Tema 7: ÁLGEBRA DE MATRICES

Transcripción

1 ÁLGER DE MTRICES

2 Tem : ÁLGER DE MTRICES Índice. Concepo de mriz... Definición de mriz... Clsificción de ls mrices... Tls, grfos y mrices.. Operciones con mrices... Sum de mrices... Muliplicción de un número por un mriz... Produco de mrices... Mriz invers.. Rngo de un mriz.

3 . CONCEPTO DE MTRIZ... Definición de mriz. En l resolución de muchos prolems lgericos es necesrio uilizr grn cnidd de informción numéric. Pr mnejr de form más rápid y sencill dich informción disponemos de un herrmien memáic, ls mrices. Se r de uno de los elemenos más impornes del Álger linel. El nomre se dee l memáico inglés Jmes J. Sylveser (8-89), queriendo indicr que ern ls "mdres" de los deerminnes. L eorí de mrices fue desrrolld por rhur Cyley (8-89) y por Willim Hmilon (8-8) Los lumnos mriculdos en un Cenro de Secundri esán disriuidos de l siguiene mner: º ciclo º ciclo chill. Chicos Chics Esos dos, presendos en form de l, se pueden mosrr de mner más esquemáic Es form de represenr un informción recie en memáics el nomre de mriz. Se llm mriz un disposición recngulr de números o expresiones ordendos en fils y columns. Se r de esquems de diferenes siuciones que ienen en común el ser lineles.

4 L noción que se sigue es l siguiene: : m : m : n n : mn De form que el érmino ij represen l número o expresión que ocup en l fil i y l column j. sí, en l mriz nerior, enemos =, =, = ec. Los érminos ii formn l digonl principl. L mriz comple se puede represenr mién como ij, represención que no dee confundirse con l neriormene vis pr un elemeno de l mriz, ij. Dos mrices y son igules cundo ienen igules odos sus elemenos: ij ij i, j Como consecuenci pr que dos mrices sen igules es necesrio que engn el mismo número de fils y el mismo número de columns L mriz del ejemplo iene dos fils y res columns, se dice que es un mriz de dimensión u orden x El número de fils y columns de un mriz se llm orden o dimensión de l mriz y se represen como mxn, siendo m el número de fils y n el número de columns. Cundo el número de fils coincide con el número de columns decimos que enemos un mriz cudrd de orden n. Si muliplicmos el número de fils de un mriz por el número de columns oenemos el número de érminos (mño) de l mriz. En el ejemplo, el número de elemenos es x=.

5 Cundo un mriz esá formd por un sol fil se dice que es un mriz fil, si esá formd por un sol column, se r de un mriz column. Mriz fil: - Mriz column: Un cso priculr de mriz es quell en l que odos sus elemenos son cero, se r de l mriz nul. Por ejemplo l mriz nul de orden es l mriz: Mriz rspues Si en l mriz con l que represenámos ls mriculciones de un Cenro de Secundri inercmimos fils por columns, oenemos l mriz: que es l mriz rspues de l mriz y que se represen como que. Se verific

6 Ejercicio resuelo: Escrie l mriz rspues de l mriz Clsificción de ls mrices. L clsificción que relizmos quí se refiere sólo mrices cudrds y no es plicle mrices recngulres. nes de comenzr con l clsificción vmos definir dos elemenos impornes en od mriz cudrd, se r de l digonl principl y de l digonl secundri. En ls siguienes mrices, l mriz iene mrcdos los elemenos que formn l digonl principl, mienrs que en l mriz figurn mrcdos los elemenos que formn l digonl secundri. L digonl principl de un mriz cudrd es el conjuno consiuido por odos los elemenos de l form ii. L digonl secundri es el conjuno compueso de odos los elemenos de l form ij con i j n

7 Consideremos ls siguienes mrices de orden : ms mrices se crcerizn porque odos los elemenos por dejo (en el cso de ) o por encim (en el cso de ) de l digonl principl son nulos, decimos que se r de mrices ringulres. es un mriz ringulr superior y es un mriz ringulr inferior. Decimos que un mriz dd es ringulr superior, cundo odos los elemenos siudos por dejo de l digonl principl son nulos. Decimos que un mriz dd es ringulr inferior, cundo odos los elemenos siudos por encim de l digonl principl son nulos. Ejercicio resuelo: De ls siguienes mrices, indic cuáles son ringulres y cuáles no. ) ) c) d) ) Tringulr superior ) No es ringulr c) Tringulr inferior d) Tringulr inferior

