ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN. Aplicaciones de la derivada: condiciones de máximo, mínimo, inflexión

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1 ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad. Aplicacions d la drivada: condicions d máimo, mínimo, inflión. Sa f: R R una función polinómica d grado mnor o igual a trs qu tin un mínimo rlativo n (0, 0) y un máimo rlativo n (, ). Calcular la prsión d dicha función. Si f ( ) a b c d s tin: f ( ) a b c f ( ) 6a b Por pasar por (0, 0), f(0) = 0 0 = d Por pasar por (, ), f() = = 8a +b + c + d Por mínimo n (0, 0), f (0) = 0 0 = c Por máimo n (, ), f () = 0 0 = a + b + c Por tanto: d = 0; c = 0; a = /; b = / La función s: f ( ) b. Calcula los valors d a y b para qu la función f ( ) tnga como asíntota vrtical a la rcta = y como asíntota horizontal la rcta y =. Razona si para a = y b = la función f () tin algún mínimo rlativo. b Para qu la rcta = sa asíntota vrtical d f() s ncsario qu lím. a b b Como lím a 0 a =. a a b Para qu la rcta y = sa asíntota horizontal d f() s ncsario qu lím. a b Como lím b b =. a Para a = y b = la función f ( ). ( ) 6 Lugo f ( ) ( ) ( ) Como la drivada no s anula n ningún caso, la función no pud tnr mínimos rlativos (ni máimos).

2 . Dtrmina un punto d la curva máima. y n l qu la pndint d la rcta tangnt sa La pndint d la tangnt s máima n las solucions d y 0 (qu son los puntos d inflión) y qu, admás, vrifican qu y 0. Hacindo las drivadas s tin: y y ( ) ( ) y ( ) y ( 6 ( )( ) ( 6 ) ) ( 6 )( ) y ( 6 ) 0 6 ( ) = 0; y ( 0) 6 ; y ( / ) ( 6 6 8) / 0 El punto buscado s (0, 0). ( 6 8 ). Eistn máimo y mínimo absolutos d la función f ( ) cos( ) n l intrvalo [0,]? Justifica su istncia y calcúlalos. Los máimos y mínimos d una función, si los hay, s dan n los puntos qu anulan su drivada. Admás, n un máimo, la drivada sgunda db sr ngativa, mintras, qu n un mínimo db sr positiva. Drivando: f ( ) sn ; f ( ) cos f ( ) sn = 0 = 0 o f ( 0) ; f ( ) Por tanto, la función tin un máimo n = 0 y un mínimo n =. Sus valors son: máimo: f ( 0) cos(0) ; mínimo: f ( ) cos( ) 0. Ambos son absolutos, pus cos.

3 5. Dmustra qu la curva d cuación y no tin ningún punto d inflión. Halla la cuación d la rcta tangnt a la curva n l punto ( 0, y 0 ) dond 0 s l valor d qu hac mínima y. S hacn las drivadas sucsivas: y y y 6 ) y 6 y Los puntos d inflión s dan n las solucions d la cuación y = 0. Como y 6 0 no tin solucions rals, la curva no tin ningún punto d inflión (En fcto: no s ral.) La función y s hac mínima (o máima) n la solución d y 6 = 0, qu s : ) Efctivamnt s mínimo pus y > 0. La cuación d la tangnt s: 05 5 y f ( / ) f (/ )( / ) y f ( / ) ; 56 f ( / ) Sa f: R R la función dfinida por f ( ) ( a b), dond a y b son númros rals. a) Calcula los valors d a y b para qu la función tnga un trmo rlativo n l punto (, ). b) Para los valors d a y b obtnidos, dígas qué tipo d trmo tin la función n l punto mncionado. a) Qu la función tnga un trmo rlativo n l punto (, ) significa:.º f ( ) f ( ) (a b) a b.º f ( ) 0. Como f ( ) ( a b) a (a b) a 0 a b 0 S tin l sistma: a b a b 0 a =, b = b) La función s f ( ) ( ), y sus drivadas primra y sgunda: f ( ) ( ) ( ) ; f ( ) ( ) ( ) Es vidnt qu f ( ) 0, por tanto n s punto s tin un trmo. Como f () 0, s trata d un máimo.

