MÉTODOS CUANTITATIVOS. Freddy Higuera Departamento de Ingeniería Industrial Universidad Católica del Norte

Transcripción

1 MÉTODOS CUANTITATIVOS Freddy Higuera Departamento de Ingeniería Industrial Universidad Católica del Norte

2 Estadística La estadística tradicionalmente ha sido clasificada en dos tipos, la estadística descriptiva y la estadística inferencial La estadística descriptiva se ocupa del resumen y descripción de los datos (usando, por ejemplo, tablas, gráficos y estadísticos) El análisis se limita a los datos coleccionados y no se realiza inferencia alguna o generalización acerca de la población La estadística inferencial se ocupa de extraer conclusiones sobre la población con base en la información muestral (estimación y prueba de hipótesis)

3 Análisis estadístico La economía moderna se ha tornado tan compleja que la incertidumbre en cuanto a las futuras operaciones de la empresa se acrecientan; sin embargo, las firmas deben tomar decisiones pese a tales incertidumbres La decisión sólida y razonada exige análisis e interpretación cuidadosos de la información sobre hechos, y a este respecto las técnicas estadísticas han demostrado ser especialmente útiles Por ejemplo, en la investigación de mercados y en la previsión de las tendencias económicas, es manifiesta la necesidad de utilizar el muestreo, el análisis de regresión y otros métodos estadísticos (Chao, 1997)

4 Variables y tipos de variables Una variable es toda característica que toma diferentes valores en distintas personas, lugares o cosas (ej. estatura, sexo, remuneración, etc.) Los datos son números o medidas que han sido recopilados como resultados de observaciones Una variable aleatoria es aquella que asume los valores a partir de una selección aleatoria de los objetos medidos o son resultados de algún proceso al azar Una variable continua es aquella que teóricamente puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, por ejemplo, la estatura de las personas

5 Variables y tipos de variables Una variable discreta es aquella que toma valores separados entre sí por alguna cantidad, por ejemplo, el número de personas al día que solicita un servicio o la cantidad de productos defectuosos al mes de un proceso Variable cuantitativa es aquella que asume valores acompañados de una unidad de medida, por ejemplo, el número accidentes laborales al año o el ingreso familiar mensual Variable cualitativa es la que se refiere a clasificación, como estado civil, preferencia por una marca, categorías de empleo, etc.

6 Población y muestra Población es el conjunto formado por todos los valores posibles que puede asumir la variable objeto de estudio Ejemplos de población son: Los votantes inscritos son la población en un estudio sobre intención de voto Las exportaciones de todas las mineras del país son la población en un estudio sobre exportaciones en ese sector Muestra es cualquier subconjunto de la población, escogido al seguir ciertos criterios de selección Es el elemento básico sobre el cual se fundamenta la posterior inferencia acerca de la población de origen

7 Parámetros y estadísticas Los parámetros constituyen los valores verdaderos o poblacionales de la característica estudiada Por ejemplo, la proporción de votantes inscritos que declaran preferencia por algún candidato es un parámetro de la población de votantes inscritos La estadística es el valor que toma la característica estudiada en una muestra Por ejemplo, si se encuestan a votantes inscritos sobre sus preferencias de voto, estos electores constituyen la muestra Si 300 encuestados declaran preferir a dicho candidato, entonces la proporción muestral (estadística) es 0,30

8 Etapas de la inferencia estadística La inferencia estadística se orienta a sacar conclusiones acerca de un parámetro poblacional con base en el valor de una estadística obtenida a partir de los datos muestrales extraídos de esa población Para alcanzar este objetivo se deben seguir 5 pasos: Formulación del problema (interrogante y población) Diseño del experimento (tamaño muestral y tipos de datos a recolectar) Recolección de datos (fuentes primarias y secundarias) Tabulación y descripción de los resultados (incluye el cálculo de estadísticas y la confección de tablas y gráficas) Inferencia estadística y conclusiones (significancia)

9 Datos y escalas de medición Los datos cuantitativos son aquellos cuya determinación está asociada a una unidad de medida, por ejemplo, estatura, número de hijos, ingreso, etc. y tiene asociados las escalas de intervalos y de razón Los datos cualitativos son aquellos que se refieren a atributos o características, tales como sexo, lugar de residencia, tipo de residencia, status social, etc. y tienen asociados las escalas nominal y ordinal Escala nominal es aquella en que los números sólo se emplean para diferenciar los objetos o distintas categorías o cuando se emplean nombres, por ejemplo, números de carnets, canales de televisión, etc.

