GEOMETRÍA: Trigonometría. Departamento de Matemáticas. 5. TRIGONOMETRÍA.

Transcripción

1 5. TRIGONOMETRÍA Introducción. La palabra trigonometría proviene del griego (trigonostriángulo + metríamedida) y significa medida de triángulos. Por tanto, es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto relacionar las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo. Se utiliza como auxiliar de otras ciencias, ya que las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la topografía y la astronomía (aunque en este caso se emplea más la trigonometría esférica que la plana), en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la Física, Química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos vectoriales o periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. 5.. Unidades de medida de ángulos. (A) Grado sexagesimal (º) arco de circunferencia de longitud 1/60 de la longitud total de la misma, o ángulo central que corresponde a dicho arco. Se divide en 60 minutos ( ), cada uno de los cuales equivale a 1/1.600 de la circunferencia de un círculo; cada minuto se divide en 60 segundos ( ), cada uno de los cuales equivale a 1/ Por ejemplo, 41º18 09 se lee 41 grados, 18 minutos y 9 segundos. Por tanto, la relación entre los submúltiplos del grado es 1º Algunos ángulos concretos reciben un nombre especial. Así, el ángulo recto es un ángulo que mide 90º, el ángulo llano es el doble del ángulo recto (180º) y el ángulo completo es el doble del ángulo llano (60º). (B) Grado centesimal o gradiente (g) arco de circunferencia de longitud 1/400 de la longitud total de la misma, o ángulo central que corresponde a dicho arco. (C) Radián (rad) ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia con que ha sido trazado. Así pues, la medida en radianes de un ángulo se expresa como la razón entre la longitud del arco y el radio, por lo que su valor es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar. De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia: basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes: Long. arco de circunferencia Ángulo en radianes x Radio de la circunferencia Ya que el perímetro de una circunferencia de radio unitario es π, entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes, es π. Como además este mismo ángulo, medido en grados, mide 60º, obtenemos la siguiente equivalencia: 60º π, de la que se pueden deducir otras, pero la que quizás sea más sencilla de recordar y más cómoda para realizar otras transformaciones (usando una regla de tres simple) es π rad 180 º. 1

2 Como sistema de referencia para la representación gráfica de ángulos, se utilizan los ejes cartesianos y una circunferencia centrada en el origen y radio arbitrario, que generalmente y por comodidad se toma la unidad, en cuyo caso se llama circunferencia goniométrica. Además hay que tener en cuenta que: El origen del ángulo de giro es siempre el semieje real positivo. positivo : si es contrario que el de las agujas del reloj El sentido es. negativo : si es el mismo que el de las agujas del reloj Ejercicios. 1. Un ángulo mide radianes. Si dibujamos su arco tomando un radio de 5 cm, cuánto medirá dicho arco?. Calcula el ángulo central y el interior de un decágono regular, en grados sexagesimales y radianes. Realiza el mismo ejercicio en un pentágono regular.. En una circunferencia de 10 cm de radio, un arco mide 6 cm Cuánto mide (en grados y en radianes) el ángulo correspondiente? 4. En un hexágono regular, calcula el valor del ángulo interior y el valor del ángulo que forman dos diagonales que salen del mismo vértice y llegan a otros dos consecutivos. 5. El radio de una circunferencia mide 6 cm. Cuál es la longitud del arco correspondiente a un ángulo de 0º? 6. Dos ángulos de un triángulo miden 50º y π 6 radianes. Cuánto mide el otro ángulo? Expresa el resultado en grados y en radianes. 7. Haciendo una tabla, expresa en radianes los siguientes ángulos: 0º; 15º; º 0'; 0º; 45º; 60º; 75º; 90º; 10º; 15º; 150º; 180º; 10º; 5º; 40º; 70º; 00º; 15º; 0º; 60º; dos vueltas. 8. Pasar al sistema sexagesimal los siguientes ángulos: π ; π/ ; π/4 ; π/1 ; π/4 ; 7 π/6 ; 1 rad ; 5 π/1 rad ; 7 π rad 9. A qué cuadrante pertenece un ángulo de: 500º ; 1000º ; 786º ; 10º 10. A qué cuadrante pertenece la mitad de un ángulo de: 450º ; 800º ; 650º ; 00º ; 500º 11. Pasar los siguientes ángulos a los demás sistemas: 6º 1' 4" ; 188º 76' 64" ;,185 π rad ; 5 π/ rad ; 5º ; 495º ; 10º 0 06" ; 75º 18

