LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : ASIGNATURA: DOCENTE: TIPO DE GUIA: MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS EDISON MEJIA MONSALVE CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO 9 N 0 4 FECHA 7 DE ABRIL DE 015 DURACION UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO Identifica las características de la ecuación cuadrática, aplicándolas en la resolución de problemas algebraicos y geométricos identificados en distintos contextos. Aplica la factorización y la formula general para hallar las raíces de la ecuación cuadrática. Comprende los métodos de solución de la ecuación cuadrática para resolver situaciones planteadas. Realiza responsablemente las consultas y trabajos que se le asignen. FUNCION CUADRATICA. Una función cuadrática es aquella función de la forma y = f(x) = ax + bx + c con a, b, c pertenecientes al conjunto de los reales y a es diferente de 0. Grafica de una función cuadrática. La recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, se denomina eje de simetría. Representación grafica: Para cada función se identifica el vértice y se elabora una tabla de valores que determina la forma de la parábola. Ejemplo: graficar la función f(x) = x X Y = f (x) Para determinar el vértice de la parábola utilizamos la formula x = -b /a Y remplazamos el valor de x en la función dada. Ejemplo: realice la grafica de la función f (x) = -x + 4x Observo detalladamente como realiza mi profesor este ejemplo en clase. ACTIVIDAD # 1 Determine el vértice y grafique cada una de las siguientes funciones cuadráticas, utilice un plano para cada una. a. F(x) = x b. F(x) = x + c. F(x) = x 3 d. F(x) = - x + 3x e. F(x) = 3x + x +1 f. F(x) = -x + x +5 LA ECUACIÓN CUADRÁTICA 1

2 En cursos anteriores tuviste la posibilidad de estudiar las ecuaciones lineales con una sola incógnita en las cuales el único exponente de la variable es uno. Entras ahora en este período y en la presente guía a estudiar las ecuaciones cuadráticas con una sola incógnita en las cuales el exponente de la variable es, y a ampliar su estudio a las ecuaciones bicuadradas cuya forma se pueden llevar a la forma cuadrática. Debes tener muy en cuenta que la ecuación cuadrática tiene mucha aplicabilidad en ramas como la física, la matemática financiera, la electrónica, la geometría, entre otras, y que su estudio es de gran importancia para hallarle solución a muchas situaciones que se te pueden presentar en tu vida cotidiana. Por esto te invito a que con todo el interés y la mayor responsabilidad posible abordes el estudio de la ecuación cuadrática y todas sus características. ax + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a necesariamente Una ecuación de la forma diferente de cero, recibe el nombre de ecuación cuadrática ó ecuación de segundo grado (porque el exponente de la variable es ). En este caso la variable es x pero dependiendo del área que se esté estudiando la variable puede ser representada por otra letra (en la cinemática parte de la física la variables puede representarse por la letra t de tiempo). Debes tener presente que la constante a representa al coeficiente de la incógnita al cuadrado, la constante b el coeficiente de la incógnita lineal (con exponente uno) y la constante c representa al término independiente (el que no tiene incógnita). Clasificación de las ecuaciones cuadráticas. Dependiendo de los valores que tomen las constantes b y c, las ecuaciones cuadráticas se clasifican en completas ó en incompletas. Ecuaciones cuadráticas incompletas: Son aquellas en las que la constante b ó la constante c es cero. Así por ejemplo: X + 5x = 0 (c = 0) ; 3x 7x = 0 (c = 0) ; x 4 = 0 (b = 0) ; - 3x + 5 = 0 ( b = 0) Ecuaciones cuadráticas completas: Son aquellas en las que las constante b y c son números reales diferentes de cero (obviamente a siempre tiene que ser diferente de cero para ser cuadrática). Así por ejemplo: x + 5x 6 = 0 ; 3x 7x + 4 = 0 ; t 6t + 9 = 0 ; - 5m 3m + = 0 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Solucionar una ecuación cuadrática es encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad; estos valores reciben el nombre de raíces de la ecuación. Una ecuación cuadrática tiene siempre dos raíces (ya que el exponente de la incógnita o variable es ). Es importante tener presente que para solucionar una ecuación cuadrática la debemos tener igualada a cero. Si no lo está, es necesario realizar las operaciones indicadas y las operaciones algebraicas necesarias para llevarla a la forma general ax + bx + c = 0 y ya de aquí proceder a solucionarla (ó sea a hallar sus raíces). Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas: - CASO 1: Ecuación cuadrática con c = 0 (no tiene término independiente). Se soluciona factorizando la ecuación por medio del factor común e igualando a cero cada factor y despejando a x en cada uno de ellos. En este caso siempre x = 0 es una solución. Por ejemplo. Al solucionar la ecuación 5x 6x = 0 se procede así:

