2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42

Transcripción

1 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 4 Pág. 0 cm r r l l 0 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para hacerlo necesita saber su volumen ( cuánta cera gastará?) y su superficie total ( cuánto le costará pintarlas?). Escribe la epresión del volumen de los cuatro objetos en función de r o de l. Averigua su valor para r 6 cm y para l 0 cm. V CILINDRO π r 0 π π cm V ESFERA 4 πr 4 π 6 88π cm V CUBO l cm V PARALELEPÍPEDO 0l cm Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

2 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Escribe la epresión de la superficie total de estos cuatro objetos en función de r o de l. Averigua su valor para r 6 cm y para l 0 cm. A CILINDRO πr πr 0 πr 40πr 7π 40π π cm A ESFERA 4πr 4π 6 44π cm A CUBO 6l cm A PARALELEPÍPEDO l 4l 0 l 80l cm Pág. PÁGINA 4 ANTES DE COMENZAR, RECUERDA Opera y simplifica. (5 4 ) [( ) ( )( )] (5 4 ) [( ) ( )( )] (5 4 ) [( ) ( 4 )] (5 4 ) [ ] Etrae factor común en (5 6 ) Desarrolla las siguientes epresiones (7 ) ( ) ( )( ) d) ( 5 )( 5 ) (7 ) ( ) ( )( ) d) ( 5 )( 5 ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

3 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 4 Epresa en forma de producto d) 4 4 (recuerda que ( ) ) e) 4 4 f) 5 (6 5) (6 5) ( )( ) d) ( )( ) e) ( ) f) ( 5)( 5) Pág. PÁGINA 44 Efectúa las siguientes divisiones y epresa el resultado así P() Q() C() R() Indica en qué casos la división es eacta y, por tanto, el dividendo se ha factorizado ( ) ( ) ( ) ( 5 ) (6 4 ) ( ) d)( ) ( 4) ( )( 4 ) La división es eacta ( 5 )(4 6 ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

4 Soluciones a las actividades de cada epígrafe / / 4 8/ Pág ( )( 4/) 4 8/ d) La división es eacta ( 4)(5 0) PÁGINA 45 Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones (5 4 6 ) ( ) (6 5 4 ) ( ) ( ) ( 4) d)( ) ( ) COCIENTE RESTO COCIENTE RESTO COCIENTE RESTO d) COCIENTE RESTO Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

5 Soluciones a las actividades de cada epígrafe En cada una de las divisiones efectuadas en el ejercicio anterior, epresa el resultado de estas dos formas distintas P() ( C() R P () C () R a a ( )( ) ( )( ) ( 4)( 7 5 8) d) ( )( ) Pág. 5 PÁGINA 46 El polinomio 4 0 es divisible por a para dos valores enteros de a. Localízalos y da el cociente en ambos casos a COCIENTE a COCIENTE 4 Comprueba que el polinomio no es divisible por a para ningún valor entero de a. Probaremos con los divisores de 0 que sean negativos. No lo haremos con los positivos porque, al ser todos los coeficientes del polinomio positivos, no conseguiremos, en ningún caso, encontrar un resto cero Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

6 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 47 Pág. 6 Utiliza la regla de Ruffini para hallar P( en los siguientes casos P() , a, a 5, a 0 P() 8, a, a, a P () 7 P (5) 4 6 P (0) P () 6 P () P(8) 048 PÁGINA 48 Cálculo mental Di si 0,,, o son raíces de los siguientes polinomios d) Son raíces 0, y Son raíces 0, y Son raíces d) Son raíces 0,,, y Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 49 Pág. 7 Factoriza los siguientes polinomios d) e) 4 60 f) ± ± 0 4/ ( ) ( 4)( ) ( ) 5 48 ( 4 48) ( 4 6) ( 4)( 4) ( )( )( 4) Probamos con los divisores enteros de y no encontramos ningún resto cero No podemos factorizar el polinomio 5. d) ± 9 6 ± ( 4) ( ) 4 e) 4 60 ( 60) ± ± ( 5)( 4)( ) 4 f) ± 9 ( )( ) ( )( )( )( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

