Ecuaciones diferenciales ordinarias

Transcripción

1 Ecuacones derencales ordnaras

2 Motvacón Las ecuacones que se componen de una uncón desconocda de sus dervadas son llamadas ECUACIONES DIFERENCIALES ales ecuacones desempeñan un papel mportante en ngenería debdo a que mucos enómenos son en el conteto matemátco mejor ormulados en térmnos de su razón de cambo La cantdad que abrá de ser derencada es conocda como VARIABLE DEPENDIENE VARIABLE INDEPENDIENE: la cantdad con respecto a la cual la varable dependente es derencada

3 Motvacón Cuando la uncón nvolucra una varable ndependente la ecuacón es llamada Ecuacón Derencal Ordnara (EDO) (ODE sglas en nglés) d dt ( t ) Cuando la uncón nvolucra dos o más varables ndependentes se llama Ecuacón Derencal Parcal (EDP) (PDE sglas en nglés)

4 Motvacón Las ecuacones derencales se clascan tambén en cuanto a su orden este está dado por la dervada más alta Por ejemplo la ecuacón que descrbe la poscón de un sstema masa-resorte con amortguamento es la ecuacón de segundo orden m d dt c d dt t 0 c: coe. de amortguamento : constante del resorte

5 Motvacón Las ecuacones de orden superor pueden ser reducdas a un sstema de ecuacones de prmer orden Esto se ace denendo una nueva varable donde Esta se puede derencar para obtener Se pueden susttur para dar d dt d dt d dt d m c 0 dt d dt c m d dt Así tenemos un par de ecuacones equvalentes a la ecuacón de segundo orden

6 EDO práctca de la ngenería Las lees undamentales de la ísca mecánca electrcdad termodnámca están basadas con recuenca en observacones empírcas que eplcan varacones en las propedades íscas estados de los sstemas Más que para descrbr drectamente el estado de los sstemas íscos las lees se usan en térmnos de los cambos espacales temporales - da Le de Newton del movmento q dv dt F m - Le de Calor de Fourer d d - Le de Dusón de Fc J - Le de Farada (caída de voltaje en nductor) V L D dc d d L dt Cuando se combnan estas lees con las lees de conservacón de la energía masa o movmento resultan ecuacones derencales

7 Antecedentes matemátcos La solucón de una ecuacón derencal ordnara es una uncón especíca de la varable ndependente de parámetros que satsacen la EDO Para lustrar empecemos con una uncón dada S derencamos la ecuacón se obtene una EDO d d Esta ecuacón tambén descrbe el comportamento del polnomo pero de una manera derente En lugar de representar eplíctamente los valores de para cada valor de esta ecuacón da la razón de cambo de con respecto a para cada valor de

8 Antecedentes matemátcos El objetvo es entonces determnar la uncón orgnal dada la ecuacón derencal La uncón orgnal representa la solucón Para el caso del polnomo se puede determnar la solucón de manera analítca ntegrando la ecuacón derencal d c Aparece una constante de ntegracón debdo a que se perdó el valor constante de la ecuacón orgnal Aora la solucón no es únca. Este un número nnto de uncones posbles que satsacen la ecuacón derencal

9 Solucón general de campo

10 Antecedentes matemátcos Para especcar la solucón por completo la ecuacón derencal se encuentra acompañada por condcones aulares Por ejemplo; = 0 = c = Cuando tratamos con una ecuacón derencal de n-ésmo orden se requeren n condcones para obtener una solucón únca

11 Ecuacones Derencales Ordnaras Problemas de valor ncal Problemas de valor rontera Métodos numércos para el problema de valor ncal Método de Euler Método de Heun Método de Euler modcado Método de Runge-Kutta Métodos numércos para resolver problemas de valor rontera Metodo de Derencas ntas

12 E.D.O. Valor ncal o o

13 E.D.O. Valor rontera n o o n

14 Métodos de un paso para resolver EDO Consderemos ecuacones derencales de la orma d d Los métodos de un paso se pueden epresar en orma general como: Nuevo valor = valor anteror + pendente tamaño de paso + = + La pendente estmada se usa para etrapolar desde un valor anteror a un nuevo valor + en una dstanca Esta órmula se puede aplcar paso a paso para calcular el valor uturo así trazar la traectora de la solucón Los métodos de un paso deren en la manera de estmar la pendente

15 Método de Euler (Euler-Cauc o de Punto Medo) Estma la pendente como la ra dervada en = ( ); es la ecuacón derencal evaluada en La órmula del método de Euler es predccón error d d Valor verdadero +

16 Análss de error para el método de Euler La solucón numérca de EDO nvolucra dos tpos de error:. Error de truncamento por la naturaleza del método. Error de redondeo límte de cras sgncatvas del computador