3 5.. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Consideremos el ángulo de vértice O y lados OX y OZ. Sobre él construimos los triángulos rectángulos AOB, A ' OB ', A " OB ",...: B B O X A A A B Z Se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo de la siguiente forma: AB (A) El seno de es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa: sen OB OA (B) El coseno de es la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa: cos OB OB (C) La tangente de es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo: tg AB OB (D) La cosecante de es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto: cosec AB OB (E) La secante de es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente: sec OA OA (F) La cotangente de es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto: cotg AB Ya que todos los triángulos AOB, A ' OB ', A " OB ",... están en posición de Thales, son semejantes y, aplicando el teorema de Thales, obtenemos que la definición de las distintas razones trigonométricas es independiente del triángulo rectángulo considerado: AB A' B ' A" B" OA OA' OA" sen...; cos...; OB OB ' OB" OB OB ' OB" Ejemplo: En un triángulo rectángulo los catetos miden 6 y 8 cm. Calculemos el valor de las seis razones trigonométricas del menor de sus ángulos: 8 cm 6 cm 1º) La hipotenusa h º) sen ; cos ; tg ; cosec ; sec ; cotg

4 Ejercicios: 1. En el ejemplo anterior, calcular las razones trigonométricas del otro ángulo agudo del triángulo.. En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 1 m. Calcula el valor de las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos. Veamos las primeras propiedades elementales que se deducen de las definiciones: i) sen 1 y cos 1 Consecuencia de que los catetos de un triángulo rectángulo son menores que la hipotenusa. La igualdad se daría para el caso de un triángulo degenerado en un segmento. ii) sen cos tg ; cosec ; sec ; cotg cos sen cos tg sen iii) Fórmula fundamental de la trigonometría: sen + cos 1 ángulo agudo AB OA AB + OA OB sen + cos + 1 T ma OB OB OB Pitágoras OB iv) Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son siempre positivas, ya que se obtienen como cociente de dos longitudes (que lógicamente son positivas) Generalización del concepto de razón trigonométrica. Estudiemos las definiciones anteriores sobre el sistema de ejes cartesianos (OX,OY) y la circunferencia de centro O y radio r: P(x,y) O r x y Pues bien, si P(x,y) es un punto de la circunferencia y tenemos en cuenta las definiciones anteriores, obtenemos: y ordenada sen Generalizando: sen r radio x abscisa cos Generalizando: cos r radio y ordenada tg Generalizando: tg x abscisa 4

5 Esta última definición nos permite calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo (agudo o no) y saber cuál es el signo de éstas según el cuadrante al que pertenezca el ángulo: Cuadrante Ángulo Signo sen cos tg cosec sec cotg 1 er C 0º << 90 º Ordenada + Abscisa º C 90º << 180 º Ordenada + Abscisa er C 180º << 70 º Ordenada - Abscisa º C 70º << 60 º Ordenada - Abscisa Es importante comentar que en algunos puntos, frontera entre dos cuadrantes consecutivos, algunas razones trigonométricas no están definidas ( no existen!), pero eso ya lo trataremos un poco más adelante. Además, la definición anterior generaliza la fórmula fundamental y mejora la acotación que vimos anteriormente. Así, podemos decir que: sen 1, es decir, 1 sen 1 sen + cos 1 y para cualquier ángulo cos 1, es decir, 1 cos 1 La relación anterior da lugar a otras dos que también pueden resultar de utilidad: sen cos 1 sen + cos 1 + tg + 1 sec cos cos cos sen cos 1 sen + cos cotg cosec sen sen sen Estas fórmulas permiten calcular las restantes razones de un ángulo cuando se conoce una cualquiera de ellas y el cuadrante en que se encuentra el ángulo (de no conocerse esta segunda circunstancia, el signo puede no estar determinado). Ejemplos: 5 (a) Si sen y ] 0º, 90º [ cosec cos + 1 sec tg 5 4 cotg