8 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 50 Pág. 8 Cálculo mental Halla el má.c.d. y el mín.c.m. de los siguientes pares de polinomios y ( ) y y d) y má.c.d. [, ( ) ] mín.c.m. [, ( ) ] ( ) ( ) má.c.d. [, ] mín.c.m. [, ] ( )( ) má.c.d. [, ] ( )( ) mín.c.m. [, ] ( )( ) d) má.c.d. [, ] mín.c.m. [, ] ( ) Razona si eiste alguna relación de divisibilidad entre los siguientes pares de polinomios P() 7 y Q() 7 P() 7 y Q() 7 P() 4 0 y Q() P () ( 7) Q () ( 7) No eiste ninguna relación de divisibilidad. P () ( 7) Q () ( 7) Q () divide a P () P () ( )( 4 5) Q () Q() divide a P(). Busca dos polinomios de tercer grado que sean divisibles por 5 y. Halla su má.c.d. y su mín.c.m. Por ejemplo ( 5)( ) 7 0 ( 5) 5 má.c.d. [ 7 0, 5 ] ( 5) mín.c.m. [ 7 0, 5 ] ( 5)( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

9 Soluciones a las actividades de cada epígrafe P() ( ). Busca un polinomio de tercer grado, Q(), que cumpla las dos condiciones siguientes má.c.d. [P(), Q()] mín.c.m. [P(), Q()] ( ) ( 5) P () ( ) Si má.c.d. [P(), Q()] ( ) y mín.c.m. [P(), Q()] ( ) ( 5), debe ser Q() ( )( 5) Pág. 9 4 Di cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles. Descompón en factores los que no lo sean d) 5 e) 5 f) 5 ± 9 8 ± ( )( ) 5 ± ± 5 6 ( )( ) 5 ( 5) 5 ± 5 4 d) 5 ± 7 5 ( )( ) 6 6 / 5 ± 5 6 e) No tiene solución. 6 5 es irreducible. f) 5 ( 5 ) 5 es irreducible (apartado e)). 5 Calcula el má.c.d. y el mín.c.m. de cada pareja de polinomios P() 9, Q() 6 9 P() 7, Q() 4 4 P() ( ) ( 5), Q() ( )( ) P() ( )( ) Q() ( ) má.c.d. [P(), Q()] mín.c.m. [P(), Q()] ( ) ( ) P() ( 7 ) ( 4)( ) Q() ( 4)( ) má.c.d. [P(), Q()] ( 4) mín.c.m. [P(), Q()] ( 4)( )( ) P() ( ) ( 5) Q() ( )( ) má.c.d. [P(), Q()] ( ) mín.c.m. [P(), Q()] ( ) ( 5)( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 5 Pág. 0 Cálculo mental Simplifica estas fracciones ( ) d) 6 9 e) f) d) e) f) 4 4 Di si cada par de fracciones son equivalentes o no. y y y 8 Son equivalentes.? 8? ( ). No son equivalentes.. Sí son equivalentes. ( )( ) Simplifica las siguientes fracciones 6 4 d) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) 5 6 ( 5 6) ( )( ) ( )( )( 4) 4 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Comprueba si cada par de fracciones son equivalentes y ( 5) y 0 5 ( ) ( )( ). Son equivalentes. ( ) ( ) ( 5) ( 5)? 0 5 ( 5) ( ) No son equivalentes. Pág. PÁGINA 5 Cálculo mental Reduce a común denominador y 5 y ( )( ) y ; 5( ) ; ( )( ) ( ) ( ) ; ( )( ) ( )( ) Opera. 4 d) 5 ( ) d) 5 5 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

12 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Efectúa las operaciones y simplifica el resultado. 5 ( ) d) 5 e) f) 4 ( ) 5 ( ) ( 5) 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 5( ) ( )( ) d) 5 ( )( ) ( )( 5) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pág. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

13 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 5 Pág. P RACTICA Operaciones con polinomios Opera y simplifica las siguientes epresiones ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 5) 4 ( ) ( )( ) (4 5) ( 6 9) (9 ) (4 5) Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado (y )(y ) ( y) (y ) ( y) ( y) ( y)y (y )( y) ( y)( y) 4y y y y 5y y y y y y y 8y y 4y y y 4y y Multiplica cada epresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica ( 5) ( ) ( 4)( 4) 5 4 (8 )( ) ( ) ( )( ) ( 5) ( ) ( 4)( 4) [ 5 4 ] 60 5(4 4 ) 0( 6) (8 4 5 ) (9 4 4) 5(4 9) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

