15.1 Introducción 115

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1 Cpítulo 15 Integrción Numéric Resumen En este cpítulo veremos un serie de técnics que se llmn métodos de cudrtur que permiten clculr integrles descomponiendo l integrl en l cudrtur numéric ms el error de truncmiento Tenemos por un ldo ls Fórmuls de Newton Cotes cerrds con un expresión genéric dentro de ls que encontrmos como cso prticulr l regl del trpecio y l regl de Simpson de 1 y 3, L regl del trpecio consiste en integrr l interpolción linel de l función bjo estudio y l regl de 2 8 Simpson proxim integrándol interpolción polinomil de grdo 2 y grdo 3 respectivmente.estos métodos funcionn pr intervlos donde los puntos están eroespciles. Ls cudrturs de Guss sirven pr integrr en intervlos con puntos no equidistntes, donde se utilizn puntos de Legendre(ríces de polinomio de Legendre) que est definid en el intervlo [ 1, 1] y que se debe usr un trnsformción pr clculr en un intervlo genérico [, b]. Ls integrles con límites infinitos, como el cso de ls funciones de distribución pr vribles letoris con recorrido infinito(norml,etc) se integrn medinte l regl del trpecio extendid o l trnsformción exponencil doble El nálisis del error pr l regl del trpecio es l Regl de Romberg que permite proximr l integrl usndo los resultdos en 2 psos consecutivos de l regl del trpecio pr converger ms rápidmente l verddero vlor. 114

2 15.1 Introducción Introducción Como hemos visto lo lrgo del curso vmos encontrr un solución proximd, cundo l solución nlític no es posible o es costos en tiempo de máquin. Si tenemos por ejemplo l integrción de funciones recurrimos l integrción numéric pr resolver I = IN + ET I = f(x)dx (error de truncmiento) Pr eso vmos presentr un serie de lterntivs que son ls fórmuls de Newton Cotes que tiene un serie de csos prticulres, que resultn fáciles de clculr, que luego vmos generlizr Fórmuls de Newton Cotes Fórmuls de Newton Cotes Cerrds Si tenemos un función de l form f(x) l vmos proximr de l siguiente mner f(x) = P M (x) = k=m k=0 f k L n,k (x) Es función f(x) l proximmos por un combinción linel de polinomios, que y conocemos y son el P.I.L.. Podemos plnternos que l integrl de l función f(x) l podemos proximr por un sum finit, que es l C.L., donde tendremos: x M x 0 f(x)dx = k=m k=0 α k f k (x) (15.1) Eso se puede ver si desrrollmos primero l iguldd del ldo izquierdo x M x 0 f(x)dx = x M x 0 P M (x)dx (15.2)

3 15.2 Fórmuls de Newton Cotes 116 x M ( k=m x 0 ) f k L n,k (x) = k=0 k=m k=0 x M x 0 k=m k=0 (L n,k (x)) f k = x M x 0 k=m k=0 (f k L n,k (x)) (15.3) α k f k (x) (15.4) Llegmos entonces proximr l integrl en un determindo intervlo(que dividimos en M subintervlos)) por un sum finit de M términos donde rest por ver que son los pesos α i. Esos pesos, que se llmn pesos de l cudrtur y están determindo y los presentremos ms del nte en un tbl. Entonces pr nosotros l integrl x M I = f(x)dx = Q(f) + E(F ) x 0 Es decir que descomponemos l integrl exct en un integrl numéric (cudrtur numéric y un error de Truncmiento) Regl del Trpecio Supongmos que tenemos l integrl f(x) en el intervlo [, b] L vmos resolver medinte un proximción de l función g(x): es función que proxim es l interpolción linel de Lgrnge o lo que es lo mismo el PL de orden 1. Es proximción vemos que v coincidir con l que se obtiene si proximmos el re bjo l curv por un trpecio. Tenemos I = f(x)dx = (b ) 2 [f() + f(b)] + E(x) (15.5) En relidd g(x) es l hipotenus del trpecio (, f(), f(b), b). El error v ser entonces E(x) = f(x) g(x)

