Apuntes. 2º Bachillerato Matrices X.B. APUNTS MATRIUS. Prof. Ximo Beneyto

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1 Apuntes Apuntes 2º Bachillerato Matrices * Definición y tipos * Operaciones con matrices * Matriz inversa * Rango de una matriz * Propiedades * EJERCICIOS RESUELTOS Prof. Ximo Beneyto Tema : Matrices Página 1

2 MATRICES MATRIZ Definición: Llamamos matriz, a una tabla rectangular de m A n elementos de un cuerpo (K, +, A), dispuestos en filas y columnas, de la siguiente forma: A lo largo del tema tomaremos como cuerpo (K, +, A), el cuerpo de los números reales (ú, +, A), a los números que forman la matriz les llamaremos "entradas" o simplemente "elementos de la matriz", en nuestro caso serán números reales. NOTACIÓN Al conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, con elementos reales le llamamos M mxn (ú) o simplemente M mxn. Cuando m=n, decimos que la matriz es CUADRADA, notamos M n. Las matrices vienen representadas habitualmente por letras mayúsculas A, B, C, etc. y cuando hacemos mención a sus elementos, notaremos A = ( a ij ) i = 1,2,..m ; j = 1,2,..,n. Donde "i" indica el número de la fila y "j" número de la columna que ocupa el elemento.. Al producto indicado ("x") del número de filas por el número de columnas le llamamos DIMENSIÓN o TAMAÑO de la matriz, y al elemento de la misma que ocupa la posición: fila "i" columna "j" lo representamos por a ij. Tema : Matrices Página 2

3 A es una matriz: 4x3 ( Se lee cuatro por tres ) y alguno de sus elementos son: a 11 =2 a 23 = 6 a 42 = 0 * Los elementos de una matriz de la forma a ii se dice que forman la DIAGONAL PRINCIPAL de la matriz. En el ejemplo anterior, la diagonal principal sería la formada por los números, 2, 4 y 2. * Dos matrices de las mismas dimensiones se llaman EQUIDIMENSIONALES. * Dos matrices EQUIDIMENSIONALES, A y B, son IGUALES si tienen los mismos elementos y dispuestos en la misma posición en ambas matrices. * Asociado a toda matriz cuadrada tenemos su DETERMINANTE obtenido mediante reglas y propiedades que veremos más adelante, notaremos, det(a) ó * A * (No se debe confundir esta notación con el valor absoluto, sobre todo en matrices cuadradas de orden 1). TIPOS DE MATRICES * Veamos a continuación algunos de los tipos más usuales de matrices *. 1.-MATRIZ FILA También se le llama VECTOR FILA, y es una matriz 1 x n. * Las siguientes definiciones contienen conceptos que se verán más adelante (suma de matrices, producto, determinante, etc), pero se han puesto aquí para un mejor agrupamiento en la clasificación. Tema : Matrices Página 3

4 2.-MATRIZ COLUMNA También se le llama VECTOR COLUMNA, y es una matriz m x MATRIZ NULA Llamamos matriz nula mxn, a una matriz cuyos elementos son todos ceros, la representamos por O mxn. 4.- MATRIZ OPUESTA Llamamos matriz opuesta de una matriz A y notamos - A, a la matriz que obtenemos cambiando de signo todos los elementos de A. Si A = ( a ij ) Y - A = ( -a ij ) Tema : Matrices Página 4

5 5.- MATRIZ TRASPUESTA Llamamos matriz traspuesta de una matriz A y notamos A t, a la matriz que obtenemos cambiando filas por columnas en la matriz A. Si A = ( a ij ) Y A t = ( a ji ) Propiedades de la trasposición de matrices: i) (A t ) t = A ii) ( A + B) t = A t + B t iii) ( A A B ) t = B t A A t ( Si el producto AAB está definido ) iv) (a A A) t = a A A t, a0ú Observa que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal quedan invariables 6.- MATRIZ CUADRADA Llamamos matriz cuadrada, a una matriz que tiene el mismo número de filas que columnas. Al número de filas o columnas de una matriz cuadrada se le llama ORDEN de la matriz. Tema : Matrices Página 5

6 importantes: Dentro del conjunto de las matrices cuadradas, vamos a citar alguno de los tipos más 6.1 MATRIZ SIMÉTRICA Una matriz cuadrada A 0 M n es una matriz simétrica si es igual que su matriz traspuesta, es decir: A 0 M n es SIMÉTRICA ] A t = A 6.2 MATRIZ ANTISIMÉTRICA Una matriz cuadrada A 0 M n es antisimétrica si es igual que su matriz opuesta, es decir: A 0 M n es ANTISIMÉTRICA ] A t = - A Recordemos que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal permanecen invariables, así, la diagonal principal de cualquier matriz antisimétrica deberá estar formada por ceros. Propiedad: Toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz SIMÉTRICA y otra matriz ANTISIMÉTRICA de forma única ( A = ½( A+A t ) + ½( A - A t )) 6.3 MATRIZ TRIANGULAR Una matriz cuadrada A 0 M n es triangular inferior/superior si todos los elementos de la misma situados por encima/debajo de la diagonal principal son ceros. Tema : Matrices Página 6

7 6.4 MATRIZ DIAGONAL Una matriz cuadrada A 0 M n es diagonal, si todos sus elementos son nulos excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal. 6.5 MATRIZ UNIDAD Llamamos matriz unidad de orden n y notamos I n, a la matriz diagonal, cuya diagonal está formada por unos, y el resto de elementos son ceros Tema : Matrices Página 7

8 6.6 MATRIZ REGULAR Una matriz cuadrada A 0 M n, es regular, si su determinante es distinto de cero. A 0 M n es regular si det(a) 0. [Las matrices regulares tienen gran importancia en el estudio matricial y sus aplicaciones, al ser las únicas que admiten matriz inversa ] 6.7 MATRIZ SINGULAR Una matriz cuadrada A 0 M n, es singular, si su determinante es cero. A 0 M n es singular si det(a) = 0. Tema : Matrices Página 8

9 6.8 MATRIZ INVERSA Dada una matriz regular A 0 M n ( det(a) 0 ), llamamos matriz inversa de A y notamos A -1 a la única matriz de M n, que cumple: A A A -1 = A -1 A A = I n Propiedades de la inversión de matrices: i) ( A -1 ) -1 = A ii) ( A A B ) -1 = B -1 A A -1 iii) ( I ) -1 = I iv) ( A t ) -1 = ( A -1 ) -t v) ( 8A) -1 = 8A MATRIZ ORTOGONAL Una matriz cuadrada A, es ortogonal, si su inversa coincide con su traspuesta A -1 = A t Tema : Matrices Página 9

10 6.10 MATRICES SEMEJANTES Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A,B, SEMEJANTES, si existe una matriz regular P / decimos que A y B son B = P -1 A A A P. Propiedades: Si A y B son matrices SEMEJANTES Y i) Tienen el mismo determinante. ii) Tienen el mismo rango. iii) Tienen el mismo polinomio característico MATRIZ ADJUNTA Dada una matriz A, llamamos matriz adjunta de A, y notamos adj(a), a la matriz que se obtiene reemplazando cada elemento de la matriz A, por el determinante que resulta de suprimir la fila y la columna en la que se encuentra el elemento a ij, multiplicado por (-1) i+j. Notamos A ij al adjunto de a ij en la matriz A. Tema : Matrices Página 10

11 En particular, empleando esta matriz, podemos definir la matriz inversa A -1 = adj(a t )/det(a), como veremos más adelante. OPERACIONES CON MATRICES A lo largo de este punto, vamos a DEFINIR las operaciones en el conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, M mxn, con elementos en el cuerpo (ú, +, A). 1. SUMA DE MATRICES Sean A = ( a ij ) 0 M mxn y B = ( b ij ) 0 M mxn, definimos la SUMA DE MATRICES A + B, a la matriz A+B = ( a ij + b ij ) 0 M mxn. Es decir, la suma de dos matrices se efectúa sumando los elementos de ambas matrices situados en la misma posición. Obviamente, solo podemos sumar entre sí matrices EQUIDIMENSIONALES. Tema : Matrices Página 11