4 7. Considra la función f ( ) a b c 7 a) Calcula c sabindo qu su rcta tangnt n l punto d abscisa = 0 s horizontal. b) Para l valor d c hallado n l apartado antrior, calcula a y b sabindo qu sta función tin un trmo rlativo n l punto d abscisa = y qu corta al j OX cuando =. c) Para los valors obtnidos n los otros apartados, calcula los intrvalos dond la función crc y dcrc, sus trmos rlativos y haz una rprsntación gráfica aproimada. Drivada primra y sgunda: f ( ) a b c 7 f ( ) a b c f ( ) 6a b a) Si la rcta tangnt n = 0 s horizontal ntoncs f ( 0) 0. Como f ( 0) c c = 0. La función srá f ( ) a b 7 b) Si la función tin un trmo rlativo n =, ntoncs f ( ) 0. Si corta al j OX n =, ntoncs f ( ) 0. En conscuncia: f ( ) a b 0 a b 8 f ( ) a b 7 0 a b 8 Rsolvindo l sistma s obtin: a = 0; b = 8. c) La función srá f ( ) 8 7 f ( ) 6 f ( ) 6. ( ) 6 0 f ( ) 0 = 0; = ; =. Estos puntos son posibls máimos o mínimos. Para: <, f ( ) 0 la función dcrc; < < 0, f ( ) 0 la función crc; 0 < <, f ( ) 0 la función dcrc; >, f ( ) 0 la función crc Como: f ( ) 0, n = hay un mínimo; f ( 0) 6 0, n = 0 hay un máimo; f ( ) 0, n = hay un mínimo. Dando algunos valors podmos trazar su gráfica. Puntos: (, 9); (, 0); (0, 7); (, 0); (, 9). Admás la curva corta a los js n las solucions d 8 7 0, qu son 7 y = ±. Por tanto, la curva s la adjunta.

5 5 8. Halla razonadamnt l punto d la curva y n l qu la rcta tangnt a la curva tin pndint máima y calcula l valor d sta pndint. El punto n l qu la curva tin rcta tangnt con pndint máima (o mínima) s un punto d inflión d la curva. (En fcto: la pndint d la rcta tangnt a f() n un punto gnérico vin dada por l valor d f (). El máimo d f () s obtin cuando f ( ) 0 : n las solucions d la cuación f ( ) 0 qu hacn ngativa a la función f ( ). Por tanto, n los posibls puntos d inflión d f().) Calculamos las trs primras drivadas d la función: 6 y y y y ( ) ( ) ( ) La drivada sgunda s anula n y n Como y ( / ) 0 y y ( / ) 0 la curva tin rcta tangnt con pndint máima n l punto. / 9 El valor d sa pndint s y ( / ) ( / ) 8 9. Dada la función f ( ) f ( ) 0 y f ( ). Di qué torma utilizas. dmustra qu istn, (, ) tals qu La función dada s continua n l intrvalo [, ]. Admás cumpl qu: f ( ) 0 ; f ( ) 0 Por tanto, por l torma d Bolzano, ist un punto (, 0) tal qu f ( ) 0. S hac f () : f ( ) (ln ) ln Esta función también s continua n l intrvalo [, ]. Admás: f ( ) (ln) ln ( ln ) ; f ( ) (ln ) ln 5 Por tanto, por l torma d los valors intrmdios, la función f () toma todos los valors comprndido ntr f ( ) y f (). Lugo istirá un valor (, 0) tal qu f ( ).

6 6 Problmas y rprsntacions gráficas 0. Estudia l signo d las drivadas primra y sgunda d cada una d las siguints funcions, y dtrmina n cada caso los intrvalos d crciminto y dcrciminto, la concavidad y la convidad. 8 a) f ( ) b) f ( ) ( ) a) f ( ). S anula n =. Si < 0, f () < 0 f () dcrc. Si 0 < <, f () > 0 f () crc. Si >, f () < 0 f () dcrc. En conscuncia, n = hay un máimo. ( ) 6 La drivada sgunda s: f ( ), qu s anula n =. Lugo: 6 para < 0, f () < 0 f () s conva (). para 0 < <, f () < 0 f () s conva (). para >, f () > 0 f () s cóncava (). En conscuncia, la función tin un punto d inflión n =. 8 6 b) f ( ) f ( ) S anula n = 0; s positiva si < 0 (crc), y ngativa cuando > 0 (dcrc). 6 ( ) 6 ( ) f ( ) = ( 6. 8 ) Si f () > 0 f () s cóncava (). f () < 0 f () s conva (). Si f () > 0 f () s cóncava ().