6 5 1 cos y º, º sec 1 5 (b) Si ] [ sen + 1 cosec tg cotg tg y 180º, 70º cotg 1 (c) Si ] [ 1 5 sec cos sen tg cos cosec 5 Si conocemos la cosecante, la secante o la cotangente, se toman los valores inversos, con lo que se tiene el seno, coseno o tangente respectivamente, y el problema queda reducido a uno de los casos anteriores. Ejercicios: 1. Calcula las demás razones trigonométricas del ángulo en los casos siguientes: 1 a. sen y º C π e. sen 06 ' y 5 π, 4 b. cos y 180º << 70º f. sec y 5 ] 180º, 70º [ c. tg y 4 ºC g. cos 06 ' y π << π d. cosec 4 y ] 90º, 180 º [ 4 π h. cotg y, π sen 18º cos 5º. Indicar el signo de x sin efectuar ninguna operación. tg 10º. Dibujar en cada caso el ángulo correspondiente: a) Un ángulo agudo cuyo seno sea /4. b) Un ángulo obtuso cuyo coseno sea -1/. c) Un ángulo cualquiera cuya tangente sea 1,5. d) Un ángulo cualquiera cuyo coseno sea /. e) Un ángulo obtuso cuya secante sea -1,5. f) Los ángulos comprendidos entre 0 y π, cuyo coseno sea /. 6

7 5.5. Razones trigonométricas de los ángulos fundamentales. (A) Ángulos límites entre cuadrantes: Todas las razones trigonométricas de los ángulos que aparecen a continuación se pueden deducir fácilmente de la aplicación, en la circunferencia goniométrica, de las definiciones generalizadas. Ángulo sen cos tg cosec sec cotg 0º 60 º º º º (B) Otros ángulos importantes: Todas las razones trigonométricas de los ángulos que aparecen a continuación se pueden deducir fácilmente de la aplicación de las definiciones originales en el triángulo rectángulo obtenido al dividir, por una altura, uno equilátero de lado 1 (razones de 0º y 60º) o en un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 (razones de 45º). Lo interesante es el truco que permite recordar las razones trigonométricas de los ángulos 0º, 0º, 45º, 60º y 90º. Realizamos la siguiente tabla y vamos siguiendo los pasos que se indican: 1 er paso 0º 0º 45º 60º 90º sen En esta fila empezamos a escribir los n os naturales desde 0 cos En esta fila escribimos los n os naturales anteriores pero al revés º paso 0º 0º 45º 60º 90º sen cos Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los n os anteriores y se dividen todos ellos entre 0 er paso 0º 0º 45º 60º 90º sen 0 cos Se simplifica y obtenemos las razones trigonométricas buscadas Ejercicio: 1. Calcular el valor de x: x sen 0º sen 60º / sen 0º + sen 60 º a) ( ) ( ) b) x ( 1 sen 45º ) + cos 45º / cos 60 º c) x ( sen 90º sen 60º + cos 0º cos 0º )/ ( sen 45º cos 45º tg 0 º ) d) cos sen tg π π π 6 4 7

8 5.6. Reducción de razones trigonométricas al primer cuadrante. Veamos que dado un ángulo cualquiera comprendido entre 90º y 60º, existe otro ángulo en el primer cuadrante con razones trigonométricas iguales, en valor absoluto, a las del dado. (A) Razones trigonométricas de ángulos suplementarios (suman π radianes). P (-x,y) Y P(x,y) Q O Q X Si consideramos el ángulo π XOP ', éste es suplementario del ángulo XOP (donde el punto P es el simétrico de P' respecto del eje OY) ya que ambos suman 180º. Además, podemos observar que los triángulos rectángulos POQ y P'OQ' son iguales. Así las razones trigonométricas son: sen ( π ) y sen cos( π ) x cos tg( π ) tg Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de 10º. tg 10º sen 10º sen ( 180º 60º ) sen 60º cosec 10º 1 sec º cos º cos ( º º ) cos º cotg 10º 8

