RAZONAMIENTO LÓGICO LECCIÓN 1: ANÁLISIS DEL LENGUAJE ORDINARIO. La lógica se puede clasificar como:

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1 La lógica se puede clasificar como: 1. Lógica tradicional o no formal. 2. Lógica simbólica o formal. En la lógica tradicional o no formal se consideran procesos psicológicos del pensamiento y los métodos para hacer deducciones están directamente relacionados con las destrezas de las personas para interpretar y distinguir un pensamiento correcto de otro que no lo es, esta resume las experiencias humanas obtenidas del conocimiento y las de la observación del mundo circundante. La lógica como ciencia constituye la lógica formal o simbólica, la cual se encarga de investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia (o realización de deducciones lógicas a partir de ciertos razonamierntos); es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. En el pensamiento simbólico, las palabras se manipulan, según las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido. SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES: La lógica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, en tales condiciones, se puede considerar una proposición como una frase que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, esta crea un lenguaje simbólico artificial, en donde establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente. Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas o mayúsculas del alfabeto tales como p, q, r, s,..., x, y, z, ó P, Q, R,..., X, Y, Z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural. Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizar las proposiciones: P ; Hoy es miércoles. Q : Estudio para el examen de ingreso a la universidad. R : 2 es el único número primo par.

2 En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como las siguientes: Las rosas son rojas y tienen espinas. La selección Colombia ganó o perdió? En el país no hay violencia. Si estudio lógica matemática entonces mi conocimiento se incrementará. 8 es un número par si y sólo si se puede dividir por 2. Para la formación de estas oraciones se utilizaron las letras y, o, no, si entonces, sí y sólo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados. Estos términos de enlace reciben el nombre de CONECTIVOS LÓGICOS y al igual que a las proposiciones, también se les asignan un lenguaje simbólico, así: LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL y o v no ~ si...entonces......si y solo si... Veamos su uso. Si la notación simbólica de las siguientes proposiciones es: m : Las rosas son rojas. n : Las rosas tienen espinas. m n : Las rosas son rojas y tienen espinas. p: La selección Colombia ganó?. q: La selección Colombia perdió?. p q : La selección Colombia ganó o perdió?. r : En el país hay violencia. ~ r : En el país no hay violencia. s : Estudio lógica matemática. t : Mi conocimiento se incrementará. s t : Si estudio lógica matemática entonces mi conocimiento se incrementará. u : 8 es un número par. v : 8 es divisible por 2. u v : 8 es un número par si y sólo si es divisible por 2.

3 En lógica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: simples y compuestas. PROPOSICIONES SIMPLES Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lógicos. Ejemplos: x : El eclipse de sol es un fenómeno natural. q : La luna es un satélite natural de la tierra. r : 5 es el inverso multiplicativo de 5. s: -7 es el inverso aditivo de 7. El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo tiempo, pues dejaría de ser proposición. PROPOSICIONES COMPUESTAS Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o más proposiciones simples mediante conectivos o términos de enlace. Ejemplo: De las proposiciones simples Se obtiene la proposicion compuesta p : El día está nublado. q : El sol brilla. p q : El día esta nublado y el sol brilla. De las proposiciones simples A : Un triángulo es equilátero. B : Un triángulo tiene sus tres lados iguales. Se obtiene la siguiente proposicion compuesta A B : Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus tres lados iguales. La veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la forma como estén combinadas; para establecer este valor, se fijan criterios que se estudiarán en las próximas secciones de este módulo.

4 CONECTIVOS LÓGICOS Como ya se dijo anteriormente, los símbolos que sirven para enlazar dos o más proposiciones simples, se llaman conectivos lógicos, estos son: la conjunción (la y), la disyunción (la o), la negación (el no), el condicional (el si... entonces...) y el bicondicional (el... si y solo si...). LA CONJUNCIÓN: Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p y q simbolizada por p q, se denomina la conjunción de p y q. Ejemplo 1. La proposición compuesta P Q : 9 es número impar y entero positivo está formada por: P : 9 es un número impar. : y Q : entero positivo. Para establecer el valor de verdad de la conjunción, surgen las siguientes posibilidades: 1. Que P y Q sean verdaderas. 2. Que P sea verdadera y Q sea falsa. 3. Que P sea falsa y Q verdadera. 4. Que P y Q sean falsas. A continuación se analizan estas posibilidades para el ejemplo anterior. 1. P : 9 es un número impar. Esto es verdadero (V) Q : 9 es un entero positivo. Esto es verdadero (V) P Q : 9 es un número impar y 9 es un entero positivo. Esto es verdadero (V) 2. P : 9 es un número impar. Esto es verdadero (V) Q : 9 no es un entero positivo. Esto es falso (F) P Q : 9 es un número impar y 9 no es un entero positivo. Esto es falso (F) 3. P : 9 no es un número impar. Esto es falso (F) Q : 9 es un entero positivo. Esto es verdadero (V) P Q : 9 no es un número impar y 9 es un entero positivo. Esto es falso (F) 4. P : 9 no es un número impar. Esto es falso (F) Q : 9 no es un entero positivo. Esto es falso (F) P Q : 9 no es un número impar y 9 no es un entero positivo. Esto es falso (F)