14 Soluciones a los ejercicios y problemas 4 Halla el cociente y el resto de cada una de estas divisiones (7 5 ) ( ) ( 7 5 ) ( ) ( 5 4)( ) COCIENTE RESTO 9 4 Pág COCIENTE RESTO COCIENTE 4 8 RESTO 8 5 Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes ( 5 4 ) ( ) ( 4 5 ) ( ) (4 5 ) ( ) COCIENTE 4 5 RESTO COCIENTE 5 8 RESTO 8 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

15 Soluciones a los ejercicios y problemas COCIENTE RESTO 6 Pág. 6 Divide y comprueba que Dividendo divisor Ò cociente resto ( 5 )( 5 ) ( 5 ) Epresa las siguientes divisiones de la forma D d c r. (6 5 9) ( ) ( 4 4 9) ( ) ( ) ( 5) ( )( ) ( )( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

16 Soluciones a los ejercicios y problemas ( 5)( ) Pág. 4 Factor común e identidades notables 8 Epresa como cuadrado de un binomio y 60y 9 4 y 6 y d)y 4 y (4 ) (6 5y) ( y) d) (y ) 9 Epresa como producto de dos binomios y d)5 e) 00 f) 5 (7 4)(7 4) ( y)( y) (9 8)(0 8) d)(5 )(5 ) e) ( 0)( 0) f) ( 5 )( 5 ) 0 Saca factor común e identifica los productos notables como en el ejemplo. 4 8 ( 6 9) ( ) y 6 y y d)4 4 8 y 5(4 9) 5( ) (9 y ) ( y)( y) ( y y ) ( y) d) (4 8y ) ( 9y)( 9y) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

17 Soluciones a los ejercicios y problemas Regla de Ruffini. Aplicaciones Pág. 5 Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones (5 ) ( ) ( )( ) ( 4) ( ) d)( 4 5) ( ) 5 COCIENTE RESTO COCIENTE RESTO COCIENTE RESTO d) COCIENTE RESTO Utiliza la regla de Ruffini para calcular P(), P(5) y P(7) en los siguientes casos P() 5 7 P() P () P (5) 407 P(7) 49 P() 6 P(5) 557 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

18 Soluciones a los ejercicios y problemas P(7) 6 Pág. 6 Averigua cuáles de los números,,,,, son raíces de los polinomios siguientes P() 5 6 Q() Recuerda que a es raíz de P() si P( ? ? ? 0 Son raíces de P(), y. 4? ? ? 0 es una raíz de Q() (no probamos con y porque no son divisores de ). 4 Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por o. P () P () 4 0 P () ? 0 P es divisible por ? P es divisible por. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

19 Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7 P es divisible por. No puede ser divisible por porque no es múltiplo de. PÁGINA 54 5 El polinomio 4 4 es divisible por a para dos valores enteros de a. Búscalos y da el cociente en ambos casos Es divisible por 4. Es divisible por 6. COCIENTE 6 6 COCIENTE Prueba si el polinomio es divisible por a para algún valor entero de a Es divisible por. 7 Si P() 8 45, halla los valores P(8,75), P(0,5) y P(7) con ayuda de la calculadora. Describe el proceso como en el ejemplo 8.75m *Ñ-*Ñ-8*Ñ45{ «} P(8,75) 70, ,5 m *Ñ- *Ñ- 8 *Ñ 45 { Ÿ «} P (0,5) 489,7 7 ±m *Ñ- *Ñ- 8 *Ñ 45 { \} P (7) 756 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

20 Soluciones a los ejercicios y problemas Factorización de polinomios Pág. 8 8 Factoriza los siguientes polinomios d) , 4 5 ( 5)( ) , 8 5 ( 5)( ) , ( 8)( 5) d) , ( 0)( 7) 9 Busca, en cada caso, una raíz entera y factoriza, después, el polinomio d) ( 5)( ) 5 ( )( 5) ( )(4 5) d) 7 7 ( 8)( 9) 0 Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios d) 4 e) 6 6 f)6 4 9 ( 4) ( )( ) ( 6 9) 4( ) (9 ) 5 ( )( ) d) 4 ( ) ( ) e) 6 6 ( 4 6) ( 4)( 4) ( 4)( )( ) f) (4 )(4 ) (4 )( )( ) Completa la descomposición en factores de los polinomios siguientes ( 5)( 6 9) ( 7)( 40) ( 5)( 6 9) ( 5)( 5)( ) ( 7)( 40) ( 7)( 8)( 5) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

