1 0 4/ 5 13/

Transcripción

1 / 5 13/ 5 R1 R 1+1/5R R2 R Como la matriz tiene un renglón (0, 0, 0, 2) indica que el sistema no tiene solución ya que no existe un número que sea 2 y al mismo tiempo sea cero. Ejercicio 3 1. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan. Explica. a) x1 x2 x3 7 4x1 x2 5x3 4 2x 2x 3x b) 3x1 6x2 6x3 9 2x1 5x2 4x3 6 5x 28x 26x c) x1 2x2 3x3 11 4x1 x2 x3 4 2x x 3x Matriz inversa y matriz adjunta En esta sección definiremos dos tipos de matrices muy importantes que son básicas en la teoría de matrices y que nos son útiles para la solución de sistemas de ecuaciones. Comencemos con un ejemplo sencillo: Sean A = 1 3 y B = 1 2, obtengamos los productos AB y BA AB = y BA = , por lo tanto podemos decir que AB = BA = I 2, donde I 2 = es la matriz identidad de 22. A la matriz B se le llama matriz inversa de A y se denota B=A 1. 79

2 Unidad 2 Definición 2.7. Sean A y B dos matrices de orden nn que satisfacen AB = BA = I donde I es la matriz identidad de orden nn, entonces B se llama matriz inversa de A y se denota por A 1. De donde se tiene que AA 1 = A 1 A = I. En este caso se dice que A es invertible. Así como toda matriz, también existen propiedades para la matriz identidad e inversa. Teorema 2.1. Propiedad de la matriz identidad. Sean A una matriz de orden nn e I la matriz identidad de orden nn, entonces AI = IA = A Teorema 2.2. Propiedades de las matrices invertibles. Sean A y B dos matrices invertibles de orden nn, entonces 1. La inversa es única. 2. (A 1 ) 1 = A 3. (AB) 1 = B 1 A 1 En este momento nos podemos hacer las siguientes preguntas: 1. Todas las matrices cuadradas tienen inversa? 2. Qué matrices tienen inversa? 3. Si una matriz tiene inversa, cómo se puede calcular? En esta parte vamos a contestar esas preguntas. Comenzaremos con el caso de Consideremos la matriz A = 4 5 y vamos a suponer que es invertible. Sea A 1 x y = z w, entonces debe satisfacer que AA 1 = I, por lo tanto: 80

3 2 3 AA 1 = x y x z y w z w 4x5z 4y5w Recordemos que dos matrices son iguales si todas sus entradas lo son, por lo cual 2x 3z = 1; 4x + 5z = 0; 2y 3w = 0; 4y + 5w = 1. Con esto se forman dos sistemas de ecuaciones lineales: 2x3z 1 2y3w0 y y para resolverlos vamos a escribirlos en 4x5z 0 4y5w1 la forma matricial aumentada: y Al 1 0 x reducirlas obtendremos los resultados 0 1 z y 1 0 y 0 1 w Como la matriz original es la misma para ambos sistemas, podemos realizar la reducción por renglones al mismo tiempo considerando la 2 0 nueva matriz aumentada al hacerlo obtendremos 1 0 x y 0 1 z w 2 0 R1 12 / R 1 3/ 2 1/ R2R24R / 2 1/ 2 0 R R 1 0 5/ 2 3/ R R / R x z y w De donde obtenemos las soluciones x = 5/2; z = 2; y = 3/2; w = 1 5/ 2 3/ 2 Entonces A es invertible y su inversa es A 1 = 2 1 Este ejemplo nos ilustra un procedimiento para encontrar la matriz inversa que siempre funciona y que se puede generalizar a matrices de orden nn. 81

4 Unidad 2 Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A 1. Se escribe la matriz aumentada ( A I ). 2. Se utiliza la reducción por renglones para poner la matriz A en su forma escalonada reducida por renglones. 3. Se decide si es invertible. a. Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad I, entonces A 1 es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical. b. Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible. Ejemplo Sea A = 2 4 vamos a determinar si es o no invertible R2 R2 2R Como tiene un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, A no es invertible Sea A = 4 5 6, vamos a determinar si es o no invertible, y si lo 2 es encontrar A / R1 12R / / R2R 2 4R R21/3R2 R3R33R /

