4. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial y universal, y obtenga conclusiones.

Transcripción

1 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Udd Nº : MTRICES-DETERMINNTES Defó INTRODUCCIÓN ESTRUCTURS LGEBRICS de GRUPO y de CUERPO Se G y se * u operó e G. El pr ( G ) es u grupo s y sólo s: ) * es u ley de omposó ter e G. Es der * es u fuó o domo e el produto rteso G G y tom vlores e G e símbolos : G G ) * es sotv e G. E símbolos G ( b ) b ( b) ( b ) b G ; ) Este u elemeto eutro e G respeto de l ley *. E símbolos e G : G ; e e ) Pr d elemeto G este u elemeto verso G respeto l ley *. E símbolos Nots G ; ' G : ' '. L estrutur lgebr de grupo h sdo defd e form omát.. El om ) suele esrbrse de l sguete mer b G ; * b G. El om ) d que el outo G es errdo o respeto l ley *. Tmbé suele derse que el outo G es estble respeto l operó *.. E los oms ) y ) observe detedmete l posó de los utfdores estel y uversl y obteg olusoes.. Dremos smplemete se G u grupo udo l ley * esté sobreetedd.. Cudo e u grupo G l ley de omposó ter se l sum dremos que G es u grupo dtvo. E est stuó el elemeto eutro dtvo se llm elemeto ulo o smplemete ero y suele represetrse o ; y ddo G l verso dtvo de deomdo opuesto de se deot o. 7. Cudo e u grupo G l ley de omposó ter se l multpló dremos que G es u grupo multpltvo. E est stuó el elemeto eutro multpltvo se le llm udd y suele represetrse o ; y ddo G l verso multpltvo de deomdo reíproo de se deot o -. e

2 Eemplos de grupos: Grupos dtvos (Z +) El outo de los úmeros eteros o l sum de úmeros eteros. Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE (Q +) El outo de los úmeros roles o l sum de úmeros roles. (R +) El outo de los úmeros reles o l sum de úmeros reles. (C +) El outo de los úmeros ompleos o l sum de úmeros ompleos. (R +) El outo de los pres ordedos de úmeros reles (o vetores del plo rteso) o l sum de pres ordedos defd por ( y ) + ( y ) ( + y + y ) quí el ero es el pr ( ) y el opuesto de ( y ) es -( y ) (- -y ). (R +) El outo de ls -upls ordeds de úmeros reles o l sum de -upls (o N) defd por ( ) + (b b b ) ( + b + b + b ) Dode el ero es l -upl ( ) y el opuesto de ( ) es - ( ) (- - - ) (Z +). Dode Z { } es el outo de ls lses resdules módulo y l sum está defd por l sguete tbl + Grupos multpltvos (Q {}.) El outo de los úmeros roles o ulos o l multpló de úmeros roles o ulos. (R {}.) El outo de los úmeros reles o ulos o l multpló de úmeros reles o ulos. (C {( )}.) El outo de los úmeros ompleos o ulos o l multpló de úmeros ompleos o ulos. (Z { }.) Dode Z { } { } es el outo de ls lses resdules módulo dstts de l lse del ero y l multpló está defd por l sguete tbl

3 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE. No so grupos: El outo N de los úmeros turles o l sum de úmeros turles. El outo Z de los eteros o l dfere de úmeros eteros. El outo R de los úmeros reles o el produto de úmeros reles. Defó G u grupo. El grupo G es omuttvo(o belo) s l ley de omposó ter * es omuttv. Es der b G: b b Se ( ) Eemplos de grupo omuttvo(o belo) (Z +) (Q +) (R +) (C +) (R +) (Z +) (Q {}.) (R {}.) (C {}.) (Z { }.) PROPIEDDES Se ( G *) u grupo. Proposó El grupo G dmte u úo elemeto eutro. Proposó El verso de d elemeto de G es úo. Proposó El verso del verso de d elemeto de G es esto es ( )' Proposó '. Culesquer se b G el verso del elemeto * b es b *. Es der ( b) ' b' ' b G :. Proposó Cd elemeto del outo G es elble o regulr. Esto es ulesquer se verf ( * b * b ) (b * * b ) b G se

