Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. 1.1 Definiciones (Ecuación Diferencial, Orden, Grado, Linealidad)

Transcripción

1 . Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) Unia Ecuaciones Diferenciales e Primer Oren. Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) En iversas áreas como son la ingeniería, economía, ciencias físicas y sociales, existe una iversia e problemas, que al ser formulaos en términos matemáticos, requieren eterminar una función que ebe satisfacer a una ecuación, la cual contiene erivaas e la función esconocia. Dichas ecuaciones se les conoce como ecuaciones iferenciales []. Ecuaciones Diferenciales Si tenemos una ecuación que involucre la erivaa e una variable con respecto a otra, a la primera variable se le conoce como variable epeniente y a la seguna variable inepeniente. 3 x x x x 0 3 α + β + δ + ε = () z z z Done x es la variable epeniente y coeficientes e la ecuación anterior. z es la variable inepeniente, α, βδ, son los Definición. Una ecuación que contiene las erivaas o iferenciales e una o más variables epenientes con respecto e una o más variables inepenientes, se le conoce como ecuación iferencial. [3] Otra efinición Una ecuación iferencial orinaria e oren n es una ientia que relaciona la variable inepeniente con la n-ésima erivaa e la variable epeniente. Comúnmente se clasifican acore a 3 propieaes: I.- Tipo a) Ecuación Diferencial Orinaria. Es una ecuación la cual contiene sólo erivaas orinarias e una o más variables epenientes con respecto a una sola variable inepeniente, como en () y (3).

2 . Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) y 5y =3 Ecuación con una sola variable epeniente () u v = x Ecuación con os variables epenientes (3) x x b) Ecuación Diferencial Parcial. Aquella que implique erivaas parciales e una o más variables epenientes e más e una variable inepeniente. u u = y x (4) u v x + y = u (5) x y Las ecuaciones (4) y (5) muestran ejemplos e ecuaciones iferenciales parciales con una y os variables epenientes, e variables inepenientes. II.- Oren En una ecuación iferencial el oren es eterminao por más alta erivaa (la e mayor alto oren) en la ecuación.[3] y 4 y + 5 4y x = (Oren ) (6) x x a i+ b i+ c i+ i = (Oren 3) (7) a 5 3 δ y δ y + = 0 (Oren 5) (8) 5 3 δx δt Debemos observar que (6) existe una primera erivaa elevaa a una cuarta potencia, la cual no implica que el oren sea 4, sino que es una ecuación e seguno oren, en (7) tenemos una ecuación iferencial e tercer oren, y en (8) el oren e la erivaa parcial más alta es 5, por lo cual es una ecuación iferencial e quinto oren. Existe otra clasificación y esta es e acuero a su linealia.

3 . Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) 3 III.- Linealia Es conveniente inicar que las ecuaciones iferenciales también se clasifican en lineales y no lineales. Las lineales porían resolverse con mayor facilia, así como poríamos eterminar los puntos e una línea recta a partir el conocimiento e e sus puntos, a iferencia e una ecuación cúbica. Una ecuación es lineal si tiene la forma n n y y y n n n 0 an( x) + a ( x) a ( x) + a ( x) y = f( x) (9) x x x la cual posee os propieaes a).- La variable epeniente y toas sus erivaas son e primer grao, es ecir la potencia e caa término en y es, o sea en la combinación aitiva e sus primeras potencias, observano el lao izquiero el igual. b).- Caa coeficiente epene e la variable inepeniente x, xy + yx = 0 (0) y'' y' + y = 0 () 3 3 y y y x x x + 3x + 5y =e () 3 x x x Las ecuaciones (0), () y () son ecuaciones orinarias lineales e primer, seguno y tercer oren respectivamente. De tal manera que yy '' y ' = x (3) 3 y y 0 3 x + = (4)

4 . Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) 4 g θ + sen ( θ) = (5) l 0 (3) y (5) son ecuaciones orinarias no lineales e seguno oren, la (4) es e tercer oren, en (3) el coeficiente epene e y, (4) el exponente e la variable epeniente es (una ecuación e potencia ) y en (5) el coeficiente no epene e la variable inepeniente. Tenemos como objetivo principal eterminar la solución e ecuaciones iferenciales. En muchas aplicaciones se esarrollan moelos matemáticos para comprener mejor los fenómenos físicos, ichos moelos proucen ecuaciones que contienen erivaas, a los cuales se les ebe e encontrar una solución. Cuano e un moelo matemático se obtiene una razón e cambio e una variable con respecto a otra, poemos obtener una ecuación iferencial. Las ecuaciones iferenciales son aplicables no sólo a la ingeniería sino también a muchas otras ciencias físicas y sociales, como la economía, la sicología, etc. Poemos citar una partícula sobre la cual actúa una fuerza función el tiempo t, e la posición u( t ), y e la velocia. F, la cual puee estar en Ejemplo.. Movimiento e una partícula. Para eterminar el movimiento e una partícula sobre la que actúa una fuerza eterminaa F, es necesario emplear una función en este caso u( t ) que satisface el moelo eterminano que la fuerza es la e gravea []. Entonces quearía m u() t = mg (6) Diviieno ambos laos entre m, resulta ut g () = (7) Si integramos obtenemos u = gt +c (8) Al integrar nuevamente ut () = gt ct c + + (9) Done obtenemos constantes, las cuales se eterminan sabieno otras coniciones como son, la posición y la velocia e la partícula en algún instante ao.

