TRIGONOMETRÍA (4º OP. A)

Transcripción

1 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente igules: Â Â ; B B ; C C CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Se llm riterio de semejnz de dos triángulos un onjunto de ondiiones mínims tles que, si se umplen, tendremos l seguridd de que los triángulos son semejntes: CRITERIO I : Dos triángulos son semejntes si tienen dos pres de ángulos respetivmente igules: Â Â, y B B ; (entones: C C ) CRITERIO II: Dos triángulos son semejntes si sus tres ldos son proporionles: ' ' ' CRITERIOIII: Dos triángulos son semejntes si tienen un ángulo igul y los ldos que lo formn son proporionles: Â Â y ' ' Como onseueni del primer riterio, otenemos un riterio de semejnz pr triángulos retángulos: Dos triángulos retángulos son semejntes si tienen igul uno de sus ángulos gudos Como onseueni del terer riterio, otenemos otro riterio de semejnz pr triángulos retángulos: Dos triángulos retángulos son semejntes si sus tetos son proporionles. (Y que el ángulo que formn los tetos es el reto). APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Como onseueni de los riterios de semejnz de triángulos retángulos se demuestrn los dos teorems siguientes:

2 TEOREMA DEL CATETO El udrdo de un teto es igul l produto de l hipotenus por l proyeión de diho teto sore l hipotenus: m y n A h B m H n C TEOREMA DE LA ALTURA El udrdo de l ltur sore l hipotenus es igul l produto de los dos segmentos en que dih ltur divide l hipotenus: h m n SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Pr medir ángulos se utilizn: 1. Sistem sexgesiml: L unidd de medid en este sistem es el grdo sexgesiml Un ángulo mide un grdo sexgesiml (1 0 ) si su ro entrl orrespondiente, es l tresients sesentv prte de l irunfereni. Por tnto: Un ángulo ompleto (quél uyo ro es un irunfereni) mide Un ángulo llno mide Un ángulo reto mide Cd uno de los 60 ángulos igules en los que podemos dividir el ángulo de 1 0 mide 1 minuto (1 ), y d uno de los 60 ángulos igules en los que podemos dividir el ángulo de 1 mide 1 segundo (1 ). 1 1 de ; 1 de

3 . Sistem nturl L unidd de medid en este sistem es el rdián (1 rd.). Un ángulo mide 1 rdián si l trzr uno ulquier de sus ros, l longitud de diho ro oinide on l del rdio on que se h trzdo. L definiión de rdián no depende del rdio elegido pr trzr el ro. Un ángulo ompleto (360 0 ) ontiene π rdines, y que omo l π r longitud de un irunfereni es π r, ontiene su rdio r Luego: Un ángulo llno (180 0 ) ontendrá l mitd, es deir π rdines. π vees. Un ángulo reto (90 0 ) ontendrá π rdines. EQUIVALENCIA ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS Amos de ver que: π rd π rd π rd. Si queremos ser untos rdines (β rd.) mide un ángulo que mide 0, o vievers, tendremos en uent l siguiente proporión: β rd. π rd. EJERCICIOS: 1. Expres en rdines los siguientes ángulos: 45 0, 30 0, 60 0, 300 0, 330 0, Expres en grdos sexgesimles los ángulos. 3π rd 4 7π, rd 6 3π, rd 7π, rd. 3. Cuántos grdos sexgesimles mide un ángulo de 1 rd.? 3. Hz los ejeriios n 0 3 y 36 de l págin 150 de tu liro.

