Medidas de Tendencia Central. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo Derechos de Autor Reservados Revisado 2010

Transcripción

1 Medidas de Tendencia Central Dra. Noemí L. Ruiz Limardo Derechos de Autor Reservados Revisado 2010

2 Objetivos de Lección Conocer cuáles son las medidas de tendencia central más comunes y cómo se calculan o se determinan Conocer el significado e interpretación de cada medida de tendencia central Conocer el significado del concepto valor típico Identificar el valor más típico de un grupo de datos Aplicar las medidas de tendencia central en un conjunto de datos

3 Introducción

4 Introducción Después de recopilar datos y organizarlos y presentarlos en tablas y gráficas, uno desea conocer cómo es la muestra. Este es el proceso de describir el conjunto de datos. Describir la muestra implica contestarse las siguientes preguntas: Qué forma tiene la distribución? Cuáles son los valores más típicos? Cuánta varíación hay en las puntuaciones? Cuánto varían los datos?

5 Introducción Conocer la muestra implica poder describirla aplicando los siguientes conceptos: Forma de la distribución (Simetría o Sesgo) Medidas de Tendencia Central (Valores típicos-promedios) Medidas de Variación (Dispersión de los datos) Medidas de Posición (Interpretación de un valor en referencia a una norma- norm-referenced interpretation ) En esta presentación se discutirán los conceptos de Tendencia Central y su relación con la forma de la distribución.

6 Medidas de Tendencia Central

7 Medidas de tendencia central Son las medidas o valores que tienden hacia el centro en una distribución de datos. Representan el valor más típico de un grupo de datos. Se conocen también como los promedios. Hay varias clases de promedios. Las medidas de tendencia central que más se utilizan son: Media Aritmética Mediana Moda Valor más típico- Valor que mejor representa un grupo de datos. Otros promedios, pero no son tendencia central: 1. Rango medio 2. Eje medio

8 Media Aritmética

9 Media Aritmética Se conoce también como el promedio aritmético de una lista de valores o simplemente la media. Es el valor que balancea o distribuye en partes iguales un grupo de valores. Se halla sumando todos los valores (x i ) del grupo de datos y dividiendo ese resultado por el total de valores que hay en el grupo (n). (Ver por qué de acuerdo al significado)

10 Media Aritmética El símbolo para la media de la población es:. El símbolo para la media de una muestra es:. La fórmula para calcular la media aritmética es: n x i 1 x i n x i x son los valores n es total de datos Σ significa sumar Ejemplo: Halla la media. x x x x x x x x

11 Características de la Media Aritmética La media aritmética aplica cuando tenemos datos cuantitativos. La media aritmética se afecta con la existencia de valores extremos. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones desde la media, es cero. La suma de los cuadrados de las desviaciones de todas las puntuaciones desde la media es un menor, esto es, produce el número más pequeño que si se tomaran las desviaciones desde cualquier otro valor. EJEMPLO

12 Media Ponderada A veces se desea hallar la media de dos o más grupos de medias. Ejemplo: Un grupo de 180 estudiantes toman un examen final, 106 son mujeres y 74 son varones. La media de las puntuaciones fue: x x F M No se puede hallar la media de los dos grupos combinados simplemente hallando la media de las medias. x O sea, no se puede hallar la media de las dos medias sumando ambas y dividiendo por Hay que hallar la media ponderada.

13 Media Ponderada La media ponderada será igual a: x nf xf nm x M xf n F n M Ejemplo: Halla la media del grupo representado por el ejemplo anterior: x (106) (45.26) 106 4,798 4, n F n M x M (74) (54.89) x

14 Mediana

15 Mediana Es el valor que está localizado en el mismo centro de un grupo de datos, cuando la lista de valores está ordenada de menor a mayor. Es el punto medio de una distribución de datos. Pasos para hallar la mediana: Ordenar los datos en forma ascendente. Aplicar la fórmula para determinar la posición que ocupa la mediana en la lista de datos. Determinar qué valor de la lista ocupa esa posición. Md n 1 2 Esta fórmula se usa para determinar la posición de la mediana cuando se tienen datos crudos sin agrupar. Más adelante se verá cómo se determina la mediana cuando los datos están agrupados.

16 Mediana La mediana es un valor de la lista si el total de datos es un número impar. Si el total de datos es un número par, la mediana se halla buscando el punto medio de los dos valores centrales. El punto medio se halla sumando los dos valores centrales y luego dividiendo ese total por 2. La mediana no se afecta con la existencia de valores extremos. Por qué?

17 Mediana Ejemplo 1: Halla la mediana del siguiente grupo de datos: 3, 21, 18, 6, 23, 19, 12. Ejemplo 2: Md = 18 Halla la mediana del siguiente grupo de datos: 18, 23, 27, 28, 29, 40, 44, 46. Md = 28.5

18 Moda

19 Moda Es el valor que más se repite o que aparece con mayor frecuencia en una lista de datos. A veces hay más de una moda. Cuando hay dos modas, decimos que el grupo es bimodal. A veces no hay moda porque no hay un valor que se repite más que los demás. Cuando existe, la moda es siempre un valor del grupo de datos. No existe una fórmula matemática para calcularla ya que se halla solo por inspección visual.

20 Moda Es la medida de tendencia más fácil y más sencilla de determinar. Provee muy poca información sobre el grupo de datos por eso es la menos confiable. Se usa como valor típico solo cuando la variable es cualitativa en la escala nominal. Cuando los datos están agrupados en clases, se determina el intervalo modal o la clase modal en vez de la moda. En este caso, se considera el punto medio de la clase (marca de clase) como el valor que representa la moda del grupo.