8 Oservs lgun relción enre los elemenos de ls siguienes mrices? ) ) En el cso de l primer mriz oservmos que los elemenos siméricos con respeco l digonl principl son igules, decimos que es un mriz siméric Llmmos mriz siméric od mriz cudrd l que. Si un mriz es siméric, se verific que ij ji En l segund mriz oservmos que los elemenos siméricos respeco l digonl principl son igules en vlor soluo pero de signo conrrio, enemos un mriz hemisiméric o nisiméric Llmmos mriz nisiméric o hemisiméric od mriz cudrd l que ij ji. Como consecuenci de es definición, l digonl principl de un mriz nisiméric esá formd por ceros. En un mriz nisiméric se cumple que Ls siguienes mrices: se crcerizn por ener nulos odos los elemenos que no perenecen l digonl principl, decimos que son mrices digonles. Llmmos mriz digonl od mriz cudrd, en l que odos los elemenos que no perenecen l digonl principl son nulos, es decir, i j ij Cundo en un mriz digonl, los elemenos de l digonl principl son odos igules, decimos que enemos un mriz esclr. Por ejemplo:

9 8 Si demás, esos elemenos son igules l unidd, enemos l mriz unidd o idenidd, que represenmos por I n, donde n indic el orden de l mriz. I I I.. Tls grfos y mrices. Ls mrices se pueden empler pr lmcenr odo ipo de informción, pr descriir relciones, pr el esudio y resolución de sisems de ecuciones y son usds con frecuenci en Sociologí, Economí, Psicologí, ec. L informción que se nos proporcion en un l puede represenrse en form de mriz Ejemplo: L disriución de vimins en grmos de dos producos y viene dd por l siguiene l: Vimin,, Vimin,, Clcio,, Es informción se puede represenr en culquier de ls siguienes mrices:

10 Ejercicio resuelo:,,,,, M,, N,,,,, Un cden de supermercdos disriuye dos mrcs de cervez de imporción, lsen eer () y ergenräu (). L cden posee res eslecimienos X, Y, Z en cier ciudd. Ls vens de un deermindo dí, en miles de peses vienen dds por l siguiene l: X Y Z,,,, Escrie un mriz que represene l informción conenid en dich l. L mriz correspondiene será:,,,, o,,, L siguiene l muesr l disnci, en Km, que seprn polciones de l isl de Iiz. I J G Iiz (I) 8 8 S. José (J) 9 S. nonio () 8 9 Pun Gler 8 Es l de disncis l podemos represenr con l siguiene mriz: 9

11 D Sin emrgo, no ods ls ciuddes esán conecds enre si. Ls conexiones reles enre ls disins polciones vienen dds por el siguiene esquem: I G J Ese ipo de represención se llm grfo. Esá formdo por un conjuno de nudos (o punos nodles), unidos por segmenos llmdos rms o conexiones. prir del grfo podemos oener l mriz de comunicción o mriz coneciv, de mner que en es mriz represenmos con un el cruce de fil y column correspondienes punos que se encuenrn comunicdos y con un cero cundo no exise comunicción. L mriz correspondiene l grfo nerior serí: I J G I J G C Podemos oservr que l mriz resulne es un mriz siméric. Srís decir por

12 qué?, Ocurrirá siempre eso?. Ejemplo: Ls comunicciones exisenes enre ls plzs,, C y D de un loclidd, vienen resumids en el siguiene grfo. L mriz coneciv que represen dicho grfo es l siguiene: M Cundo esudiemos ls operciones con mrices, veremos qué significdo ienen mrices como M o M M. OPERCIONES CON MTRICES... Sum de mrices. Pr inroducir es operción comenzremos con un sencillo ejemplo suponiendo dos mrices cudrds de orden. y C D

13 L sum de ess mrices es or mriz C de orden, en l que cd elemeno se oiene sumndo los correspondienes de y. Por ejemplo el elemeno c se oiene sumndo los elemenos y (c = + =-+=), enemos enonces: C En generl: L sum de dos mrices =( ij ) y =( ij ), del mismo orden (mxn), es or mriz C=(c ij ) del mismo orden, l que c ij = ij + ij Ejercicio resuelo: Dds ls mrices: 9 y, C Clcul + y ++C L úlim mriz oenid en el ejercicio nerior es l mriz nul. Propieddes: ) Propiedd conmuiv: +=+ ) Propiedd sociiv: +(+C)=(+)+C c) d) Elemeno neuro: El elemeno neuro pr l sum de mrices es l mriz nul. 9 C

14 e) Elemeno opueso: Dd un mriz, definimos l mriz opues de, que represenmos por, como quell mriz que cumple +(-)=. Teniendo en cuen l definición de sum de mrices, y que éss pueden esr formds por números reles, los elemenos de l mriz opues se oienen clculndo el opueso de cd uno de los elemenos de l mriz. Un vez definid l mriz opues, podemos clculrl diferenci de dos mrices sin más que ener en cuen que ) ( Ejercicio resuelo. Uilizndo ls mrices del ejercicio neriorclcul C 9 ( C) C.. Muliplicción de un número por un mriz. El produco de un número por un mriz es un generlizción del produco de un número por un vecor (no olvidemos que un vecor puede ser omdo como un mriz fil o como un mriz column) y sí enemos: ) ( ) ( Si en lugr de un mriz fil, enemos un mriz formd por dos fils, muliplicmos mién los elemenos de l segund fil, ec 9 El produco de un número rel c por un mriz =( ij ), es un mriz =( ij ) del mismo orden que l mriz y l que: ij ij c

