Matemáticas. Mathe Formeln_Text OK:Mathe Formeln_Text qxd 5/5/10 3:54 PM Page Matemáticas

Transcripción

1 11 Matemáticas Matemáticas La matemática es una de las ciencias más antiguas. Su desarrollo se remonta a los tiempos prehistóricos. Para los hombres de la edad de piedra ya era posible, con un sistema parecido al de la teoría de conjuntos, diferenciar entre mucho y poco. Sin este poder de la imaginación no habría sido posible el trueque, habitual en ese entonces. Alrededor del año 500 a.c. comenzó en Grecia un desarrollo que condujo a una precisión del concepto de los números. Se introdujeron los números naturales. En la escuela pitagórica se demostró entonces la existencia de los números irracionales. Este hecho, que no se dejó sentir totalmente en las matemáticas a través de los números naturales y sus proporciones, condujo con el tiempo a que la geometría desarrollada por Euclides adquiriera cada vez más un significado. Aquí fue posible representar geométricamente segmentos irracionales, sin lo cual se requería el concepto de los números naturales. Hasta la Edad Moderna la obra de Euclides era la obra estándar de las matemáticas. Junto con la geometría de Euclides también se han desarrollado otras ramas de las matemáticas. Con Arquímedes comienzan las matemáticas aplicadas, que se desarrollaron con Leibniz y Newton como un método que se emplea hasta nuestros días. Las matemáticas actuales se han organizado en varias ramas que no pueden separarse marcadamente entre sí. La aritmética es la ciencia de los números. La geometría es la disciplina central según Euclides. Originalmente proviene de los problemas concretos de la agrimensura. En el siglo XVII Descartes fundó la geometría analítica. Hacia 1800 se desarrolló la geometría diferencial, con la cual se investigaron curvas y superficies con la ayuda del cálculo diferencial e integral. El álgebra es la ciencia de la solución de ecuaciones, las cuales fueron impulsadas especialmente en la matemática árabe. El álgebra lineal maneja los espacios vectoriales y la solución de ecuaciones lineales con n variables. El álgebra superior se ocupa de las relaciones de las magnitudes abstractas. Dado que en la actualidad el conocimiento acumulado de las matemáticas es inmanejable para una sola persona, se ha venido buscando cada vez con mayor frecuencia estructuras superordenadas, las cuales tienen una tarea resumida y ajustada.

2 Símbolos 12 I. Símbolos, operaciones aritméticas, leyes 1. Símbolos generales = igualdad ø diámetro desigual, no igual ángulo proporcional, similar [AB] intervalo de A a B aproximado, casi igual longitud del intervalo [AB] congruente AB arco de A a B correspondiente sgn a signo de a límite, aproximación, convergente a valor absoluto de a < menor que π número pi > mayor que! factorial menor o igual Σ suma mayor o igual n raíz enésima de % porcentaje ( ) matriz por mil determinante paralelo integral ángulo recto, perpendicular infinito 2. Símbolos de la teoría de conjuntos IN Conjunto de los números naturales Está contenido en, es un subconjunto de IN 0 IN con cero Unión Conjunto de los números enteros Intersección Conjunto de los números racionales x Símbolo del producto de conjuntos Conjunto de los números complejos Mapeo IL Conjunto de soluciones Elemento de ø A = {a k ; k N} el conjunto A { } } Conjunto vacío está integrado por los elementos a 1 ; a 2 ; a 3 ; a k 3. Símbolos de lógica A 1 A 2 De A 1 sigue A 2, o (disyunción) (implicación), y (conjunción) A 1 A 2 A 1 y A 2 son equivalentes x negación lógica (equivalencia) (negación) A 1 : A 2 A 1 es por definición A B tanto A como B equivalente a A 2 A B A o B o ambos Existe cuando menos un A negación de A (cuantificador de existencia) (no A) 1 Existe exactamente un E E