4 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Proposó Culesquer se b G ls sguetes euoes e l vrble dmte soluó ú e G * b * b * * Not Ls demostroes de ls proposoes terores qued pr el lumo. Defó Se y +. dos operoes e. L ter ( +.) es u uerpo s y sólo s: ) ( +) es grupo belo. Esto es + es u ley de omposó ter e b ; + b + es sotv b : + b + + b + ( ) ( ) Este elemeto eutro dtvo e : ; + + Cd elemeto de dmte opuesto e : + ( ) ( ) + + es omuttv b : + b b + ) (-{}.) es grupo belo. Esto es. es u ley de omposó ter b - {}; b - {}. es sotv b {} : b b ( ) ( ) Este elemeto eutro multpltvo e - {} {}: {}; Cd elemeto de -{} dmte reíproo e -{} { }; {}:.. es omuttv b {}; b b ) L multpló es dstrbutv respeto de l sum de zquerd dereh y de dereh zquerd ( + b) + b (b + ) b +

5 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Eemplos de uerpos ( + ) ( R + ) ( C + ) Q ( + ) No so uerpos ( + ) Z (Z +.) Defó Se ( +.) u uerpo. Z p o p prmo ) Se y b se defe l rest b + ( b ) b) Se y b y. Se defe l dvsó b - b PROPIEDDES Proposó S ( +.) u uerpo etoes Demostró ( + ) es elemeto eutro dtvo por dstrbutvdd de (.) respeto es elemeto eutro dtvo ( + ) por Propedd eltv e el grupo ( + ) ( + ) es elemeto eutro dtvo por dstrbutvdd de (.) respeto ( + ) es elemeto eutro dtvo por Propedd eltv e el grupo ( + ) Proposó S ( +.) u uerpo etoes b ; ( ) b ( b) ( b) Demostró ) b + ( ) b ( ) b + b Luego ( ) b ( b) [ + ( ) ] b b [( ) + ] b b ) b + ( b) b + ( b) ( b) + b Luego ( b) ( b) [ ] [( b) + b]

6 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Proposó S ( +.) u uerpo etoes Demostró [ ( b) ] [ ( b ] b ( )( b) ) Proposó b : ( )( b) b S ( +.) u uerpo etoes b : ( b ) b Demostró [ + ( ) ] b + ( ) b + [ ( b ] b ( b ) b ) Proposó S ( +.) u uerpo etoes y ; ( y y ) Demostró Hy que probr que: y y Se etoes y (*) Como y (-{}.) es u grupo belo dmte verso multpltvo esto es: : E l guldd (*) multpldo e mbos membros por luego plmos Proposó de uerpo sotvdd om de verso y om de elemeto udd. y ( ) y y y Not L propedd preedete d que todo uerpo ree de dvsores de ero. Proposó S ( +.) u uerpo etoes vle l ley eltv del produto pr elemetos o ulos de. Demostró Se debe probr que y z ; ( z yz z y ) Se etoes Como z yz z () z z e () se multpl e mbos membros por el verso de z Q.E.D.

7 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE 7 y y zz y zz z yz z z ) ( ) ( ) ( ) ( Proposó 7 S ( +.) es u uerpo y y b etoes l euó de prmer grdo e l vrble b dmte soluó ú e Demostró Prtmos de l euó ) ( ) ( b b b b b Luego b es l soluó de l euó dd y l udd de l soluó se debe que dmte u úo verso y l multpló es u ley de omposó ter e. Q.E.D. Proposó 8 El reíproo (verso multpltvo) del opuesto de todo elemeto o ulo es gul l opuesto de su reíproo. Esto es - {} ; (-) - - ( - ) Demostró Qued pr el lumo.. MTRICES Defó Se m y dos úmeros turles ulesquer dsttos. U mtrz de tpo o elemetos de u outo es u ordeó de m elemetos del outo dspuestos e m fls y olums. m m m m

