PLANEACIÓN DEL CONTENIDO DE CURSO

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1 FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS PROGRAMA DE CIENCIAS QUIMICAS PÁGINA: 1 de 5 PLANEACIÓN DEL CONTENIDO DE CURSO 1. IDENTIFICACIÓN DEL CURSO NOMBRE : ECUACIONES DIFERENCIALES CÓDIGO : SEMESTRE : QUINTO NUMERO DE CRÉDITOS : CUATRO PRERREQUISITOS : CALCULO 3 HORAS PRESENCIALES DE CUATRO : ACOMPAÑAMIENTO DIRECTO ÁREA DE FORMACIÓN : FORMACIÓN BÁSICA TIPO DE CURSO : PRESENCIAL FECHA DE ACTUALIZACIÓN : NOVIEMBRE 18 DE DESCRIPCIÓN: Esta asignatura es obligatoria, se imparte en ciencias básicas y su docencia está asignada al Departamento de Matemática. Tiene una asignación lectiva de 4 créditos que se impartirán a lo largo del curso con una distribución de 4 horas de clase semanales. Durante mucho tiempo, en el programa tradicional del primer curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) se ha enfatizado exclusivamente en el estudio de métodos algebraicos y procedimientos de integración simbólicos que permiten obtener, mediante laboriosos cálculos, fórmulas (explícitas o implícitas) para las soluciones de unos pocos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, marginándose los aspectos gráficos, numéricos y fenomenológicos. Hoy día, la posibilidad de acceder a las nuevas tecnologías, la necesidad epistemológica de que los estudiantes interioricen un enfoque global del campo de las EDO y que logren desarrollar unas competencias robustas y flexibles,

2 PÁGINA: 2 de 5 conlleva a cuestionar la pertinencia de dicho enfoque y se invita así a dedicar más esfuerzos curriculares para procurar una comprensión conceptual de las EDO y, en definitiva, a replantear el enfoque tradicional. En este sentido, el propósito de la asignatura es ofrecer una variedad de métodos y técnicas tanto cuantitativas como cualitativas para poder tratar con una EDO y de esta manera poder cazar y describir el comportamiento de las soluciones. Los métodos cuantitativos se enfocan a la resolución explícita de las ecuaciones y al estudio de la naturaleza de las soluciones. Los métodos cualitativos, combinan técnicas analíticas y geométricas para obtener información sobre el comportamiento a largo plazo de las soluciones. 3. JUSTIFICACIÓN Las ecuaciones diferenciales constituyen una de las ramas de las Matemáticas más importantes para la comprensión de los fenómenos naturales y surgen en diversas áreas del conocimiento, que incluyen no sólo las ciencias físicas, sino también campos diversos tales como la economía, medicina, psicología e investigación de operaciones. Puede afirmarse que constituyen el lenguaje en el cual las leyes de la naturaleza se expresan. Permite estudiar todos los fenómenos relacionados con el cambio y permite al estudiante un acercamiento a los modelos matemáticos y a la solución de problemas relacionados con los mismos. En el estudio de las ciencias e ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender los fenómenos físicos. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una función desconocida, que puede resultar importante hallar. Por ésta razón se hace necesario estudiar la teoría y los métodos básicos de las ecuaciones diferenciales, en este caso ordinarias. 4. PROPÓSITO GENERAL DEL CURSO Resolver problemas relacionados con la variación entre diferentes

3 PÁGINA: 3 de 5 magnitudes y manejar los métodos estándar de solución de ecuaciones incluyendo procedimientos analíticos gráficos y numéricos. Estudiar modelos matemáticos y aplicar los principios básicos en ellos establecidos a la solución de problemas de aplicación en diferentes áreas del conocimiento. 5. COMPETENCIA GENERAL DEL CURSO Resolver ecuaciones diferenciales aplicando los métodos estudiados. Resolver problemas de aplicación que involucran ecuaciones diferenciales. Interpretar la solución de un problema matemático. Identificar los modelos matemáticos relacionados con las ecuaciones diferenciales. Apropiarse de la terminología y los métodos propios de esta disciplina matemática. Tipo Cognoscitivo Comprensión de la Ecuación Diferencial y la relación que existen entre ellas y las operaciones que se efectúan en la búsqueda de su solución. Identificación de las propiedades y origen de las Ecuaciones Diferenciales. Análisis de la función como solución de la ED, representación y descripción de los fenómenos de variación y cambio. Aplicación de la Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Tipo Socio-Afectivo Aumento de la capacidad personal para plantear hipótesis y realizar inferencias retomando elementos de su conocimiento matemático. Incremento de la capacidad personal para trabajar en grupo, realizando aportes pertinentes y valorando otras opiniones. Tipo Profesional Aplicar los conceptos y métodos elementos estudiados a la solución de

4 PÁGINA: 4 de 5 problemas de aplicación. Plantea hipótesis, realiza inferencias y demuestra el manejo de conceptos y el conocimiento de modelos propios de las ecuaciones diferenciales. Analiza algunas situaciones de contenido matemático relacionado con el campo de la ingeniería, presenta argumentos y relata sus comprensiones personales. 6. PLANEACIÓN DE LAS UNIDADES DE FORMACIÓN 1. Introducción a las ecuaciones diferenciales Objetivos específicos: El alumno conocerá y manejará los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales, así como los orígenes de las mismas en diferentes áreas del conocimiento. Que el estudiante conozca cómo se puede utilizar las EDO para expresar y estudiar una situación física. Mostrar diversas situaciones en las que aparecen de manera natural las ecuaciones diferenciales. Contenido: 1.1. Nociones básicas 1.2. Presentación de diversos ejemplos de planteamiento de ecuaciones diferenciales, procurando mostrar que estas aparecen de manera natural en muchas áreas del conocimiento. 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden Estudiar en forma conceptual las ecuaciones autónomas de primer orden y también varios métodos para encontrar familias de soluciones de algunos tipos particulares de ecuaciones de primer orden.

5 Objetivos específicos: PÁGINA: 5 de 5 Que el estudiante sea capaz de entender el concepto de ecuaciones diferenciales de primer orden, desarrollar los métodos de solución y aplicarlos a la resolución de problemas matemáticos. El alumno adquirirá la habilidad para resolver las ecuaciones de primer orden y primer grado, mediante la exposición del maestro y la solución de problemas tanto por el maestro, como por el alumno en el laboratorio. El alumno conocerá este tipo de ecuaciones y adquirirá la habilidad necesaria para resolverlas, derivando la propia ecuación, lo que hará en laboratorio con la guía del maestro. Contenido: 2.1. Soluciones y problemas con valores iniciales Campos de direcciones La línea de fase El método de aproximación de Euler. Método de Euler mejorado Ecuaciones diferenciales de variables separables. Ecuaciones diferenciales transformables en separables Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes Ecuaciones diferenciales lineales Ecuaciones diferenciales que se resuelven por sustitución (homogéneas, transformables en homogéneas, de Bernoulli, de Ricatti, de Clairaut ) Modelación matemática que involucra ecuaciones de primer orden. 3. Ecuaciones diferenciales de orden superior

6 PÁGINA: 6 de 5 Presentar varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes. Desarrollar métodos para resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Analizar brevemente unas cuantas de las dificultades especiales que surgen con ecuaciones no lineales, y ver algunas técnicas con las que se resuelven ciertos tipos particulares de estas ecuaciones. Objetivos específicos: Que el estudiante, aplicando los métodos adecuados de resolución, sea capaz de calcular soluciones explícitas o implícitas para una ecuación de orden 2 o superior. Siendo las ecuaciones diferenciales de segundo orden las que tienen muchas aplicaciones en las diferentes ramas del conocimiento, el alumno adquirirá la habilidad de resolverlas y distinguirá la diferencia entre una ecuación lineal y no lineal. Con la guía del maestro, el alumno conocerá las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y adquirirá la habilidad de resolverlas tanto en clase como en laboratorio y podrá aplicarlas a diferentes problemas reales. Que el estudiante sea capaz de entender el concepto de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, desarrollar métodos de solución y aplicarlos a la resolución de problemas matemáticos. Estrategias de aprendizaje Clases magistrales. Talleres asistidos para la resolución de problemas Contenido: 3.1. Ecuaciones lineales: homogéneas y no homogéneas Reducción de orden Métodos de solución de ecuaciones lineales con coeficientes constantes (coeficientes indeterminados, anulador, variación de parámetros).

7 PÁGINA: 7 de Ecuación de Cauchy-Euler. Dos métodos de solución Ecuaciones diferenciales no lineales reducibles a orden uno Modelación matemática que involucra ecuaciones de segundo orden. 4. La Transformada de Laplace Objetivos específicos: El alumno manejará esta transformación lineal y la usará para resolver ecuaciones diferenciales de una manera más práctica. Que el estudiante conozca y aplique adecuadamente el método alternativo de la transformada de Laplace para resolver una EDO. Que el estudiante sea capaz de calcular soluciones formales en formas de series de potencias. Demostrar varias propiedades útiles de las transformadas de Laplace, para luego considerar problemas de valor inicial en los que se puedan usar esas propiedades Contenido: 4.1. Transformada de Laplace y sus propiedades básicas Transformada de funciones definidas por tramos y de la función gamma Comportamiento de la transformada de Laplace en infinito La Transformada de Laplace inversa. Transformadas inversas básicas Primer Teorema de Traslación y su forma inversa Transformadas inversas completando el cuadrado La función escalón. Las funciones definidas a trozos.

8 PÁGINA: 8 de Segundo Teorema de Traslación y su forma inversa. Transformada de una función escalón unitario Derivadas de transformadas. Transformadas de derivadas Convolución de funciones. Propiedades básicas de las convoluciones Transformada de una convolución, de una integral. Transformada inversa de un producto Transformada de una función periódica Solución de problemas de valor inicial por medio de transformadas de Laplace. Casos en los que aparecen ecuaciones con coeficientes variables Ecuación integro-diferencial La función Delta de Dirac y su transformada de Laplace Problemas de aplicación que se resuelven con transformada de Laplace 5. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Objetivos específicos: El alumno adquirirá la habilidad de resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, la que podrá utilizar para la solución de fenómenos físicos, tales como movimientos en un plano, sistemas de masas acopladas a resortes y redes eléctricas. Que el estudiante sea capaz de entender el concepto de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, así, como los métodos de solución para aplicarlos a la resolución de problemas matemáticos. Que el estudiante sea capaz de combinar técnicas analíticas y geométricas para describir completamente el comportamiento de un sistema autónomo lineal.

9 PÁGINA: 9 de 5 Que el estudiante sea capaz de predecir el comportamiento de las soluciones de un sistema no lineal cerca de los puntos de equilibrio. Describir diversas técnicas elementales para resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales y estudiar sistemas autónomos 2 por 2 con el plano de fases. CONTENIDO: 5.1. Sistemas de ecuaciones lineales (de diversos ordenes) Solución por reducción de variables* Solución por determinantes Solución con transformadas de Laplace 5.2. Sistemas lineales de primer orden Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios reales o complejos. Valores propios repetidos. Valor propio de multiplicidad dos. Valor propio de multiplicidad tres que tiene asociado un subespacio vectorial de dimensión 1. Valor propio de multiplicidad tres que tiene asociado un subespacio vectorial de dimensión Sistemas lineales no homogéneos de primer orden. Método de variación de parámetros Matriz exponencial (definición y propiedades básicas). Solución de sistemas lineales de primer orden mediante matrices exponenciales El plano de fases Problemas de aplicación que involucran sistemas dos por dos y tres por tres. 6. Soluciones en series de potencias para ecuaciones de primer orden* En esta última parte del curso no se pretende hacer un gran desarrollo teórico sino mostrar la forma de resolver ecuaciones utilizando series de potencias. Objetivo específico: Que el estudiante sea capaz de entender los conceptos de series de potencias y aplicarlos a la resolución de problemas matemáticos relacionados con ecuaciones diferenciales de segundo orden.

10 Contenido: 6.1. Repaso rápido de series de potencias Soluciones en series cerca de un punto ordinario Puntos Singulares Regulares 6.4. Ecuaciones de Euler 6.5. Soluciones cerca de un punto singular regular 6.6. Ecuación de Bessel. PÁGINA: 10 de 5 METODOLOGÍA Un estudiante del Programa de Matemática debe estar en permanente búsqueda del perfeccionamiento en su formación académica, debe ser un apasionado por el conocimiento, debe buscar constantemente la excelencia y su independencia intelectual. El estudiante entonces debe ser responsable de su propio aprendizaje. De acuerdo con estas características, la metodología de los cursos del Programa de Matemáticas busca involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas a los diferentes temas a tratar y mediante la asignación de problemas que deben ser discutidos en el aula. Se privilegia una metodología que permita propiciar el logro de un dominio conceptual adecuado de la matemática y potenciar el desarrollo de habilidades de pensamiento y competencias para la resolución de problemas. Así mismo, una metodología que permita incorporar el uso de la tecnología computacional al currículo del Programa de Matemáticas para facilitar los procesos de comprensión y representación de los temas matemáticos y para potenciar el desarrollo de algunas habilidades cognitivas. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE Clases magistrales.

11 PÁGINA: 11 de 5 Talleres asistidos para la resolución de problemas Presentación y análisis del tema. Discusiones grupales sobre el tema. Exposiciones sobre temas asignados. Ejercicios de fijación y aplicación. Asignación de tareas. EVALUACIÓN La gestión de la Coordinación de Matemática está enmarcada por la evaluación continua de sus actividades y de los resultados. La evaluación del desempeño de los estudiantes es un proceso permanente que valora el cumplimiento de los objetivos propuestos y los compromisos adquiridos en cada asignatura. Las calificaciones son la expresión cuantitativa de los resultados de las pruebas académicas. En el Programa de Matemática la calificación definitiva resulta de computar las calificaciones parciales de los dos primeros tercios (con un valor de 30% cada uno) y el último tercio (con un valor de 40%) La calificación definitiva de cada tercio de periodo la establece el profesor, de tal manera que por lo menos el 50% de ella corresponda a la calificación del examen de tercio (en el tercer tercio este examen corresponde a un examen final de la asignatura) y el porcentaje restante a las calificaciones de las previas, quices, trabajos, tareas, talleres, trabajo en clase, entre otros. Se debe dar a conocer a los estudiantes los resultados de las distintas pruebas en un plazo no mayor a cinco días hábiles siguientes a la realización de las mismas, escuchar los reclamos de los estudiantes y hacer las correcciones requeridas, si las hay. 7. BIBLIOGRAFÍA NAGLE, SAFF Y SNIDER. Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. Tercera edición. Addison Wesley. México, 2001.

12 PÁGINA: 12 de 5 Carlos F, Francisco V y José V. Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Sistemas dinámicos. Thomson Editores. España, Carlos A y Néstor P. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Edición preliminar. Editorial de la Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá D.C., Boyce Diprima. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera. Cuarta edición. Editorial Limusa. México, Dennis Zill. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado,7ª. Edición en español. Editorial Thomson, México Blanchard, p., Devaney, R. Y Hall, G. Ecuaciones Diferenciales. 1ª. Edición en español, Editorial Thomson, México Edwards Jr. C.H., Penney David E. Ecuaciones Diferenciales y problemas con condiciones en la frontera. Prentice Hall Fernández Pérez, C.F. y Vegas Montaner, J.M... Ecuaciones Diferenciales II, Ecuaciones no Lineales. 1ª. Edición, Editorial Pirámide, Madrid. Hubbard, J. H. y West, B.H. Differential Equations, A Dynamical Systems Approach, 1a. Edición. Springer-Verlag, New York Braund, M. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. 1ª. Edición en Español, Editorial Iberoamérica, México.

13 PÁGINA: 13 de 5 Vo. Bo. Comité Curricular Si Si No