ) =, en [-, ]. ) ( ) = -, en [-, ] ÏÔ + b + si < 4.- L unción: () = Ì ÓÔ c + si cumple ls hipótesis del teorem de Rolle en el intervlo [0, 4]. Hll, b y c y determin en qué punto(s) se veriic lo segurdo por el teorem..- Si l derivd de un unción () es positiv en todo punto ŒR, pueden eistir dos puntos, b Œ R tles que: ( ) = b ( )? Demuestr que = 0 es l únic ríz rel de l ecución = Siendo () = ( + )( + ) ( +, ) demuestr que l ecución () = 0 tiene tres ríces reles. 8.- L ecución e = + tiene un ríz rel en = 0. Demuestr que es l únic. Ï + si < 9.- Determin los vlores de y b tles que l unción: () = Ì Ó b si cumpl ls hipótesis del teorem del vlor medio en el intervlo [0, 8]. En qué punto(s) se veriic l tesis?

19 Funciones derivbles 0.- Determin un punto en el que se veriique el teorem del vlor medio en el intervlo [, 8] pr l unción: () = log. p p.- Determin un punto en el que se veriique el teorem del vlor medio en el intervlo [, ] 4 pr l unción: () = sen..- Aplic, si es posible, el teorem del vlor medio ls unciones que se indicn, en los intervlos correspondientes: () = en [-, ] g () = - en [-, ]..- Clcul un vlor proimdo, hst l segund cir deciml, de 7, hciendo uso del teorem del vlor medio. 4.- Aplic, si es posible, el teorem de Cuchy ls unciones que se indicn, en los intervlos correspondientes: () = +, g () = - en [, ].- Clcul los siguientes límites: () = sen, g () = cos en [ 0, p / ] lím lím sen - cos lím p tg Ê ˆ tg( + )- Á lím 4 Ë sen ln lím ln( + ) Æ0 Æ0 Æ Æ0 Æ0 Æ + 8 lím ( - ) lím lím Æ Æ- Æ0 Æ0 Æ0 Æ 0 lím È e e - e - Í Î - Ê ˆ Á Ë- cos sen - lím ln lím sen lím (cos 4) - tg Ê 4 ˆ tg lím Á - lím lím e e Ë - cos - - tg - Æ 0 Æ 4 Æ Represent gráicmente l unción: p () = Cuánts ríces reles tiene el polinomio p ()? 7.- Represent gráicmente ls siguientes unciones: ( - ) ( + ) - + e sen + cos ( - ) ln ln ln( - 4) e ( - ) ( - ) sen sen