5 EL CONDICIONAL Este tipo de conectivo es también llamado implicación. se dice que una proposicion compuesta es una condicional o una implicación si está formada por dos preposiciones enlazadas por la expresión si...entonces... Si p y q representan dos proposiciones la expresión si p entonces q se simboliza así: p q y se lee p implica a q La proposición que se encuentra precedida por la expresión si, es decir la p, se llama antecedente o hipótesis y la proposición precedida por la expresión entonces, es decir la q, se llama consecuente o conclusión de la implicación, es claro que la expresión p q el antecedente es p y el consecuente es q. Existen varias formas de enunciar con palabras las proposiciones condicionales, debe quedar claro que todas ellas representan el condicional p q (si p entonces q) Si p entonces q p solo si q q si p p es suficiente para q q es necesario para p El siguiente ejemplo ilustra los anteriores enunciados. Tenga en cuenta que cada expresión representa lo mismo aunque se diga con diferentes palabras Si un barco navega por el canal de panamá entonces es de gran calado. Un barco navega por el canal de panamá solo si es de gran calado. Un barco es de gran calado si navega por el canal de panamá. Que un barco navegue por el canal de panamá es suficiente para que sea de gran calado. Que un barco sea de gran calado es necesario para que navegue por el canal de panamá.

6 Nota: para el ejemplo anterior un barco navega por el canal de panamá es una condición suficiente y un barco es de gran calado es una condición necesaria. Existen varias formas de enunciar proposiciones condicionales así: Implicación directa: p q Implicación recíproca: q p Implicación contraria: ~p ~q Implicación contrarecípocra : ~q ~p Ejemplo 1: Dadas las proposiciones p: A ocupó el primer lugar. q: B ocupó el segundo lugar. entonces la proposición directa es: p q si A ocupó el primer lugar entonces B ocupó el segundo lugar La proposición recíproca es: q p si B ocupó el segundo lugar entonces A ocupó el primer lugar La contraria es : ~ p ~ q si A no ocupó el primer lugar entonces B no ocupó el segundo lugar La contrarecíproca es: ~ q ~ p si B no ocupó el segundo lugar entonces A no ocupó el primer lugar Para tener en cuenta: Desde el punto de vista de lógica proposicional negar dos veces equivale a afirmar así la proposición ~(~ p) representa lo mismo que la proposición p. para el ejemplo anterior decir No, A no ocupó el primer lugar representa lo mismo que decir A ocupó el primer lugar. Ejemplo 2: Teniendo en cuenta la proposición directa ~r s construir las otras formas de implicación Recíproca: s ~r Contraria: ~ (~r) ~s luego queda, r ~s Contrarecíproca: ~s ~(~r) luego queda, ~s r

7 LA DISYUNCIÓN V Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición p o q simbolizada p v q. Se llama disyunción entre p y q. El operador o ( ) se puede usar de dos formas: como o incluyente o como o excluyente. En el primer caso ( o incluyente) establece que las proposiciones que conforman la disyunción pueden cumplirse de manera simultánea, sin que una excluya a la otra. En el segundo caso ( o excluyente) si se cumple una de las proposiciones excluye de manera inmediata que se cumpla simultáneamente la otra proposición. Ejemplo 1. Uso del o incluyente r v s: Andrés estudia medicina o Ana estudia economía. r : Andrés estudia medicina v : o s: Ana estudia economía. Nota: Del ejemplo se puede concluir que es posible de manera simultánea que Andrés y Ana estudien medicina y economía respectivamente. Ejemplo 2: Uso del o excluyente p v q: Ximena vive en Medellín o en Cartagena. p : Ximena vive en Medellín. v : o q : Ximena vive en Cartagena. Nota: Como puede verse en este ejemplo no es posible que de manera simultánea Ximena viva en Medellín y Cartagena. LA NEGACIÓN ~ Sea p una proposición simple. Se define la negación de p mediante la proposición compuesta no p simbolizada por: ~ p. Ejemplo 1. q : El automóvil de Julio es Negro. ~ q : El automóvil de Julio no es negro,o de otro modo, es falso que el automóvil de Julio es negro.