4 15.2 Fórmuls de Newton Cotes 117 Figur 15.1: Regl del Trpecio Error de l regl del Trpecio Est form de proximr l integrl tiene socid un Error que tiene l siguiente crcterístic: E(x) = f(x)dx = (b ) 2 [f() + f(b)] Si hcemos el desrrollo de Tblr en el punto x = (b+) h = (b ) 2 2 Vemos que es lo mismo plnter f(x) = f( x) + zf ( x) + z2 2 f ( x) +... (15.6) f(x)dx = h 2 f(x)dx = (15.7) h 2

5 15.2 Fórmuls de Newton Cotes 118 Vemos que ps pr x = z = x = (b+) 2 = h 2 x=b z = b x = h 2 h 2 h 2 f(x)dx = h 2 h 2 Si resolvemos l integrl nos qued Si hcemos tmbién el D.T. de [f( x) + zf ( x) + z2 2 f ( x) +...]dz = (15.8) }{{} Desrrollo en Tylor hf( x) h3 f ( x) +... (15.9) g(x) = (b ) [ f() + f(b) ] 2 }{{} Regl del trpecio Si restmos ls 2 ecuciones nos qued hf( x) h3 f ( x) +... (15.10) E = 1 12 h3 f ( x) Esto nos d el orden de E. El resto de los términos que son de myor orden no se considern Se truncó el error Que ps si b 0... el error decrece Regl del Trpecio extendid Podemos hcer un modificción l regl del trpecio, que consiste en gregr ms cntidd de intervlos.supongmos por ejemplo que prtimos l mitd el intervlo [, b],de l gráfic nterior...

6 15.2 Fórmuls de Newton Cotes 119 Figur 15.2: Regl del trpecio extendid Es sol modificción hce que l proximción por l regl del trpecio se mucho ms exct, l decrecer notblemente el re que qued entre l curv f(x) y g(x).por lo tnto se trt de prtir el intervlo originl en un serie de intervlos igules, de mner que si tommos N intervlos tendremos como proximción l integrli(, b) f(x)dx = h j=n 1 2 [f() + j=1 f( + jh) + f(b)] (15.11) En este cso el error de truncmiento es de un form muy similr que el que y vimos pr l regl del Trpecio E = 1 12 ( b N ) 3 i=n f ( x i ) (15.12) donde h = (b )N 1. Esto es pr cd intervlo en el que prtimos [, b] i=1

7 15.2 Fórmuls de Newton Cotes 120 Si cumulmos los errores podemos hcer pr i=n termino que vri, un promedio de l form i=1 i=n f = f ( x i ) E = 1 (b ) 3 N f 12 N 3 i=1 f ( x i ) que es el único E = 1 12 (b )3 h 2 f (15.13) Figur 15.3: Regl del trpecio extendido con vrios subintervlos Integrción de Romberg Vmos mejorr l proximciones de l Regl del Trpecio extendid, plicándol 2 veces tl que que l segund vez que l plicmos tenemos el siguiente plnteo h = (b ) N I h

8 15.2 Fórmuls de Newton Cotes 121 I h se debe leer como l integrción numéric por R.T.R con intervlo h = (b ) Al plicrl 2 veces en form consecutiv tenemos que l I N 2h es tl que h = 2h Recordndo lo que vimos pr el Error en el método de RTE, este er proporcionl h 2 E = h 2 con λ = 1 12 (b )3 f E 2h = E h = λ (2h) 2 = 4h 2 Por otro ldo sbemos que I(, b) = I h +E h = I 2h +E 2h I h I 2h = E 2h E h, y podemos plnter entonces λ = 1 } 3 h 2 (I h I 2h ) I(, b) = I h + E h = Ih (I h I 2h ) E h = Ih (I h I 2h ) (15.14) Ejemplo Retommos l función f(x) = π(1 + ( x 2 )2 ) 2 y vmos integrrl en el intervlo [0, 2] plicndo l iguldd de Romberg N h Ih Eh=I(,b)-Ih Cudro 15.1: Ejemplo de integrción de Romberg Regl de 1 3 Simpson Vmos continur trtndo de mejorr nuestro juste, cmbindo el grdo del polinomio por el que proximmos, y que ntes lo hcímos con un