21 Soluciones a los ejercicios y problemas Descompón en factores y di cuáles son las raíces de los siguientes polinomios d) 4 6 ( )( )( ) Sus raíces son, y. 0 0 Pág ( )( 4) Sus raíces son 0, y ( ) ( 7) 8 7 Sus raíces son y d) ; ; ; 4 6 ( )( )( )( ) Sus raíces son,, y. Factoriza los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces d) ( )( ) Raíz ( )( 4)( 5) Raíces, 4 y ( )( ) 4 6 Raíz 0 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

22 Soluciones a los ejercicios y problemas d) ( )( )(4 4 ) ( )( )( ) 4 4 Raíces, y Pág. 0 Fracciones algebraicas 4 Comprueba, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes 4 y y y y d) y y y Sí son equivalentes, porque ( 4). No son equivalentes, ya que ( )?. Sí son equivalentes, porque ( y)( y) y. d) Sí son equivalentes, porque ( ). 5 Descompón en factores y simplifica. 9 ( ) d) y 5 y y e) f) y y 6 y 9 ( )( ) ( ) ( )( ) 4 ( )( ) 5 0 ( 5) 5 ( 5)( 5) d) y ( y) y y ( y) e) 6 ( )( ) y f) y y y( y) y y y y 5 5 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

23 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Reduce a común denominador y opera. 4 d) Pág ( ) d) 4 4 ( )( ) Efectúa. d) 6 6 ( ) 6 ( ) 9 ( ) d) ( )( ) ( ) ( )( ) Opera. d) d) 4 6 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

24 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Opera y simplifica si es posible. ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 4 Pág. 0 Descompón en factores el dividendo y el divisor, y, después, simplifica d) ( ) 5 6 ( )( ) 4 ( )( 4) ( ) ( ) 9 6 ( ) d) 4 ( 6)( 7) 8 7 ( )( 7) 4 6 PÁGINA 55 P IENSA Y RESUELVE Sustituye, en cada caso, los puntos suspensivos por la epresión adecuada para que las fracciones sean equivalentes d) 9 ( ) ( ) d) ( ) 4 4 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

25 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla, en cada caso, el mínimo común múltiplo y el máimo común divisor de los polinomios siguientes ; ; ; 9; 6 9 ; 6; d); ; 4 Pág. 9 ( )( ) 6 9 ( ) ( ) ( )( ) 6 ( ) ( )( ) d) 4 ( )( ) má.c.d. [,, ] mín.c.m. [,, ] ( )( ) má.c.d. [, 9, 6 9] mín.c.m. [, 9, 6 9] ( ) ( ) má.c.d. [, 6, ] mín.c.m. [, 6, ] ( )( ) má.c.d. [,, 4 ] mín.c.m. [,, 4 ] (4 ) Resuelto en el libro de teto. 4 Opera y simplifica. ( ) ) ( ( ) ( ) d) [( ) ( )] ( ) 9 9 ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

26 Soluciones a los ejercicios y problemas 5 Efectúa. 5 4 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Pág ( )( ) 4 4 ( )( ) ( )( ) 4 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 4)( ) 4 ( )(4 ) (4 ) (4 ) (4 ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

27 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Opera y simplifica. ( ) ( ) 4 ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pág. 5 7 Efectúa. 9 ( ) ( ) 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 8 Resuelto en el libro de teto. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

28 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Calcula m para que el polinomio P() m 5 sea divisible por. P() m 5 será divisible por si P() 0. P() () m() 5() 0 m m 8 Pág El resto de la siguiente división es igual a 8 ( 4 k 7 6)( ) Cuánto vale k? LLamamos P() 4 k 7 6. El resto de la división P()( ) es P(), luego P() k k k 8 k 4 4 Halla el valor que debe tener m para que el polinomio m 5 9m sea divisible por. Llamamos P() m 5 9m. Dicho polinomio ha de ser divisible por, luego el resto ha de ser 0 P() 0 8 m() () 5 () 9m m 0 9m 0 8 m 4 Comprueba si eiste alguna relación de divisibilidad entre los siguientes pares de polinomios P() 4 4 y Q() P () 0 5 y Q() 5 P() y Q() P() ( )( ) Q() ( ) Q () es divisor de P(). P() ( 5) Q() ( 5) No hay relación de divisibilidad. P() ( )( 4) Q() Q() es divisor de P(). Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

