ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Transcripción

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2 1 Sesión No. 8 Nombre: Pruebas de hipótesis referentes al valor de la media de la población Contextualización Las pruebas de hipótesis son uno de los métodos generales que se emplean para llevar a cabo inferencias respecto a los parámetros poblacionales. Este tipo de pruebas consiste en realizar suposiciones iniciales (hipótesis) sobre el valor de un determinado parámetro poblacional de interés. Las hipótesis son analizadas siguiendo una serie de pasos metódicos, con lo que se obtiene un resultado que permite confirmar o rechazar la hipótesis inicial, es decir, se toma una decisión sobre el valor del parámetro poblacional objeto de estudio.

3 2 Introducción al Tema Dentro de las investigaciones de estadística y de otra naturaleza, se determinan elementos definitorios del área de estudio, lo que se conoce como hipótesis, esto s trata de supuestas soluciones o determinadas situaciones que pueden tratarse dentro de la investigación lo que la llevará por una guía ya establecida y se demostrara si lo que se plantea dentro de las hipótesis es cierto o falso ampliando la posibilidad de determinar un nuevo conocimiento que se establece mediante el conocimiento de medias estadísticas y ampliando los campos de estudio gracias a las mismas.

4 3 Explicación Pasos básicos de la prueba de hipótesis con el método de valor crítico. Objetivo de la prueba de hipótesis Ante la imposibilidad de estudiar a una población en su totalidad, al someter a estudio una característica de interés de dicha población, el investigador procede a extraer una muestra representativa de la cual calculará determinados valores descriptivos de ésta, a los que se conoce como estadígrafos o estadísticas. Si la muestra está bien diseñada, estos estadígrafos pueden considerarse una buena aproximación a los verdaderos valores que describen a una población, los cuales se denominan parámetros poblacionales. Las técnicas de inferencia estadística pueden clasificarse en dos categorías: Intervalos de confianza Pruebas de hipótesis Elementos que intervienen en una prueba de hipótesis Supongamos que un cereal sale al mercado. Según las normas de la Secretaría de Salud, este producto no debe exceder de cuatro unidades de conservador por miligramo de cereal, pues ello podría implicar riesgos para la salud de los consumidores. Este valor límite permitirá determinar el denominado valor crítico, que marca la frontera entre valores permitidos y no permitidos. Al sospechar que la compañía fabricante del cereal está excediendo la norma permitida, se designa a un especialista para inspeccionar los productos y determinar si se está incurriendo en una falta a la norma. Sea μ el nivel promedio de conservador por miligramo de cereal. En este caso, μ es el parámetro poblacional objeto de estudio, aquel sobre el cual se establecerán hipótesis iniciales de las que, a su vez, se obtendrán conclusiones mediante el análisis de una muestra.

5 4 Puesto que se sospecha que el fabricante rebasa el nivel de unidades permitido de conservador por miligramo, el investigador procede de manera similar al método de demostración por contradicción, estableciendo la denominada hipótesis alternativa, la cual sostiene que μ>4 es mayor a lo que la norma permite. Posteriormente, el investigador establece la llamada hipótesis nula, la cual afirma que μ=4 es igual o menor a 4, por lo que no se consideraría una violación a la norma. La hipótesis alternativa se representa con el símbolo H a, mientras que la hipótesis nula se denota con el símbolo H 0. En este entendido, el investigador buscará evidencias para demostrar la hipótesis alternativa μ>4 mediante el análisis de muestras en las que se compruebe que la hipótesis nula μ= 4 es incorrecta. Es decir, se desea probar H a vs. H 0, en donde: H 0 : µ = 4 H a : µ > 4 Como es evidente, sólo una de las hipótesis es verdadera y, en consecuencia, la otra es falsa. Es decir, la aceptación de una hipótesis implica el rechazo de la otra. El criterio para rechazar o aceptar la hipótesis nula descansa en una estadística de prueba, la cual se comparará con el valor crítico. La estadística de prueba se obtiene a partir de datos de una muestra representativa de la población investigada. Para el caso que se ejemplifica, supongamos que cada día se inspeccionan en laboratorio 35 cajas de cereal seleccionadas al azar. Si el nivel promedio de unidades de conservador por miligramo de cereal obtenido n el análisis es mayor que 4, por ejemplo =4.6, el investigador tiene suficientes elementos para rechazar la hipotesis nula y concluir que 4, por lo que estaría violando la norma. Por el contrario, si <4, por ejemplo, =3.7, el investigador no dispone de evidencias para rechazar la hipótesis nula y, por lo tanto, no puede afirmar que este rebasando la norma permitida. En este ejemplo, la media muestral se

6 5 emplea como estadística de prueba. En general, los elementos que intervienen en una prueba de hipótesis son los siguientes: 1. Hipótesis nula, respecto a uno o más parámetros poblacionales. Se denota por H Hipótesis alternativa, la cual se acepta si se decide rechazar la hipótesis nula. Se denota por H a. 3. Supuesto inicial. Suele denotarse como μ 0 : H 0 : µ = µ 0 H a : µ µ 0 4. Estadística de prueba, que se obtiene a partir de datos de una muestra representativa y que se comparará con el valor crítico para decidir si se acepta o rechaza la hipótesis nula. 5. Región de rechazo, que señala al conjunto de valores que implican el rechazo de la hipótesis nula. Ejemplo: Una compañía pone a la venta un enjuague bucal que contiene cierta cantidad por mililitro de un elemento químico que puede dañar la capa de esmalte. La norma establece que el nivel permitido de tal componente químico no debe sobrepasar las dos unidades por mililitro. Se sospecha que la compañía que fabrica este producto no está atendiendo a la norma, por lo que las autoridades sanitarias inician una investigación analizando una muestra representativa y calculando el nivel medio de sustancia por mililitro. Suponga que el nivel medio de la sustancia química por mililitro es igual a Solución H 0 : µ = 2 (Hipótesis nula) µ 0 = 2 (Supuesto inicial) H a : µ > 2 (Hipótesis alternativa) 1.95 (Estadística de prueba)

7 6 dado que µ 0, se acepta la hipótesis nula, es decir, no hay elementos suficientes para afirmar que el fabricante del enjuague bucal en cual viola la norma.