8 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE 8 Nots Trbremos o mtres uyos elemetos perteee u uerpo omo por eemplo: Q (Roles) R (Reles) C (Compleos) Z (Clses resdules módulo ) et. El outo de ls mtres de m fls y olums o elemetos de u uerpo se deot o. Esrbremos pr dr que l mtrz es de tpo y tee elemetos del uerpo. Eemplos / R ; B Z ; D R ; / E Q ; 9 8 C + ; [ ] G R Defó U mtrz de orde o elemetos de u outo es u ordeó de elemetos del outo dspuestos e fls y olums. Nots Trbremos o mtres uyos elemetos perteee u uerpo omo por eemplo: Q (Roles) R (Reles) C (Compleos) Z (Clses resdules módulo ) et. El outo de ls mtres de orde o elemetos de u uerpo se deot o. Este outo es u so prtulr del outo udo m. Esrbremos pr dr que l mtrz es de orde y tee elemetos del uerpo. Eemplos 7 / H R ; J C + ; 9 7 / / 7 7 L Q

9 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE 9 Nots U mtrz es retgulr s el úmero de fls es dstto l úmero de olums. U mtrz es udrd s el úmero de fls es gul l úmero de olums U mtrz rel es quell uyos elemetos so úmeros reles. U mtrz omple es l que sus elemetos úmeros ompleos. Notoes Se l mtrz (o m ó m ) dd por m m m m I. Cd fl de l mtrz suele represetrse por u mtrz del tpo deomdo vetor fl. L fl -ésm vee dd por f m ;... L mtrz puede represetrse e térmo de sus m vetores fls m f f f f del sguete modo: m f f f f II. Cd olum de l mtrz es omú represetrl por u mtrz del tpo m llmdo vetor olum. L -ésm olum de está dd por ;... m m L mtrz puede represetrse e térmo de sus vetores olums medte:......

10 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE III. l elemeto se le llm elemeto geéro de l mtrz. Éste se emple pr deomr l form e que se deot los elemetos de l mtrz y permte esrbrl e mer brevd por m. Cudo se ooe de temo el úmero de fls y de olums de l mtrz smplemete esrbremos IV. S los elemetos form l dgol prpl de. MTRICES ESPECILES Mtrz ul U mtrz perteeete l outo o m ó m que tee todos los elemetos gules ero (elemeto eutro dtvo del uerpo ) se llm mtrz ul. E símbolos: o O o o m Eemplos Mtres reles uls so: [ ] Mtrz udd U mtrz de orde o elemetos del uerpo e l que todos los eslres de l dgol prpl so uos (elemeto eutro multpltvo del uerpo ) y los resttes elemetos de l mtrz so eros (elemeto eutro dtvo del uerpo ) se llm mtrz udd de orde y se smbolz o I. E símbolos: I δ sedo s s δ. Eemplos Mtres reles udd so: I I I

11 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Mtrz dgol U mtrz D de orde o elemetos del uerpo e l que todos los elemetos que está fuer de l dgol prpl so eros (elemeto eutro dtvo del uerpo ) rebe el ombre de mtrz dgol. E símbolos: es dgol s. Eemplos Ls sguetes mtres reles so dgoles ; ; Mtrz trgulr superor U mtrz de orde o elemetos del uerpo e l ul todos los elemetos que está debo de l dgol prpl so eros (elemeto eutro dtvo del uerpo ) se llm mtrz trgulr superor. E símbolos es trgulr superor > s. Eemplos Mtrz trgulr feror U mtrz de orde o elemetos del uerpo e l que todos los elemetos que está rrb de l dgol prpl so eros (elemeto eutro dtvo del uerpo ) se llm mtrz trgulr feror. E símbolos es trgulr feror s <. Eemplos / / + Observoes Tods ls mtres dgoles so trgulres superor e feror. L mtrz udd y l mtrz ul de orde so mtres dgoles por lo tto tee l propedd de ser trgulr superor y trgulr feror.