9 (B) Razones trigonométricas de ángulos que difieren en π radianes. Y P(x,y) Q O Q X P (-x,-y) Si consideramos los ángulos XOP y π + XOP' (donde el punto P es el simétrico de P' respecto del origen O), ambos se diferencian en 180º. Además, podemos observar que los triángulos rectángulos POQ y P'OQ' son iguales. Así las razones trigonométricas son: ( ) ( ) sen π + y sen tg( π + ) tg cos π + x cos Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de 10º. tg 10º 1 sen º sen ( º º ) sen º cosec 10º cos º cos ( º + º ) cos º sec 10º cotg 10º (C) Razones trigonométricas de ángulos opuestos (suman π radianes). Y P(x,y) Q O Q X P (x,-y) Si consideramos los ángulos XOP y π XOP' (donde el punto P es el simétrico de P' respecto del eje de abscisas), ambos suman 60º. Además, podemos observar que los triángulos rectángulos POQ y P'OQ' son iguales. Así las razones trigonométricas son: ( ) ( ) sen π y sen tg( π ) tg cos π x cos Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de -45º60º-45º15º. tg 15º 1 sen 15º sen ( 60º 45º ) sen 45º cosec 15º sec º cos º cos ( º º ) cos º cotg 15º 1 9

10 Siguiendo razonamientos análogos a los anteriores, existen otras formas de reducir razones trigonométricas de ángulos al primer cuadrante: (D) Razones trigonométricas de ángulos complementarios (suman π/ radianes). Y P(x,y) π sen cos P π cos sen O X π tg cotg (E) Razones trigonométricas de ángulos que se diferencian en π/ radianes. Y P (-y,x) P(x,y) π sen + cos π cos + sen O X π tg + cotg (F) Razones trigonométricas de ángulos que suman π/ radianes. P(x,y) π sen cos π O X cos sen π P (-y,-x) tg cotg (G) Razones trigonométricas de ángulos que se diferencian en π/ radianes. Y O Y P(x,y) P (-y,-x) π sen + cos π cos + sen π tg + cotg Por último, comentar que los ángulos que son más grandes que π contienen un número entero de vueltas de circunferencia más un ángulo que ya sí está contenido entre 0 y π radianes, es decir, si un ángulo es mayor que π se escribirá de la forma β + kπ donde k es el número de veces que el ángulo contiene a la circunferencia completa y lo que queda. Así pues, estos ángulos tendrán el mismo origen y el mismo extremo y, por tanto, tienen las mismas razones ( k ) ( k ) sen + π sen trigonométricas: cos + π cos X ( k ) tg + π tg 10

11 Ejercicios: 1. Expresa las siguientes razones en función de ángulos del primer cuadrante: a) sen 150º b) tg 00º c) cos 10º d) sen 70º e) tg 15º f) tg 90º 0 g) cotg 158º 10 h) cosec 14º 40 i) sen 100º 0 j) sen 40º k) sen 40º l) tg 5º m) cos 10º n) tg 00º o) tg 5º p) sen 90º q) cotg 10º 50 r) sec 15º s) sen 0º t) sec 660º u) sec 15º. Calcular x en las siguientes expresiones: a) x sen 0º + cos 45º tg 150 º x sen 10 º cos 60 º / tg 0º cotg 15 º b) ( ) ( ) c) x sen π cos π + tg π 4 cos ( π 6 ) d) x ( a + b ) tg 45º a cos 0 º + b sen π e) x cos 0º sen 450º tg 15 º. Determinar el valor de x sabiendo que0 x π : a) sen x cos 10º sen ( 45 º ) b) sec x tg 145º 18 cosec ( 19 º ) c) tg x sen 145º 15 tg 09º / cos 18 º cos x sen 910º cos 1000º / tg 5 º d) ( ) 4. Calcular, utilizando la calculadora, todos los posibles valores de x en los siguientes casos: a) x sen 8º 15 b) x tg 90º c) cotg x 0,5775 d) tg x,5 e) sen x 0,064 f) sen x 0,9807 g) x cos 7º h) x cos 75º i) sen x -( 1/ /) j) cosec x -,5 k) tg x 0,8699 l) cos x 0,779 m) x tg º 19 5 n) x cos π 1 o) cos x -0,686 p) tg x 1,70 q) sen x 0,5466 r) x sen 15º s) x cotg 9º 19 t) cos x 0,489 u) sec x v) x tg 75º w) cos x 0,1175 x) cotg x 0,