3 Ya está desigualada a cero, luego se saca factor común: x(5x 6) = 0; posteriormente se iguala a cero cada uno de los factores: X = 0 ó 5x 6 = 0 y de aquí se obtiene x = 6/5. Por lo tanto las raíces ó solución de la ecuación cuadrática 5x 6x = 0 es: x = 0 ó x = 6/5. - CASO : Ecuación cuadrática con b = 0 (no tiene término con incógnita elevada a la potencia 1). Se soluciona despejando la incógnita al cuadrado y luego sacando raíz cuadrada a los dos lados de la igualdad (ó cuando sea posible factorizándola como una diferencia de cuadrados y luego igualando a cero cada factor que tiene x para hallar su valor).. Por ejemplo. Al solucionar la ecuación 5x 10 = 0 se procede así: Ya está desigualada a cero, luego se despeja la incógnita al cuadrado: 5x = 10 x = 10/5 x = Y de aquí se saca raíz cuadrada a ambos lados y resulta:, que es la solución de la ecuación cuadrática 5x 10 = 0. x ACTIVIDAD # 1. ESTOY MUY ATENTA EN LA CLASE Pongo toda mi atención a la forma como mi profesor solucionará en clase las siguientes ecuaciones cuadráticas: g. x 5 3 a. 3x d. 5x 4x 1 5 7x b. 8a 4a e. m 14x c. 3x f. 4x EN CLASE CON UNA COMPAÑERITA REALIZO LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: Del texto Matemática Experimental 9 de Ed. Uros que encuentro en el bibliobanco soluciono de la pág. 193 los numerales 11 y 1. Solución de ecuaciones cuadráticas completas: Para solucionar ecuaciones cuadráticas completas (a las que no le falta ninguno de sus términos) existen tres métodos de solución que son: Factorización, fórmula general y completación del trinomio cuadrado perfecto. Debo tener muy en cuenta tal y como se me indicó anteriormente que para solucionar las ecuaciones cuadráticas realizo todas las operaciones indicadas (si las hay) y la igualo a cero para luego proceder a resolverla. - SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN: Factorizo la ecuación cuadrática desigualada a cero (y después de haber realizado las operaciones indicadas) por los trinomios de la forma ax + bx + c = 0 ó de la 3

4 forma x + bx + c = 0 según el caso, luego cada uno de los factores los igualo a cero y despejo finalmente de cada uno de ellos la respectiva incógnita. Es importante que tengas en cuenta que no todas las ecuaciones son factorizables y por lo tanto las debo resolver por cualquiera de los otros dos métodos que trabajaremos a continuación. - EJEMPLO: Mi profesor soluciona en clase las siguientes ecuaciones por factorización. a. x + 7x = 18 b. x + 7x 4 = 0 c. n(n 1) 5(n ) = d. 6p = 10 11p e. (x ) - (x + 3) = - 80 SOLUCIÓN POR COMPLETACIÓN DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: No todos los trinomios de la forma ax + bx + c = 0, son factorizables, en los números enteros, por ejemplo, el trinomio x + x - 7 = 0 Observo detalladamente como resuelve mi profesor, esta ecuación en clase. - SOLUCIÓN POR LA FÓRMULA GENERAL Ó FÓRMULA CUADRÁTICA (o del bachiller): Dada la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0, los valores de la incógnita x los puedo hallar por la fórmula general siguiente: X b a Debo colocar demasiado cuidado cuando vaya a aplicar esta fórmula general con los signos de a, b y c y los signos de dicha fórmula ( jugar con la ley de signos). EJEMPLO: Mi profesor soluciona en clase las siguientes ecuaciones utilizando la formula cuadrática. a. x + 7x = 18 b. x + 7x 4 = 0 c. n(n 1) 5(n ) = d. 6p = 10 11p 4ac e. (x ) - (x + 3) = - 80 f. (x + 4) = x(5x 1) 7(x ) b ACTIVIDAD # 3 a. Del texto Matemáticas Experimental 9 soluciono por factorización de la pág. 187 del ejercicio 7.3 los numerales 1,, 3, 5, 7, 9, 10, 16, 0, 1, y 3. b. Del mismo texto de la pág. 193 resuelvo por fórmula general del numeral 13 las ecuaciones correspondientes a los literales a, b, c, e, g, h, d, j. c. Del texto ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA II grado 9 desarrollo los siguientes ejercicios: De la página 131 los ejercicios del numeral. De la página 134 del numeral 1 los literales a, c, g, h y j. De la página 135 del numeral 3 los literales a, c, d, e, f, i, j. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. En ocasiones, al plantear problemas se obtienen ecuaciones de segundo grado. Al solucionar la ecuación, el problema se soluciona, pero es importante verificar la solución obtenida con el contexto del problema. Ejemplo: dos números naturales se diferencian en tres unidades. Si la suma de los cuadrados es 369, hallar los números. 4

5 Presto toda mi atención en clase a la forma como mi profesor resuelve el problema. ACTIVIDAD # 4 Resuelva las siguientes situaciones problema: a. Claudia marcela es cuatro años mayor que Paula Andrea. Si dentro de cuatro años el producto de sus edades es 5, determine las edades actuales. b. El perímetro de un rectángulo es 6 cm y su área es 6 cm Cuáles son las medidas de su base y su altura? c. La suma de las edades de Juana y margarita es 3 años y su producto es 10. Hallar las edades. d. Andrea compro cierto número de libros por $. si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado 1000 $ más. Cuántos libros compro y cuanto le costo cada uno? DIOS SONRÍE PORQUE ES ESTO LO QUE ÉL QUIERE: QUE CADA UNO TENGA EN SUS MANOS LA RESPONSABILIDAD DE SU PROPIA VIDA 5