12 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE IGULDD DE MTRICES Defó Se m y dos úmeros turles ulesquer (o m ó m ) y u uerpo. Dos mtres y B b so gules s y sólo s sus elemetos orrespodetes so gules. E símbolos def B b ; N ; m N;. Eemplos E los sguetes eemplos se puede observr que se stsfe l Defó ) se() / os( π) b) lm se / os( π /) OPERCIONES CON MTRICES I. SUM DE MTRICES Defó Se m N o m ó m y u uerpo. Se y B b. L mtrz C es gul l sum + B s y sólo s + b ; N ; m N ; Observoes Dos mtres se puede sumr (o está oformes pr l sum) s los elemetos de mbs perteee l msmo uerpo y s so del msmo tpo o del msmo orde. Debdo l Defó se de que el outo es errdo pr l sum de mtres Eemplos ) Dds ls mtres B L sum + B es R

13 + B + Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE R b) Dds ls mtres / / B L sum + B es: R + B / / + R Proposó Se m N o m ó m y u uerpo. El outo o l sum de mtres es u grupo omuttvo. Es der: ) B ; + B ) B C ; ( + B) + C + (B + C) ) : : + + v) / + ( ) ( ) + v) B ; + B B + Observoes El eudo ) d que l sum de mtres es u ley de omposó ter e. El eudo ) d que l sum de mtres es sotv e. El elemeto eutro del eudo ) es l mtrz ul de. E el eudo v) l mtrz es l mtrz opuest de y sus elemetos so los opuestos de los elemetos de l mtrz. Es der: S [ ] l mtrz opuest de es [- ] El eudo v. epres que l sum de mtres es omuttv e. II. PRODUCTO DE MTRICES Defó Se m p y tres úmeros turles ulesquer (o eesrmete dsttos) y u uerpo. mp p Dds ls mtres y B b el produto de y B (que se esrbe B) es u mtrz C uyos elemetos so los defdos por: b + b b N ; m N; p p

14 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE E form brevd se esrbe: p b k k k Observoes El produto de dos mtres está defdo s y sólo s mbs mtres está oformes pr el produto es der s los elemetos de mbs perteee l msmo uerpo y el úmero de olums de l prmer mtrz es gul l úmero de fls de l segud. Co freue se esrbe produtos de mtres s dr el tpo u orde de los ftores e tl so se etederá que el produto está defdo. E geerl el produto de mtres o es omuttvo Eemplos ) Dds ls mtres R B R ( ) B....( ) + + R ( ). +. ( ). +.( ) Observe que ls mtres y B o está oformes pr el produto B b) Dds ls mtres B R Es lro que mbs mtres está oformes pr los produtos B y B 9 B R y B Observe demás que B B Proposó R S m p so úmeros turles ulesquer y u uerpo. etoes se verf los sguetes eudos. ) S mp pr B y C r etoes (B)C(BC) ) S ) S v) S mp mp B p y mp B y etoes C C p etoes (B+C)B+C p etoes (+B)CC+BC

15 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE ) I dode I es l mtrz udd de orde. b) I dode I m m es l mtrz udd de orde m. Proposó Se u uerpo. El outo o el produto de mtres goz de ls sguetes propeddes ) B ; B ) ) v) B C ; (B)C(BC) B C ; (B+C)B+C B C ; (+B)CC+BC v) : I I dode I es l mtrz udd de orde. III. PRODUCTO DE UN ESCLR POR UN MTRIZ Defó Se m N o m ó m y u uerpo. Se l mtrz r. El produto del eslr r por l mtrz es l mtrz r defd por: y el eslr r def r r Eemplo S y r se tee que 7 r 7 Proposó Se m N o m ó m y u uerpo. S verf: ) r(s) (rs) ) r(+b) r+rb ) (r+s) r+s r s y B etoes se

16 Proposó Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Se m p y tres úmeros turles ulesquer (o eesrmete dsttos) y u uerpo. S mp p r s y B etoes (rb) (r)b r(b) IV. TRNSPOSICIÓN DE MTRICES Defó 7 Se m N o m ó m y u uerpo. Se l mtrz. L mtrz trspuest de es l mtrz t Observó b m s y sólo s b o m. Otr form de epresr l mtrz trspuest de l mtrz es l sguete S etoes l trspuest de es l mtrz t m Eemplos ) Dd l mtrz l trspuest de es t. 7 7 b) Dd l mtrz l trspuest de es t. Not L trspuest de u mtrz de tpo (o de orde ) es l mtrz t de tpo m (o de orde ) que result de termbr ls fls de l mtrz por olums. Proposó Se u uerpo. ) S etoes ( t ) t ) ) v) S S mp y B etoes ( + B) t t + B t p y B etoes (B) t B t t S r etoes (r) t r t