12 5. Expresa en función de las razones de un ángulo del primer cuadrante, las razones trigonométricas de los ángulos: 10º, 010º, 718º, 745º. 6. Dibuja el ángulo, di a qué cuadrante pertenece y calcula todas sus razones trigonométricas en cada uno de los siguientes casos: a) 1 sen y cos > 0 b) 1 cos y sen < 0 c) tg 4 y cos > 0 7. Si sen sen β, cómo pueden ser entre sí los ángulos y ß? 8. Para qué ángulos es sen cos? 9. Calcula la forma general de los ángulos tales que cos tg 45 º. 10. Decide si los ángulos 4º, 18º y º tienen el mismo seno. 11. Cuánto deben diferir dos ángulos para que sus tangentes coincidan? 1. Existirá algún ángulo para el cual se cumpla que sen cos 4? Justifica la respuesta sin realizar operaciones. 1. Qué relación existe entre tg 5º y tg 5º? 14. En qué cuadrante se halla situado un ángulo si el seno y el coseno son negativos? Y si son negativos el coseno y la tangente? 15. Calcula el signo de las razones trigonométricas de: 750º, 1197º, 90º y 100º. 16. Al duplicarse un ángulo, se duplica también su seno? Por qué? 17. Si en un triángulo se conoce el seno de un ángulo, queda determinado ese ángulo? Y si se conoce el coseno? Y si se conoce la tangente? 18. Qué condiciones deben cumplir el seno y el coseno de un ángulo para que la tangente sea positiva y mayor que 1? En qué cuadrantes puede hallarse dicho ángulo? 19. Simplifica la expresión: cos ( 90º ) cos( 180º + ) + sen ( 90º ) sen ( 180 º ) 1

13 0. Si un ángulo mide 1 5 rad, es mayor, menor o igual que un ángulo recto? Y si mide rad (utilizar tres decimales en los cálculos)? 1. Demostrar la siguiente igualdad: 4 1 sen ( ) sen cos cotg. Comprobar si es verdadera o falsa la siguiente igualdad: tg + tg β tg tg β cotg + cotg β. Simplificar la expresión 4 4 cos sen cos sen. 4. Calcular razonadamente el valor de la siguiente expresión: sen 150º cos 0º + tg 5º sec 40º + cosec 15º cotg 45 º 5. Si cosec 5, calcular: a) las demás razones trigonométricas de. b) los ángulos que tienen dichas razones trigonométricas. 6. Sabiendo que tg 5º 0. 7, calcular las siguientes razones trigonométricas: a) sen 5 º ; b) cos 15 º ; c) cotg 15 º ; d) cosec 05 º ; e) sec 145 º 7. Calcular las siguientes razones trigonométricas en función de alguna de alguno de los ángulos fundamentales del primer cuadrante: a) sen 10 º b) cotg 15 º c) cosec ( 0 º ) d) sec 0 º e) cos ( 45 º ) f) sec 150 º g) cotg 40 º h) tg 15 º i) tg 10 º j) cosec 5 º k) sen 40 º l) cos 00 º 8. Sabiendo que sen 1, a) Determinar en qué cuadrantes puede estar. b) Calcular las demás razones trigonométricas de. c) Explicar razonadamente quién es. 9. Demostrar que para cualquier ángulo se verifica la siguiente relación: cosec + sec sec cosec 1

14 0. Sabiendo que cotg 7 º, calcular las siguientes razones trigonométricas: a) cosec 6º ; b) cos º ; c) tg 15º ; d) sen 4º ; e) sec 117º 1. Comprobar si la siguiente igualdad es cierta: cotg tg + cosec sec 1+ cotg 1+ tg. Calcular, explicando razonadamente cada paso, el valor de la siguiente expresión: sen 10º cos 5º + tg 00º cotg 10º + sec 150º cosec 15º. a) Expresar 7º en radianes. b) Calcular sus razones trigonométricas si tg 7º 4 c) Calcular razonadamente un ángulo tal que 70º < <60º y tg 4 4. Sabiendo que cotg, a) Determinar en qué cuadrantes puede estar. b) Calcular las demás razones trigonométricas de. c) Explicar razonadamente quién es. 5. Decidir si es verdadera o falsa la igualdad 1 + tg cos sen. 1 tg sen + cos 6. Simplificar la expresión sen sen. 1 cos cos 7. Calcular, explicando razonadamente cada paso, el valor de la siguiente expresión: sen 15º + cos 40º tg 00º cotg 5º + sec 10º + cosec 0º 8. Decidir si es verdadera o falsa la igualdad 1 + tg tg. cotg cos 14

