Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

Transcripción

1 UNIDAD 0: Límites de funciones. Continuidad ACTIVIDADES-PÁG. 08. Podemos decir lo siguiente: a) Para esta función: f () tiende a cuando tiende a f () tiende a + cuando tiende a por la izquierda f () tiende a - cuando tiende a por la derecha f () tiende a - cuando tiende a por la izquierda f () tiende a + cuando tiende a por la derecha f () tiende a cuando tiende a. b) En este caso: f () tiende a 0 cuando tiende a f() tiende a cuando tiende a. c) Para esta gráfica: f () tiende a cuando tiende a f() tiende a cuando tiende a. d) Para esta funcióm: f () tiende a cuando tiende a f () tiende a cuando tiende a. ACTIVIDADES-PÁG.. Designamos los colores por: rojo (R), verde (V), azul (Z) y amarillo (A). Las cuatro formas por: cuadrada (C), circular (O), triangular (T) y pentagonal (P). Por ensayo y error colocamos las fichas en un tablero, cumpliendo las condiciones que indica el enunciado y obtenemos una solución: RC VO ZT AP ZP AT RO VC AO ZC VP RT VT RP AC ZO Podemos encontrar hasta 7 soluciones distintas.. El número total de amanitas ha de ser múltiplo de 9 menos, es decir, 8 amanitas. Resolviendo el problema mediante ecuaciones obtenemos: amanitas 9 9

2 . El enunciado del problema nos muestra que el número de latas de zumo debe ser un número impar. Por ensayo y error obtenemos: Hay 7 latas de zumo. El primer amigo se bebe 7/ + 0,5 = latas. Quedan latas. El segundo amigo se bebe / + 0,5 = latas. Quedan lata. El dueño de la casa se bebe / + 0,5 = lata. Luego, efectivamente había 7 latas de zumo. Este problema se puede resolver también mediante ecuaciones.. Sea n un número real. Veamos si n (n ) = Como n (n ) = n n (n ) (n + ), entonces: n (n ) (n + ) =, pues es producto de tres números consecutivos. Si n =, entonces n = y n + =. Por tanto n n (n ) (n + ) = Si n - =, entonces n =. Por tanto n (n ) (n + ) = = Si n + =, entonces n =. Por tanto n (n ) (n + ) = = = En cualquier caso se verifica que n (n ) = ACTIVIDADES-PÁG. 9. En la imagen tenemos la resolución, con Wiris, de estos ites.

3 . Con Wiris representamos la función y vemos en la gráfica que tiene dos asíntotas verticales de ecuaciones = 0; = 0,5 y una asíntota horizontal de ecuación y = -. En la misma gráfica estudiamos la continuidad y esta función es continua en R {0; 0,5} 5

4 . Representamos con Wiris estas dos funciones: a) Esta es una función a trozos y hay que dibujar cada trozo en su intervalo, los dos dibujos dentro del mismo bloque. A partir de la gráfica vemos que esta función es continua en R {} 6

5 b) Para representar la parte entera se escribe dibujar(suelo(/)) La representamos y a partir de la gráfica vemos que es una función es continua en R k / k Z. ACTIVIDADES-PÁG. 0. Las soluciones pueden verse en la tabla. Apartados Gráfica a) Gráfica b) Gráfica c) a) Dom f R R R b) Im f [0, ) R [0, + ) c) f (0) 0 d) f () 0 0 e) f ( ) 0 f) f ( ) 0 g) f ( ) 0 h) f ( ) 0 No eiste 0 i) f ( ) j) f ( ) k) f () l) f () 0 No eiste No eiste No eiste - + No eiste + + 7

6 . Las gráficas pueden ser como las que siguen. a) b) 8

7 c) d) e) 9

8 . La asociación es: a) con (II) b) con (III) c) con (I) ACTIVIDADES-PÁG.. Las soluciones son: a) f ( ) h) g ( ) b) f ( ) i) g ( ) no eiste c) f ( ) no eiste j) g () d) Asíntotas horizontales: y = 0 k) Asíntotas horizontales: y = 0 Asíntotas verticales: = - Asíntotas verticales: = - e) f ( ) 0 l) g ( ) no eiste f) f ( ) 0 g) f ( ) 0 0 m) g ( ) n) g ( ) 0 5. Las gráficas pueden verse a continuación: a) 50

9 b) c) 5

10 d) 6. Los valores de los ites son: = 7 i) 0 0 a) 7 b) = 0 j) c) k) d) l) 0 = - m) 0 e) ( ) f) 8 0 n) 0 5

11 g) 0 8 o) h) 0 8 p) = - ACTIVIDADES-PÁG. 7. El valor de los ites es: a) f ( ) = e) f ( ) = b) f ( ) = f) f ( ) = no eiste c) f ( ) d) f ( ) = g) f () = h) f () Todo lo anterior puede verse en la gráfica que sigue. 8. Los ites valen: a) ( 5 ) b) ( 5 ) 5 f) 6 g) 5 5

12 c) ( 6 5) h) 8 5 d) 0 6 i) e) 9. Los ites valen: a) b) 0 g) 0 h) c) d) e) 0 0 f) i) 6 j) 7 k) 5 6 no eiste (los ites l) laterales son diferentes) 0. Los ites son: a) lim no eiste, ya que: y b) 0 ya que: 0 y 0 5 c) ya que 5 y 5 d) ( )

13 55 e) 0 f) 0 0 ) )( ( ) ( ) ( ) ( 0 no eiste, al ser los ites laterales: ) ( ) ( 0 y ) ( ) ( 0. Los ites valen: a) 9 lim b) lim c) 0 lim ACTIVIDADES-PÁG.. Los ites son: a) Es una indeterminación del tipo. El valor del ite es: 5 0 e e e b) Es una indeterminación del tipo. El valor del ite es: e e c) Es una indeterminación del tipo. El valor del ite es: 5 = e e 5 lim

14 d) El valor del ite es: 5 e) Es una indeterminación del tipo 0 0 e e. El valor del ite es: 6 f) Es una indeterminación del tipo. El valor del ite es: 5 e ( ) 5 e e e. Las soluciones son: a) La función f() = /. 6 6 tiene dos asíntotas: vertical de ecuación = - y horizontal de ecuación y = b) La función f ( ) tiene tres asíntotas: dos verticales de ecuaciones = y = 0 ; y una horizontal de ecuación y = 0. c) La función f() = d) La función f() = tiene dos asíntotas: vertical de ecuación = 0 y oblicua de ecuación y =. tiene una asíntota horizontal de ecuación y = 0. e) La función y = f ( ) tiene dos asíntotas: vertical de ecuación = - y oblicua de ecuación f) La función f() = y. 6 6 tiene dos asíntotas: Vertical de ecuación = - y oblicua de ecuación. A la vista de la gráfica podemos asegurar que: a) La gráfica es continua para cualquier número real ecepto para = 0. b) La gráfica es continua para cualquier número real ecepto para = 0. c) La gráfica es continua para cualquier número real. 56

15 5. Los resultados son: (I) a) f ( ) 0 b) f ( ) 0 = e) f (0) = = f) f () = 0 c) f ( ) = 0 g) f () = - 6 d) f ( ) = - 6 La función es continua para cualquier número real ecepto para = 0. Todo lo anterior puede verse en la gráfica adjunta. (II) a) f ( ) 0 b) f ( ) 0 = - e) f (0) = - = - f) f () = - c) f ( ) = - g) f () = 5 d) f ( ) = 5 La función es continua para cualquier número real ecepto para = 0. 57

16 Todo lo anterior puede verse en la gráfica adjunta. 6. Los valores del parámetro a para que las funciones sean continuas es: a) a = 6 b) a = ACTIVIDADES-PÁG. 7. a) La función f () es continua en R {-, }. b) La función f () es continua en [-, ]. c) La función f () no es continua en =. d) La función f () es continua en,. e) La función f () es continua en, 0 (0 ) f) La función f () no es continua en = - pues no esta definida. Tampoco es continua en =. g) La función f () es continua en R. h) La función f () es continua en R i) La función f () es continua en,,. 58

17 8. La función dada es discontinua evitable en = - y discontinua no evitable en =. La redefinimos para = - y queda: F () = si si 9. a) En este momento hay 000 águilas. Al cabo de 8 años habrá 768 águilas y al cabo de años habrá 7556 águilas, es decir, habrá aumentado el número. 6t b) Calculamos lim 8 t, es decir se estabilizará en animales. 0. La función beneficio es: B t 60t 700 I( t) G( t) t 8 60t 700 Calculamos lim 0 8 t, es decir tienden a anularse.. a) La función es continua en 0, b) El 6º año hará un promedio de unas 5 fotocopias por minuto. t 7 c) Calculamos lim t, es decir, hará fotocopias por minuto, por término medio. ACTIVIDADES-PÁG. 5 Dibujamos un triángulo equilátero, dividimos cada lado en tres partes y sobre la parte central, dibujamos otro triángulo equilátero, en el siguiente paso sobre cada uno de los 6 triángulos equiláteros repetimos el proceso e iterando obtenemos esta curva. 59

18 Consideramos que el triángulo equilátero inicial tiene de lado a unidades. NÚMERO DE CURVA PERÍMETRO a a/ 8a/9 9a/7 enésima n n a a + a a 6 + a a + ÁREA a a 8 + a 6 +8 a 6 a + 9 a 8 n + a 6 + a 79 Como vemos en la tabla la sucesión de los perímetros es una sucesión geométrica de razón /. Por lo que su longitud es infinita pues n n n razón /9. Su superficie es finita pues: a n a.la sucesión de las áreas es una sucesión geométrica de 9 n a = La propiedad que tienen estas curvas es que siendo su longitud infinita encierran una superficie finita. La curva anticopo de nieve es la que vemos en el dibujo: Es la configuración opuesta al copo de nieve. Se forma del mismo modo pero metiendo los triángulos hacia adentro. Se obtienen los mismos resultados que en la anterior y tienen la misma propiedad. 60