COLEGIO COMPAÑÍA DE MARÍA SEMINARIO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

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1 COLEGIO COMPAÑÍA DE MARÍA SEMINARIO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS GUÍA N DE TRIGONOMETRÍA IV MEDIO DIFERENCIADO MATEMÁTICO )Completa la siguiente tabla que indica la relación entre valores en radianes y en grados para algunos ángulos: radianes 0 π π π π π π 4 Grados 0º 90º º ) Resuelve los siguientes problemas que relacionan la medida de un ángulo en radianes y la longitud del arco de la circunferencia de acuerdo a la fórmula: S = r α, siendo : S = medida del arco de la circunferencia r = radio de la circunferencia α = ángulo medido en radianes Un ángulo central α abarca un arco de 0 cm de longitud sobre una circunferencia de metros de radio. Cuál es la medida del ángulo en radían radianes?. ( 0 ) Una correa conecta a dos poleas de radios r = 0 cm y R= 5 cm. Si la grande da un giro completo, qué ángulo expresado en grados habrá girado la pequeña. ( 900 ) Un aspersor funciona con un mecanismo que le produce un movimiento de giro, de ida y vuelta de 60. Si el chorro de agua alcanza 6 m, halla el área A de la superficie de césped regada. ( 4 m ) d) En un sprint los ciclistas alcanzan una velocidad de 0 m/seg ( km./hr). Cuál es la velocidad angular de las ruedas, es decir cuántos grados gira por segundo?(radio de las ruedas = 5 cm) ( 4 en un segundo) e) Dos ciudades se encuentran sobre el círculo del Ecuador distan entre si 00 km Cuál es la diferencia entre las longitudes de ellas suponiendo que el radio de la tierra en el Ecuador es 6400 km.? ( 4 ) f) Halle la medida en radianes del ángulo en el centro subentendido por un arco de,44 cm. En un círculo cuyo radio es de, cm. ( 5 de radian) g) Un ángulo en el centro de un círculo, cuya medida circular es 0,, subtiende un arco de 9 m, halle el radio del círculo.( 00 metros) h) Un ángulo en el centro de un círculo cuyo radio es,5 cm es subtendido por un arco de,5 cm. Cuál es el ángulo? ( radian) i) Cuál es la longitud de un arco que subtiende un ángulo de,65 radianes en el centro de un círculo cuyo radio es,6 m? ( 5,85 m.) j) Un arco de 6 cm subtiende en el centro de un círculo un ángulo de,9 radianes. Halle el radio del círculo. ( 0 cm)

2 k) El volante de una máquina da 5 revoluciones por segundo. Qué tiempo tarda en girar 5 radianes? ( seg ) (Considera π = ) 44 l) La manecilla grande de un reloj tiene 0 cm de largo; cuántos cm recorre su extremidad en 0 minutos? ( 46, 6 cm.) m) Un caballo es atado a una estaca; Qué longitud deberá tener la cuerda para que cuando el caballo sujeto al extremo de la cuerda tirante recorra 5,6 m, siendo el ángulo descrito por la cuerda de 5 grados? ( 40 m) n) Encuentra la longitud de un arco que subtiende de grado en el centro de la 60 tierra, suponiendo que ésta sea una esfera de 00 Km de diámetro. (,85 Km.) o) Sabiendo que = 60 minutos =600 segundos. Halle el número de segundos del ángulo en el centro de un círculo de un kilómetro de radio subtendido por un arco de 8,5 cm de largo.(,5 segundos ) p) Dos lugares sobre el mismo meridiano están a,8 Km uno de otro, encontrar su diferencia en latitud, tomando el diámetro de la tierra como 00 km. (,6 ) q) Encontrar el radio de un globo tal que la distancia medida sobre la superficies entre dos lugares del mismo meridiano cuyas latitudes difieren en sea un metro. ( 45 m ) ) Usando las identidades establecidas para, f ( α ± β ), f (α ), f ( α ) determina sin usar calculadora: 4π sen 0 cos 00 tg 5 d) sen e) tg f) cos 55 5 π g) sen h) cos 5 i) sen,5 j) tg π k) sen 5 l) cos ) Demuestra que: cos 0º + cos 0º + cos 0º = 0 cos 0º + cos 0º = - cos 0º cos 465º + cos 65º = 6 5) Expresa en la forma más simple: 0

3 d) sen( 80 α) cos(90 + α) + sen(90 + α) cos(80 α) e) tg (60 + α) sen (90 α) sen(80 + α) sen( α ) 6) Verifica las siguientes igualdades: 6) Calcula las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo ( α + β ), sabiendo que: d) ) Expresa en forma más simple: d) 8) Si el valor de 9) Si el valor de sen α = Determina el valor de sen α, cosα, tg α 4 cos β = Determina el valor de sen β, cosβ, tg β 0) Comprueba las siguientes Identidades:

