Soluciones a los ejercicios

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José Ángel Torregrosa Romero
hace 7 años
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1 Soluciones los ejercicios PROBLEMA : Considérese el grfo G siguiente: b f c d g h j e i ( Es G un grfo simple? Es plno? Es biprtito? Es completo? Es regulr? Es conexo? (b Hllr el número de regiones, vértices y rists del grfo dul G. (c Es G Eulerino? Hllr un cmino o circuito eulerino si es posible. (d Hllr un árbol A generdor mínimo de G y el peso totl de dicho árbol. Solución. No es un grfo simple, porque hy tres rists entre los vértices h y g. Es plno, y que su representción gráfic no tiene rists que se crucen. No es biprtito porque tiene ciclos de longitud tres (por ejemplo, (f, g, b, f. No es completo porque no todos sus vértices están conectdos entre sí (por ejemplo, los vértices y f no son dycentes. No es regulr porque no todos los vértices tiene el mismo grdo (por ejemplo, el grdo de es y el de d,. Es conexo, porque ddo culquier pr de vértices, existe un cmino elementl que los une. b Al ser G plno, podemos definir su dul G. El número de vértices, rists y regiones del grfo originl puede ser contdo directmente de l figur V = 0, E =, R = 3. Ests cntiddes stisfcen l ecución de Euler: V E R = 0 3 =. Ls correspondientes cntiddes pr el grfo dul son V = R = 3, E = E =, R = V = 0.

2 c No es eulerino porque hy vértices de grdo impr (g y h. Sin embrgo, es semi-eulerino y que sólo hy dos vértices con grdo impr por lo que dmite un cmino eulerino que, por ejemplo, comienz en g y cb en h. Este cmino se puede obtener medinte l modificción del lgoritmo de Fleury: g c d c b g f b e d h e i h i j f g h g h, donde h p i signific l rist de peso p que une h con i. Cundo hy dos rists entre los mismos vértices y con el mismo peso p, escribimos h p i pr denotr l que está encim y h p i l que está debjo. b f c d g h j e i d Un árbol de peso mínimo lo obtenemos por ejemplo usndo el lgoritmo de Kruskl. El resultdo A = (V, F lo podemos escribir dndo el conjunto F de ls rists del árbol F = {{, b}, {e, h}, {f, j}, {b, g}, {c, d}, {g, h}, {b, c}, {f, g}, {i, j}}, donde, por ejemplo, {g, h} signific que tommos un de ls rists de peso ω = (si hubiese vris entre los vértices g y h. Hy F = 9 rists, como es de esperr ( F = V. El peso totl de este árbol es ω = i F ω i = 3 3 =. Nótese que en este cso no hy un único árbol recubridor de peso mínimo.

3 b f c d g h j e i PROBLEMA : Considérese el grfo ponderdo de l figur y contéstese ls siguientes pregunts:. Clculr el árbol recubridor de peso mínimo sobre dicho grfo y dr su peso.. Decir si el grfo es eulerino o semi-eulerino y por qué. En cso de que lgun de ls respuests se firmtiv, encontrr el correspondiente recorrido eulerino o semieulerino. 3. Decir si es regulr, biprtito y completo y por qué. b 7 d 8 7 s 0 3 z c

4 Solución. El árbol generdor de peso mínimo está formdo por ls rists {s,b}, {b,d}, {d,z}, {z,}, y {b,c} y pes 37 uniddes. b 7 d 8 7 s 0 3 z c Puesto que hy más de dos vértices con grdo impr el grfo no es ni eulerino ni semieulerino. 3 El grfo no es regulr y que hy vértices con grdos distintos. No es completo porque hy vértices que no son dycentes. Tmpoco es biprtito y que contiene ciclos de longitud tres, por ejemplo, (s,d,b,s. PROBLEMA 3: Se el grfo G = (V, E definido por l siguiente mtriz de dycenci A G =. Es biprtito? Es plnr?. Encontrr, si es posible, un árbol generdor Es G semi-eulerino? Cuál es el número mínimo de rists que necesitmos ñdir G pr que se eulerino?.

5 Solución. Si nombrmos los vértices,, 3,..., 8 según el orden en l mtriz de dycenci, un representción gráfic de G es G no es biprtito porque contiene ciclos de longitud impr: por ejemplo, (, 7,,. Es plnr porque se puede representr en el plno sin que se crucen ls rists: l rist {3, } se puede llevr por fuer del vértice, mientrs que l rist {3, 8} se puede llevr entre ls dos componentes conexs de G. No existe un árbol generdor de G porque G no es conexo: tiene dos componentes conexs G = G G con V = {, 3,,, 8} y V = {,, 7}. 3 G no es semi-eulerino porque no es conexo (pr que un grfo se eulerino no bst con que todos sus vértices tengn grdo pr. Los vértices de grdo impr son {,,, 8} y todos ellos pertenecen l componente conex G. Pr conseguir un grfo eulerino prtir de G necesitmos en primer lugr unir ls dos componentes conexs de G. Pr ello debemos ñdir un rist que conecte uno de los vértices de V = {,, 7} (por ejemplo, el con un vértice de V = {, 3,,, 8} con grdo impr (por ejemplo, el. El nuevo grfo obtenido de est form es conexo y tiene cutro vértices de grdo impr: {,,, 8}. En segundo lugr es necesrio ñdir dos rists más en ls que uno de sus extremos se un vértice de grdo impr y sin repetir ninguno (por ejemplo, ls rists {, 8} y {, }. Ahor todos los vértices tienen grdo pr y el grfo es eulerino. En definitiv, el número mínimo de rists dicionles que es necesrio ñdir es tres