3 4. Operaciones aritméticas Suma 13 Matemáticas a (1. sumando) + b (2. sumando) = c (valor de la suma) En la suma los sumandos se sujetan a la regla de los signos en el valor de la suma resultante. Ejemplos: (+8) + (+6) = (+14); ( 8) + ( 6) = ( 14); (+8) + ( 6) = (+2); ( 8) + (+6) = ( 2) Resta a (minuendo) b (sustraendo) = c (valor de la diferencia) En la resta el minuendo y la magnitud del sustraendo se reducen y constituyen con ello el valor de la diferencia. Debe obedecerse la regla de los signos. Ejemplos: (+8) (+6) = (+2); ( 8) ( 6) = ( 2); (+8) ( 6) = (+14); ( 8) (+6) = ( 14) Multiplicación a (1. factor) b (2. factor) = c (valor del producto) Se obtiene el valor del producto, para el cual se multiplican los factores individuales bajo el principio de la regla de los signos. Ejemplos: (+8) (+6) = (+48); ( 8) ( 6) = (+48); (+8) ( 6) = ( 48); ( 8) (+6) = ( 48) División a (dividendo) : b (divisor) = c (valor del cociente) Al dividir el dividendo entre el divisor se obtiene el valor del cociente. En los quebrados el numerador del quebrado es el dividendo y el denominador del quebrado es el divisor. Debe seguirse la regla de los signos al hacer la división. No se define la división por cero.

4 Símbolos 14 Ejemplos: (+8) : (+4) = (+2); ( 8) : ( 4) = (+2); (+8) : ( 4) = ( 2); ( 8) : (+4) = ( 2) Exponenciación (Potenciación) Exponente o potencia a b = c Potenciación a b = a a a a Base o número básico IR del conjunto de números reales b veces Para la potencia a b debe emplearse el número básico a b veces como el factor de una multiplicación para obtener la potenciación. Ejemplos: 3 5 = = 243 ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = (+16) ( 2) 5 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = ( 32) Extracción de raíces exponente de la raíz { b a = c valor de la raíz; léase: la raíz b-enésima de a es c radicando La radicación se llama extracción de raíces. El exponente de la raíz b indica el número de veces que el factor a debe aparecer bajo el símbolo de la raíz, por lo cual se escribe una sola vez frente al símbolo de raíz. Para la raíz b-enésima el factor b debe sucederse como producto b veces bajo el símbolo de la raíz, para que una sola vez éste pueda escribirse frente al símbolo de raíz. Ejemplos: 2 a también puede presentarse sin el exponente de la raíz: raíz cuadrada. Para exponentes de la raíz que sean números pares, el radicando en el conjunto IR de números reales no puede ser negativo.

5 15 Matemáticas 4 no se define; 8 2 no se define. No existe ningún número real con el cual pueda obtenerse un valor de producto negativo al multiplicarlo por sí mismo. Esto significa que bajo una raíz con un exponente de raíz que sea número par, sólo pueden aparecer valores positivos (excepto los números complejos). Obtención de logaritmos antilogaritmo log b a = c base logaritmo léase: el logaritmo de a de base b es c La función inversa de la exponenciación es la función logaritmo, a través de la cual para la exponenciación dada y para la base dada se busca el exponente. b x = a x = log b a; b log b a = a léase: el logaritmo de a con base b es aquel número al cual se debe elevar b para obtener a. Para determinar el logaritmo primero debe emplearse una tabla de logaritmos. Desde la introducción de las calculadoras de bolsillo esta tabla ya no es necesaria. Para log b a debe tenerse b > 0; b 1; a > 0 5. Regla de los signos Suma y resta Diferenciamos entre el signo antepuesto a un número y el signo de operación para los números: (+2) ( 4) = +6 Signo Signo de Signo Signo de antepuesto operación antepuesto operación al número al número

6 Símbolos 16 Al combinarse los signos antepuestos a los números con los signos de operación se obtiene: + y + +; y +; + y ; y +. + (+a) = +a; ( a) = +a; + ( a) = a; (+a) = a Un signo positivo frente a un paréntesis no cambia al signo del paréntesis. a + (b c) = a + b c Un signo negativo frente a un paréntesis invierte a todos los signos en el paréntesis. a (b c) = a b + c Ejemplos: 3 + (4 6) = = 1 3 (4 6) = = 5 Multiplicación y división Cuando dos factores tienen el mismo signo, entonces el producto siempre es positivo. Si dos factores tienen signos diferentes, entonces el producto siempre es negativo. (+a) (+b) = +ab; (+a) ( b) = ab; ( a) ( b) = +ab ( a) (+b) = ab Ejemplos: (+4) (+5) = +20; ( 4) ( 5) = +20; (+4) ( 5) = 20; ( 4) (+5) = 20 Si en una división el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, entonces el cociente siempre es positivo. Si los signos del dividendo y del divisor son diferentes, el cociente siempre es negativo. (+a) : (+b) = + a b ; (+a) : ( b) = a b ; ( a) : ( b) = + a b ( a) : (+b) = a b Ejemplos: (+6) : (+3) = = +2; ( 6) : ( 3) = = +2; (+6) : ( 3) = 6 3 = 2; ( 6) : (+3) = 6 3 = 2

7 6. Operaciones con quebrados Expansión Los quebrados se expanden si el numerador y el denominador se multiplican por el mismo factor. a b = a k ; factor de expansión k b k 17 Matemáticas Ejemplo: 4 3 = = 8 6 = = Reducción Los quebrados pueden reducirse cuando en el numerador y en el denominador se presentan los mismos a b b c = a c ; factor común b Ejemplos: = 4 5 ; = = 12 5 En diferencias y en sumas no se pueden reducir. Racionalización de denominadores Al expandir un quebrado el denominador puede racionalizarse. El factor de expansión, ya sea el factor común o un término, es aquel que permita obtener en el denominador una tercera forma binomial. racional racional Ejemplos:

8 Símbolos 18 Adición y sustracción Los quebrados que tengan el mismo denominador pueden al conservar el denominador restarse y sumarse entre sí. Si los denominadores son diferentes, entonces deben igualarse de la mejor manera posible con el mínimo común múltiplo. a b + c b d b = a + c d b a b + c d = a d + c b b d a b c d = a d c b b d b d significa denominador principal Ejemplos: = = = 15 Denominador principal = Multiplicación y división = 7 12 Denominador principal Los quebrados pueden multiplicarse al multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Los factores iguales pueden reducirse. Los quebrados pueden dividirse si se multiplican por el inverso del divisor. Para ello debe seguirse la regla de los signos. Ejemplos:

9 7. Clasificación de los números 19 Matemáticas Números complejos Números reales Números imaginarios Números racionales Números irracionales (quebrados decimales no periódicos infinitos) Números enteros Números algebraicos Números enteros positivos Números enteros negativos Conjunto de los números naturales Símbolo (números enteros positivos) Números quebrados Números trascendentes Conjunto de los números enteros Símbolo (números enteros negativos y positivos con cero) Conjunto de los números racionales Símbolo (números enteros y números quebrados) Conjunto de los números reales Símbolo (números racionales y números reales no racionales) Conjunto de los números complejos Símbolo números irracionales números imaginarios

10 Mathe Formeln_Text OK:Mathe Formeln_Text qxd 5/5/10 3:54 PM Page 2 Aritmética/álgebra 20 II. Aritmética y álgebra La aritmética (la ciencia de los números) es el cálculo con números y el empleo de reglas de operación con números. De manera abreviada el álgebra es originalmente la ciencia de las ecuaciones y sus métodos de solución. En la teoría moderna del álgebra se investigan las estructuras de los conjuntos matemáticos y las propiedades de relación de sus elementos. Se buscará conforme a reglas formales, a aquellos elementos que subyacen a estos conjuntos matemáticos. 1. Operaciones con el conjunto de los números reales (Para un concepto de los números reales, véase la página 19) El valor absoluto de los números reales El valor absoluto de un número real es siempre mayor que o igual a cero. { a para a > 0 IaI = 0 para a = 0 a para a < 0 a y a están situados a la misma distancia del origen 0 en la recta numérica. El valor absoluto de a también da la distancia de a desde el origen. Ejemplos: I+4I = 4 I 4I = ( 4) = +4 = 4 El valor absoluto de la diferencia de dos números siempre es mayor que o igual a cero. El valor absoluto de la suma de dos números es asimismo siempre mayor que o igual a cero. Ia bi = { 0 a b b a para a > b para a = b para a < b