17 Mtrz Smétr Se u uerpo. Se u mtrz. def Es der que u mtrz Eemplos es u mtrz smétr Ls sguetes mtres so smétrs. es smétr s y sólo s Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE t 7 7 Mtrz tsmétr Se u uerpo. Se u mtrz. es u mtrz tsmétr def. Es der que u mtrz es tsmétr s y sólo s t Observó Es fál mostrr que los elemetos de l dgol prpl de u mtrz tsmétr so todos ulos. E efeto ; ; ; Eemplos Ls sguetes mtres so tsmétrs + 7

18 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE V. CONJUGCIÓN DE MTRICES Defó 8 Se m N o m ó m. Se l mtrz C o elemetos e el uerpo de los úmeros ompleos. L mtrz ougd de es l mtrz b C s y sólo s b o m. Observó Otr form de epresr l mtrz ougd de l mtrz es l sguete S C etoes l ougd de es l mtrz C Eemplos ) Dd l mtrz l ougd de es +. b) Dd l mtrz + l ougd de es +. Proposó 7 ) S C etoes ) S C m y B C etoes + B + B ) m p p S C y B C etoes B B ) S r C C etoes ( r) r v) S C t etoes ( ) t Mtrz Hermt Se u mtrz C. es u mtrz hermt def. Es der que u mtrz C es hermt s y sólo s t 8

19 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Eemplos Ls sguetes mtres so hermts Observó Es fál mostrr que los elemetos de l dgol prpl de u mtrz hermt so úmeros reles. E efeto ; ; R VI. INVERS DE UN MTRIZ Defó 8 Se u uerpo. Se u mtrz B tl que Proposó 8 B B. L mtrz es versble sí y sólo s este u mtrz I. E símbolos es versble B : B B I Se u uerpo. S es versble etoes l mtrz dmte u ú vers. Demostró Como es versble por hpótess este u mtrz B tl que B B Supogmos que tee tmbé otr mtrz vers es der este u mtrz C C I Probremos que B C. E efeto B BI () B( C ) ( B ) C I C C Luego BC. Por lo tto s es versble etoes dmte u ú vers. () () () () I C tl que Referes: () I es l mtrz udd (elemeto eutro multpltvo e el produto de mtres). () Por hpótess C I. () Por sotvdd del produto de mtres. () Por hpótess B I. () I es l udd pr el produto de mtres. Notó S es u uerpo y s es versble represetremos su ú vers o -. Q.E.D. 9

20 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Eemplo Dd l vers de es Observó No tod mtrz es versble omo ourre o l mtrz Proposó 9 S es u uerpo y s B so mtres versbles etoes ( B ) B Demostró ( B )( B ) ( BB ) I ( I ) ( B )( B) B ( ) B B I B ( B I ) B B B I I Luego l vers de B es B Q.E.D. Mtrz Idempotete Se u uerpo. Se u mtrz. es u mtrz dempotete s y sólo s es gul su udrdo. Es der: def es dempotete Eemplos: Ls sguetes mtres so dempotetes Mtrz Ivolutv Se u uerpo. Se u mtrz.

21 Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE es u mtrz volutv s y sólo s su udrdo es l mtrz udd de orde. Es der: def es volutv I Eemplos: Ls sguetes mtres so volutvs Not Obsérvese que tod mtrz volutv es versble y su vers es ell msm esto es: - Mtrz Ortogol Se u uerpo. Se u mtrz versble. es u mtrz ortogol s y sólo s su vers es gul su trspuest. Es der: def es ortogol - t O dho de otr mer: es ortogol t t I Eemplos: Ls sguetes mtres so ortogoles os α seα seα os α osα seα seα osα