12 PROPIEDADES: 1. ASOCIATIVA ( A + B ) + C = A + ( B + C ). œ A, B, C 0 M mxn 2. CONMUTATIVA A + B = B + A œ A, B 0 M mxn 3. ELEMENTO NEUTRO œ A 0 M mxn O 0 M mxn / A + O = O + A = A. ( Pues claro!! la matriz nula de M mxn.) 4. ELEMENTO SIMÉTRICO œ A 0 M mxn (-A) 0 M mxn / A + (-A) = (-A) + A = O ( Sí, sí, la matriz opuesta ) Cumpliendo estas cuatro propiedades de la ley de composición interna (Suma de matrices), el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de GRUPO ABELIANO. ( M mxn, + ) GRUPO ABELIANO ( o Grupo Conmutativo ) PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ Sea A = ( a ij ) 0 M mxn y k 0 ú Definimos el PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ kaa kaa = ( ka a ij ) 0 M mxn Es decir, el producto de un número real por una matriz (en este orden), se efectúa multiplicando por dicho número todos los elementos de la matriz. ( Nota: Observa que hemos definido ka A y no A Ak, con lo cual, un producto tipo AA ( ka v ) debemos expresarlo como ka (A A v) ) PROPIEDADES 1. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO POR UN NÚMERO RESPECTO DE LA SUMA DE MATRICES a A ( A + B ) = a A A + a A B œ A, B 0 M mxn y œ a 0 ú Tema : Matrices Página 12

13 2. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA EN ú RESPECTO DEL PRODUCTO DE UN NUMERO POR UNA MATRIZ ( a + b ) A A = a A A + b A A œ A 0 M mxn y œ a, b 0 ú 3. ASOCIATIVIDAD MIXTA.. a A ( b A A ) = ( a A b ) A A œ A 0 M mxn y œ a, b 0 ú 4. NEUTRALIDAD.. 1 A A = A œ A 0 M mxn y 10 ú Por consiguiente, si consideramos las propiedades de la ley de composición interna (SUMA DE MATRICES) junto con las de la ley de composición externa ( PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ ) obtenemos que el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL REAL. ( M mxn (ú), +, A ) tiene estructura de Espacio Vectorial Real Tema : Matrices Página 13

14 3. PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices cualesquiera A, B no siempre se pueden multiplicar, debemos imponer unas condiciones dimensionales para que el producto de las mismas sea factible. Dos matrices: A 0 M mxn, A = ( a ij ) y B 0 M nxp, B = ( b jk ), se pueden multiplicar en este orden,si la matriz A tiene el mismo número de columnas que filas tiene B En este caso definimos el producto de matrices: AAB (En este orden ), de la siguiente forma: El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, aunque se puedan multiplicar AAB y BAA, el resultado no siempre es el mismo. En particular, cuando tomamos el producto de matrices sobre M n, es decir, matrices CUADRADAS, todas las matrices se pueden multiplicar entre sí, cumpliéndose las propiedades: I. PROPIEDAD ASOCIATIVA (A A B) A C = A A (B A C) œ A, B, C 0 M n Tema : Matrices Página 14

15 II. ELEMENTO NEUTRO œ A 0 M n, I 0 M n / A A I = I A A = A Y junto con la suma de matrices definida anteriormente: I. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA RESPECTO DEL PRODUCTO (A+B)AC = AAC+BAC œ A, B, C 0 M n II. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA AA(B + C) = AAB + AAC œ A, B, C 0 M n Que junto con las propiedades que ya conocemos de la SUMA DE MATRICES: ( M n, +, A ) tiene estructura de ANILLO UNITARIO y no CONMUTATIVO. [ No debes confundir el producto (A) de Matrices con el producto por un número real (A), a pesar de que empleemos el mismo símbolo]. POTENCIA n.sima DE UNA MATRIZ Como aplicación del producto de matrices, dada una matriz cuadrada, A, podemos hallar potencias sucesivas de la misma multiplicando por sí misma esta matriz tantas veces como indique el exponente, así: A 2 = A A A, A 3 = A A A A A = A 2 A A, etc. En ocasiones, podemos encontrar una relación entre A n y sus elementos mediante una fórmula, lo cual nos da lugar a la potencia n.sima de una matriz. Tema : Matrices Página 15

16 MATRIZ INVERSA Dada una matriz regular ( det(a) 0 ), A 0 M n, decimos que A es una matriz INVERTIBLE ( o que tiene matriz inversa), si existe una matriz A -1 0 M n, : / A A A -1 = A -1 A A = I n. Para obtener la matriz A -1, hay varios procedimientos ( Método de Gauss, Lange- Gale, etc. ), en este apartado, vamos a obtener la matriz inversa tal como definimos en la introducción. Inversa = Adjunta de la traspuesta dividida por el determinante. En la práctica consideraremos invertibles aquellas matrices cuyo determinante sea distinto de cero (Matrices regulares). Tema : Matrices Página 16

17 Podemos establecer, pues, el proceso de cálculo de la matriz inversa Tema : Matrices Página 17

18 Aplicaciones: Resolviendo una ecuación matricial con la matriz inversa Ejemplo : Dadas las matrices A, B, C 0 M n,todas ellas regulares, hallar la matriz X 0 M n / A A X A B A C -1 = BAA Paso a paso : A A X A B A C -1 = B A A ( Multiplicamos por A -1 (izquierda) ) A -1 A A A X A B A C -1 = A -1 A B A A ( Ordenamos ) X A B A C -1 = A -1 A B A A ( Multiplicamos por C (derecha) ) X A B A C -1 A C = A -1 A B A A A C ( Ordenamos ) X A B = A -1 A B A A A C ( Multiplicamos por B -1 (derecha) ) X A B A B -1 = A -1 A B A A A C A B -1 ( Ordenamos ) X = A -1 A B A A A C A B -1 SOLUCIÓN : X = A -1 A B A A A C A B -1 A primera vista, da la impresión de poderse simplificar aún más el resultado, pero, al no poder colocar las matrices en el orden deseado para multiplicarlas, debido a la no conmutatividad del producto de matrices, hemos de dejarlo así. Fundamental: El lado por el cual multiplicamos la matriz correspondiente en la ecuación Tema : Matrices Página 18

19 RANGO DE UNA MATRIZ Llamamos rango de una matriz dada A 0 M mxn, al número de vectores fila/columna linealmente independientes que forman parte de la matriz. Notaremos el RANGO de una matriz A: Rang(A), Rg(A), R(A). En lo sucesivo emplearemos Rang(A). Propiedades: i. El RANGO de una matriz no varía si a una fila/columna le sumamos otra u otras filas/columnas multiplicadas por constantes. ii. El RANGO de una matriz no varía si cambiamos sus filas por sus columnas ( Rango (A) = Rango (A t ) ) iii. El RANGO de una matriz es el ORDEN DEL MAYOR MENOR no nulo de la matriz A. iv. El RANGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna de ceros. v. El RANGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna que sea combinación lineal de otras filas/columnas. Tema : Matrices Página 19

20 MÉTODOS DE CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ 1) Método del PIVOTE 2) Método de MENORES ORLADOS 1) MÉTODO DEL PIVOTE Utilizando las propiedades mencionadas más arriba, el método del pivote consiste en ir efectuando transformaciones elementales en las filas de la matriz mediante combinaciones lineales entre ellas para conseguir una matriz más sencilla del mismo rango. De forma práctica, haremos ceros los elementos de la matriz situados por debajo de la diagonal principal, pivotando sobre los elementos a 11, a 22, así sucesivamente. El Rango de la matriz será el número de filas con algún elemento no nulo una vez finalizado e interpretado el proceso. No hay prácticamente limitaciones al establecimiento de combinaciones lineales entre filas/columnas, salvo multiplicar o dividir por cero, aunque tomaremos el mismo consejo del cálculo de determinantes : Efectuar una transformación muy ordenada de la matriz por filas y empezando por la primera. Eso sí, tantas veces como haga falta, podemos permutar la posición de las filas, sin alterar el valor del RANGO de la matriz. Tema : Matrices Página 20

21 Observa con detalle los siguientes ejemplos Tema : Matrices Página 21

22 2) MÉTODO DE MENORES ORLADOS Se apoya este método en ir buscando progresivamente el número de filas linealmente independientes que forman parte de la matriz de una forma ordenada y a la vez eficaz. Recordemos que un MENOR de una matriz cuadrada A 0 M n, es un determinante que se construye a partir de los elementos de la matriz, suprimiendo filas y columnas en ésta. El ORDEN de un MENOR, es el número de filas/columnas que tiene. Si un MENOR es distinto de cero, entonces las filas que forman parte del mismo son Linealmente Independientes. Dado un MENOR de orden "n", entenderemos por MENOR ORLADO de dicho MENOR, a un MENOR de orden "n+1" obtenido a partir de éste añadiendo elementos de una fila y una columna de la matriz. Tema : Matrices Página 22

23 Puesto que hemos definido el rango de A como el ORDEN del mayor MENOR NO NULO de la matriz A, vamos a organizar la búsqueda de uno MENOR que marque el RANGO de la matriz. Claro!!!, sin indicar un camino de búsqueda, localizar el mayor MENOR distinto de cero, nos puede llevar a un interminable "paseo" entre los menores de la matriz, hasta conseguir el mayor de ellos no nulo. Pensemos en una matriz 3x6, por ejemplo, en la que habría que analizar 20 MENORES de orden 3. MENORES ORLADOS (M.M.O.) 1. Si la MATRIZ es CUADRADA Hallar su DETERMINANTE y : 1.1 Si el determinante es distinto de cero Y El orden de la matriz es el RANGO de la misma. 1.2 Si el determinante vale cero Y Empezar el proceso de orlación. 2. Si la matriz no es cuadrada ( Proceso de ORLACIÓN ) 2.1 Seleccionar un MENOR de ORDEN 2, no nulo ( Si no es posible, el rango será 1 ó 0 ) 2.2 Efectuar mediante ORLACIÓN, todos los MENORES de orden Si todos son NULOS Y El RANGO será Si alguno es NO NULO Y El RANGO será mayor o igual que tres. 2.3 Efectuar mediante ORLACIÓN del MENOR de orden 3,no nulo, todos los MENORES de orden 4. Tema : Matrices Página 23

24 2.3.1 Si todos son nulos Y El RANGO es Si alguno es NO NULO Y El Rango es mayor o igual que 4 Y así sucesivamente. Para matrices de grandes dimensiones ésta técnica puede resultar un poco engorrosa y tal vez sea conveniente emplear el método del PIVOTE, aunque en cualquier discusión del rango de una matriz en la que intervengan parámetros, es, con mucho, más rigurosa y eficaz, al hacer depender el RANGO de la matriz de los MENORES ORLADOS exclusivamente. Como la matriz es cuadrada, tal como sugerimos, hallamos su determinante: det(a) = a 3-3a + 2. Veamos qué valores lo anulan. a 3-3a + 2 = 0, aplicando la regla de Ruffini nos da : a = 1 ( raíz doble ) a = -2 ( raíz simple ) Obviamente si a 1, -2 Y det(a) 0 y, por tanto Rang(A) = 3 Si a = 1. Tema : Matrices Página 24

25 Sustituyendo en la matriz nos queda: Si a = -2. Sustituyendo en la matriz: [ No habiendo necesidad de calcular el determinante de orden 3 ] Y ordenando la solución, tenemos: Si a = 1 Y Rang(A) = 1 Si a = -2 Y Rang(A) = 2 Si a 1, -2 Y Rang(A) = 3 CONEXIÓN MATRICES/ESPACIO VECTORIAL 1.1 Análisis de la dependencia lineal de un Sistema de Vectores. Sea ( R n (R), +, A ), y un Sistema de vectores, sean las matrices columna formadas con las componentes de cada vector. Si llamamos A = (v 1 v 2... v p ) a la matriz cuyas columnas/filas son las matrices anteriores, el rango de la matriz nos indica el número máximo de vectores del Sistema linealmente independientes, y el MENOR que determina el rango, nos indica cuales de ellos, por ejemplo, son. Puesto que según tomemos un MENOR u otro tendremos unos vectores u otros. Obviamente, la matriz con las componentes se puede considerar por filas o columnas, pues el rango es el mismo. Tema : Matrices Página 25

26 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Sea A una matriz cuadrada de orden n, A 0 M n, idempotente (A 2 = A), demostrar que la matriz B = 2A - I, siendo I la matriz unidad de orden n, I 0 M n es inversa de sí misma. Si A es una matriz IDEMPOTENTE Y A 0 M n y A 2 = A. Para probar que la matriz B es INVERSA de sí misma, recordemos que la matriz inversa de una matriz dada es la única matriz que multiplicada por derecha ó izda. por la matriz nos da la matriz unidad. Hallemos B A B. BAB = ( 2A - I )A ( 2A - I ) = 4 A 2-2 AAI - 2 AI + I 2 = 4 A - 4 A + I = I Y B es la matriz Inversa de sí misma. [ Observa que : B A B = I Y det (BAB) = det I Y det B A det B = 1 Y det B = ±1 y, por tanto, B es Regular ] Tema : Qüestións Resoltes de Matrius Pàgina 26

27 Ximo Beneyto 2.- Se llama Traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de la diagonal principal. Sean A, B M 3, probar que : traza ( A+B ) = traza (A) + traza (B) traza ( AAB) = traza ( BAA ) [ Nota : Es un ejercicio particularizado a n = 3 pues la propiedad se cumple en M n ] Sean A, B 0 M 3, recordemos que la traza de una matriz es la SUMA de los elementos situados en la DIAGONAL PRINCIPAL. y traza de A = a 11 + a 22 + a 33 ; traza de B = b 11 + b 22 + b 33 A+B = => traza de A+B = a 11 + b 11 + a 22 + b 22 + a 33 + b 33 Y traza ( A+B ) = traza(a) + traza (B). Y traza ( AAB) = a 11 b 11 +a 12 b 21 +a 13 b 31 +a 21 b 12 +a 22 b 22 +a 23 b 32 +a 31 b 13 +a 32 b 23 +a 33 b 33 Y Tema : Qüestións Resoltes de Matrius Pàgina 27

28 Ximo Beneyto traza ( BAA ) = b 11 a 11 +b 12 a 21 +b 13 a 31 +b 21 a 12 +b 22 a 22 +b 23 a 32 +b 31 a 13 +b 32 a 23 +b 33 a 33 traza ( B A A ) = traza ( A A B ) 3.- Probar que si A y B M n son matrices invertibles Y A A B también lo es y (AAB) -1 = A -1 AB -1 Si A 0 M n es INVERTIBLE Si B 0 M n es INVERTIBLE A -1 / A -1 A A = A A A -1 = I n (I) B -1 / B -1 A B = B A B -1 = I n (II) Sea la matriz B -1 A A -1 cuya existencia garantizan (I) y (II) < (AAB) A (B -1 AA -1 ) = ( Propiedad Asociativa) = AA( B A B -1 ) A A -1 = A A I A A -1 = A A A -1 = I. < (B -1 AA -1 )A (AAB) = ( Propiedad Asociativa) = B -1 A( A -1 A A ) A B = B -1 A I A B = B -1 A B = I. Por consiguiente, B -1 AA -1 es la matriz inversa de AAB Y ( AA B ) -1 = B -1 A A Probar que si A M n, es regular, y AAB = AAC Y B = C. Recordemos que A 0 M n es regular si A -1 ( ó det(a) 0 ) Si A A B = A A C [ Multiplicando por A -1 por izda.] A -1 A (A A B) = A -1 A(A A C) [ Propiedad asociativa y definición de A -1 ] I A B = I A C [ Definición de I ] B = C c.q.d. Tema : Qüestións Resoltes de Matrius Pàgina 28

29 Ximo Beneyto 5.- Hallar el conjunto de matrices CUADRADAS que conmutan con Sabemos que, en general, el producto de dos matrices NO es CONMUTATIVO. Veamos que condiciones hemos de exigir a una matriz A 0 M 2 para que conmute con la matriz anteriormente dada. Sea pues : XB < < Si las matrices conmutan entonces ambos resultados deben ser iguales : < < Por tanto, el conjunto de matrices solicitado es : Ximo. Tema : Qüestións Resoltes de Matrius Pàgina 29