21 Ejercicios para Calcular Tendencia Central para datos crudos

22 Ejemplo 1: Halla la media aritmética, mediana y moda del siguiente grupo de datos: 84, 90, 65, 52, 90 Media Aritmética 76.2 Mediana 84 Moda 90

23 Ejemplo 2: En la librería de la universidad se vendió el libro de estadísticas por 8 semanas. A continuación aparece el número de libros que se vendió cada semana: 14, 21, 12, 18, 15, 17, 15, 16 Cuál fue la media aritmética de libros vendidos? 16 Cuál fue la mediana de libros vendidos? 15.5 Cuál fue la moda de libros vendidos? 15 Qué promedio representa el valor más típico? Qué significa cada medida hallada?

24 Ejercicios para Calcular Tendencia Central para datos agrupados

25 Moda

26 Datos agrupados por valor simple Halla la moda. Segundos de reacción ante estímulo previo a consumir un gramo de THC x i (segundos) 12 1 f Moda = 10 segundos Frecuencia mayor Total 9

27 Datos Agrupados en Clases Halla la moda. Segundos de reacción ante estímulo previo a consumir una droga antidepresiva x i (segundos) f La moda es el punto medio ya que el punto medio representa la clase. Moda = Total 26 Esta es la clase modal porque es la clase donde está la frecuencia mayor

28 Media Aritmética

29 Datos agrupados por valor simple Halla la media aritmética. Segundos de reacción ante estímulo previo a consumir un gramo de THC x i (segundos) f Cuando los datos están agrupados la fórmula para hallar la media aritmética cambia ya que hay que considerar la frecuencia con que se repiten los datos Total 9

30 Datos agrupados por valor simple Fórmula para hallar la media aritmética: xf i x n Segundos de reacción ante estímulo previo a consumir un gramo de THC x i (segundos) Total 9 f x i son los valores f es frecuencia n es total de datos Σ significa sumar Recuerda que cuando aparecen dos variables juntas en una fórmula, significa: multiplicación. Qué se necesita para aplicar la fórmula? Hay que añadir columna de x i. f.

31 Datos agrupados por valor simple Halla la media aritmética. Segundos de reacción ante estímulo previo a consumir un gramo de THC x i (segundos) f x i f x xf i n Total 9 90 x

32 Datos Agrupados en Clases Cocientes de inteligencia para una muestra de adictos a cocaína x Total 1,000 f Halla la media aritmética. x xf i n Cuando los datos están agrupados en clases se usa la misma fórmula anterior. Qué se necesita para aplicar la fórmula? Hay que añadir dos columnas, la de x i y la de x. i f. Qué es x i? x i es el punto medio.

33 Datos Agrupados en Clases xf i x n Cocientes de inteligencia para una muestra de adictos a cocaína Media Aritmética 112,080/1, x f x i x i f , , , , , , , , , , ,270.0 Total 1, ,080.0

34 Mediana

35 Datos agrupados por valor simple Segundos de reacción ante estímulo después de consumir 4 oz alcohol x (segundos) Total 52 f Halla la mediana. Md n /2 f fa Finf F inf es frontera inferior de la clase mediana fa es frecuencia acumulada de la clase anterior a la mediana f es frecuencia de la clase mediana Qué se necesita para aplicar la fórmula? Hay que añadir la columna de frecuencia acumulada.

36 Datos agrupados por valor simple Mediana Segundos de reacción ante estímulo después de consumir 4 oz alcohol x (segundos) f fa Total 52 Md Md n /2 f fa Finf F inf es frontera inferior de clase mediana fa es frecuencia acumulada de clase anterior a mediana f es frecuencia de clase mediana Dónde empezamos en la fórmula? n/2 = 52/2 = 26 Clase Mediana

37 Datos agrupados en clases Mediana n /2 fa Md Finf i f Segundos de reacción ante estímulo después de consumir 4 oz alcohol x (segundos) f fa Total 52 Cuando los datos están agrupados en clases se usa la fórmula anterior pero con una variación. Hay que considerar el intervalo de clases. Md i es intervalo de las clases n/2 = Clase Mediana

38 Cúal es la medida de tendencia central más apropiada?

39 Cuál es la medida de tendencia central más apropiada? Dependerá si la variable es cualitativa o cuantitativa y su escala de medición. Si la variable es cualitativa nominal, solo la moda es apropiada. Si la variable es cualitativa ordinal, puede ser más apropiada la mediana o la moda. Si la variable es cuantitativa intervalar o de razón, las tres medidas pueden ser apropiadas aunque se prefieren la mediana y la media. Si se desea inferir a la población, se debe usar la media como medida más apropiada. Si hay valores extremos y no se desea inferir a la población, la mediana podría ser la más apropiada.

40 Relación entre las medidas de tendencia central y la forma de la distribución

41 Comparación por forma de distribución Distribución Normal MA Md Mo Mo = Md = MA

42 Comparación por forma de distribución Distribución Rectangular Md = MA No hay Moda

43 Comparación por forma de la distribución Distribución con Sesgo Positivo Mo Md MA Mo < Md < MA

44 Comparación por forma de la distribución Distribución con Sesgo Negativo MA Md Mo MA < Md < Mo

45 Fin de la lección

46 Ejemplo para ilustrar propiedades de la media xi x i x x 2 x i 2 x i Totales = 42 = 0 = 76 = 104 n = 7 x 6