5 . Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) 5 De manera similar poemos ejemplificar la misma ecuación bajo otro esquema e aplicación. Ejemplo.. Caía Libre. Poríamos inicar, un objeto que se eja caer libremente ese cierta altura, cayeno ebio a la fuerza e gravea, (suponieno que la gravea es la única fuerza que actúa sobre el objeto, y que es constante). Aplicano la seguna ley e Newton, la cual establece que el proucto e la masa e un cuerpo por su aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él []. Originánose como en (6), la siguiente ecuación h m = mg (0) Sieno m la masa el objeto, h la altura el objeto sobre el piso, y h es la aceleración el objeto, como poemos observar, es la seguna erivaa e la altura con respecto al tiempo, g la fuerza e gravitación. Si la ecuación anterior la simplificamos, iviieno entre h respecto al tiempo t, tenemos, simplificano = g m y la integramos os veces con Integrano ambos laos el signo igual h = g h = gt +c, integrano nuevamente con respecto a t, cuyo resultao obtenio h = g t + c Resultano h= g + + () t ct c Conocieno la velocia y altura inicial el objeto poemos eterminar las constantes c,, tenieno así la fórmula para conocer la altura el objeto en el tiempo t c y

6 . Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) 6 Toa vez que e un moelo matemático resulte una razón e cambio e una variable con respecto a otra, poemos saber que obtenremos una ecuación iferencial, en ocasiones ésta puee ser un tanto compleja. Ejemplo..3 Circuito RLC. Este es un ejemplo clásico e ecuación iferencial, hacemos referencia a un circuito eléctrico, que posee un resistor o Resistencia R, una bobina o Inuctancia L y un capacitor o Capacitancia C conectaos en serie, al cual se le aplica un fuerza electromotriz Et ( ). Establecieno la ecuación al aplicar la seguna ley e Kirchhoff L q+ R q+ q= E() t () C Done qt ( ) es la carga el capacitor y t es el tiempo. Figura.. Circuito Serie RLC Ejemplo..4 Ecuación el Crecimiento Natural Tenieno una ecuación e la forma y = ky (3) con yt ( ) > 0 y k una constante (positiva o negativa), se resuelve fácilmente

7 . Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) 7 Separano variables e integrano antilogaritmo, espejano lo que hacieno e c = c y y y = k, e lo cual resulta ( y) tenemos que e ( ) ln y kt+ C = e, e igual manera ln = kt+ c, aplicano ln( y) e kt C = e e, por y kt = ce (4) Sustituyeno la conición inicial eterminaa por y (0) = y0, tenemos que lo tanto c= y o, nos quearía yo ( 0) k = ce por kt yt () = ye (5) 0 Mostrano la gráfica e os ejemplo e icha ecuación. en la figura.., y..3, epenieno e los valores e k f(t) t f(t) ft ( ). e ft ( ). e t t t Figura.. Decrecimiento natural k < 0 Figura..3 Crecimiento natural k > 0 Dao que la función exponencial se encuentra en la solución, se ice que la ecuación iferencial es una ecuación e crecimiento natural o exponencial. Ejemplo..5 La Ley e Torricelli

8 . Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) 8 Inica que la tasa e cambio con respecto al tiempo el volumen V el agua en un tanque que se vacía, figura..4, es proporcional a la raíz cuaraa e la profunia y el agua en el tanque [5]. V = k y, (6) one k es una constante. Si el tanque es un cilinro con laos verticales y área e su V y sección transversal A, entonces V = Ay, e tal manera que = A, Por lo que la ecuación (6) toma la forma y = h y (7) one h = k A Figura..4 La ley e Torricelli, escribe el esagüe e un tanque e agua Ejemplo..5 Oscilaor Masa-Resorte Un oscilaor masa-resorte amortiguao está formao por una masa m unia a un resorte fijo en un extremo, como se muestra en la figura..6 La ecuación que gobierna el movimiento el oscilaor, tomano en cuenta las fuerzas que actúan sobre él, ebio a la elasticia el resorte, la fricción (amortiguamiento) y las posibles fuerzas externas. []

9 . Definiciones (Ecuación Diferencial, Oren, Grao, Linealia) 9 Figura.6 Oscilaor Masa-Resorte subamortiguao El sistema anterior muestra el oscilaor masa-resorte, si el resorte no se encuentra estirao, y la masa está en reposo, el sistema está en equilibrio, se mie la coorenaa y e la masa meiante su esplazamiento a partir e la posición e equilibrio. Al esplazar la masa m con respecto el equilibrio, el resorte se estira o se comprime, y ejerce una fuerza que resiste el esplazamiento, en general en la mayoría e los resorte, esta fuerza es irectamente proporcional al esplazamiento y, y está aa por Fresorte = ky (8) Done la constante positiva k es la rigiez, el signo negativo inica la oposición e la fuerza, a la ecuación (8), se le conoce como Ley e Hooke, esta es vália para esplazamientos pequeños. Los sistemas mecánicos experimentan la fuerza e fricción, para el movimiento vibratorio, la fuerza se moela con un término proporcional a la velocia. Ffricción = by (9) Done b es el coeficiente e amortiguamiento, y el signo inica la oposición e la fuerza. Existen otras fuerzas que actúan sobre el oscilaor, y que se consieran externas al sistema. Las cuales pueen ser gravitatorias, eléctricas o magnéticas, que se transmiten a la masa, sacuieno la base e la cual cuelga el sistema. Se le enomina F () t externas Basao en la Ley e Newton obtenemos la ecuación iferencial para el oscilaor () my + by + ky = Fext t (30)