4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Ddo un ángulo gudo (0< <90 0 ), se definen pr él los siguientes números onstntes, llmdos rzones trigonométris de. Tommos un punto A ulquier, sore ulquier de sus ldos y trzmos l perpendiulr diho ldo por A, formándose un triángulo retángulo BAC. Se definen los números siguientes: Seno de teto opuesto, sen hipotenus Coseno de teto ontiguo, os hipotenus Tngente de teto opuesto, teto ontiguo tg Llmds rzones trigonométris direts de. Cosente de hipotenus, teto opuesto ose Sente de hipotenus, teto ontiguo se Cotngente de teto ontiguo, teto opuesto otg Llmds rzones trigonométris inverss de (por ser inverss de ls nteriores). Vemos que ls seis rzones trigonométris definids pr un ángulo son números onstntes, es deir que, no dependen del triángulo retángulo que hymos formdo: Si formásemos otro triángulo retángulo distinto BA C, serí semejnte l BAC (tienen los tres ángulos igules), luego sus ldos serín proporionles.

5 Por lo tnto: sen Igul ourre on ls demás rzones trigonométris. ; nos drí el mismo número eligiendo un triángulo u otro. Si nos fijmos en ls definiiones, omo l hipotenus es myor que ulquier teto: 0< sen < 1; 0<os <1; ose >1; se >1 (undo es gudo). Ls rzones trigonométris no se expresn en ningun unidd. Ejemplo: Clul ls rzones trigonométris de los ángulos gudos del siguiente triángulo retángulo: sen 3 0, 6 5 ose ) 1, os 4 5 0, 8 se 1, tg 3 0, 75 4 otg ) 1, Y pr β? Sigue tú. EJERCICIOS: De l págin 140 de tu liro (Sntilln), hz el nº 1 y el nº. De l págin 150 los nº 6, 7, y 8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ANGULOS: 30º, 45º, 60º Estúdilo en tu liro (Ed. Sntilln) (pregunt nº 3 de este tem: pág 14). EJERCICIOS: De l págin 14 los nº 7, 8 y 9. De l págin 151 los nº 45, 46, y 48.

6 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ddo un ángulo gudo, formmos un triángulo retángulo ulquier que lo teng omo uno de sus ángulos gudos. Se verifin ls siguientes reliones: I) Relión fundmentl de l trigonometrí Se umple que (sen ) + (os ) 1, o esrito de otr form sen + os 1 Demostrión: Si nos fijmos en el triángulo nterior, tenemos que sen, y os ; por tnto sen + os q.d. T. de Pitágors: + II) ) sen tg ) os os otg sen Demostrión: sen ) sen os os os ) sen tg otg.q.d..q.d. III) ) 1 ose ) sen 1 se ) os otg 1 tg

7 Demostrión: 1 1 ) Como sen, tendremos que ose.q.d. sen Igul se demuestrn ls demás. IV) Reliones seundris: ) 1 + tg se ) 1 + otg ose Demostrión: ) 1 + tg sen sen os + sen se os os os os.q.d. ) 1 + otg os os sen + os ose sen sen sen sen.q.d. EJERCICIOS: De l págin 141 de tu liro, hz el nº 4 y el nº 5. De l págin los nº 34, 35, 36, 40, 41, 4, 43, 44. Uso de l luldor. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo es lulr todos sus elementos, es deir, lulr todos sus ldos y ángulos desonoidos. Pr ello es neesrio onoer omo mínimo tres de sus elementos, siendo por lo menos uno de ellos un ldo. Si el triángulo que queremos resolver es retángulo, tendremos en uent: El Teorem de Pitágors + Bˆ + Ĉ 90º L definiión de ls rzones trigonométris de Bˆ y Ĉ, y ls reliones entre ells. El Teorem del teto y el Teorem de l ltur.

8 EJERCICIO: En un triángulo retángulo se onoen l hipotenus 5 m. y un teto 4 m. Clul los demás elementos. De l págin 153 los números: 70, 7, 73, 75. De l págin 155 los números: 79, 80, 81, 8, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 9. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ENTRE 0º Y 360º REPRESENTACIÓN DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Pr representr ángulos omprendidos entre 0º y 360º, se utiliz l irunfereni goniométri. Se le llm sí l irunfereni que tiene de rdio l unidd y entrd en el origen de oordends. Los ángulos se representn siempre hiendo oinidir su vértie on el origen de oordends y su primer ldo on el semieje positivo de siss. Se onsidern positivos si el giro se he en sentido ontrrio en que se mueven ls gujs de un reloj, y negtivos si se he en el mismo en que se mueven ls gujs de un reloj. + Cundo fijmos unos ejes de oordends rtesins retngulres, el plno qued dividido en utro zons o udrntes. II III I IV Si un ángulo umple que 0º< <90º (0 rd.< < π/ rd.), omo el segundo ldo del ángulo estrí en el primer udrnte, diremos que es un ángulo del primer udrnte. Si 90º< < 180º (π/ rd. < <π rd.) serí del segundo udrnte, et Lo resumimos en l tl siguiente:

9 1 er Cudrnte º Cudrnte 3 er Cudrnte 4º Cudrnte 0º < <90º 90º < < 180º 180º < < 70º 70º < < 360º 0 rd.< < π rd. π rd. < < π rd. π rd. < < 3π rd. 3π rd. < < π rd. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DEL 1 er CUADRANTE A En l figur siguiente se h representdo un ángulo del primer udrnte. Se A el punto de orte del segundo ldo del ángulo on l irunfereni goniométri y A su proyeión sore el primer ldo (perpendiulr l eje OX). Se B el punto de orte de l irunfereni goniométri on el eje OX y A el punto de orte del segundo ldo del ángulo on l perpendiulr l eje OX en el punto B. Reordndo ls definiiones de ls rzones trigonométris pr ángulos gudos y teniendo en uent que l hipotenus del triángulo retángulo OA A mide 1, tendremos que: sen os AA AA AA, que es l ª oordend u ordend del punto A. OA 1 OA OA OA, que es l 1ª oordend o sis del punto A. OA 1 tg ordend del punto A sis del punto A AA A"B OA ( ) OB ( ) T m de Thles, pues OA A OBA A"B 1 A" B, que es l ordend del punto A. Est nuev definiión de ls rzones trigonométris en funión de ls oordends de puntos se puede extender y plir fáilmente ulquier ángulo no gudo.

10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DEL RESTO DE LOS CUADRANTES Si es un ángulo del º, 3º, o 4º udrnte, en todos los sos este ángulo determin los puntos A y A, uys oordends nos vn dr ls rzones trigonométris de uerdo on l definiión utilizd en el so del primer udrnte. Así, si A(x, y) y A (1, y ), se definen: sen y os x tg y º CUADRANTE: 3 er CUADRANTE 4º CUADRANTE tg tg tg Teniendo en uent el signo de ls oordends de un punto en los distintos udrntes, se determin de form inmedit el signo de ls rzones trigonométris de un ángulo si se se en qué udrnte se enuentr su ángulo reduido orrespondiente. Cudrnte de sen os tg I (+, +) II (, +) + III (, ) + IV (+, ) + VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS A prtir de l definiión, es fáil ver que: 1 sen 1 1 os 1 < tg < + Al ser l osente y l sente ls rzones inverss del seno y del oseno respetivmente, sus signos oiniden on los de éstos y se umple que: ose (, 1] [1, + ] se (, 1] [1, + )

11 En el so de l otngente, omo invers de l tngente, oinide on su signo en d udrnte y puede tomr ulquier vlor rel. < otg < + Tmién plindo l definiión, tendremos que: sen os tg ose se otg 0º 0 rd No definid 1 No definid 90º π/ rd. 1 0 No definid 1 No definid 0 180º π rd No definid 1 No definid 70º 3π/ rd 1 0 No definid 1 No definid 1 OBSERVACIÓN: A r y x y Aunque se h utilizdo un irunfereni de rdio l unidd pr extender l definiión de ls rzones trigonométris, el proedimiento hrí sido igul pr un rdio diferente. En este so, ls rzones trigonométris no serín diretmente ls oordends de A y A, sino dividids por el rdio de l irunfereni utilizd: sen r y os r x tg r y RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO ENTRE 0º Y 360º Son ls misms que pr los ángulos gudos. Ejeriio: Clul ls rzones trigonométris de, siendo que tg ' 5 y que sen < 0.