9 15.2 Fórmuls de Newton Cotes 122 Figur 15.4: Integrción de Romberg pr f(x) = π(1 + ( x 2 )2 ) 2 función g(x) que er de grdo 1. Vmos ver que ps si lo intentmos con un de grdo 2. En ese cso de cuerdo como nos qued l figur,plntemos l integrl I(, b) f(x)dx = h 3 [f() + 4f(x 1) + f(b) }{{} Regldeun 1 3 desimpson ] (15.15) En este cso h = (b ), x = (+b) 2 2 I(, b) = h (f() + 4f f(b)) + E, con f i = f(x i ) + f( + ih) (15.16) I(, b) = h 3 f() + 4 N 1 i=1 impr N 2 f( + ih) + 2 f( + ih) + f(b) + E(15.17) i=1 pr

10 15.2 Fórmuls de Newton Cotes 123 Figur 15.5: Regl de 1/3 de Simpson E es de l form que sigue, muy similr l que y vimos pr l regl del trpecio E = N h f iv ( x) = (b ) h4 180 f iv ( x) El error nos qued entonces proporcionl h 4 Cul es el grdo de exctitud o precisión de ls fórmuls de cudrtur? El grdo de precisión es el entero positivo n tl que l fórmul se exct pr x k, con k = 0, 1, 2...n.Dicho de otr mner cundo el grdo de precisión es n E(P (x)) = 0 pr los polinomios de grdo n y E(P (x)) 0 pr los polinomios de grdo n + 1 L regl del Trpecio y l Regl de Simpson son csos prticulres de ls formuls de cudrtur de Newton Cotes que presentmos en l próxim sección.

11 15.2 Fórmuls de Newton Cotes Fórmul generl de Newton Cotes cerrds Y dijimos en l introducción como er l l expresión de x M x 0 f(x)dx = k=m k=0 Vmos reescribir est últim iguldd como: α k f k (x) (15.18) f(x)dx =αh[w 0 f 0 + w 1 f w N f N ] + E donde α y ls w son ls constntes que precen en l tbl que sigue: (b ) f n = f(x n ), x n = + nh, y h = N Vemos que si usmos los vlores de l tbl coincide con ls fórmuls que N α w i, i = o, 1, 2,..., N E 3 f /2 1 1 h 1 2 1/ h5 f / h5 f / h7 f 6 Cudro 15.2: Constntes pr fórmuls cerrds de Newton Cotes y hllmos pr el cso de l regl del trpecio y de l regl de Simpson. Puede psr que tengmos que integrr en un intervlo ms ll de los puntos extremos de los dtos de nustr mll de integrción. Pr eso mnjmos nls fórmuls que precen continución, que se obtienen l extender l integrción hst un intervlo l izquierd del primer dtos y un intervlo l derech del último dto.

12 15.3 Cudrturs de Guss Fórmuls de Newton Cotes Abierts L fórmul se reescribe como f(x)dx =αh[w 0 f 0 + w 1 f w N+2 f N+2 ] + E donde h = (b ) (N+2). Ls constntes α y W i son ls que se listn en l tbl siguiente, y W o yw N+2 se iguln cero N α w i, i = 0, 1, 2,..., N + 2 E 3 f / h / h5 f / h5 f / h7 f 6 Cudro 15.3: Constntes pr fórmuls bierts de Newton Cotes Si comprmos un fórmul biert con un cerrd utilizndo el mismo número de N dtos, el error de l biert es significtivmente que el de l fórmul cerrd Cudrturs de Guss Ls cudrturs de Guss difieren en form significtiv de ls fórmuls de Newton Cotes y que los N puntos de l retícul (llmdos puntos de Guss) se obtienen medinte ls ríces del Polinomio de Legrendre de orden N. Ac prece un lterntiv pr minimizr el error,tl cul vimos en l sección de Interpolción donde cmbindo los puntos de l mll, plicábmos los polinomios interpolntes de Tchebyshev, en los puntos que ern rices de los polinomios de Tchebyshev. En este cso cmbimos los puntos de l mll de integrción que estn equiespcidos, por los puntos que son rices de los polinomios de Legrendre. L cudrtur de Guss que se extiende sobre el intervlo [ 1, 1] est dd