10 Datos y escalas de medición Escala ordinal es aquella en que los números se utilizan para diferenciar en orden de supremacía de acuerdo con cierto criterio jerárquico, como son los números que usamos para designar las preferencias ( interpretación de las diferencias?) La escala de intervalos se caracteriza porque tiene una unidad de medida y un origen (cero) arbitrario, y así la distancia entre dos mediciones tiene un significado preciso, por ejemplo, las mediciones de temperatura La escala de razón tiene una unidad de medida y un origen no arbitrario, por ejemplo, peso, ingreso, etc.

11 Tablas de frecuencias Frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un dato particular o fenómeno Tabla de frecuencias es un arreglo tabular de las frecuencias con que ocurre cada característica (cualidad o intervalo de clase) en que se han dividido los datos Intervalo de clase es cada uno de los intervalos en que se ha decidido agrupar parcialmente los datos con el propósito de hacer un resumen de ellos La frecuencia del intervalo (f j ) es el número de mediciones que quedan dentro del intervalo La longitud del intervalo es la diferencia entre el extremo superior y el extremo inferior del intervalo

12 Tablas de frecuencias para datos cuantitativos El número de intervalos debe escogerse de acuerdo con el número de datos, como se indica a continuación: Número de datos De 10 a 100 De 4 a 8 De 100 a De 8 a 11 De a De 11 a 14 Número de intervalos Se aconseja tomar, de acuerdo al número de datos (n), el número de intervalos (k) siguiente: k = 1 + 3,322 log 10 (n) La longitud del intervalo (l) se obtiene como sigue: Dato mayor Dato menor Amplitud l = = k k

13 Tablas de frecuencias para datos cuantitativos El valor de l se toma con un grado de aproximación no mayor a aquél con el que se registran los datos Generalmente el límite inferior del primer intervalo debe ser coincidente con el dato menor La tabla de frecuencias posee la siguiente estructura: En la primera columna se colocan las clases (j = 1,, k) En la segunda columna se escriben los intervalos (F o R) En la tercera columna van las frecuencias (f j ) Ejemplo 1: Construcción de una tabla de frecuencias usando una muestra de estaturas (en pulgadas) de 50 mujeres de la fuerza laboral de Estados Unidos

14 Tablas de frecuencias para datos cuantitativos Marca de clase (m j ) es el punto medio del intervalo de clase La frecuencia absoluta acumulada de la clase j (F j ) es el número resultante de sumar la frecuencia de la clase j con la frecuencia de las clases que la anteceden La frecuencia relativa de la clase j (f j /n) es el cuociente entre la frecuencia absoluta de la clase y el número de datos La frecuencia relativa acumulada de la clase j (F j /n) es el cuociente entre la frecuencia acumulada de la clase j y el número de datos

15 Tablas de frecuencias para datos cuantitativos Las frecuencias relativas se pueden considerar como valores empíricos de probabilidad Las cuatro distribuciones (de frecuencia, de frecuencia acumulada, de frecuencia relativa y de frecuencia relativa acumulada) por el hecho de ser determinadas con base en datos muestrales, reciben el nombre de distribuciones empíricas y se toman como guías para iniciar un proceso inferencial (objetivo final) Lo usual es registrar en una misma tabla los intervalos de clases, las frecuencias de clases, las marcas de clases, las frecuencias acumuladas y las frecuencias relativas (volver al Ejemplo 1 )

16 Histogramas y polígonos de frecuencias - datos cuantitativos El histograma de frecuencias es una representación visual de los datos, en donde se evidencian básicamente tres características: Forma Acumulación o tendencia posicional Dispersión o variabilidad El histograma es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas cartesianas de la manera siguiente: Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal y sus longitudes son iguales al ancho de los intervalos

17 Histogramas y polígonos de frecuencias - datos cuantitativos Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical y corresponden a las frecuencias de las clases Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases Los histogramas pueden estar referidos a las frecuencias, a las frecuencias acumuladas, a las frecuencias relativas o a las frecuencias relativas acumuladas Ejemplo 2: Construcción de histogramas de frecuencias para la muestra de estaturas de 50 mujeres de la fuerza laboral de Estados Unidos

18 Histogramas y polígonos de frecuencias - datos cuantitativos El polígono de frecuencias se construye sobre el sistema de coordenadas cartesianas, al colocar sobre cada marca de clase un punto a una altura igual a la frecuencia asociada a esa clase; luego se unen dichos puntos por segmentos de recta Para que el polígono quede cerrado se considera un intervalo más al inicio y otro al final, ambos con frecuencia igual a cero Ejemplo 3: Construcción de polígonos de frecuencias para la muestra de estaturas de 50 mujeres de la fuerza laboral de Estados Unidos

19 Histogramas y polígonos de frecuencias - datos cuantitativos El polígono (de frecuencias relativas) al ser construido a partir de los datos muestrales se puede considerar como la imagen deformada del comportamiento poblacional, el cual se asume (para poblaciones infinitas) que es determinado por una curva de frecuencias Las curvas de frecuencias pueden presentar distintas formas; las más comunes son las simétricas y las sesgadas o asimétricas (a la derecha o a la izquierda): Simétrica Sesgada a la derecha Sesgada a la izquierda

20 Distribución de frecuencias para datos cualitativos La construcción de una tabla de frecuencia para datos cualitativos requiere sólo del conteo del número de elementos o individuos que caen dentro de cierta clase o tienen determinada característica La tabla se construye de la manera siguiente: En la primera columna se registran las cualidades o características En la segunda columna se anotan las frecuencias absolutas En la tercera columna se registran las frecuencias relativas Aquí no existen intervalos de clase ni frecuencia acumulada por carecer éstos de sentido

21 Distribución de frecuencias para datos cualitativos El histograma de frecuencia para datos cualitativos también está formado por rectángulos, pero éstos se dibujan separados para enfatizar que entre ellos existe una diferencia cualitativa y no cuantitativa Los histogramas de frecuencia para datos cualitativos pueden estar referidos a las frecuencias o a las frecuencias relativas Para los datos cualitativos no existe polígono de frecuencia Ejemplo 4: Construcción de un histograma de frecuencias con los datos del número de estudiantes de cierta universidad, de acuerdo a su lugar de origen

22 Medidas de posición Una medida de posición es un número que se toma como orientación para referirnos a un conjunto de datos (medida representativa) La media (aritmética) es la medida de posición más utilizada La media ( x) representa el centro físico del conjunto de datos y se define como la suma de los valores observados, dividido por el total de observaciones: n x x 1 + x2 + K+ x n i 1 i x = = = n n Ejemplo 5: Cálculo de la media aritmética

23 Medidas de posición Ya que una medida de posición se refiere al centro de una sucesión de observaciones, debería ser la medida que mejor represente los datos Sin embargo, la media aritmética posee la desventaja de ser demasiado sensible a los valores extremos Por ejemplo, supongamos que se hace una encuesta de ingresos familiares en una ciudad de familias, de las cuales 3 tienen ingresos de MM$ 100 y 997 ingresos de M$ 500 El ingreso medio familiar es de $ , pero el 99,7% de las familias tiene un ingreso menor a ese

24 Medidas de posición Si x 1,..., x n es una sucesión de datos ordenados en orden ascendente, la mediana de estos datos se denota y define de la siguiente manera: ~ x x = x n+ 1 2 n x n si si n es n es un número impar un número par La mediana es el valor que divide un conjunto de observaciones ordenadas según su magnitud, de tal manera que el número de datos por sobre la mediana sea igual al número de datos por debajo de la misma

25 Medidas de posición Si tomamos los datos: 1, 2, 3, 6, 8 es claro que la mediana es 3 y la media es 4 Si el dato mayor cambia de 8 a 68 la mediana sigue siendo 3, pero la media pasa de 4 a 16, por lo tanto, la media es más sensible que la mediana ante la presencia de valores extremos (ver Ejemplo 6 ) La moda ( xˆ ) de una sucesión de datos se define como el valor que se da con mayor frecuencia Es la única medida de posición que tiene sentido cuando tenemos datos cualitativos (e.g., sexo de los empleados) Los datos pueden ser unimodales, multimodales o pueden no tener moda (ver Ejemplo 7 )

26 Medidas de posición En caso que la curva de frecuencias sea simétrica la media, la mediana y la moda coinciden Si la distribución es sesgada a la derecha la mediana está a la derecha de la moda y la media a la derecha de la mediana Si la distribución es sesgada a la izquierda la mediana está a la derecha de la media y la moda a la derecha de al mediana Media Mediana Moda Moda Mediana Media Media Mediana Moda Simétrica Sesgada a la derecha Sesgada a la izquierda

27 Medidas de posición Si la distribución es simétrica, o aproximadamente simétrica, no importa que medida utilicemos Si la distribución es sesgada (asimétrica), puede ser más adecuado utilizar la moda o la mediana, ya que la media es más sensible a los datos extremos Si la medida se utiliza para obtener un valor total debemos emplear la media, por ejemplo, si un avión está diseñado para transportar libras, es de esperar que lleve 100 personas si el peso promedio es 200 libras Si se desea averiguar el gasto típico de un hogar en alimentación debe utilizarse la moda

28 Otras medidas de posición Los cuartiles de una sucesión de datos ordenados son aquellos números que dividen la sucesión en cuatro partes porcentualmente iguales Hay tres cuartiles, denotados usualmente Q 1, Q 2, Q 3 El primer cuartil (Q 1 ), es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada) El segundo cuartil (Q 2 ) es la mediana El tercer cuartil (Q 3 ) es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos (ver Ejemplo 8 )

29 Otras medidas de posición La proporción ( p) se refiere a la fracción de la muestra que posee determinada característica o propiedad Por ejemplo, si se tiene la siguiente distribución de 80 trabajadores de una empresa según años de antigüedad: Años de antigüedad Más de ,1875 Más de ,25 Más de ,5 Más de ,0625 f j p j

30 Medidas de variabilidad Una vez localizado el centro de la distribución (datos) mediante la medida de posición que hayamos seleccionado, el siguiente paso es determinar la variabilidad o dispersión Varias distribuciones pueden presentar iguales medidas de posición (media, mediana, moda), pero diferente variabilidad Por ejemplo, dos departamentos de 10 trabajadores cada uno pueden tener idéntica producción promedio, nueve unidades por hora, pero sus distribuciones pueden diferir (ver Ejemplo 9 )

31 Medidas de variabilidad Una medida de variabilidad es un número que nos indica el grado de dispersión en un conjunto de datos Si este valor es pequeño entonces hay una gran uniformidad entre los datos De hecho, si es cero quiere decir que todos los datos son iguales Por el contrario, un gran valor nos indica poca uniformidad La varianza de la distribución mide la variabilidad de los datos promediando los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media

32 Medidas de variabilidad Así, la varianza (s 2 ) se define de la siguiente manera: n 2 (x x) 2 i s = 1 i = n Al tomar el cuadrado de las desviaciones para el cálculo de la varianza, las unidades en que estén dados los datos también se expresarán en unidades al cuadrado, lo cual puede no tener sentido Por esta razón se le hizo una modificación a la varianza y se llegó al concepto de desviación estándar (s): s = n i = 1 (x i n x) 2

33 Medidas de variabilidad A diferencia de la varianza, la desviación estándar está expresada en la misma unidad de medida que los datos y las medidas de posición En la práctica la desviación estándar es la medida de variabilidad de mayor uso y es también conocida con el nombre de desviación típica Ejemplo 10: Hallar la varianza y la desviación estándar para un conjunto de datos Con el propósito de obtener un estimador adecuado para la varianza poblacional y poder llevar a cabo el proceso de inferencia, la varianza se modifica dividiéndola por (n - 1) en lugar de n

34 Medidas de variabilidad Así, el estimador de la varianza poblacional es: s 2 n (x x) i 1 i = = n 1 2 Esta expresión se conoce también con el nombre de varianza corregida o cuasivarianza Ejemplo 11: Hallar la varianza corregida y la desviación estándar para los datos anteriores El uso de la varianza o su versión corregida dependerá de si estamos trabajando con una muestra o con la población entera Si se trata de una muestra siempre se preferirá trabajar con la varianza corregida

35 Valores estandarizados Los distintos conjuntos de datos están asociados por lo general a diferentes medias, ya sea porque son de naturaleza diferente o porque al ser la misma característica medida, sus centros no son los mismos Con el propósito de reducir los datos a un mismo punto de referencia y a una escala común, se realiza entre ellos una transformación llamada estandarización Ésta consiste en que a cada dato x i se resta la media x, se divide entre la desviación estándar s y se obtiene un número z i que se llama el valor estandarizado de x i : z i = x i x s

36 Valores estandarizados Un estudiante obtuvo una nota en estadística de 3,8 (la media del curso fue 4,0 con una desviación estándar de 0,5) y en contabilidad de 4,3 (el promedio del curso fue 4,5 con una desviación estándar de 0,8) en qué asignatura obtuvo un puesto relativamente mejor? Aunque en ambas asignaturas está por debajo del promedio en dos décimas, en términos relativos vale más este resultado cuando existe una mayor dispersión La nota estandarizada de estadística es -0,4 mientras que la de contabilidad es -0,25, por lo tanto, está más cercano al promedio del curso en contabilidad que en estadística (ver Ejemplo 12 )