15 9. Comprobar si son ciertas las igualdades siguientes: a) tg cosec cotg b) tg cos tg tg c) ( ) sen + cos 1+ sen d) cos 4 sen 4 cos 1 e) cotg + tg sec f) cotg tg sec cos tg cosec sen g) ( cotg + cosec ) ( cosec cotg) 1 h) ( ) tg + cotg sen cos 1 i) ( 45 + ) sen º 1 + tg cos 45º cos j) sen ( β) tg tg β cos cos β k) ( sen cos) ( sen cos) tg 1 tg + sec l) ( ) ( ) m) ( ) ( ) sen + β tg cotg β + 1 sen β tg cotg β 1 n) ( ) tg + cotg sec + cosec o) 1 sen cos cos 1 + sen p) 1 + tg tg cotg cos q) sen cos tg 1+ cos 1+ cos r) sen tg 1+ cos s) ( 1+ cos ) ( 1 cos) cos sec cos t) sen + sen5 4cos sen + sen 40. Simplificar las expresiones: a) c) e) g) i) sec cos b) tg cosec sen ( ) cosec cos sen a sen a 1 cos a cos a d) f) sen b cos b cos 8b cos 4b h) cos + tg 1 1 sen 1 tg sen β sen5β cos β + cos 5β cosec 1 + cotg sen β + sen β cos β cos β sen π π + tg + tg ( ) ( + π) j) ( sen + cos) 15

16 41. Calcular x en los siguientes casos: a) x sen 8º 15 ' b) cotg x 0 ' 5775 c) sen x d) x cos 7º 5 ' 15 " x 195 f) sen x ( 1 / ) e) tg º ' " g) tg x 0, 8699 h) cos x i) sen x 0 ' 5466 j) x cotg 9º 19 ' k) sec x l) cos x 0, 1175 m) x tg 90 º n) sen x o) tg x 5, p) sen x q) x cos 75 º r) cosec x 5 ' π s) cos x 0 ' 779 t) x cos 1 u) cotg x 06749, v) tg x 1' 70 w) cos x 0' 489 x) x tg 75 º y) x sen ( 15 º ) z) sen x 1045 ' 5.7. Resolución de triángulos rectángulos. Resolver un triángulo es calcular las medidas de todos sus lados y ángulos. Para ello nos debemos basar en las relaciones que existen entre los lados, entre los ángulos y entre ambos. Consideremos el siguiente triángulo rectángulo: (A) Relaciones entre los lados: Teorema de Pitágoras: a b + c El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia (en valor absoluto). (B) Relación entre los ángulos: La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º: A+ B+ C 180 º Por tanto, ya que A 90 º, B y C son complementarios: B+ C 90 º 16

17 (C) Relaciones entre los lados y los ángulos (razones trigonométricas): b sen B cosc y cos B c sen C a a Ejemplos: 1. En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a 15 cm y el ángulo B 0 º. Halla los restantes elementos: a 15 cm C 90º 0º 70º A 90º c a cos B 15 cos 0º 14, 09 cm B 0º b a sen B 15 sen 0º 5, 1 cm. En un triángulo rectángulo se conocen el cateto b 10, 4 m y el ángulo B 55 º. Halla los restantes elementos: b 10, 4 c, m b, m tgb tg 55º A 90º C 90º 55º 5º B 55º b 10, 4 a 15, 01 m sen B sen 55º. En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a 5 dm y el cateto b 0 dm. Halla los restantes elementos: c dm a 5 dm b 0 4 b 0 dm cos C C 6º 5 ' 1" a A º B 90º 6º 5 ' 1" 5º 7 ' 48" 4. En un triángulo rectángulo se conocen los catetos b 8 m y c 4 m. Halla los restantes elementos: a , m b 8 m c 4 c 4 m tg C C 71º ' 54" b A º 8 90 B 90º 71º ' 54" 18º 6 ' 6" 17