7 7. Dmustra qu la curva f ( ) cos tin un punto d inflión n l intrvalo (0, ) y halla la cuación d la rcta tangnt a la curva n s punto. Para qu f tnga un punto d inflión s ncsario qu f s anul n algún punto dl intrvalo (0, ). Sria suficint si, admás, la drivada trcra n l punto hallado fus distinta d 0. Drivando: f ( ) sn f ( ) cos f ( ) sn f ( ) cos 0 = /. Como f ( / ) sn ( /) =, pud asgurars qu la función dada tin un punto d inflión n = /. La cuación d la rcta tangnt n l punto ( 0, y0 ) s y f ( 0 ) f ( 0 )( 0 ). f ( / ) cos( / ) ; f ( / ) sn ( /) Por tanto, la rcta tangnt s y y.. Calcula los coficints a y b dl polinomio p ( ) a b para qu su gráfica pas por l punto (, ), tnindo aquí un punto d inflión. p ( ) a b p ( ) a 6 b p ( ) 6a 6 Para qu (, ) sa punto d inflión db cumplirs qu p ( ) y qu p ( ) 0. D p ( ) 0 6a 6 0 a =. Para qu p ( ) a b b =. Por tanto: p ( ). Dtrmina a y b para qu la función f ( ) a b tnga un mínimo n = y un punto d inflión n = /. Drivando dos vcs: f ( ) a b f ( ) a b f ( ) 6a b Por tnr un mínimo n =, f () = 0 0 = a + b Por tnr un punto d inflión n = /, f (/) = 0 0 a b a b Rsolvindo l sistma s obtin qu: a, b a b Por tanto, la función s f ( ). 8 8

8 8. Dada la función f ( ), s pid: a) Calcula su drivada dond ista y justifica la no istncia d drivada dond procda. b) Haz su rprsntación gráfica, dtrminando l punto d cort con los js, los intrvalos d crciminto, los puntos d inflión y las asíntotas d f. a) Al tratars d una función dfinida mdiant valor absoluto hay qu distinguir los casos > si 0 0 y 0, sindo f ( ) si 0 Esta función stá dfinida y s continua n todo R. (El punto qu prsnta dificultads s = 0, pro s inmdiato vr qu f ( 0 ) f (0 ) 0.) Drivando por sparado s obtin si 0 f ( ) si 0 Como s fácil vr: cuando 0, f ( ) ; y cuando 0 +, f ( ) Por tanto, al no coincidir las drivadas latrals, la función no s drivabl n l punto = 0. b) Sólo hay un punto d cort con los js: l punto (0, 0). Para los rstants valors d, la función simpr s positiva, pus su valor s obtin como cocint d dos númros positivos. En conscuncia, l punto (0, 0) s l mínimo absoluto d la función. Al tratars d una función par, pus f ( ) f ( ), para studiar l crciminto, los trmos y los puntos d inflión basta con considrar l signo d f () y d f () para > 0. Drivada primra: Si =, f () = 0. Si 0 < <, () Si >, () f ( ) f > 0 f () s crcint. f < 0 f () s dcrcint. Por tanto: f () s crcint si (, ) (0, ); srá dcrcint cuando (, 0) (, + ). En los puntos = y = tin sndos máimos. ( ) Drivada sgunda: f ( ) Si =, f () = 0 n = hay un punto d inflión. (Pud vrs qu f () cambia d signo a izquirda y drcha d.) Asíntota: Como lim 0, la rcta y 0, l j d abscisas, s asíntota horizontal d la función. (Como la función simpr s positiva, la curva s acrca al j por ncima d él.) Dando algunos valors: (0, 0); (, 0,5); (, 0,); s obtin la gráfica qu sigu.

9 9 5. Halla una función polinómica d trcr grado qu tnga un trmo rlativo n (, ) y un punto d inflión n (0, ). Sa f ( ) a b c d la función buscada. Por tanto, sus drivadas primra y sgunda srán: f ( ) a b c f ( ) 6a b Por pasar por (, ), f() = a b c d Por trmo n (, ), f () = 0 0 a b + c Por pasar por (0, ), f(0) = = d Por PI n (0, ), f (0) = 0 0 = b Sustituyndo b = 0 y d = n las dos primras cuacions s tin: a c c = y a = a c 0 La función s f ( ) 6. Dtrmina los valors d a y b para qu la función f ) a b ( tnga un trmo rlativo n l punto d abscisa = y admás pas por l punto (, /). Halla la cuación d la rcta tangnt a f () n l punto d abscisa = 0. f ( ) a b f ( ) a b a b a (a b) b Para qu la función tnga un trmo rlativo n = s ncsario qu f ( ) 0, lugo: 9a (a b) b 0 f () a b 0 Por pasar por l punto (, /), sto s f ( ) a b a b. a b 0 Rsolvindo l sistma a =, b =. a b La función srá f ( ) ; sindo f ( ) 7. f ( ) y f ( 0) f (0)( 0) Como f ( 0) 0 y f ( 0), la tangnt s y. La cuación d la rcta tangnt a n l punto (0, f(0)) s:

10 0 7. Halla los puntos d la curva y n los qu la pndint d la rcta tangnt val Hay qu prsar la curva y, qu s una lips, n su forma plícita. y y y y Como la pndint d la rcta tangnt vin dada por la drivada n l punto, hay qu buscar los valors d qu hacn qu y =. Esto s: y Para y. El punto s:, Para 6 6 y. El punto s:, D otro modo, mdiant la drivación implícita: y y y 0 y y Como y y y. Sustituyndo n y y y 6y Nota: Pud vnir bin hacr l dibujo adjunto. 8. Halla los valors dl parámtro a, a 0, para qu las tangnts a la curva d cuación y a a a 5 n los puntos d inflión san prpndiculars. En los puntos d inflión la drivada sgunda val 0. y a a a 5 y a 6a a y a a Como y a a a( ) 0 = o = 0. Por tanto los puntos d inflión s dan n = y n = 0. Como y a a, s cumpl y ( ) 0 y y ( 0) 0 ; lo qu confirma qu para ambos valors s dan sndos puntos d inflión. En sos puntos la pndint d la rcta tangnt val: En =, y ( ) a 6a a a En = 0, y ( 0) a Como dbn sr prpndiculars: y ( ) a a a = ±. y (0) a

11 9. Estudia l crciminto y dcrciminto y los máimos y mínimos rlativos la función f ( ) Drivando s tin: ( ) ( ) ( 7 ) f ( ) La drivada s anula cuando 7 0 = y = /. Por tanto: Si < /, f () < 0 f s dcrcint. Si / < <, f () > 0 f s crcint. Si >, f () < 0 f s dcrcint. Por la información antrior, y dado qu f s continua para todo, s dduc qu n = / la función tin un mínimo rlativo, y n = un máimo rlativo. También pud hacrs la drivada sgunda y dtrminar su valor n sos dos puntos. ( 7) ( 7 ) 0 f ( ) / / 0 Como f ( / ) 0, n = / la función tin / un mínimo. 8 0 Como f ( ) 0, n = la función tin un máimo. Con GoGbra s obtin su gráfica. f ( ) ln 0. Halla los máimos y mínimos rlativos, y los puntos d inflión d La función stá dfinida n l intrvalo (0, + ). Drivadas primra y sgunda. f ( ) ln ln ln ln f ( ) ln ln f ( ) ln ln ln 0 o ln = o Si 0 0, f () > 0 la función s crcint. Por tanto: Si, f () < 0 la función s dcrcint Si >, f () > 0 la función s crcint Por sr f ( ) 0, n s tin un máimo rlativo. Y como f ( ) 0, n = hay un mínimo. Como f ( ) ln 0 cuando, n sa abscisa s da un punto d inflión, ya qu n s punto la drivada sgunda cambia d signo. (A su izquirda la función s cóncava, ; mintras qu a su drcha s conva, ) Con GoGbra pud hacrs su gráfica.

12 . Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d, los trmos rlativos, los intrvalos d concavidad y convidad y las asíntotas d f ( ) ln. Esboza la gráfica d f. La función stá dfinida n l intrvalo (0, + ). Drivadas primra y sgunda: f ( ) ; f ( ) La drivada primra s anula cuando = : 0 =. Si 0 < <, f () > 0 la función crc. Si >, f () < 0 la función dcrc. Como la función crc a la izquirda d = y dcrc a su drcha, n = hay un máimo. La drivada sgunda no s anula nunca: f ( ) 0. En conscuncia, la función simpr s cóncava (). Tin una asíntota vrtical, la rcta = 0, pus lim ln. 0 La curva stá a la drcha d la asíntota. No tin más asíntotas. Podría sospchars qu tin otra asíntota oblicua, d la forma y m n, pro aunqu m =, l término n, como s v a continuación: f ( ) ln m lim lim ; n lim f ( m) lim ln Dando algunos valors s traza la siguint curva. Valors: (, ); (, ln 0,7); (, + ln = 0,); (, 0,6). Dada la función f ( ) arctg, dtrmina su dominio, sus intrvalos d crciminto, sus máimos y sus mínimos. La función arctg stá dfinida para todo númro ral, lugo l dominio d f ( ) arctg s R. Drivada: f ( ) Esta drivada s anula cuando 0 = o = +. Por tanto: Si <, como f () < 0 la función dcrc. Si < <, como f () > 0 la función crc. En conscuncia, n = s tin un mínimo rlativo Si >, como f () < 0 la función dcrc. Lugo n = s da un máimo rlativo.

