1. Ángulos Referencia angular. TRIGONOMETRÍA La palabra, TRI-GONO-METRÍA, etimológicamente significa relación entre los lados

Transcripción

1 IES Joan Ramon Benaprès TRIGNMETRÍA La palabra, TRI-GN-METRÍA, etimológicamente significa relación entre los lados y ángulos de un triángulo 1 Ángulos Definición 1 (Ángulo) Un ángulo es la abertura de dos semirrectas que parten del mismo punto Elementos asociados a un ángulo Lados Son cada una de las semirrectas que forman el ángulo, s r y s Vértice Es el punto de intersección de los lados El sentido de recorrido de un ángulo es: r PSITIV si es el contrario del movimiento de las agujas de un reloj NEGATIV si es el del movimiento de las agujas de un reloj El ángulo (,r,s) es positivo y el ángulo (,s,r) es negativo Ángulo central Consideramos una circunferencia de centro y radio cualquiera, los lados r y s determinan en la circunferencia una arco AB Este ángulo recibe el nombre de ángulo central y AB es su arco correspondiente B A Determinan dos ángulos orientados: (A,,B) es positivo y el ángulo (B,,A) es negativo 11 Referencia angular En unos ejes de coordenadas cartesianas: Vértice del ángulo rigen de coordenadas rientación Positiva en el sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj rigen de ángulos Semieje positivo de abscisas Extremo del arco El punto B 4 o ES Pág1 Curs 2008/09

2 IES Joan Ramon Benaprès A B Figura 1: Referencia angular 12 Medida de ángulos Sistema sexagesimal Definición 2 (Grado sexagesimal) La circunferencia se divide en 360 partes iguales, cada una de ella recibe el nombre de grado sexagesimal, que se denota con el símbolo Definición 3 (Minuto sexagesimal) Cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales, cada una de ella recibe el nombre de minuto sexagesimal, que se denota con el símbolo Definición 4 (Segundo sexagesimal) Cada minuto sexagesimal se divide en 60 partes iguales, cada una de ella recibe el nombre de segundo sexagesimal, que se denota con el símbolo Ejemplo: Un ángulo de se lee: veintitrés grados, treinta y cinco minutos y cuarenta y siete segundos Sistema centesimal Definición 5 (Grado centesimal) La circunferencia se divide en 400 partes iguales, cada una de ella recibe el nombre de grado centesimal, que se denota con el símbolo g Definición 6 (Minuto centesimal) Cada grado centesimal se divide en 100 partes iguales, cada una de ella recibe el nombre de minuto centesimal, que se denota con el símbolo m 4 o ES Pág2 Curs 2008/09

3 IES Joan Ramon Benaprès Definición 7 (Segundo centesimal) Cada minuto centesimal se divide en 100 partes iguales, cada una de ella recibe el nombre de segundo centesimal, que se denota con el símbolo s Ejemplo: Un ángulo de 23 g 75 m 87 s se lee: veintitrés grados, treinta y cinco minutos y cuarenta y siete segundos, centesimales Radián Definición 8 (Radián) Un radián es la medida del ángulo cuyo arco tiene de longitud, el radio de la circunferencia con el que ha sido trazado (Fig2) R l arco = R 1 radián Figura 2: Radián La longitud de la circunferencia de radio R es igual a 2πR, por lo tanto el número de veces que el radio esté en dicha longitud, es el número de radianes de una circunferencia: 2πR R = 2π radianes radianes Uso de la calculadora: El sistema sexagesimal: DEG El sistema centesimal: GRA Radianes: RAD 4 o ES Pág3 Curs 2008/09

4 IES Joan Ramon Benaprès Conversión de un sistema a otro: Sexagesimal a radián El factor de conversión es: 2πrad 360 = πrad 180 Radianes a sexagesimal El factor de conversión es: 360 2πrad = 180 πrad Ejemplos: 1 Convertir a radianes el ángulo α = 30 α = 30 π 180 = π 6 radianes 2 Convertir al sistema sexagesimal el ángulo β = 13radianes β = π = o ES Pág4 Curs 2008/09

5 IES Joan Ramon Benaprès 2 Definición general de las razones trigonométricas En la figura( 3) los triángulos de vértices AB, CD, EF, GH, IJ, etc, son semejantes por tener los tres ángulos iguales E F A B C D G H I J α A(x 1,y 1 ),C(x 2,y 2 ),E(x 3,y 3 ),G(x 4,y 4 ),I(x 5,y 5 ), Figura 3: Circunferencia trigonométrica AB A = CD C = EF E = GH H = IJ I = = y R = sin α (1) Definición 9 (Seno) El seno de un ángulo es la razón entre la ordenada del extremo del arco y el radio con el cual ha sido trazado sin α = ordenada del extremo del arco radio = y R También se verifica: B A = D C = F E = H G = J I = = x R = cos α (2) Definición 10 (Coseno) El coseno de un ángulo es la razón entre la abscisa del extremo del arco y el radio con el cual ha sido trazado cosα = abscisa del extremo del arco radio = x R 4 o ES Pág5 Curs 2008/09

6 IES Joan Ramon Benaprès Así mismo: Definición 11 (Tangente) AB B = CD D = EF F = GH H = IJ I = = y = tan α (3) x La tangente de un ángulo es la razón entre la ordenada del extremo del arco y su abscisa, (x 0) tanα = Las razones trigonométricas inversas: Definición 12 (Cosecante) ordenada del extremo del arco abscisa del extremo del arco = y x = sin α cosα x 0 La cosecante de un ángulo es la razón entre el radio y la ordenada del extremo del arco y 0 csc α = Definición 13 (Secante) radio ordenada del extremo del arco = R y = 1 sin α y 0 La secante de un ángulo es la razón entre el radio y la abscisa del extremo del arco x 0 sec α = Definición 14 (Cotangente) radio abscisa del extremo del arco = R x = 1 cosα x 0 La cotangente de un ángulo es la razón entre la abscisa del extremo del arco y su ordenada, (y 0) cotα = abscisa del extremo del arco ordenada del extremo del arco = x y y 0 4 o ES Pág6 Curs 2008/09

7 IES Joan Ramon Benaprès 21 Signos de las razones trigonométricas Primer cuadrante: 0 < α < π 2 sin α = y R = = cos α = x R = = tan α = y x = = csc α = R y = = sec α = R x = = cot α = x y = = Segundo cuadrante: π 2 < α < π sin α = y R = = cos α = x R = = tan α = y x = = csc α = R y = = sec α = R x = = cot α = x y = = SEN CSECANTE CSEN SECANTE TANGENTE CTANGENTE Figura 4: Signos de las razones trigonométricas Tercer cuadrante: π < α < 3π 2 sin α = y R = = cos α = x R = = tan α = y x = = csc α = R y = = sec α = R x = = cot α = x y = = Cuarto cuadrante: 3π 2 < α < 2π sin α = y R = = cos α = x R = = tan α = y x = = csc α = R y = = sec α = R x = = cot α = x y = = 4 o ES Pág7 Curs 2008/09

8 IES Joan Ramon Benaprès 22 Líneas trigonométricas Se llama circunferencia goniométrica a aquella de radio la unidad (R = 1) Las razones trigonométricas tienen una interpretación geométrica muy sencilla en la circunferencia goniométrica En primer lugar ángulos cuyo extremo está situado en el primer cuadrante: E C A α B D F Figura 5: Líneas trigonométricas en el primer cuadrante Por definición de las razones trigonométricas, y A = D = E = radio = 1: sin α = AB cos α = B Los triángulos BA y DC son semejantes por tener los tres ángulos iguales AB B = CD D = CD = y x = tan α C A = D B = C = 1 x = secα Los triángulos BA y EF son semejantes por tener los tres ángulos iguales: F A = E AB = F = 1 y = csc α EF B = E AB = EF = x y = cot α Para los restantes cuadrantes se hace un razonamiento análogo 23 Acotación de las razones trigonométricas Las razones trigonométricas seno y coseno están acotadas entre 1 y 1 Efectivamente por las definiciones 9 y 10 y R 0: R y R 1 y R 1 1 sin α 1 R x R 1 x R 1 1 cos α 1 4 o ES Pág8 Curs 2008/09

9 IES Joan Ramon Benaprès 1 sin α cosα 1 seno [ ] 1 coseno 1 secante cosecante ] [ 1 1 tangente cotangente secante cosecante Figura 6: Valores de las razones trigonométricas Las razones inversa cosecante y secante, verifican: csc α (, 1] [1, ) sec α (, 1] [1, ) Las razones tangente y cotangente al ser cociente de abscisa y ordenadas, no están acotadas y toman cualquier valor real: tanα R cotα R 3 Relación fundamental de la trigonometría Consideremos un ángulo cualquiera α R y las definiciones 9 y 10 y la figura 3: sin 2 α = y2 R 2 ( ):Teorema de Pitágoras cos 2 α = x2 R 2 sumando = sin 2 α cos 2 α = y2 R 2 x2 R 2 = x2 y 2 R 2 = R 2 R 2 = 1 sin 2 α cos 2 α = 1 α R (4) 4 o ES Pág9 Curs 2008/09

10 IES Joan Ramon Benaprès El seno cuadrado de un ángulo más el coseno cuadrado del mismo ángulo es igual a la unidad En la relación fundamental (4), si cos α 0, dividimos por cos 2 α: sin 2 α cos 2 α 1 = 1 cos 2 α = 1 tan2 α = 1 cos 2 α = sec2 α, cos α 0 (5) Así mismo, si sin α 0, dividimos por sin 2 α: cos 2 α sin 2 α 1 = 1 sin 2 α = 1 cot2 α = 1 sin 2 α = csc2 α, sin α 0 (6) Ejemplo Si cos α = 3 5 y π 2 < α < π, hallar las restantes razones trigonométricas Aplicando la relación fundamental (4): sin 2 α ( ) 3 2 = 1 = sin 2 α = sin 2 α = = = sin α = ± = ±4 5 El signo del seno hay que determinarlo según en qué cuadrante se encuentre el extremo del arco El enunciado nos dice que el ángulo α se encuentra en el segundo cuadrante, por lo tanto el seno debe tomar un valor positivo Fig(4): sinα = 4 5 cscα = 1 sin α = = 5 4 cos α = 3 5 sec α = 1 cos α = = 5 3 tan α = sin α 4 cos α = cot α = cos α sin α = = 4 3 = Relación entre las razones de ángulos 41 Ángulos complementarios Definición 15 (Ángulos complementarios) Dos ángulos α y β son complementarios si suman un recto (90 ) α y β son complementarios α β = 90 = π 2 Los triángulos formados son rectángulos e iguales, por tener los ángulos agudos iguales y la hipotenusa común R = 1 Por lo tanto los catetos son iguales, aplicando las definiciones del seno y coseno y las líneas trigonométricas: 4 o ES Pág10 Curs 2008/09

11 IES Joan Ramon Benaprès (x,y) (y,x) R = 1 Figura 7: Ángulos complementarios: β = 90 α = π 2 α sinβ = cos α cos β = sinα tan β = cot α Si el extremo del ángulo α tiene de coordenadas (x,y) entonces el de β tiene de coordenadas (y,x) 42 Ángulos suplementarios Definición 16 (Ángulos suplementarios) Dos ángulos α y β son suplementarios si suman dos rectos (180 ) α y β son suplementarios α β = 180 = π (x,y) (x, y) R = 1 Figura 8: Ángulos suplementarios: β = 180 α = π α Los triángulos formados son rectángulos e iguales, por tener los ángulos agudos iguales y la hipotenusa común R = 1 Por lo tanto los catetos son iguales, aplicando las definiciones del seno y coseno y las líneas trigonométricas: sinβ = sinα cos β = cos α tan β = tan α (7) Si el extremo del ángulo α tiene de coordenadas (x,y) entonces el de β tiene de coordenadas (x,y) 4 o ES Pág11 Curs 2008/09