18 Ejercicios: 1. Resolver los siguientes triángulos rectángulos: a) a 7,6 m C 40 57' 4" b) a 4,18 m c,40 m c) b 75 cm C 0 19' 47" d) b 4,0 cm c 17,15 cm. Resolver el triángulo rectángulo de la figura, utilizando los datos que se indican en cada caso: a) a 10 m ; B 5 15 ' A b) a 500 m ; C 15 18' " c) c 10 m ; B 7 10 ' c b d) b 9 m ; B 9 1' 15" e) b 15 m ; c 7 m B a C. Consideremos la siguiente pirámide de base cuadrangular. Calcular: a) La altura H de la pirámide. b) El ángulo que forma la base con una cualquiera de las aristas. c) La altura h de una cara. d) La longitud l de una arista. e) El ángulo que forma la altura de la pirámide con una arista. 4. Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º, y si se apoya sobre la otra forma un ángulo de 0º. Halla la anchura de la calle y la altura que se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas. 5. Javi, Pablo y Juan van a escalar una pirámide de la que desconocen su altura. A la salida del pueblo han medido un ángulo de elevación que es de 0º. Han avanzado 100 m hacia la base y han vuelto a medir, obteniendo en esta ocasión un ángulo de 45º. Calcula la altura de la montaña. 18

19 d β 6. Quiero medir la altura de la chimenea de una fábrica. Como no me puedo acercar al pie de la chimenea, pues está en el interior de una nave, he tomado, desde dos puntos, los ángulos bajo los cuales veo el extremo de la chimenea ( y β). Y he medido la distancia de separación de los dos puntos (d). Calcular la altura de la chimenea (h) si 45, β55 y d m. 7. El teleférico más corto y de pendiente más elevada del mundo se localiza en Dubuque (Iowa, EEUU). Su longitud aproximada es de 96 pies y asciende hasta una altura de 189 pies (1 pie0, m): a) Determina el ángulo que forma la vía del ferrocarril con la horizontal. b) Si la pendiente es la tangente del ángulo anterior, expresada en %, calcúlala. 8. Si un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo mediante una cuerda que mide 80 m y forma un ángulo con el suelo de 0º, a qué altura se encontrará situado dicho globo? 9. Una piscina olímpica mide 50 m de largo y 5 m de ancho. Supongamos que hay cuatro escaleras justo en las esquinas de la piscina y que un nadador que va por la calle central lleva recorridos 0 m. Si en ese preciso instante el nadador quiere desviarse hacia la escalera más cercana, cuál es la distancia mínima que tiene que recorrer? y qué ángulo (expresado en grados, minutos y segundos) se tiene que desviar, con respecto a la trayectoria que lleva, para alcanzar la escalera por el camino más corto? 10. Romeo se encuentra situado de forma que ve a Julieta, que se encuentra en su balcón, bajo un ángulo de 0º. Si ambos se encuentran a una distancia de 80 m, a qué altura se encontrará el balcón de Julieta? 11. Dos radares A y B que distan entre sí 0 km detectan a un avión bajo ángulos de 0º y 60º respectivamente. Halla la altura a la que vuela el avión y la distancia que lo separa de cada uno de los radares. 1. Un poste de '5 m de altura se sostiene verticalmente atando su extremo superior con un cable de 5 m de longitud que se fija al suelo mediante una estaca. Calcula: a) Los ángulos que forma el cable con el poste y con el suelo. b) La distancia del pie del poste a la estaca que sostiene el cable. 1. Una escalera de '5 m de longitud tiene su extremo superior apoyado sobre una tapia de 5 m de altura. Calcula: a) Los ángulos que forma la escalera con el suelo y con la tapia. b) La distancia del pie de la escalera a la tapia. 19

20 5.8. BIBLIOGRAFÍA. Para la elaboración de estos apuntes, se ha utilizado como material: 1º Mayoritariamente, las explicaciones y ejercicios propuestos en clase por los profesores del Departamento de Matemáticas del Colegio Virgen de Gracia (Granada). º Como ayuda para desarrollar y completar algunos apartados: -Apuntes del profesor Jesús Escudero Martín del I.E.S. Fray Luis de León (Salamanca). -Apuntes y ejercicios de las páginas web: Libro de texto: Anzola, M. y Vizmanos J.R.: Algoritmo, Ediciones SM,