15 l número c se le llm esclr. Propieddes: ( ) ) Propiedd sociiv: c c ) Propieddes disriuivs: c c c ( c h) c h c) Elemeno neuro: d) k k con k.. Produco de mrices. El produco de dos mrices sólo se puede relizr si el número de columns de l primer mriz coincide con el número de fils de l segund mriz, se dice enonces que enemos dos mrices muliplicles: El produco de l mriz =( ij ), de orden mxn, por l mriz =( ij ), de orden nxq, es l mriz ( c ij ), de orden mxq l que el elemeno de l fil i-ésim, column j-ésim viene dd por: c ij n k ik kj Ejercicios resuelos: Dds ls mrices y, clculr

16 9 Propieddes: ) No es, en generl conmuivo. ) El produco de dos mrices no nuls puede dr l mriz nul. Por ejemplo: 9 c) Elemeno neuro: El produco de mrices cudrds iene elemeno neuro, l mriz idenidd, de l form que I I. d).. Mriz invers. Dds ls mrices y, clculmos y : Oservmos que en ese cso si se cumple que, y demás, que mos producos son igules l mriz idenidd de orden. Decimos que l mriz es l

17 mriz invers de l mriz. Dd un mriz de orden n, si exise l mriz de orden n, l que I,se dice que es l mriz invers de y se represen como No siempre exise l mriz invers. Cundo un mriz iene invers, se dice que es regulr. Si l mriz no iene invers, decimos que es un mriz singulr El primer procedimieno que vmos uilizr pr el cálculo de l mriz invers es l propi definición: Dd l mriz, l mriz invers de endrá l form d c y deerá cumplir que I : d c d c d c d c d c Resolviendo el sisem oenemos ; c ; ; d, por no l mriz invers de es Oro procedimieno pr clculr l mriz invers es el méodo de Guss Como ejemplo desemos hllr l mriz invers de

18 Consruimos un mriz formd por l mriz seguid de l mriz unidd de orden I Hciendo rnsformciones similres ls que hcemos cundo resolvemos sisems por el méodo de Guss, inenremos llevr l mriz unidd l ldo izquierdo Si hor dividimos ls dos fils por 8, oenemos: 8 8 l mriz invers de será l formd por ls dos columns de l derech: 8 Vemos hor un ejemplo con un mriz de orden,

19 8 Dividimos l segund fil por -, y l ercer por -:, quedándonos pr l mriz invers de : En resumen, lo que hcemos es l rnsformción: l que si ij ij y Pr relizr dich rnsformción podremos: Muliplicr un fil por un número disino de cero. Sumr un fil or muliplicd por un número.. RNGO DE UN MTRIZ. Por su uilidd en el esudio y resolución de sisems de ecuciones lineles vmos esudir un nuevo prámero, el rngo de un mriz. El rngo de un mriz, r(), es el número de fils o columns linelmene independienes Un fil disin de cero, depende linelmene del reso de fils, si se puede expresr

20 como cominción linel de éss. Un fil de un mriz es linelmene independiene cundo no depende linelmene de ors fils de l mriz. Ejemplo: L mriz iene rngo. L segund fil se puede expresr como,ls dos fils son linelmene dependienes, y por no, sólo un fil es linelmene independiene. Ejemplo: L mriz iene rngo. L segund fil no es proporcionl l primer, ls dos fils son linelmene independienes. Ejemplo: En l mriz: l ercer fil se puede poner como cominción linel de ls dos primers,, por no ls res fils no son linelmene independienes. Si suprimimos culquier de ells, ls dos que quedn si lo son. Por no r ( ) Μéodo de Guss pr el cálculo del rngo de un mriz: Consise en rnsformr l mriz inicil en un mriz cuyos elemenos por dejo de l digonl sen ceros, uilizndo ls rnsformciones elemenles decuds. El rngo de l mriz será el número de fils no nuls que iene l mriz ringulr o esclond que hemos oenido. 9

21 Si llmmos i l fil i-ésim y j l fil j-ésim, ls rnsformciones elemenles son ls que se recogen en l siguiene l: Trnsformciones elemenles Ejemplo Inercmir dos fils. Lo represenmos i j Muliplicr odos los elemenos de un fil por un número rel no nulo k. i i k Sumr un fil los elemenos correspondienes de or fil muliplicd por un número rel, k. j i i k Ejemplo: Clcul el rngo de l mriz Como hemos oenido un mriz esclond con res fils no nuls, enonces r()=.

22 Ejemplo: Clcul el rngo de l mriz C Como nos quedn dos fils disins de cero, ) ( C r

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