Tema 1: Estadística Descriptiva Unidimensional Unidad 1: Frecuencias y Gráficos

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1 Estadística Tema 1: Estadística Descriptiva Unidimensional Unidad 1: Frecuencias y Gráficos Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Septiembre 2010 Contenidos Introducción a la Estadística Población, Muestra y Carácter Frecuencias Absolutas y Relativas 5 Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frecuencias Absolutas y Relativas con R Frecuencias Absolutas y Relativas con R Frecuencias Acumuladas (Cumulative) Frecuencias Acumuladas con R Gráficos para un Carácter Cualitativo 12 Diagrama de Rectángulos Diagramas de Rectángulos con R Diagrama de Sectores Diagrama de Sectores con R Pictograma Cartograma Ordenación de datos de Carácter Cuantitativo 19 Intervalos y Marcas de Clase Ejemplo: Ingresos Anuales Gráficos para un Carácter Cuantitativo 22 Diagrama de Barras Diagrama de Barras con R Histograma Histograma con R Polígonos de Frecuencias Frecuencias Acumuladas Tallo y Hojas Tallo y Hojas con R Box Plot

2 Box Plot con R

3 Contenidos Introducción a la Estadística. Población, Muestra y Carácter. Frecuencias Absolutas y Relativas. Gráficos para un Carácter Cualitativo. Ordenación de datos de Carácter Cuantitativo. Gráficos para un Carácter Cuantitativo. La Distribución de Frecuencias son el objeto de la Estadística Descriptiva Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad 1. 2 / 32 Introducción a la Estadística Fenómenos Determinísticos: Aquellos que llevados a cabo en las mismas condiciones, conducen siempre al mismo resultado. Fenómenos Aleatorios: Sujetos al azar. Llevados a cabo en las mismas condiciones dan resultados diferentes. Estadística, Descriptiva: Establece normas para obtener datos, ordenarlos en tablas, representarlos gráficamente y reducirlos. Inferencial: Deduce o infiere a partir de los datos, leyes o propiedades para establecer un modelo teórico de probabilidad que sigue la población de la que proceden los datos. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad 1. 3 / 32 3

4 Población, Muestra y Carácter Población: Conjunto de Individuos, objetos o entes en general, sobre los que van a recaer observaciones de un número finito de características. Unidad Estadística: Cada uno de los elementos que componen la población estadística. Muestra: Conjunto finito de unidades estadísticas, pudiendo estar repetidas o no. En muchos experimentos científicos la población estadística es el conjunto imaginario de infinitas repeticiones del experimento. Carácter: Propiedad o cualidad inherente en las unidades estadísticas. Algunos medibles, cuantificables, otros no, cualidades. Cuantitativos o Medibles: altura, peso, longitud, densidad, etc. Cualitativos o Cualidades: Válido/Defectuoso, G/M/P, Soltero/Casado/Viudo, etc. Modalidades: Diferentes valores o situaciones que puede tomar un carácter. Variable Estadística: El valor que adopta un carácter de entre sus distintas modalidades posibles. Cuantitativas. Discretas (Cantidad finita o numerable): Pasos de vuelta completos en 1 m de barra roscada. Continuas: Gramos de barniz por recipiente, en una planta de envasado. Cualitativas. Nominal (No admite orden): Control de calidad, Válido, Desechar, Reparar. Ordinal (Admite orden): Clasificación en categorías, productos alimenticios (huevos). Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad 1. 4 / 32 4

5 Frecuencias Absolutas y Relativas 5 / 32 Frecuencia Absoluta Consideremos una muestra de tamaño n, extraída de una población estadística de la que observamos un carácter C que puede tomar las modalidades C 1,C 2,...,C m. Se llama Frecuencia Absoluta de la modalidad C i al número de veces n i que aparece repetida esa modalidad en el conjunto de observaciones realizadas. Es decir, número de unidades estadísticas de la muestra que presentan la modalidad C i. Debido a que las modalidades constituyen una partición del espacio muestral, n 1 + n n m = Ejemplo: Fábrica de barras roscadas de 5 m. Población: Unidad Estadística: Muestra: m n i = n i=1 0 n i n, para todo i = 1,2,...,m 120,121,120,119,121, 120, 120,119,120,121, 120,120,122,120, 121, 120,119,122, 120, 119 Carácter: Modalidad: Variable Estadística: Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad 1. 6 / 32 5

6 Frecuencia Relativa La Frecuencia Relativa de la modalidad C i se define como el cociente entre la Frecuencia Absoluta y el tamaño de la muestra, f i = n i /n para todo i = 1,...,m Es inmediato, por definición de Frecuencia Absoluta, f 1 + f f m = m f i = 1 i=1 0 f i 1, para todo i = 1,...,m. Suele ser frecuente hablar en términos de porcentajes, multiplicando las frecuencias relativas por 100. Ejemplo: Carácter C i n i f i C 1 = 119 C 2 = 120 C 3 = 121 C 4 = 122 Total ni = 20 fi = 1 Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad 1. 7 / 32 Frecuencias Absolutas y Relativas con R > x <- c(120, 121, 120, 119, 121, 120, 120, 119, 120, 121, 120, + 120, 122, 120, 121, 120, 119, 122, 120, 119) > table(x) x > table(x)/length(x) x Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad 1. 8 / 32 6

7 Frecuencias Absolutas y Relativas con R > addmargins(table(x)) x Sum > addmargins(table(x)/length(x)) x Sum Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad 1. 9 / 32 Frecuencias Acumuladas (Cumulative) Frecuencia Absoluta Acumulada: Tiene sentido para variables cuantitativas y cualitativas ordinales. i N i = n 1 + n n i = Verificándose N m = n. Frecuencia Relativa Acumulada: Tiene sentido para variables cuantitativas y cualitativas ordinales. F i = n 1 + n n i i = f 1 + f f i = f k n Verificándose F m = 1. k=1 n k k=1 Ejemplo: Carácter C i n i N i f i F i C 1 = 119 C 2 = 120 C 3 = 121 C 4 = 122 = n 1 Total ni = 12 fi = 1 Ejercicio: Calcular la tabla de Frecuencias: Absolutas, Relativas y sus respectivas Acumuladas, usando algún tipo de herramienta informática: Excel, Matlab, R, etc. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 7

8 Frecuencias Acumuladas con R > cumsum(table(x)) > cumsum(table(x)/length(x)) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 Gráficos para un Carácter Cualitativo 12 / 32 Diagrama de Rectángulos Sobre el eje de Abcisas se representan las distintas modalidades de un carácter cualitativo y se levantan sobre ellos rectángulos de bases iguales, no solapados y cuya altura es proporcional a la frecuencia Absoluta o Relativa de cada modalidad. Frecuencia Frecuencia nd Pr Se Su Formación nd Pr Se Su Formación Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 8

9 Diagramas de Rectángulos con R Datos referentes a la formación de trabajadores de una empresa: > form<-c(³nd³,³pr³,³pr³,³se³,³su³,³pr³,³pr³,³se³, + ³Su³,³Se³,³Su³,³Se³,³Su³,³Se³,³Su³,³Pr³,³Pr³, + ³Pr³,³Pr³,³Se³,³Su³,³Se³,³Su³,³Se³,³Su³,³Se³, + ³Su³,³Pr³,³Pr³,³Pr³,³Pr³,³Pr³,³Pr³,³Pr³,³Pr³, + ³Se³,³Se³) > barplot(table(form),xlab="formación",ylab="frecuencia") > barplot(table(form)/length(form),xlab="formación", + ylab="frecuencia") Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 Diagrama de Sectores Sobre un círculo, se asigna a cada una de las modalidades un sector circular con amplitud proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa). Amplitud i = 360 n i n = 360 f i Pr nd Se Su Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 9

10 Diagrama de Sectores con R A chart made by plotting the numeric values of a set of quantities as a set of adjacent circular wedges with arc lengths proportional to the total amount. > pie(table(form)) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 Pictograma Cada modalidad se representa mediante un dibujo de tamaño proporcional a la frecuencia de la misma. Todos los dibujos empleados son del mismo tamaño, a cada modalidad se le asignan tantos dibujos o partes del mismo según su frecuencia. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 10

11 Cartograma Representación por medio de un mapa. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 11

12 Ordenación de datos de Carácter Cuantitativo 19 / 32 Intervalos y Marcas de Clase En las observaciones de un Carácter Cuantitativo puede ocurrir: La variable estadística tome pocos valores diferentes. Confeccionar la tabla de frecuencias ordenando los valores del carácter de menor a mayor: Carácter C i n i N i f i F i C 1 n 1 N 1 = n 1 f 1 F 1 = f 1 C 2 n 2 N 2 f 2 F C m n m N m = n f m F m = 1 Total ni = n fi = 1 La variable estadística tome muchos valores diferentes, caracteres cuantitativos continuos y muestras de gran tamaño. Agrupar los valores de la variable estadística en Intervalos de Clase, contiguos y elegidos convenientemente para perder la mínima información posible. Los extremos de los intervalos de clase se denominan Extremos de Clase, b i, y sus puntos medios Marcas de Clase, x i. El número de Intervalos de Clase se elige entre 4 y 15 de forma que en cada intervalo haya al menos 5 observaciones. Los Intervalos de Clase no pueden solaparse. Intervalo de Clase: [b i 1,b i ). Marca de Clase: x i = b i 1+b i 2. x i n i N i f i F i [b 1,b 2 ) x 1 n 1 N 1 = n 1 f 1 F 1 = f 1 [b 2,b 3 ) x 2 n 2 N 2 f 2 F [b m 1,b m ] x m n m N m = n f m F m = 1 Total ni = n fi = 1 Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 12

13 Ejemplo: Ingresos Anuales [b i 1,b i ) x i n i N i f i F i [0, 20000) [20000, 40000) [40000, 60000) [60000, 80000) [80000, ] Total ni = 30 fi = 1 Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 Gráficos para un Carácter Cuantitativo 22 / 32 Diagrama de Barras Se utiliza para representar variables estadísticas no agrupadas, las alturas de las barras deben ser proporcionales a las frecuencias, absolutas o relativas. La suma de la altura de las barras deberá ser n o 1. Frecuencia Frecuencia Nº Vueltas Nº Vueltas Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 13

14 Diagrama de Barras con R Número de vueltas completas en 1 m de barra roscada. > pvuelta<-c(120, 121, 120, 119, 121, 120, 120, 119, + 120, 121,120, 120, 122, 120, 121, 120, 119, + 122, 120, 119) > barplot(table(pvuelta),space=c(100,2)) > barplot(table(pvuelta)/length(pvuelta),space=c(100,2)) Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 Histograma Se utiliza para representar las frecuencias absolutas o relativas cuando los datos están agrupados, el área de los rectángulos será proporcional a las frecuencias. La suma de las áreas deberá ser n o 1. Densidades de Frecuencias: altura de los rectángulos. h i = n i b i+1 bi, o bien h i = f i b i+1 bi Cuidado cuando la amplitud de los Intervalos de Clase no sean del mismo tamaño. Histograma de Ingresos Histograma de Ingresos Densidad de Frecuencia 0.0e e e e 05 Densidad de Frecuencia 0.0e e e e 05 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Ingresos Ingresos Histogramas de los Ingresos Anuales. El área de cada rectángulo, es proporcional a la frecuencia relativa, f i. La suma de las áreas de los rectángulos es 1. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 14

15 Histograma con R > Ingresos<-c( , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ) > histograma<-hist(ingresos,breaks=seq(0,100000,by=20000), + freq=false,main="histograma de Ingresos", + ylab="densidad de Frecuencia") > histograma > histograma$breaks > histograma$counts > histograma$intensities > histograma$mids Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 15

16 Polígonos de Frecuencias Si los datos están sin agrupar, se obtienen uniendo los extremos de las barras. Frecuencia Nº Vueltas Si los datos están agrupados, se obtiene uniendo los puntos medios superiores de los rectángulos y en los extremos con los puntos medios de las alturas de los rectángulos. Área bajo el polígono n o 1. Histograma de Ingresos Densidad de Frecuencia 0.0e e e e Ingresos Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 16

17 Frecuencias Acumuladas En el caso de datos sin agrupar se utiliza el Diagrama de Frecuencias Acumuladas. Frecuencia Acumulada Frecuencia Acumulada Nº Vueltas Nº Vueltas Si los datos están agrupados se utiliza el Polígono de Frecuencias Acumuladas. Frecuencia Acumulada Frecuencia Acumulada Ingresos Ingresos Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 Tallo y Hojas Procedimiento semigráfico útil con menos de 50 datos. Redondear los datos a dos o tres cifras significativas. Disponerlos en una tabla con dos columnas, tallo y hojas. Cada tallo se escribe sólo una vez. El número de hojas representa la frecuencia de cada clase Ingresos Anuales El punto decimal se sitúa 4 posiciones a la derecha de. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 17

18 Tallo y Hojas con R Menú Paquetes, Instalar Paquetes..., elegir Mirror e instalar UsingR. > library(usingr) > ingresos <- cfb$income[1:15] > stem(ingresos) The decimal point is 4 digit(s) to the right of the > ingresos [1] [8] [15] Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 18

19 Box Plot Permite mostrar la distribución de los datos de una muestra. Está especialmente indicado para detectar valores atípicos, outliers. Mediana, Median, línea central, Q 2. Primer y Tercer Cuartiles, Quartiles, límites de la caja, Q 1, Q 2. Ingresos Anuales Ingresos Anuales Modificado e+00 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05 Límites superior e Inferior, LI = Q 1 1.5(Q 3 Q 1 ), LS = Q (Q 3 Q 1 ). Se considerarán como valores atípicos los valores fuera del intervalo (LI,LS). Dibujar las líneas que van desde los extremos de la caja hasta el valor más extremo, no atípico. Ingresos Anuales Ingresos Anuales Modificado e+00 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05 Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 19

20 Box Plot con R > library(usingr) > ingresos <- cfb$income[1:15] > boxplot(ingresos) > ingresos <- cfb$income[1:16] > boxplot(ingresos) e+00 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05 Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 1,Unidad / 32 20