6 PROBLEMA : Resolver ls siguientes cuestiones:. Clculr el número de mners de colocr en un tblero de jedrez orientdo y con csills ls siguientes piezs: un rey, un rein, un cbllo, un torre y un lfil blncos y un rey, un torre, un cbllo y un lfil negros.. En los lmbres que hy entre dos postes de un tendido trifásico de lt tensión en Bodeg By se distribuyen 99 mirlos indistinguibles. De cuánts mners se pueden colocr en los tres lmbres si no considermos l distnci entre pájros? 3. Si, por el contrrio, tenemos en cuent l distnci entre pájros y si en cd lmbre solo hy 00 posiciones posibles pr los pájros, de cuánts mners se pueden colocr los 99 mirlos? Not: Los resultdos se drán en función de números combintorios ( b y/o fctoriles! Solución. Ls piezs de jedrez son tods distints entre sí y ls csills del jedrez tmbién son distints entre sí (l estr orientdo. Por lo tnto debemos colocr = 9 piezs distints en 8 = csills distints. L primer piez l podemos colocr de mners, un vez colocd, podemos colocr l segund de 3 mners distints, etc. Un vez colocds ls ocho primers piezs, hy 8 = mners de colocr l últim piez. Luego, l solución del problem es 3 7 =! = ! Tmbién se podrí hcer de l siguiente mner: hy ( 9 mners de elegir ls 9 csills ocupr y, un vez elegids, hy 9! mners de colocr ls 9 piezs en ells. Luego, l solución es ( 9 9! =!/! Tenemos que distribuir 99 objetos igules (los mirlos en 3 cjs distints (los lmbres. Como en cd lmbre puede hber culquier número de mirlos (incluido ninguno, el resultdo es ( ( 99 0 = = En este cso, ls posiciones de los mirlos son distinguibles. De hecho hy 00 posiciones posibles que pueden ocupr los 99 mirlos. Luego hbrá ( mners de colocr los 99 mirlos. PROBLEMA : Resolver los siguientes problems: ( De cuánts mners se pueden distribuir diez bols idéntics en seis recipientes distintos? (b De cuánts mners se pueden distribuir si ningún recipiente puede quedr vcío? (c De cuánts mners se pueden distribuir si el curto recipiente contiene un número impr de bols?

7 Solución. Representmos cd bol medinte un cudrdo y cd recipiente por un pr de brrs. El enuncido nos dice que ls bols son idéntics; pero los recipiente no lo son. Un mner posible de hcer el reprto es l siguiente: Los restntes reprtos se obtienen reordenndo los objetos que precen en l representción nterior. En concreto, contmos con siete brrs; pero ls dos de los extremos no ls podemos mover, de mner que sólo hy cinco brrs móviles y diez cudrdos. Como no hy ningun restricción en l mner de colocr ls brrs y los cudrdos, l solución pedid es ( ( 0 = = b Si ningún recipiente puede quedr vcío, el rgumento es el csi el mismo que en el prtdo. L únic diferenci es que hor ls cinco brrs móviles hy que colocrls obligtorimente entre dos cudrdos pr que siempre hy l menos un cudrdo en cd recipiente (es decir, entre dos brrs consecutivs. Un reprto posible es el siguiente: Como hy nueve espcios entre los diez cudrdos, l solución pedid es ( 9 =. c Si el curto recipiente tiene un numero impr de bols, sólo puede contener, 3,, 7 ó 9 bols. En el primer cso, tendrímos un bol en dicho recipiente y nueve bols en el resto colocr sin ningun restricción en los cinco recipientes restntes. Usndo el mismo rgumento que en el primer prtdo, l solución de este cso serí ( ( 9 = 3. Si colocmos 3 bols en el curto recipiente, tenemos que situr ls siete bols restntes en los cinco recipiente que nos quedn. L solución es ( ( 7 =. Clrmente si colocmos k bols en el curto recipiente, el número de mners de situr ls 0 k bols restntes en los cinco recipientes es ( ( 0 k = k. L solución pedid es por tnto ( 3 ( ( 9 ( 7 ( =. PROBLEMA : Determinr el número de subconjuntos de un conjunto de 0 elementos que ( tengn menos de elementos, (b tengn más de 7 elementos, (c tengn un número impr de elementos. Solución. L mner más rápid de solucionr este problem es provechr l biyección entre el número de subconjuntos de un conjunto de n elementos y el de ls cdens binris de longitud n, de mner que si un elemento pertenece un subconjunto ddo, el bit correspondiente es (y 0 en cso contrrio.

8 El prtdo nos pide el número de cdens de bits de longitud 0 con menos de unos. El número de cdens de bits de longitud 0 con k unos es simplemente ( 0 N k =, 0 k 0. k De est modo, l solución de es N k< = N k = k=0 k=0 ( 0 k = ! 0!!! = 38. El prtdo b consiste en clculr el número N k>7 de cdens de bits de longitud 0 con más de 7 unos. Luego, N k>7 = 0 k=8 N k = 0 k=8 ( 0 k = 90 0 =. El prtdo c consiste en clculr el número de cdens de bits de longitud 0 con un número impr de unos. Luego, N k impr = = = p=0 p=0 N p ( 0 p [( 0 =. ( ] 0 3 ( 0 El resultdo es lógico y que el número totl de cdens de bits de longitud 0 es 0 = 0 y quells con un número impr de unos serán, por simetrí, l mitd (i.e.,.

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