4 d) e) ) Sabiendo que sen α =, cos β = Determine: 5 sen( α + β ) cos( α β ) tg α d) sec β e) sen α f) cos β Respuestas: f) 6 ( + 4) d) 9 e) ) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para ángulos comprendidos en el intervalo [ 0º,60º ] sen x = { 0 º,50º } cos x = { 50 º,0º } d) cos x = ctg x { 0 º,90º,50º } e) tg x sen x = 0 { 0 º,80º,60º } f) cosec x = sec x { 45 º,5º } g) cos x tg x = 0 { 0 º,50º } h) sen x cos x = sen x { 0 º,60º,80º,00º } i) sen x cos x = cos x 4 j) tg x + ctg x = k) cos x sen x = cos x + sen x { 0 º,90º } { 0 º,60º,0º,40º } { 0 º,5º,0º } = 4 { 60 º,00º } l) 4cos x cos x m) sec x + cos x = n) cos x ( sen x) ñ) cos + sen x = { 50 º,0º } = { 0 º,90º,50º } x { 0 º,80º } o) sen x + sen x = 0 { 0 º,80º,0º,0º } p) cos x + sen x = { 0 º,0º,40º,60º } q) tg x + = sec x { 45 º,5º,5º,5º } r) cos ec x = c tg x { 45 º,5º,5º,5º } s) sen x + sen x = { 90 º } t) 4cos x = Resp`: { 60 º,0º,40º,00º } u) ( sen x ) ( coxx ) = 0 { 0 º,90º,60º } v) cos sen x = x { 5 º,65º,55º,85º } w) sen + cos x = 0 x { 0 º,90º }

5 x) cos sen x = 4 y) sen cos x + = 0 z) cos + sen x = x { 60 º,0º } x { 5 º } x { 0 º,90º,80º } x = tg x { 0 º,45º,80º } x + cos x + { 0 º,50º,0º } x cos x + sen xsen x { 0 º,0º } x cos x = 0 { 0 º,80º,40º } sec sen = 0 a) cos = a4) sen Teoremas de Seno y Coseno ) Se tienen los siguientes triángulos ABC de lados a, b y c y ángulos interiores α, β y γ. Resuélvelos determinando los lados y ángulos que faltan en cada uno de los casos: Dato Dato Dato Respuesta Respuesta Respuesta α = 50 b = c = 0 a = 9,4 β =6, γ = 5,9 β = 0 a = 8 c = 0 b = 5,6 α = 6,4 γ =,6 γ = a = 8 b= 5 c =,85 α =8,9 β =9, β = a = 6 c = b = 8, α = 46 γ = 5 γ = 0 b = 6 c = 0 a = 0, α = 5, β = 4, β =50 b = 50 c = 8 a = 4,9 α = 5,4 γ = 4,6 β = 6 a = b = 8 c= 8,6 α = 50,6 γ = 6,4 α =,5 a = c = 5 b =,8 β =09, γ =8, a= 0 b = γ = 5 c = 6,88 α =56,4 β =88,5 a = b = 6 c = 4 α =86, β =58,86 γ =4, c = 0 α = 0 β = 40 a = 0 b =6,84 γ =0 a = b = 6 β = 4 c=,5 α =0,6 γ =06,4 α = 5 β = 5 c = 0,5 a =0,9 b =,8 γ = 5 α = 48 γ = 68 c = 4, a=,8 b=45,5 β = 64 α = γ = 4 b = 4 a =,6 c =, β = α = β = 4 a = 5 b =,88 c =,88 γ = 4 α = 4 a = 8,4 b =, c = 5, β =5, γ =, a =, c = 98, γ =5,8 b=,4 α =,6 β =,84 a = 8 b = c = 5 α =,08 β =5,8 γ =95,09 a = 0 c = 4 β = 0 B = 6,0 α =6,5 γ =,4 a = 6 b = α = c = 0,65 c =, a = 9 b = 80 β =, c =54, c=, a = 9 c = γ = 59,6 b = 5,4 b= 4, β =8,8 β =4,8 α =, α =46,9 α =65,8 α =4,6 γ =09,8 γ = 6,8 γ =,99 γ =0,4 β =55,0 β = 5,8

6 Dato Dato Dato Respuesta Respuesta Respuesta γ = 5,8 a =, c = 98, b =,4 α =,6 β =,84 a = 5, b = 6, α = 69 No hay solución b = 6 c = α = 60 a = 4, β =0.6 γ =49,84 ) Si el área de un triángulo se puede calcular por: absenγ bcsenα acsen β AREA ABC = = = Calcule el área de los triángulos ABC de los cuales se conocen los siguientes datos: DATO DATO DATO RESPUESTA Area b = c = 4 α = 4 56,0 a = 8,6 b =, 9 γ = 6,6 a = 4, c =, 4 β = 9,0 b =,8 α = γ = 6 8,86 a = b = 0 c = 9 44,04 a = 8 b = 5 α = 4,5 ) Ejercicios de aplicación de los teoremas del seno y coseno Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50ª. Halla el perímetro del paralelogramo. ( Respuesta: 4,68 cm) Tres puntos A,B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la de BC es de 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 0º. Cuánto distan A y C? ( Respuesta:,0 Km.) Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida m., otro,5 m. Y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. Cuánto debe medir el otro lado de la mesa? ( Respuesta:,89 m.) d) Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 8º y cada uno va por su lado, uno camina a Km. por hora y el otro a,5 Km. por hora, a qué distancia se encuentran al cabo de media hora? ( Respuesta:,08 Km.) e) Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcula la altura del pino, sabiendo que los ángulos PAB mide 4º, PBA mide º y PAC mide 50º. ( Respuesta: 8,6 m.) f) La sombra que proyecta un árbol de,4 m. sobre el piso horizontal mide 4, m. Cuál es la medida del ángulo que forma la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y el árbol? (Respuesta: 8,4º) g) Una persona se encuentra en la ventana de su departamento que se encuentra ubicado a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 5º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 4º. Determina la altura del edificio de enfrente. ( Respuesta: 4 m.) h) Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 6º y tienen longitudes de y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. ( Respuesta: 5,84 cm.)

7 i) Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 5º. Uno va a 5 Km. por hora y el otro a 5 Km. por hora. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. (Respuesta:,0 Km.) j) Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo si sus lados miden 6 y 0 cm. Respectivamente y el ángulo entre ellos e de 40º. ( Respuesta: 6,6 cm. Y 5,09 cm.) k) Después de un choque, un poste del alumbrado público no quedó perpendicular al suelo. Su sombra es de 5,5 m cuando el ángulo de elevación del sol es de 68º. Calcula la variación que sufrió su ángulo de inclinación con el choque si antes de él proyectaba una sombra de 5 m a la misma hora. ( Respuesta: Varió en º). l) Durante un viaje por la carretera del norte de nuestro país una persona divisa las luces de un pueblo en una dirección de 8º noroeste, una hora más tarde ven las mismas luces, pero esta vez con un ángulo de 48º, en dirección sudoeste. Si el auto en que se desplaza la persona va a 90 Km. por hora. A qué distancia de la carretera está el pueblo? ( Respuesta:,6 Km.) m) Una torre de alta tensión está inclinada formando un ángulo de 68º con el suelo. Desde un punto del suelo situado a 00 metros de la torre una persona mide el ángulo de elevación a la cúspide de la torre y resulta ser de 0º. Determina la altura de la torre. ( Respuesta: 4, m.) n) Cuál es el perímetro y el área de un triángulo isósceles cuyo ángulo no basal mide 0º y su base mide 5 cm? ñ) En una circunferencia de centro O y radio 0 cm, el arco AB mide 0º. Cuánto mide la cuerda que lo subtiende? ( Respuesta:, cm) o) Un rombo tiene lados de 0 cm, si el ángulo de uno de sus vértices es 65º.Calcula la longitud de las diagonales.(respuesta: 0, cm y 6,86 cm.) p) En una competencia de natación dos amigos parten lanzándose al agua desde una balsa al mismo tiempo, el primero nada a una velocidad promedio de 6 Km. por hora, y el segundo a 5 Km. por hora. Comienzan a alejarse entre si con un ángulo de 5º, después de media hora de competencia el segundo sufre un calambre. Qué distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio y qué ángulo tendrá la nueva dirección de éste? ( Respuesta: d =, Km. Angulo de la nueva dirección: 56,4º) q) Se tiene un triángulo cuyos vértices están en las coordenadas (,);(-,0) y (0,4). Qué tipo de triángulo es?. Calcula sus lados y ángulos interiores. (Respuesta: Es un triángulo isósceles, lados: a = b = 5, c =, ángulos: α = β =8,86º,γ =6,5º) r) Dos personas van por un camino, pero en un punto hay una bifurcación formándose dos caminos con un ángulo de 45º entre ellos. Cada uno toma un camino distinto, el primero avanza a una velocidad de 4 Km. por hora y el segundo a 5,6 Km. por hora. A qué distancia se encuentran uno del otro luego de,5 horas? ( Respuesta:,86 Km.) s) Una linterna que se encuentra a 6 m. de la pared de una casa, genera una circunferencia de luz de diámetro 4, m. con la luz que genera. Cuál es el ángulo de salida del rayo de luz de la linterna? ( Respuesta: 8,6º)