13 15.3 Cudrturs de Guss 126 por 1 1 f(x)dx = k=n k=1 w k f(x k ) (15.19) donde N es el número de puntos de Guss, los w i son los pesos y ls x i son los puntos de Guss ddos en l tbl que sigue. Por ejemplo si N = 4, l ecución precedente se escribe como 1 f(x)dx =0,34785f( 0,86113) + 0,65214f( 0,33998) (15.20) 1 +0,65214f(0,33998) + 0,34785f(0,86113) (15.21) (15.22) Al igul que pr el cso de l interpolción de Tchebyshev podemos hciendo un cmbio de escl trbjr e el intervlo [, b]: ( ) 2z b x = b L trnsformción de x en z es ( ) (b )x + + b z = 2 f(z)dz = 1 1 ( ) k=n f(z) dz/dx (b ) dx = w k f(z k ) (15.23) 2 k=1 Por ejemplo supongmos que N = 2, = 0 y b = 2. Buscmos en l tbl los puntos de Guss x k pr N = 2 en l coordend normlizd z 1 = 1 2 [(2 0)( 0,57735) ] = 0,42265 z 2 = 1 2 [(2 0)(0,57735) ] = 1,57735 (15.24)

14 15.4 Integrción con límites infinitos 127 ( ) L derivd de dz/dx como = ( ) b 2 = 1, y entonces l cudrtur se escribe f(z)dz = 1 ( ) f(z) dz/dx dx =(1)[(1)f(0,42265) + (1)f(1,57735)](15.25) Cudrturs de Guss Legendre Cudrturs de Guss-Hermite Cudrturs de Guss-Lguerre Integrción con límites infinitos Trnsformción exponencil doble

15 Índice de cudros 1.1. Fórmul de Recurrenci de Henrici Número 7 en Bse Números decimles que se formn con un mntis de 4 dígitos y exponentes de un dígito Aproximción por redondeo de cos(x) Asignción de los resultdos del ddo Algoritmo de recurrenci pr lguns V.A. discrets Vlores proximdos y simuldos Vlores proximdos de ls vrinzs de los prámetros simuldos Tbl de diferencis hci delnte Ejemplo de plicción pr Nodos y Polinomio de Chebyshev Ejemplo de integrción de Romberg Constntes pr fórmuls cerrds de Newton Cotes Constntes pr fórmuls bierts de Newton Cotes

16 Índice de figurs 1.1. Fórmul de Recurrenci de Henrici pr diferentes vlores de n y pr = Aproximción por redondeo de cos(1) trvés de su derivd Aproximción de f(x) por P 5 (x) Puntos distribuidos en form uniforme y letori bjo l densidd Simulción prtir de l función de densidd (x) en el rngo [θ] Función de densidd ser simuld envuelt por kh(x) Función de densidd de l Norml N(0, 1) ser simuld envuelt por l Exp(1/λ Simulción medinte método de Composición Simulción de f(x) = 6x(1 x) por Método de Composición Región C con puntos uniformes Polinomio de Tylor de orden Aproximcion exp(x) por Polinomio de Chebyshev P CH 2 (x)=1+1,129772x+0,532042x P T 1 (x) = 1 + x que proxim exp(x) y el error crece Grfico ln(1 + x) y P (x) de orden Grfico (9)E(x) ln(1 + x)p 5 (x) P L 1 (x) que proxim l funcion f(x) = exp(2x) Aproximcion de cos(x)por P 1 (x) en [0, 1,2] Diferentes polinomios de Chebyshev en el intervlo [ 1, 1] Regl del Trpecio

17 ÍNDICE DE FIGURAS Regl del trpecio extendid Regl del trpecio extendido con vrios subintervlos Integrción de Romberg pr f(x) = π(1 + ( x 2 )2 ) Regl de 1/3 de Simpson

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