8 EL BICONDICIONAL Se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones conectadas por la expresión si y solo si a este conectivo también suele llamarse equivalencia lógica. Si p y q son proposiciones simples, la doble implicación p q constituye un bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro. El bicondicional o equivalencia está formado por dos implicaciones p q y q p, las cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia se dice que la proposición p es equivalente a la proposición q y se acostumbra a escribir p q. La proposición bicondicional (p q) se puede enunciar de diferentes maneras, todas ellas representan la equivalencia entre p y q, así: p sí y sólo si q q sí y solo si p Si p entonces q y recíprocamente Si q entonces p y recíprocamente p es condición necesaria y suficiente para q q es condición necesaria y suficiente para p Ejemplo 1 Dadas las proposiciones: p : Un triángulo es rectángulo. q : Un triángulo tiene un ángulo recto. El bicondicional p q se puede escribir de las siguientes formas : Un triángulo es rectángulo sí y solo sí tiene un ángulo recto. Un triángulo tiene un ángulo recto sí y solo sí es rectángulo. Si un triángulo es rectángulo entonces tiene un ángulo recto y si un triángulo tiene un ángulo recto entonces es rectángulo. Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea rectángulo es que tenga un ángulo recto. Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo tenga un ángulo recto es que sea un triangulo rectángulo. Un triangulo rectángulo es equivalente a un triangulo con un ángulo recto.

9 TABLAS DE VERDAD Definición Una tabla de verdad es una representación esquemática de las relaciones entre proposiciones; sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores de verdad de sus proposiciones simples. En la elaboración de una tabla de verdad los términos de enlace tales como la negación ( ~ ), la disyunción ( ), la conjunción ( ), la implicación ( ) y la equivalencia ( ), se consideran conectivos fundamentales; por tal razón, sus valores de verdad constituyen la base para establecer bajo qué condiciones una proposición compuesta es verdadera o falsa. Para simbolizar los valores de verdad de una proposición, usamos la letra V para representar el valor de verdadero y F el valor de falso. Todas las combinaciones posibles entre los valores de verdad de p y q que pueden obtenerse son:

10 TABLAS DE VERDAD PARA LOS CONECTIVOS LÓGICOS La disyunción Lo anterior permite concluir que la disyunción es falsa únicamente cuando las dos proposiciones son falsas, en cualquier otro caso la proposición es verdadera. Ejemplo: dadas las proposiciones p: 4 es divisor de 20 El valor de verdad es V (Verdadero) q: 4 es un número par El valor de verdad es V (Verdadero) La proposición compuesta p q: 4 es divisor de 20 o es un número par. Esto es V (Verdadero) r: = 5 El valor de verdad es F (Falso) s: Colombia es un país africano El valor de verdad es F (Falso) La proposición compuesta r s: = 5 o Colombia es un país africano. Esto es F (Falso)

11 La negación La negación de un enunciado verdadero es falso y la negación de un enunciado falso es verdadero. La conjunción De lo anterior se puede concluir que la conjunción solo es verdadera cuando las 2 proposiciones son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa.

12 El condicional De lo anterior se puede concluir que el condicional solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en cualquier otro caso es verdadero. El condicional como conectivo establece la relación que hay entre el antecedente y el consecuente, es por ello que cuando el antecedente es falso y el consecuente es verdadero la implicación sea verdadera, y cuando el antecedente es falso y el consecuente es falso la implicación es verdadera. Ejemplo: Sean las proposiciones p:6 es un número par. q: 6 no es divisible por 2 p: 6 es un número par El valor de verdad es V q: 6 no es divisible por 2 El valor de verdad es F La proposición condicional es: p q : Si 6 es un número par entonces no es divisible por 2. (El valor de verdad es F, ya que el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.)

13 El bicondicional De lo anterior se puede concluir que el bicondicional solo es verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas o cuando ambas proposiciones son falsas. En cualquier otro caso es falso. El bicondicional o equivalencia se asemeja a la igualdad. Ejemplo: Dadas las proposiciones: m : Un círculo es una figura de 4 lados. El valor de verdad es F n : Un círculo es un cuadrado El valor de verdad es F La equivalencia o bicondicional es: m n : Un círculo es una figura de 4 lados si y solo si es un cuadrado. (El valor de verdad es V)