29 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 56 Pág. 7 4 Tenemos un polinomio P() ( ) ( ). Busca un polinomio de segundo grado, Q(), que cumpla las dos condiciones siguientes má.c.d. [P(), Q()] mín.c.m. [P(), Q()] ( ) ( 9) Q() ( )( ) 44 Calcula el valor de k para que el polinomio P() k sea múltiplo de Q(). k k k Ha de ser k 0 8 k Traducción al lenguaje algebraico 45 Traduce a lenguaje algebraico empleando una sola incógnita El cociente entre dos números pares consecutivos. Un número menos su inverso. El inverso de un número más el inverso del doble de ese número. d)la suma de los inversos de dos números consecutivos. d) 46 Epresa mediante polinomios el área y el volumen de este ortoedro. 4 Área [( 4)( ) ( ) ( 4)] Volumen ( 4)( ) 8 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

30 Soluciones a los ejercicios y problemas 47 Epresa, en función de, el área total de este tronco de pirámide. Pág. 8 [ Área lateral 4 ( ) ( ) 4( ) Área de las bases ( ) Área total 4( ) ( ) 6 8 ] 48 Un grifo tarda minutos en llenar un depósito. Otro grifo tarda minutos menos en llenar el mismo depósito. Epresa en función de la parte del depósito que llenan abriendo los dos durante un minuto. 49 Se mezclan kg de pintura de 5 /kg con y kg de otra de /kg. Cuál será el precio de kg de la mezcla? Eprésalo en función de e y. 5 y y 50 En un rectángulo de lados e y inscribimos un rombo. Escribe el perímetro del rombo en función de los lados del rectángulo. y ( ) ( ) y El lado del rombo es l Perímetro 4 y y ( ) y 5 Epresa algebraicamente el área de la parte coloreada utilizando e y. Área cuadrado grande y Área cuadrado pequeño (y ) Área parte sombreada y (y ) 4y 4 y Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

31 Soluciones a los ejercicios y problemas 5 Dos pueblos, A y B, distan 60 km. De A sale un coche hacia B con velocidad v. Al mismo tiempo sale otro de B en dirección a A con velocidad v. Epresa en función de v el tiempo que tardan en encontrarse. t 60 v Pág. 9 5 En el rectángulo ABCD de lados AB cm y BC 5 cm, hemos inscrito el cuadrilátero A'B'C'D' haciendo AA' BB' CC' DD'. Escribe el área de A'B'C'D' en función de. B A' B' C C' A D' D Sabiendo que AD' B'C 5 y A'B C'D, se tendrá El área del triángulo B'CC' es (5 ). El área del triángulo A'AD' es (5 ). El área del triángulo B'BA' es ( ). El área del triángulo D'DC' es ( ). El área del rectángulo ABCD es 5 5 cm. A PARALELOGRAMO 5 (5 ) ( ) 5 [(5 ) ( )] [ ] 5 ( 8) 8 5 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

32 Soluciones a los ejercicios y problemas 54 En el triángulo de la figura conocemos BC 0 cm, AH 4 cm. Por un punto D de la altura, tal que AD, se traza una paralela MN a BC. Desde M y N se trazan perpendiculares a BC. M A D N Pág. 0 B P H Q C Epresa MN en función de. (Utiliza la semejanza de los triángulos AMN y ABC). Escribe el área del rectángulo MNPQ mediante un polinomio en. A M D N 4 cm B P H Q 0 cm C Por la semejanza de triángulos BC MN 8 MN BC 8 MN 0 8 MN 5 AH AH 4 MP 4 A RECTÁNGULO MN MP 5 (4 ) 0 5 PÁGINA 57 R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 55 Escribe en cada caso un polinomio de segundo grado que tenga por raíces 7 y 7 0 y 5 y d)4 (doble) Por ejemplo ( 7)( 7) 49 ( 5) 5 ( )( ) 5 6 d)( 4) Escribe, en cada caso, un polinomio que cumpla la condición dada De segundo grado sin raíces. Que tenga por raíces, 0 y. De tercer grado con una sola raíz. Por ejemplo ( )( ) ( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

