FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN

Transcripción

1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico de la determinación de la tangente a una curva y del problema físico de la velocidad instantánea. Una función es derivable en a si eiste y es real el límite. f( a + h) f( a) lim h 0 h Ejercicio 1.- Calcular la derivada de f() en =1 y en =3: f ( ) : = sin( - Introducir en el Editor de línea la epresión (f(1+h)-f(1))/h. - Con los comandos Cálculo -> Limites se calcula el límite de la epresión anterior cuando h f( 1+ h) f( 1) tiende a 0, obteniéndose la epresión: lim h 0 h - Con el comando Simplificar se obtiene el valor eacto de ese límite cos(1) - Con Aproimar se obtiene su valor aproimado, Con lo que se concluye que f (1)=.Cos(1), y en forma aproimada ) Realizar los mismos pasos para obtener que y en forma aproimada , f '(3) = 6.cos(9), f ' π = π Ejercicio.- Calcular la continuidad y la derivada de g() en =: 1 g ( ): = 1+ ( ) sin 1º) Al aparecer (-) en un denominador esta función no está definida en =. - Si se calcula el límite de g() cuando tiende a, al simplificar se obtiene 1. Esto permite definir de forma continua a la función en = como g()=1. 1

2 º) Para calcular la derivada de g() en = se realizaran los siguientes pasos: - Introducir la epresión (g(+h)-g())/h - Desde el menú, Cálculo -> Limites se calcula el límite de la epresión anterior cuando h g( + h) g( ) tiende a 0, obteniéndose la epresión: lim h 0 h - Con el comando Simplificar se obtiene el valor del límite 0. Con lo que se concluye que g ()=0 3º) Realizar los mismos pasos que en º) para comprobar que g (-1)= A veces no eiste el límite anterior, pero si eisten los límites laterales. En este caso se habla de derivadas laterales. La gráfica de la función presenta un "pico" en ese punto. Ejercicio 3.- Introducir la siguiente función en Derive: m() : = Para evaluar m (0) se introduce la epresión (m(0+h)-m(0))/h - Al calcular su límite cuando h 0 se obtiene la respuesta ±1, que nos indica la eistencia de límites laterales. - Si se evalúa el límite por la derecha cuando h tiende a 0 de la epresión - (m(0+h)-m(0))/h, se obtiene 1. Si se evalúa el límite por la izquierda, se obtiene -1. En esta situación no eiste derivada, pero si derivadas laterales de la función en 0. Ejercicio 4.- Estudiar la derivabilidad en =0 de la función cos( ) si 0 r( ): = 1 si > 0

3 .- Cálculo directo de la función derivada. El cálculo de la función derivada en Derive puede hacerse de varias formas. La primera es marcando la epresión que se desea derivar y seleccionando Cálculo -> Derivadas (o en su defecto el icono ). De ese modo, se abre un cuadro de diálogo que solicita la variable respecto de la cual se ha de calcular el límite (en este caso se acepta la opción por defecto ) y el orden de derivación. Si se quiere calcular la derivada de una función en un punto, se utilizan los comandos Simplificar -> Sustituir Variable Una segunda opción consiste en introducir en el Editor de línea la función f() que se desea evaluar y a continuación introducir f (). Para evaluar la derivada en un punto a se puede introducir directamente f (a) y pulsar ( o ). Ejercicio 5.- Calcular la derivada de la función y evaluar su valor en = π/3: ( 1 4 ) u ( ) : = ATAN() + LN Comprobar que el resultado es: ATAN () + y que u (π/3) = Ejercicio 6.- Comprobar que ( Ln + 3) + Sin( ) ) ' = Cos( ) ( Para ello, se propone hacerlo de forma directa con Cálculo -> Derivadas -> Simplificar y por otro lado mediante Cálculo -> Derivadas -> Si y a continuación pulsar repetidas veces hasta llegar al resultado final. Esta última opción permite analizar las reglas de derivación que se aplican para obtener la epresión final de la derivada. Ejercicio 7.- Calcular la derivada de la función m() : = + 1 y evaluarla en =0. Ejercicio 8.- Comprobar que la derivada de orden 7 de la función e es e ( + 7) 3

4 3.- Interpretación geométrica de la derivada. Geométricamente, el valor del límite f (a) representa la pendiente de la recta tangente a la curva y = f() en el punto [a,f(a)]. Esto nos permite calcular esa recta tangente mediante la ecuación: y - f(a) = f (a) * (-a) En el siguiente ejercicio se definen instrucciones que nos darán la recta tangente y las rectas secantes a una función dada en un punto dado. Ejercicio 9.- Calcular la ecuación de la recta tangente a f():=sin(^) en =1. - Introducir en el Editor de línea y - f(1) = f (1) * (-1). - Pulsar para simplificar esa epresión. - Introducir en el Editor de línea las coordenadas del punto de abcisa 1, [1, f(1)]. Al simplificar se obtiene [1,sin(1)]. - Representar gráficamente la función, la recta tangente y el punto. - En la pantalla D mover la cruz al punto [1, sin(1)], centrar la gráfica en el punto y hacer zoom (F9) varias veces para ver que la recta es tangente a la curva en ese punto. Ejercicio 10.- Utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, representar sobre la gráfica anterior las rectas secantes a f() en los puntos: [-0.5, f(-0.5)] y [1, f(1)] [0, f(0)] y [1, f(1)] Ejercicio 11.- Escribir la ecuación de la recta tangente a : 1 g ( ): = 1+ ( ) sin en = y en = -. Representarla gráficamente. Ejercicio 1.- Escribir la ecuación de la recta tangente a : m() : = + 1 en = 0 y en = 1. Representarlas gráficamente. 4

5 4.- Aplicaciones de la derivada. Etremos relativos y puntos de infleión. El estudio del crecimiento y decrecimiento de una función se realiza a través de su derivada primera. El estudio de la concavidad y conveidad de una función se hace a través de su segunda derivada. Ejercicio 13.- Obtener los etremos de la función: 1 f ( ) : = + 1 Para encontrar los etremos se trabaja con la primera derivada. - Calcular los puntos donde se anula la primera derivada introduciendo f ()=0 en el Editor de línea. Resolver obteniendo =, =0, estos son los posibles etremos relativos. - Calcular f () y f (0) observando el signo de cada resultado. En el punto [-, f()] hay un máimo relativo y en el punto [0, f(0)] hay un mínimo relativo. - Representar f() y comprobarlo. Ejercicio 14.- Hallar los puntos de infleión de la función: 3 r ( ) : = Para ello: - Calcular los puntos donde se anula la segunda derivada introduciendo r ()=0 en el Editor de línea y resolver la epresión. Se obtiene el valor = -/3. - Comprobar que r (-/3) es distinto de cero. - El punto [-/3, r(-/3)] es, por tanto, el único punto de infleión de la curva. - Representar r() y observar que a la izquierda del punto de infleión la curva es cóncava hacia abajo mientras que a la derecha de dicho punto es cóncava hacia arriba. Ejercicio 15.- Introducir la función: 4 3 h( ) : = Comprobar gráfica y analíticamente que los puntos (-3,0), (-1.5,-5.065) son puntos de infleión, en (-0.75, ) tiene un mínimo y que en = -3 se anula la primera derivada pero no es un etremo relativo. 5

6 5.- Asíntotas. Como complemento a la construcción de la gráfica de una función vamos a realizar el estudio de las asíntotas. Una asíntota es una recta a la que se aproima la curva en el infinito. Ejercicio 16.- Calcular las asíntotas verticales de la función f ( ) : = Esta función tiende a ± cuando el denominador se anula. Con Resolver se obtiene =3, =. Las asíntotas verticales son =3, =. Representar gráficamente función y asíntotas. Ln( ) Ejercicio 17.- Calcular las asíntotas horizontales de f ( ) : = Con Cálculo -> Limites cuando tiende a ± se obtiene que lim Ln ( ) horizontal es y = 0. Representar gráficamente función y asíntota. = 0. La asíntota Ejercicio 18.- Calcular las asíntotas oblicuas de la función f ( ) : = + 1 Aplicar el comando Cálculo -> Limites cuando tiende a ± sobre 1º f ( ) para hallar m, se obtiene. º f()- para hallar n, se obtiene 1. La asíntota oblicua es y=+1. Representar gráficamente función y asíntota. Ejercicio 19.- Calcular las asíntotas oblicuas de la función g ( ) : = + Ejercicio 0.- Dada la función + f ( ) : = 1 1/3 e. si si 0 < 0 Obtener las asíntotas, los máimos y mínimos y los puntos de infleión. 6.- Representación gráfica. Ejercicio 1.- Hacer el estudio, representar gráficamente y comparar los resultados obtenidos analítica y gráficamente de las siguientes funciones 3 a) y = b) y = 4 + c) y = Ln( 6+8) d) y = e 6