8 7 Conclusión Si no se cuentan con hipótesis dentro de una investigación es muy probable que ésta tome un rumbo diferente a que se tenia establecido en el principio, pues no se tratara de comprobar ningún punto. Es por eso que dentro de los trabajo de estudio de campo o documentales in importar cal sea se establecen supuestos(hipótesis), los que pueden ser alternativos, positivos, negativos, correlaciones, etc. Con las investigaciones en estadística y probabilidad viene el uso de formulas que ayudaran a saber si lo que se establece en una hipótesis puede ser verídica o no, por ejemplo el porcentaje poblacional que se tiene en un país son mas mujeres que hombres, cuántas personas dentro de un universo están enfermas, cuánta gente toma que medicina, cuántos autos se venden a un porcentaje determinado de una población especifica, etc. Las hipótesis son importantes para que los puntos establecidos se utilicen en medio importantes como INEGI, para el conteo poblacional o instituciones de gobierno especializadas.

9 Errores tipo I y tipo II en pruebas de hipótesis ESTADÍSTICA INFERENCIAL 8 Al realizar pruebas de hipótesis se pueden obtener dos posibles resultados: Se acepta la hipótesis nula. Se rechaza la hipótesis nula. Esto significa que pueden cometerse dos posibles errores: Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera se denomina error tipo I y su probabilidad de ocurrencia se denota con literal griega α (alfa). Este valor permitirá establecer el valor crítico y, consecuentemente, la región de rechazo de la prueba de hipótesis. El valor crítico define el criterio de decisión para aceptar o rechazar la hipótesis nula. Por otra parte, aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es incorrecta se conoce como error tipo II y su probabilidad de ocurrencia se denota con la literal griega β (beta). La gravedad de ambos errores dependerá del contexto del problema. En el ejemplo sobre la cantidad de conservador por miligramo de cereal, cometer un error del tipo I significaría acusar injustificadamente al fabricante del cereal, lo que podría traer como consecuencia una demanda legal por parte de éste. Sin embargo, cometer un error del tipo II significaría permitir que se vendiera un producto comestible que puede poner en riesgo la salud de los consumidores. Es importante mencionar que α y β presentan una relación inversamente proporcional. Al aumentar el valor de α, el valor de β disminuye. En este sentido, se establece una medida estadística denominada potencia de la prueba de hipótesis que corresponde a la probabilidad de rechazar la hipótesis nula H 0 cuando efectivamente H 0 es falsa. La potencia de una prueba de hipótesis se calcula mediante la expresión: (1 β). En la práctica, se desea el mayor valor posible para (1 β). Es importante reflexionar que la posibilidad de cometer

10 9 errores, sean del tipo I o II, obedece a que se recurre al análisis de una muestra probabilística de una población, la cual, aunque se diseña para una determinada confiabilidad, no está exenta de errores aleatorios. Ejemplo: Para el caso del fabricante de enjuague bucal, en donde: H0 : µ = 2 (Hipótesis nula) Ha : µ > 2 (Hipótesis alternativa) µ0 = 2 (Supuesto inicial) Se obtiene de la muestra un valor medio de sustancia química por mililitro de enjuague de 2.1 unidades. Suponiendo que el verdadero valor del nivel medio μ de sustancia química por mililitro de enjuague es de 1.95, esto significaría que, con base en el resultado del valor obtenido para la estadística de prueba, se rechazaría la hipótesis nula H0 : µ = 2, por lo que se estaría cometiendo un error del tipo I.

11 10 Actividad de Aprendizaje Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes elementos con forme se explican las teorías de las hipótesis. 1. Las técnicas de inferencia estadística pueden clasificarse en: 2. En una prueba de hipótesis se hace una determinada suposición sobre el valor de: 3. La técnica de pruebas de hipótesis se basa en el método de demostración: 4. La hipótesis nula se denota por: 5. La hipótesis alternativa se denota por: 6. El valor crítico se emplea como: 7. El estadístico de prueba se denota por: 8. El estadístico de prueba se contrasta contra: 9. Un error del tipo I significa: 10. Un error del tipo II significa:

12 11 Bibliografía García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de Cultura Económica. Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana. Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley Iberoamericana. Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México: UNAM. (2007). Estadística básica con Excel. México: UNAM. Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.

13 12 Panel de Verificación Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes elementos. 1. Las técnicas de inferencia estadística pueden clasificarse en: Pruebas de hipótesis e intervalos de confianza. 2. En una prueba de hipótesis se hace una determinada suposición sobre el valor de: El parámetro poblacional objeto de estudio. 3. La técnica de pruebas de hipótesis se basa en el método de demostración: Por contradicción. 4. La hipótesis nula se denota por: H 0 5. La hipótesis alternativa se denota por: H a 6. El valor crítico se emplea como: Criterio de decisión. 7. El estadístico de prueba se denota por: μ0 8. El estadístico de prueba se contrasta contra: El valor crítico. 9. Un error del tipo I significa: Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. 10. Un error del tipo II significa: Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.