5 1 2 / / 6 2/ / / 3 0 R3R 3 + 5R / / 3 0 R1R12R / / 6 5/ / 3 7/ R31R / / 3 0 R2R22R3 R1R 1 + R / 6 5/ / 3 7/ / 1/ / 6 5/ 8/ 3 7/ De donde obtenemos la matriz inversa A 1 = 13/ 1/ 3 2 (*) 11/ 6 5/ / 3 7/ Verificación: AA 1 = / 1/ / 6 5/ Nota: Es importante verificar que AA 1 = I. Veamos algunos resultados importantes acerca de las matrices inversas. Teorema 2.3. Sea A una matriz de orden nn. Entonces A es invertible, si y sólo si, det A 0 Ejemplo 9 1. Consideremos la matriz del ejemplo anterior: A determinante. sabemos que es invertible, vamos a calcular su det A = ( 10 6) 4( 8 18) + 6(4 15) =

6 Unidad 2 det A 0 2. Consideremos la matriz A = det A = = 0 y y calculemos su determinante R2 R2 2R invertible. por lo tanto no es Vamos ahora a dar la definición de otra matriz importante en nuestra búsqueda de matrices inversas. Recordemos lo que son los cofactores de una matriz A (Definición 1.22) i j Aij 1 Mij Si A = entonces sus cofactores son 2 A 11 = 5 6 = 10 6 = 16 A = 4 6 = ( 8 18) = A 13 = 4 5 = 4 15 = 11 A 21 = = ( 8 6) = 14 A 22 = = 4 18 = 22 A 23 = 2 4 = (2 12) = 10 A 31 = = = 6 A = = (12 24) = 12 A 33 = 2 4 = = Con estos cofactores haremos una matriz de orden 33 de tal manera que obtendremos una matriz B: B Habiendo calculado esta matriz podemos definir lo siguiente: 84

7 Definición 2.8. Sea A una matriz de orden nn y sea B la matriz formada por los cofactores de A. Entonces la adjunta de A, que se denota adj A es la transpuesta de la matriz B, es decir: A11 A21 An 1 A A A adj A = B T n2 = A1 n A2n A nn Ejemplo Vamos a encontrar la adjunta de A Sea B la matriz de los cofactores de A. A11 A12 A B = A21 A22 A A31 A32 A entonces adj A =B T = Ya con estos elementos podemos encontrar la inversa de una matriz usando su determinante y su matriz adjunta como nos lo indica el siguiente teorema. Teorema 2.4. Si A es una matriz de orden nn invertible. Entonces A 1 = 1 det A adja Ejemplo 11 Usaremos la matriz anterior A = inversa y vamos a calcular su 85

8 Unidad 2 det A = = 2( 10 6) 4( 8 18) +6(4 15) = = 6 entonces A 1 = 1 6 adj A = = 8/ 3 7/ 13/ 1/ / 6 5/ Nota que esta matriz inversa ya la habíamos obtenido con el método de Gauss-Jordan.* Observación: Este teorema refuerza el resultado acerca de que una matriz invertible necesariamente debe tener un determinante distinto de cero. Ejercicio 4 1. Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el método de Gauss- Jordan. En caso de que no exista la matriz inversa, indica la razón: a) b) c) d) e) Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el método de la matriz adjunta. Recuerda calcular primero el determinante para ver si existe o no. * En este momento ya tenemos dos métodos para calcular la matriz inversa, sin embargo, podemos notar que si n > 3, en general es más fácil calcular A 1 con el método de la reducción por renglones que usando la matriz adjunta, pues aun en el caso de 44 tenemos que calcular 17 determinantes. 86

9 a) b) c) Solución de sistemas de nn, mediante la matriz inversa En esta sección encontraremos la solución de un sistema de ecuaciones de nn mediante la matriz inversa. El siguiente resultado nos da una pista acerca de cómo encontrar la solución de un sistema si la matriz de coeficientes asociada es invertible. Teorema 2.5. Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones de orden nn. Entonces se cumplen las siguientes condiciones: A es invertible. El sistema Ax = b tiene una solución única que es x = A 1 b El sistema homogéneo asociado Ax = 0 tiene una solución única que es x = 0 Ejemplo 12 Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones: 2x4y3z 1 y z 2 formamos la matriz de coeficientes A = 3x5y7z Vamos a ver si A es invertible, para eso calculamos su determinante: det A = = 2(7+5) ( 4 3) =