17 Ejemplo del método de Euler Se desea resolver la sguente ecuacón derencal ordnara usando el método de Euler d d desde = 0 asta = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condcón ncal en = 0 es = Dsmnuendo el tamaño de paso a la mtad 0.5

18 Mejoras del método de Euler (Método de Heun) Una mejora a la estmacón de la pendente nvolucra el cálculo de dos dervadas para el ntervalo (en el punto ncal en el nal) Estas dervadas se promedan para obtener la estmacón mejorada de la pendente. Se ace una estmacón del punto nal del ntervalo con la orma de Euler 0 Es una predccón ntermeda Esta es llamada ecuacón PREDICOR. La dervada al nal del ntervalo se estma como ' 0

19 Mejoras del método de Euler (Método de Heun) 3. Se calcula el promedo de la pendente 4. La pendente promedo se usa para etrapolar lnealmente la solucón ' ' ' 0 0 Ecuacón CORRECOR Por eso se dce que el método de Heun es un procedmento predctor-corrector Como la ecuacón corrector tene + en ambos lados del sgno gual se puede aplcar en una orma teratva +

20 Método del Punto Medo (o del polígono mejorado). Se usa el método de Euler para predecr un valor de en el punto medo del ntervalo /. Se calcula una pendente en el punto medo con este valor ' / / / Representa una apromacón de la pendente promedo del ntervalo 3. Esta pendente se usa para determnar + / / +

21 Métodos de Runge-Kutta Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la eacttud del procedmento de una sere de alor sn requerr el cálculo de dervadas superores La orma general de los métodos RK es ( ) es conocda como uncón ncremento una pendente representatva sobre el ntervalo

22 Métodos de Runge-Kutta La uncón ncremento se escrbe por lo general como Donde las a son constantes las son Es posble desarrollar varos tpos de métodos RK al emplear derentes números de térmnos en la uncón ncremento como la especcada por n (e.g. n = Método de Euler) Una vez que se elge n se evalúan las a p q al gualar la ecuacón de RK a los térmnos de la epansón de la sere de alor a n n a a q q q p q q p q p n n n n n n n 3

23 Método RK de segundo orden donde Se debe determnar los valores de a a p q La sere de alor de segundo orden es donde ( ) debe determnarse por derencacón usando la regla de la cadena a a q p! ' d d '! d d

24 Método RK de segundo orden Se usan manpulacones algebracas para resolver los valores de a a p q que acen la órmula RK de do orden la sere de alor equvalentes Prmero se usa la sere de alor para epandr se obtene p q p q O Esto se susttue junto con en la órmula RK de do orden O a a a p aq 3

25 Método RK de segundo orden Comparando térmnos comunes de esta ecuacón con la sere de alor a a a p aq O d d! determnamos que para acer equvalentes a estas dos ecuacones se debe cumplr 3 a a a p q a Estas tres ecuacones smultáneas contenen las 4 ncógntas Como a más ncógntas que ecuacones no este un conjunto únco de constantes que satsagan las ecuacones Por lo tanto este una amla de métodos de do orden

26 Método RK de segundo orden Debemos suponer el valor de una de estas ncógntas para determnar las otras tres S especcamos un valor para a se puede resolver las ecuacones para obtener a p q a a Podemos elegr un número nnto de valores para a Cada versón daría resultados derentes para uncones complcadas Estudaremos las tres versones más comúnmente usadas preerdas

27 Método RK de segundo orden. Método de Heun con un solo corrector (a = /) para a = / a = /; p = q = la ecuacón es donde pendente al nco pendente al nal del ntervalo. Método de Punto Medo (a = ) para a = a = 0; p = q = / la ecuacón es donde pendente en el punto medo

28 Método RK de segundo orden 3. Método de Ralston (a = /3) se obtene un lmte mínmo sobre el error de truncamento para los algortmos RK de do orden para a = /3 a = /3; p = q = 3/4 la ecuacón es donde

29 Método de RK de cuarto orden Este es el método más popular de los métodos de RK La orma más común se conoce como método RK clásco de 4to orden donde

30 Ejemplo del método de RK de cuarto orden Se desea resolver la sguente ecuacón derencal ordnara usando el método de RK de cuarto orden d d desde = 0 asta = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condcón ncal en = 0 es = En este caso la solucón es eacta porque la uncón orgnal es de cuarto orden

31 Sstemas de ecuacones de EDO Mucos problemas práctcos de ngenería cenca requeren la solucón de un sstema de ecuacones de EDO smultáneas Como aquellos donde una ecuacón derencal de orden superor es reducda a un conjunto de ecuacones de prmer orden Los sstemas de EDO se pueden representar como d d d d dn d n n n n La solucón de tal sstema requere que se conozcan las n condcones ncales en el valor ncal de

32 Sstemas de ecuacones de EDO Método de Euler Se aplca la técnca de un paso para cada ecuacón antes de proceder con el sguente paso Ejemplo Condcón ncal = 0; = 4; = 6 d d d d Para =

33 Sstemas de ecuacones de EDO Método RK Ha que tener cudado al determnar las pendentes El procedmento para el método de 4to orden es el sguente. Calcular para todas las varables pendente en el valor ncal n n. Estas pendentes se usan para acer predccones de la varable dependente en el punto medo del ntervalo / n 3. Con estos valores de punto medo se calculan las pendentes en el punto medo ( ) n n 4. Estas pendentes se usan para acer nuevas predccones de punto medo / n

34 Sstemas de ecuacones de EDO Método RK 5. Con estos valores de punto medo se calculan nuevas pendentes de punto medo ( 3 ) 3 / / n / n 6. Estas pendentes se usan para acer predccones al nal del ntervalo 3 n 7. Con estos valores al nal del ntervalo se calculan pendentes al nal del ntervalo 4 4 n n 8. Se ace la predccón nal con todas las 3 4 n 6

35 Problemas de valores en la rontera valores propos Una EDO se acompaña de condcones aulares Estas condcones se usan para evaluar las constantes de ntegracón que resultan durante la solucón de la ecuacón Para una ecuacón de n-ésmo orden se requeren n condcones S todas las condcones no son conocdas en un solo punto sno más ben son conocdas en derentes valores de la varable ndependente tenemos PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONERA Esto porque generalmente se especcan los valores en los puntos etremos o ronteras del sstema

36 Métodos generales para problemas de valores en rontera Se puede usar la Le conservacón de energía para desarrollar un balance de calor para una barra larga delgada S la barra no está aslada en su longtud el sstema se encuentra en estado estable el balance de calor esta dado por d d ' a 0 = coe. de transerenca de calor (cm - ) a = temperatura ambente (ºC) Para obtener una solucón de la ecuacón se necestan las condcones de rontera adecuadas

37 Métodos generales para problemas de valores en rontera Por ejemplo valores de las temperaturas en los etremos de la barra se mantenen jos d d ' a 0 (0) = (L) = = 0 = L con estas condcones la ecuacón se puede resolver de manera analítca Para una barra de 0 metros con a = 0 = 40 = 00 = 0.0 el resultado es () = e e

38 Método de dsparo El método de dsparo se basa en convertr el problema de valor en la rontera en un problema de valor ncal Luego se sgue un procedmento de ensao error para resolver la versón de valor ncal Ejemplo. Use el método de dsparo para revolver la dstrbucón de temperaturas para una barra de 0 metros con = 0.0 m - a = 0 condcones en la rontera (0) = 40 (0) = 00 Con un cambo de varable la ecuacón derencal de do orden se puede epresar como dos ecuacones de er orden d d ' a 0 d d z dz d ' a

39 Método de dsparo Ejemplo (contnuacón) Aora se requere un valor ncal para z Se asume un valor z(0) = 0 La solucón se obtene ntegrando las ecuacones smultáneamente usando el método de RK de cuarto orden con tamaño de paso se obtene un valor en el etremo del ntervalo de (0) = el cual dere de la condcón en la rontera (0) =

40 Método de dsparo Ejemplo (contnuacón) Hacendo otra suposcón z(0) = 0 se obtene (0) =

41 Método de dsparo Ejemplo (contnuacón) Como la EDO orgnal es lneal estas solucones están relaconadas lnealmente. Por lo que se puede usar una órmula de nterpolacón lneal para determnar el valor de z(0) que de (0) = 00 z Este valor puede ser usado para determnar la solucón correcta

42 Método por derencas ntas En este método las derencas dvddas ntas susttuen a las dervadas de la ecuacón orgnal ransormando la ecuacón derencal lneal en un conjunto de ecuacones algebracas smultáneas Para el ejemplo de transerenca de calor en una barra larga delgada La apromacón por derencas ntas para la segunda dervada es Susttuendo Agrupando térmnos 0 ' d d a d d 0 ' a a ' '

43 Método por derencas ntas ' ' Esta ecuacón es válda para cada uno de los nodos nternos de la barra Para el er nodo - es condcón de rontera Para el últmo nodo + es condcón de rontera El conjunto de ecuacones algebracas lneales resultante es trdagonal Ejemplo. para una barra de 0 metros con = 0.0 m - a = 0 condcones en la rontera (0) = 40 (0) = 00 usando 4 nodos nternos Δ = metros a