13 Más rprsntación gráfica d una función. S considra la función f ( ). S pid: a) Encontrar los intrvalos dond sta función s crcint y dond s dcrcint. b) Calcular las asíntotas. c) Hacr una gráfica d la función. a) El dominio d sta función s R {, }. Su drivada s: f ( ) ( ) ( ) ( ) La drivada s anula n = 0. Como admás no stá dfinida n = y n =, hay qu considrar los intrvalos qu indicamos a continuación: Si <, f () > 0 f() crc. Si < < 0, f () > 0 f() crc. Si 0 < <, f () < 0 f() dcrc. (En = 0 s tndrá un máimo rlativo.) Si >, f () < 0 f() dcrc. Nota: Podría obsrvars qu la función s par. b) lím = s una asíntota vrtical. Si, f() + Si +, f() lím = s una asíntota vrtical. Si, f() Si +, f() + lím y = s una asíntota horizontal. (La rcta va por dbajo d la curva, pus >.) Su gráfica aproimada s la adjunta.

14 . Dada la curva y s pid: a) Dominio d dfinición d la función y puntos d cort con los js, si los hay. b) Asíntotas, si las hay. c) Intrvalos d crciminto y dcrciminto. d) Máimos y mínimos, si los hay. ) Una rprsntación aproimada d la misma. Como l dnominador no s anula para ningún valor d, l dominio d dfinición s todo R. Cort con los js: Si = 0 y =. Punto (0, ). Si y = 0 = 0 =, =. Puntos (, 0) y (, 0). b) No hay asíntotas vrticals: la función nunca d va al infinito. Como lím la rcta y = s asíntota horizontal d la curva, tanto hacia + como hacia. c) Drivando: ( ) ( ) y ( ) ( ) Si = 0, y = 0 n = 0 pud habr máimo o mínimo. Si < 0, y < 0 la función s dcrcint. Si > 0, y > 0 la función s crcint. d) Como la función dcrc a la izquirda d = 0 y crc a su drcha, n = 0 hay un punto mínimo. También pud comprobars vindo qu y (0) > 0. ( ) ( ) El fcto, como y y (0) = > 0. ( ) ( ) ) Admás d la información obtnida pud vrs qu la curva s simétrica rspcto dl j OY; si calculamos algunos valors más, como (, 8/0), (, /5); (, /5), (, 8/0), pud dibujars la gráfica siguint.

15 5 5. S considra la función f ( ). Halla l dominio d dfinición, los intrvalos d crciminto y los trmos d f. Traza un squma d su gráfica. La función stá dfinida para todo númro ral distinto d : Dom (f) = R {, } Crciminto: f ( ) f ( ) ( ( ) ) ( ) La drivada s anula cuando = 0, por tanto dbmos studiar lo qu pasa n los intrvalos: < ; < < 0; 0 < < ; > si <, f () > 0 f s crcint; si < < 0, f () > 0 f s crcint; si 0 < <, f () < 0 f s dcrcint; si >, f () < 0 f s dcrcint; Como la drivada s anula n = 0, s crcint si < 0 y dcrcint cuando > 0, n = 0 la función tin un máimo. Para trazar su gráfica, admás d lo dicho, pud obsrvars qu: La función tin dos asíntotas vrticals, = y =, y otra horizontal, y =. En fcto: lím ; lím Algunos puntos d la gráfica son: (, /); (/, /); (0, 0): máimo; (/, /); (, /) Así s obtin la gráfica adjunta

16 6 6. a) Dibuja la gráfica d la función f ( ) indicando su dominio, intrvalos d crciminto y dcrciminto y asíntotas. n b) Dmustra qu la sucsión a n s monótona crcint. n c) Calcula lím n a a ) n ( n a) Dom(f) = R {}. Asíntotas: Tin una asíntota vrtical, la rcta =, pus Cuando, f() +. Cuando +, f(). n lím. La rcta y = s una asíntota horizontal, pus lím. Cuando, f() + (la curva va por ncima d la asíntota.) Cuando +, f() (la curva va por dbajo d la asíntota.) Crciminto: ( ) f ( ) ( ) ( ) Como la drivada s positiva para todo d su dominio, la curva s simpr crcint. Su gráfica s la siguint. b) Una sucsión s monótona crcint cuando a n an 0, para todo n. En st caso: ( n ) n (n )( n ) n( n ) an an =, ( n ) n ( n )( n ) ( n )( n ) qu, fctivamnt, s positivo para todo n. c) lím n a a ) n ( n n n = límn lím n ( n )( n ) n n n

17 7 7. Estudia y rprsnta la función y. La función stá dfinida para todo númro ral. Su rcorrido s positivo: 0. Es una función par: ( ) Tin una asíntota horizontal: lím 0 Crciminto y dcrciminto: y y s anula n = 0 Si < 0, y > 0 la función crc. Si > 0, y < 0 la función dcrc En = 0 hay un máimo. Concavidad y convidad: 6 y y 6 ( ) s anula n / 0,9 y n = 0 Si /, y > 0 la función conva (). Si / 0, y < 0 la función cóncava (). Por la simtría: si 0 / la función s cóncava y si / srá conva. Pudn dars algunos valors: (, /) (, 0,7), (0,5, 0,9), (0, ); (0,5, 0,9), (, 0,7) S obtin la gráfica:

18 8 8. Rprsnta gráficamnt la función f ( ). La función tin una asíntota horizontal hacia +, pus: lím 0 = lím (Aplicando la rgla d L Hôpital cuatro vcs) lím lím lím lím lím 0. Por tanto, la rcta y = 0 s una asíntota horizontal (hacia más infinito). Drivadas: f ( ) f ( ) ( ) 8 La drivada primra s anula cuando = 0 y =, por tanto db studiars lo qu pasa n los intrvalos: < 0; 0 < < ; >. Si < 0, f () < 0 f s dcrcint; Si 0 < <, f () > 0 f s crcint; Si >, f () < 0 f s dcrcint; Como la drivada s anula n = 0, s dcrcint si < 0 y crcint cuando > 0, n = 0 la función tin un mínimo. D manra análoga s concluy qu n = hay un máimo. La drivada sgunda s anula n = 0, = y = 6. Si < 0, f () > 0 f s conva (). Si 0 < <, f () > 0 f s conva (). En = 0 no hay punto d inflión, pus la función no cambia su curvatura. Si < < 6, f () < 0 f s cóncava (). En = hay un punto d inflión. Si > 6, f () > 0 f s conva (). En = 6 hay otro punto d inflión. Para trazar la curva convin obsrvar qu la rcta y = 0 s una asíntota horizontal hacia +, pus lim 0. La curva pasa por los puntos: (, ), (0, 0), (, 6/ ) (,,7), (, 56/ ) (,,69), (6, 6/ 6 ) (6,,). Con toda la información hallada s obtin la gráfica:

19 9 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad.. El consumo d un barco navgando a una vlocidad d nudos (millas/hora) vin 50 dada por la prsión C( ). Calcular la vlocidad más conómica y l 60 cost quivalnt. El consumo s mínimo n las solucions d C () = 0 qu hacn positiva a C () C( ) C ( ) C ( ) C ( ) / Como C ( 5 / ) > 0, para s valor s obtin l mínimo consumo Por tanto, la vlocidad más conómica s d 5 /,8 nudos. / El cost quivalnt srá: C ( 5 / ) 8,5 u.m. / / S dispon d una tla mtálica d 00 mtros d longitud para vallar una rgión rctangular. Cuáls son los valors d y, dimnsions dl rctángulo, qu hacn qu l ára dl romboid, formado por la unión d los puntos mdios d los lados, sa máima? Objtivo: qu l ára dl romboid sa máima. Su ára s la mitad qu la dl rctángulo. Por tanto: y Ára dl romboid: A R =. Condición: prímtro dl rctángulo = 00 m 00 = + y y 50 Sustituyndo n la prsión antrior, s tin: A( ) 5 Esta función alcanza l máimo n las solucions d A () = 0 qu hacn ngativa a A (). A ( ) Como A ( ) 0, para s valor hallado s tndrá l máimo buscado. El valor d y srá: y 5. Por tanto, tanto l rctángulo como l romboid son cuadrados. El rctángulo tndrá lado 5 5; l romboid srá un cuadrado d lado.

20 0. S dispon d una tla mtálica d 00 mtros d longitud para vallar una rgión como la d la figura. Cuáls son los valors d y qu hacn qu l ára ncrrada sa máima? S trata d un problma d optimización. Objtivo: qu l ára d la figura sa máima. La figura stá formada por un triángulo quilátro d lado y por un rctángulo d lados y. Ára dl triángulo: A T =. Véas la figura. La altura dl triángulo s: h Ára dl rctángulo: A R = y Ára total: A y Condición: prímtro d la figura = 00 m 00 = + y Sustituyndo n la prsión antrior, s tin: A( ) 50 y 50 Esta función alcanza l máimo n las solucions d A () = 0 qu hacn ngativa a A () (6 ) A ( ) Como A ( ) 0, para s valor hallado s tndrá l máimo buscado. 50(6 ) El valor d y srá: y 50.

21 . Considra la función f ( ) y un punto d su gráfica, M, situado n l primr cuadrant ( 0, y 0). Si por l punto M s trazan parallas a los js d coordnadas, su intrscción con OX y OY dtrmina dos puntos, A y B, rspctivamnt. a) Haz una gráfica d los lmntos dl problma. b) Halla las coordnadas dl punto M qu hac qu l rctángulo OAMB tnga ára máima. a) La curva s una parábola. Pud rprsntars dando valors. La situación s la siguint. b) Si l punto M = (, y), las coordnadas d A y B son: A = (, 0) y B = (0, y). El ára dl rctángulo srá: S = y Como y, sustituyndo s tin: S( ) ( ) El máimo d S() s da n las solucions d S () = 0 qu hagan ngativa a S (). S ( ) 0 = y = (sta última no val) Como S ( ) 6, s tin qu S () = 6 < 0; lugo para s valor d s tndrá la suprfici máima. Por tanto M = (, ). 5. Una imprnta rcib l ncargo d disñar un cartl con las siguints caractrísticas: la zona imprsa db ocupar 00 cm, l margn suprior db mdir cm, l infrior cm, y los márgns latrals cm cada uno. Calcula las dimnsions qu db tnr l cartl d modo qu s utilic la mnor cantidad d papl posibl. Si las dimnsions d la part imprsa son por y, l cartl srá como l qu dibujamos. La cantidad d papl qu s ncsita, y qu s dsa qu sa mínima, s: S = ( + 8) (y + 5) Con la condición d qu y = 00 y = 00/ Sustituyndo n S, quda: S ( ) ( 8) 5 S ( ) 5 0 Esta función s mínima n las solucions d S = 0 qu hacn positiva a S S ( ) 5 S ( ) S () = y,5 0 0 Como para s valor S s positiva s tin la solución mínima buscada. Las dimnsions dl cartl dbn sr: ancho: alto: y 5 5,5 0

22 6. D todos los prismas rctos d bas cuadrada y tals qu l prímtro d una cara latral s d 0 cm, halla las dimnsions dl qu tin volumn máimo. Si s l lado d la bas y la altura dl prisma, l volumn srá V = y. Esta s la función qu s dsa hacr máima. S sab qu + y = 0 y = 5. Lugo V ( ) y (5 ) 5 El máimo d V s da n la solución d V = 0 qu hac ngativa a V. V ( ) 0 (0 ) ; V ( ) 0 6 La drivada s anula para = 0 y = 0. Como V (!0) = 0 < 0, para s valor s tin l máimo buscado. Las dimnsions srán 0 0 5; y l volumn 500 cm. 7. D todos los rctángulos d diagonal 6, ncontrar las dimnsions dl d prímtro máimo. Los rctángulos son d la forma Su prímtro s P = + y, sindo la rlación ntr los lados y 6 Dspjando ( y 7 ) y sustituyndo n P quda:. P( ) 7 El máimo d P s obtin n las solucions d P () qu hacn ngativa a P (). ( ) P ( ) = 6 En vz d hacr P (), porqu rsulta ngorrosa, podmos studiar l signo d P () a izquirda y drcha d = 6. Así, si < 6, P () > 0 P() s crcint. si > 6, P () < 0 P() s dcrcint Como la función crc a la izquirda d = 6 y dcrc a su drcha, para = 6 s da l máimo d P(). Si l lado = 6, l otro lado val también 6. Así pus, s trata d un cuadrado d lado 6.

23 8. Calcular la bas y la altura d un triángulo isóscls d prímtro 8 y ára máima. Sa l triángulo d la figura. Su prímtro val 8 y + = 8 Por Pitágoras: y h h 8 Sustituyndo l valor d y 8 y y 6 6 h 6 h El ára dl triángulo s A. 6 Sustituyndo h por su valor, A( ) Para qu A sa máima: A () = 0 y A () < 0: 8 A ( ) = 0, = 8/ En vz d calcular la drivada sgunda, qu rsulta muy ngorroso, studiamos l crciminto y l dcrciminto d A(). Para < 0 no tin sntido vr l signo d A. Para 0 < < 8/, A () > 0 A() crc. Para > 8/, A () < 0 A() dcrc. Como la función crc a la izquirda d = 8/ y dcrc a su drcha, n = 8/ s da l máimo. Por tanto, la bas pdida s = 8/, mintras qu la altura valdrá h 6 (8/ )

24 9. El prímtro d la vntana dl dibujo mid 6 mtros. Los dos lados supriors forman ntr sí un ángulo d 90º. Calcula la longitud d los lados a y b para qu l ára d la vntana sa máima. Suponmos qu los dos lados supriors son iguals (l nunciado no lo dic, pro así lo sugir la figura). Si su mdida s s tndrá: b Por Pitágoras: b b 6 b( ) El prímtro s: a b 6 a b 6 a El ára d la vntana s la suma dl ára d la scción rctangular más la d la scción triangular: 6 b( ) b b ( ) b A ab b A( b) Para qu A sa máima: A = 0; A < 0. ( ) b 6 A ( b) 0 b ( ) A ( b) 0 lugo, para l valor d b hallado s tin l máimo d A. 6( ) 6 6 Si b a 0. Tnmos qu hacr dos chapas cuadradas d dos distintos matrials. Los dos matrials tinn prcios rspctivamnt d y uros por cntímtro cuadrado. Cómo hnos d lgir los lados d los cuadrados si qurmos qu l cost total sa mínimo y si admás nos pidn qu la suma d los prímtros d los dos cuadrados ha d sr d un mtro? (,5 puntos) San los cuadrados siguints: Prímtro = + y = 00 cm Suprfici = + y Cost = + y 00 Dspjando y n la cuación dl prímtro: y 5 Sustituimos n la prsión dl cost: C( ) (5 ) C ( ) El cost srá mínimo n la solución d C () = 0 qu haga positiva C (). C ( ) = 5 Como C () = 0 > 0, para s valor d = 5 s obtin l mínimo buscado. Por tanto, los lados dbn sr d 5 cm y d 5 5 = 0 cm.

25 5. Dscomponr l númro n dos sumandos positivos d forma qu la suma d los logaritmos nprianos d los sumandos sa máima. Calcular dicha suma. San los sumandos y : S dsa qu S() = ln + ln( ) sa máima. El máimo s da n las solucions d S () = 0 qu hacn ngativa a S (). S ( ) 0 0 = 0 ( ) ( ) Como S ( ) s suma d dos númros ngativos, S () < 0 para cualquir ( ) valor d ; n conscuncia, para s tndrá l máimo buscado. La suma pdida s: S ln ln ln (ln ln ) ln. Con 60 cntímtros d alambr s construyn dos triángulos quilátros cuyos lados midn y. Qué valors d y hacn qu la suma d las áras d los triángulos sa mínima. La altura dl triángulo d lado s: h, la dl triángulo d lado y s, h y y S cumpl qu + y = 60 y = 0 y y S dsa qu S S S y ( y ) sa mínima. Sustituyndo y = 0, s tin: S ( (0 ) ) ( 0 00) Para qu S sa mínima: S = 0 y S > 0: S ( 0) 0 = 0 Como S 0, para s valor d = 0 s tin l mínimo buscado. En conscuncia, los lados srá = 0 y = 0; o sa, dos triángulos quilátros iguals.

26 6. Eprsa l númro 60 como suma d trs númros positivos d forma qu l sgundo sa dobl dl primro. Si l producto d los trs s máimo, dtrmina l valor d dicho producto. San, y, z los númros. S sab qu y = ; y qu + y + z = 60 + z = 60 z = 60 El producto d los trs númros s: P = yz = (60 ) = El producto n función d s: P() = Est producto s máimo n los valors d qu cumpln qu P () = 0 y P () > 0 P () = = 6( + 0) = 0 = 0; = 0/. Como P () = s tin qu P (0/) = 0 < 0. Por tanto, l producto srá máimo cuando = 0/. Los otros dos númros son y = = 80/; z = El producto máimo s P = 0 7,. S dsa construir un parallpípdo rctangular d 9 litros d volumn y tal qu un lado d la bas sa dobl qu l otro. Dtrminar las longituds d sus lados para qu l ára total d sus 6 caras sa mínima. Si su altura s h, l volumn d st parallpípdo val: V = h = h El ára total d sus 6 caras s: A = ( ) + ( h) + ( h) A = + 6h Como V = 9 h = 9 h 7 Sustituyndo n A: A( ) Esta función s mínima n las solucions d A = 0 qu hacn positiva a A. 7 A ( ) 8 = Como A ( ) 8 > 0 para todo > 0, para s tin la solución mínima. Por tanto, l lado más largo valdrá, y la altura h 9 (/ )

27 7 5. Dada la función f ( ) s pid: a) Hallar la cuación d la rcta tangnt a su gráfica n l punto ( a, f ( a)) para a > 0. b) Hallar los puntos d cort d la rcta tangnt hallada n l apartado a) con los dos js coordnados. c) Hallar l valor d a > 0 qu hac qu la distancia ntr los dos puntos hallados sa mínima. a) La cuación d la rcta tangnt a f() n l punto ( a, f ( a)) s: y f ( a) f ( a)( a) En st caso: f ( ) f ( a) a f ( ) f ( a) a S tndrá: y ( a) y a a a a b) Cort con j OY, (s hac = 0) y. Punto 0,. a a Cort con j OX, (la y = 0) 0. a a a c) La distancia ntr los dos puntos d cort s: d (a) a a a. Punto,0 D a a. Esta distancia srá mínima cuando lo sa su cuadrado, d. a El valor mínimo s da n las solucions d D = 0 qu hagan D > 0. (Drivamos con rspcto a a.) 8 D 8a 0 8a 8 0 a = (la solución a = s dscarta) a Como D 8 > 0, para a = s dará l valor mínimo. a