33 Soluciones a los ejercicios y problemas 57 Las raíces de P() son 0, y. Escribe tres divisores de P() de primer grado. Escribe un divisor de P() de segundo grado. ; ; Por ejemplo ( ) Pág. 58 Inventa dos polinomios de segundo grado que cumplan la condición indicada en cada caso mín.c.m. [P(), Q()] ( )( ) má.c.d. [P(), Q()] Por ejemplo P() ; Q() ( )( ) Por ejemplo P() ( ); Q() ( )( ) 59 Cuál es el mín.c.m. de los monomios A b; B a b ; C 5a? Escribe otros tres monomios D, E, F tales que mín.c.m. (A, B, C, D, E, F ) 0a b A b B a b C 5a mín.c.m. (A, B, C ) 0a b Tomamos, por ejemplo D b E 5a F 0ab mín.c.m. (A, B, C, D, E, F) 0a b 60 Si la división P() ( ) es eacta, qué puedes afirmar del valor P()? Si 5 es una raíz del polinomio P(), qué puedes afirmar de la división P() ( 5)? En qué resultado te has basado para responder a las dos preguntas anteriores? Si la división es eacta, el resto es 0, luego P() 0. La división P()( 5) es eacta, el resto es 0. En el teorema del resto. 6 Prueba que el polinomio (a ab es divisible por a y por b para cualquier valor de a y b. Cuál será su descomposición factorial? a b ab a a ab b 0 (a ab ( ( a b ab b b ab a 0 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

34 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 En una división conocemos el dividendo, D(), el cociente, C(), y el resto, R(). D() 5 ; C() ; R() 7 7 Calcula el divisor. D d c R 8 Dividendo Resto divisor Cociente D R El divisor es. Pág. 6 Cuál es la fracción inversa de? Justifícalo. Inversa El producto de ambas debe ser igual a P ROFUNDIZA 64 Saca factor común en las siguientes epresiones ( ) ( )( ) ( 5)( ) ( 5)( ) ( y)(a (a ( y) El factor común es un binomio. ( )[ ( )] ( )( ) ( )[( 5)( 5)] ( )() ( y)[(a (a ] ( y)( 65 Descompón en factores a y a. Prueba si son divisibles por a o por a. 0 0 a a a a a a a a a a a a a a 0 a ( ( a a ) a ( ( a a ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

35 Soluciones a los ejercicios y problemas 66 Factoriza las siguientes epresiones como en el ejemplo. a ay b by a( y) b( y) ( y)(a a ay b by y y y y y y d)ab ab b a( y)b( y) ( y)(a y( )( ) ( )(y ) y( )y ( ) ( )(y y) ( )( )y d) ab(b ) (b ) (b )(ab ) Pág. 67 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas y y a b 6ab 4a b a b 0 5y a b 6a b ab a b 4b y y y( y) 0 5y 5( y) y 5 a b 6ab ab (a b a b 6a b a b(a a 4a b a b a b(b ) ab a b 4b b(a a a (b ) a a b 68 Efectúa y simplifica. y ( ) y y a ab ab b ab b a ab a (a ab b ab ( ) b a y y y ( y)( y) y y y y ( y)( y) a ab a ab b (a a a(a a a 4 a b (a b ) ab b a ab (ab b )(ab b ) a b b 4 b (a b ) b a (a b a (a b ab b ab a ab ( ) a b a b ab ab ab ab Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

36 Soluciones a los ejercicios y problemas 69 Opera y simplifica. a b a ab 8b a b a b a 9b b b b y ( y y y ) d) y y ( ) ( y y a b a ab 8b a b a b a 9b a(a b(a (a ab 8b ) a 9b a 6ab ab 9b a ab 8b a 9b a 9b a 9b b b b b b b b( )( ) b( ) (b b b( )b b b b b b b b b b b b b( ) b [ y y y ( y) ( y) y ( ) ] y y y y y y y y y y 4y y y y d) y y y y y ( y) ( y) ( ) ( ) ( ) [ ] y y y y ( y)( y) [ b b b y y y ) y y y y y y y 4y y ( y)( y) y ( y)( y) y( y)( y) y y 4y( y) ] Pág. 4 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas